參考資料《導(dǎo)數(shù)概念說課稿》

參考資料《導(dǎo)數(shù)的概念》說課稿一、關(guān)于教學(xué)目標(biāo)的確定：微積分是新教材中新增加的內(nèi)容.其中導(dǎo)數(shù)的概念是微積分的核心概念之一.通過對它的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生比較深刻地認(rèn)識客觀事物的相互制約、相互轉(zhuǎn)化，有助于對學(xué)生滲透對立統(tǒng)一的辯證唯物主義的觀點(diǎn)，提高學(xué)生邏輯思維能力和辯證思維能力.但是“導(dǎo)數(shù)”的概念比較抽象，如果在教學(xué)中僅僅將它作為一些規(guī)則和步驟來學(xué)習(xí)，會使得教學(xué)過程變?yōu)榉椒ǖ墓噍?、技能的操練，而不利于達(dá)到上述能力的培養(yǎng).按照新課標(biāo)中“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該‘返璞歸真’，應(yīng)該在數(shù)學(xué)課程中努力揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)教學(xué)‘要講推理，更要講道理’，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)”的理念，我考慮借助“導(dǎo)數(shù)”自身豐富的實際背景，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，通過大量實例刻畫現(xiàn)實問題，使學(xué)生了解導(dǎo)數(shù)概念逐步形成的過程,理解導(dǎo)數(shù)的含義，同時感受導(dǎo)數(shù)在解決數(shù)學(xué)問題和實際問題中的作用.根據(jù)教學(xué)大綱中關(guān)于導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)要求，結(jié)合我校學(xué)生的實際情況，我確定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：1、使學(xué)生了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，理解導(dǎo)數(shù)的概念，認(rèn)識到可以用導(dǎo)數(shù)來描述函數(shù)的變化率.2、向?qū)W生滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，從具體到抽象的研究問題的方法，提高學(xué)生歸納、類比、抽象和概括的能力.3、培養(yǎng)學(xué)生主動借助信息技術(shù)來理解數(shù)學(xué)概念的能力，加強(qiáng)同學(xué)間合作交流的意識.感受數(shù)學(xué)的文化價值，領(lǐng)悟并欣賞數(shù)學(xué)的意義和作用.二、關(guān)于教學(xué)方法和教學(xué)用具的說明:在這部分內(nèi)容的教學(xué)中理解導(dǎo)數(shù)概念的實質(zhì)是教學(xué)的重點(diǎn)，同時也是難點(diǎn).我通過啟發(fā)探究與學(xué)生自主探索相結(jié)合的教學(xué)方法，力爭幫助學(xué)生從實例中抽象出導(dǎo)數(shù)的概念，進(jìn)而突破本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn).“學(xué)起于思，思源于疑”,學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的，我通過4個不同知識領(lǐng)域中的例子創(chuàng)設(shè)出問題情境，引導(dǎo)學(xué)生帶著問題去主動思考、動手操作、交流合作，盡快積極地投入到思維活動中來，從而達(dá)到對知識的“發(fā)現(xiàn)”和接受的目的．為配合問題的提出與解決,我借助了計算機(jī)的課件演示及TI圖形計算器的使用.具體安排概括如下:1、通過圖片演示，創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生興趣.2、課件演示豎直上拋小球?qū)嶒?學(xué)生借助TI圖形計算器分析數(shù)據(jù),體會“瞬時速度”的數(shù)學(xué)含義.3、課件演示“曲線的切線”定義，幫助學(xué)生從直觀上理解概念.三、關(guān)于教學(xué)過程的設(shè)計:為達(dá)到上述教學(xué)目標(biāo),在具體教學(xué)過程的設(shè)計上,根據(jù)我校學(xué)生生源較好的特點(diǎn)，我設(shè)計的是兩節(jié)連堂課,并分為“概念鋪墊”和“概念形成”兩個階段．下面對每一個階段進(jìn)行具體說明.（一）概念的鋪墊：1、這一階段要解決的主要問題是：通過對具體實例的分析，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念產(chǎn)生的實際背景，為概念的形成做好鋪墊工作.2、具體的教學(xué)安排：我提出：我們生活的世界在一刻也不停地變化著，大家已經(jīng)知道，利用“函數(shù)”概念能夠描述在事物的變化過程中變量間的相依關(guān)系.然而在實際生活中除了要研究變量間的“相依關(guān)系”以外，也常常需要描述事物變化的大小、快慢程度.下面我們將研究這個方面的問題.問題1.“瞬時速度”問題圖片演示并請學(xué)生思考:(1)

在八達(dá)嶺高速公路限速為60km/h的路段上,電子眼記錄的某小轎車通過時速為81km/h;

(2)雅典奧運(yùn)會女子網(wǎng)球雙打冠軍李婷、孫甜甜發(fā)球的速度達(dá)到151.4km/h

（3）

在賽馬最后沖過終點(diǎn)線的一瞬間,它的速度是66km/h.

