高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3-1-45空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示空間向量運算的坐標(biāo)表示素養(yǎng)課件新人教A版選修2-1

3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示3.1.5空間向量運算的坐標(biāo)表示目標(biāo)定位重點難點1.了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解2.理解空間向量的坐標(biāo)表示，掌握空間向量運算的坐標(biāo)表示3.掌握空間向量的模、夾角公式與兩點間距離公式的坐標(biāo)表示，會判斷向量的共線與垂直重點：空間向量的坐標(biāo)運算難點：空間向量的平行和垂直條件，兩個向量的夾角與向量模的坐標(biāo)計算公式1．空間向量基本定理定理：如果三個向量a，b，c________，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝___________，其中__________叫作空間的一個基底，________都叫作基向量．2．空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示(1)單位正交基底三個有公共起點O且__________的單位向量e1，e2，e3稱為單位正交基底．不共面xa＋yb＋zc{a，b，c}a，b，c兩兩垂直公共起點Oe1，e2，e3平移起點xe1＋ye2＋ze3x，y，z(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)a1b1＋a2b2＋a3b3(x2－x1，y2－y1，z2－z1)終點起點1．設(shè)p：a，b，c是三個非零向量；q：{a，b，c}為空間的一個基底，則p是q的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B

空間向量基本定理的理解判斷給出的某一向量組能否作為基底，關(guān)鍵是要判斷它們是否共面．如果從正面難以入手，可用反證法或利用一些常見的幾何圖形進行判斷．

【答案】②③④

用坐標(biāo)表示已知向量空間直角坐標(biāo)系的建立必須尋求三條兩兩垂直的直線，建立的空間直角坐標(biāo)系不同，得到的坐標(biāo)也不同，故本題的答案不唯一．【答案】(－2，－1，－4)

(－4,2，－4)【例3】已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，求p，q，p·q.【解題探究】利用空間向量的坐標(biāo)運算法則計算即可．解：p＝a－b＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)．q＝a＋2b－c＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)．p·q＝(1,0，－1)·(0,3,1)＝－1.空間向量的坐標(biāo)運算(1)一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)．(2)空間向量進行坐標(biāo)運算的規(guī)律是首先進行數(shù)乘運算，再進行加法或減法運算，最后進行數(shù)量積運算；先算括號里，后算括號外．(3)空間向量的坐標(biāo)運算與平面向量的坐標(biāo)運算法則基本一樣，應(yīng)注意一些計算公式的應(yīng)用．【解題探究】建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)計算．利用向量的坐標(biāo)運算證明平行、垂直解決空間向量垂直、平行問題的有關(guān)思路：(1)若有關(guān)向量已知時，通常需要設(shè)出向量的坐標(biāo)．例如，設(shè)向量a＝(x，y，z)．(2)在有關(guān)平行的問題中，通常需要引入?yún)?shù)．例如，已知a∥b，則引入?yún)?shù)λ，有a＝λb，再轉(zhuǎn)化為方程組求解．(3)選擇向量的坐標(biāo)形式，可以達到簡化運算的目的．【例5】如圖，在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N為A1A的中點．(1)求BN的長；(2)求A1B與B1C所成角的余弦值．利用向量的坐標(biāo)運算解決夾角、距離問題1．利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求異面直線所成角的解題步驟：(1)根據(jù)幾何圖形的特點建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系．(2)利用題設(shè)條件寫出有關(guān)的坐標(biāo)，進而獲得相關(guān)的坐標(biāo)．(3)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得異面直線上有關(guān)向量的夾角，并將它轉(zhuǎn)化為異面直線所成的角．2．利用向量解決幾何問題，可使復(fù)雜的線面關(guān)系的論證、角及距離的計算變得簡單．5．設(shè)向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，計算2a＋3b,3a－2b，a·b，|a－2b|及a與b的夾角的余弦值．【解題探究】利用向量數(shù)量積公式進行計算．【錯因分析】將∠BAD誤認(rèn)為是90°，以至于建系錯誤，則后面的錯誤就不可避免了．【警示】空間直角坐標(biāo)系的建立必須保證三條軸的垂直關(guān)系，若圖中沒有建系的環(huán)境，則應(yīng)根據(jù)已知條件，通過作輔助線創(chuàng)造三條兩兩垂直的直線．1．利用向量求解或證明時可以選擇基底來處理，也可以建立直角坐標(biāo)系化為坐標(biāo)運算，通常坐標(biāo)運算較為簡單．2．坐標(biāo)運算，選擇坐標(biāo)系是關(guān)鍵，為了使點的坐標(biāo)易于計算和證明，一定要分析幾何體的特征，選取合適的坐標(biāo)系，同時還要靈活應(yīng)用平面幾何的相關(guān)知識進行求解．【答案】A

3．設(shè){e1，e2，e3}是空間向量的一個單位正交基底，若a＝4e1－8e2＋3e3，則a的坐標(biāo)為________．【答案】(4，－8,3)

【解析】由于{e1，e2，e3}是空間向量的一個單位正交基底，所以a＝(4，－8,3)．4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，則實數(shù)x＝________.【答案】－4

【解析】a＋b＝(－2,1,3＋x)，∵(a＋b)⊥c，∴(a＋b)·c＝0.∴－2＋(－x)＋2(3＋x)＝0.∴x＝－4.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅強.勵志名言請您欣賞3．設(shè){e1，e2，e3}是空間向量的一個單位正交基底，若a＝4e1－8e2＋3e3，則a的坐標(biāo)為________．【答案】(4，－8,3)

【解析】由于{e1，e2，e3}是空間向量的一個單位正交基底，所以a＝(4，－8,3)