若將事物在瞬間的狀態(tài)拍成照片,那么顯示的就如剛才所看到的是靜態(tài)的“轎車”、“網(wǎng)球”和“賽馬”，絲毫說明不了任何問題.這是大家在物理中學(xué)過的“瞬時速度”問題.我啟發(fā)學(xué)生思考怎么理解上述說法的合理性,然后提出:我們借助一個“豎直上拋小球”的實驗從數(shù)學(xué)的角度對“瞬時速度”進(jìn)行研究.例1.課件演示“豎直上拋小球”實驗（不計阻力）,我提供實驗數(shù)據(jù)如下:t（秒）0123456h（米）2294653503714

【學(xué)生活動】（1）

利用例1中的數(shù)據(jù),計算小球在t＝1秒時的瞬時速度（借助TI圖形計算器模擬出h關(guān)于t的函數(shù)解析式后利用物理公式求出結(jié)果）.

（1）

(2)（2）

思考如何從數(shù)學(xué)角度刻畫瞬時速度；（借助物理課上已學(xué)過的對“瞬時速度”的直觀描述，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計出如下表格，將“描述”量化）t（秒）h（米）△t（秒）△h（米）（米/秒）……………0.9

0.99

0.999

1

1.001

1.01

1.1

……………（3）

分小組填寫表格（4）

觀察表格中數(shù)據(jù)，思考如何用數(shù)學(xué)語言描述數(shù)值之間的關(guān)系和變量變化過程中的規(guī)律.從物理學(xué)中的描述，和上面計算的結(jié)果都說明：當(dāng)△t越來越接近于0時,平均速度越來越接近一個常數(shù),而這個常數(shù)與利用物理公式計算出的在t＝1秒時的“瞬時速度”相等.此時，我追問：“當(dāng)|△t|越來越小時,平均速度越來越接近于一個常數(shù)”，可以用我們學(xué)過的什么數(shù)學(xué)概念加以描述？學(xué)生能夠答出是“極限”.于是我總結(jié)出“小球在時刻t＝1秒的瞬時速度就是小球在1到1＋△t時段內(nèi)，當(dāng)時，平均速度的極限”.這句話的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

此數(shù)學(xué)表達(dá)式的基本內(nèi)涵就是“做差，做比，求極限”．【設(shè)計說明】（1）

作為研究導(dǎo)數(shù)背景的第一個例子,我沒有按照教科書上的安排講解“曲線的切線”,而是首先引入“瞬時速度”.原因有二:其一是因為學(xué)生對“瞬時速度”這個概念比較熟悉,它是高一物理中力學(xué)部分的內(nèi)容,研究起來更容易入手,也更能體現(xiàn)學(xué)科之間的聯(lián)系;其二,作為“導(dǎo)數(shù)”概念由來,它與生活更貼近,研究的過程更容易被學(xué)生所接受.（2）

在這個例子的處理中，我特意安排了學(xué)生活動,讓學(xué)生自己動手?jǐn)M合函數(shù)、處理數(shù)據(jù),并對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,我做好指導(dǎo)工作.這樣做的目的：一方面,是為了盡量創(chuàng)造條件,真正讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)結(jié)論,而不是我直接給出結(jié)果;另一方面,希望通過學(xué)生自己的探索,體會研究問題的方法.問題2.藥物敏感度問題為緩解病人的發(fā)熱癥狀,需要讓病人服用一定劑量的藥物(比如,阿斯匹林).一般來說,服藥后所引起的病人體溫的變化是隨劑量d非均勻變化的,為研究藥物的有效性,必須確定任何劑量d下對d的變化率,從而確定對不同病人所用藥物的劑量大小.在醫(yī)學(xué)上稱為:“藥物敏感度”.請看下面的例子.例2.已知某種退燒藥服用的劑量d與病人體溫的變化有下面的關(guān)系:

其中C為正的常數(shù),d的單位為毫克.[問題]:請仿照例1,自己設(shè)計一個表格,觀察d0＝30時，相對于d的變化率

的情況.【設(shè)計說明】（1）這是一個醫(yī)學(xué)中的實際例子,引用的目的是想使學(xué)生看到研究瞬時變化率在不同領(lǐng)域都有著非常重要的作用,同時變換了函數(shù)的類型,為后面抽象成一般函數(shù)做好鋪墊工作;（2）由于有了例1的基礎(chǔ),相信學(xué)生不難設(shè)計出如下表格:

dT(d)△d△T……………

……………然后我指出:在醫(yī)學(xué)上就是將“藥物在使用的劑量為d＝d0時,身體對藥物的敏感度定義為服藥劑量在d0到d0＋△d內(nèi),當(dāng)時，平均變化率的極限”.寫成數(shù)學(xué)表達(dá)式就是：計算病人身體對藥物的敏感度可以給醫(yī)生提供很有用的參考數(shù)據(jù),來幫助制定治療方案,而其中的則不一定是對體溫的觀察,也可以是病人身體的其他指標(biāo).問題3.邊際成本問題在經(jīng)濟(jì)學(xué)中必須經(jīng)?？紤]成本的投入與產(chǎn)出問題.那么是不是投的越多就越好呢？顯然不是.投入的多少還要看收入的情況.我們希望找到一個“分界點(diǎn)”：使投入最為合算.這，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為“邊際成本”概念.例3.若設(shè)函數(shù)C＝C（x）表示某種產(chǎn)品的產(chǎn)量為x時的總成本,那么影響管理者決定是否要增加(或減少)該產(chǎn)品的生產(chǎn)規(guī)模的依據(jù)是:確定該產(chǎn)品在任意產(chǎn)量x0時的成本,也就是要求出x＝x0時函數(shù)C（x）對x的變化率.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,稱之為“邊際成本”.你能列出它的數(shù)學(xué)表達(dá)式嗎?在前面兩個具體函數(shù)的鋪墊下,學(xué)生能夠答出:邊際成本:

這個數(shù)學(xué)表達(dá)式的內(nèi)涵與例1相同，仍然是“做差，做比，求極限”．【設(shè)計說明】借助經(jīng)濟(jì)學(xué)中的實例背景，讓學(xué)生體會將函數(shù)抽象成一般函數(shù)解析式后的研究方法，為定義的得出做準(zhǔn)備.問題4.曲線切線的斜率問題我們在平面幾何中知道,圓周在給定點(diǎn)A處的切線是一條經(jīng)過點(diǎn)A且與過點(diǎn)A的半徑垂直的直線.顯然,圓的切線與圓有且僅有一個交點(diǎn).那么是不是對任意曲線都可以用“與曲線有且僅有一個交點(diǎn)的直線”來定義曲線的切線呢?當(dāng)然不行!拋物線y＝x2＋1與直線就是一個很好的例子.配合課件演示,敘述曲線的切線定義:[定義]:設(shè)曲線C是函數(shù)的圖象,為其上一定點(diǎn),過點(diǎn)P0作割線P0Q與曲線交于點(diǎn)Q(x0+△x，y0＋△y),當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線無限趨近于點(diǎn)P0(即:)時,若割線P0Q存在極限位置P0T,則稱直線P0T為曲線C在點(diǎn)P0處的切線.【學(xué)生活動】通過觀看課件的慢動畫演示,仔細(xì)觀察在割線P0Q趨近于切線P0T的過程中,斜率(傾斜角)的變化,思考能否用一個數(shù)學(xué)式子來表達(dá).并根據(jù)自己的發(fā)現(xiàn)做下面的題目,可以利用圖形計算器進(jìn)行檢驗.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論:若設(shè)切線的傾斜角為α,則切線的斜率:

例4.求曲線y＝－5x2＋32x＋2在點(diǎn)P（1,29）處的切線斜率.【設(shè)計說明】（1）在研究了不同領(lǐng)域的問題后，再回到數(shù)學(xué)問題，為后面揭示這些例子的共性——都可以抽象成同一個數(shù)學(xué)模型做鋪墊.（2）讓學(xué)生將例4同例1進(jìn)行對比,一方面,可以使學(xué)生從“形”的角度對導(dǎo)數(shù)有一個直觀的感受;另一方面,可以為下節(jié)講解導(dǎo)數(shù)的幾何意義做鋪墊.（3）從研究曲線切線的斜率來引出導(dǎo)數(shù),也是遵從數(shù)學(xué)史實的,后面將對此做進(jìn)一步的介紹.注：例1～例4在教學(xué)中不具有相同的地位.我將主要講透例1，例4.（二）

概念的形成1、這一階段要解決的主要問題是和學(xué)生一起剖析、歸納4個例題的共性,得出導(dǎo)數(shù)的概念,揭示導(dǎo)數(shù)的實質(zhì).2、具體的教學(xué)安排我將這一階段又細(xì)分成了“概念得出”和“概念剖析”兩部分.(1)概念得出

函數(shù)值的增量自變量的增量比值的極限極限的含義豎直上拋小球?qū)嶒灨叨鹊脑隽俊鱤時間的增量△t瞬時速度藥品服用問題病人體溫的增量△T藥品劑量的增量△d身體對藥物的敏感度經(jīng)濟(jì)決策問題總成本的增量△C產(chǎn)量的增量△x邊際成本曲線切線斜率問題函數(shù)值的增量△y自變量的增量△x切線的斜率請學(xué)生重新審視上面的4個例題,進(jìn)行比較分析,歸納出它們的共同特征,并試用數(shù)學(xué)語言加以描述.學(xué)生可能會答出:研究的都是“瞬時變化率問題”等類似的語言.我進(jìn)行進(jìn)一步的總結(jié):以上考慮的4個問題,雖然分屬于4個不同的領(lǐng)域:物理、醫(yī)藥、經(jīng)濟(jì)、數(shù)學(xué),但都具有相同的數(shù)學(xué)特征,即：都是對某一函數(shù)進(jìn)行同樣的數(shù)學(xué)運(yùn)算：做差、做比、求極限，即求出函數(shù)值的增量與自變量的增量的比值在自變量的增量趨于0時的極限.如下表所示:這種運(yùn)算十分重要,以致于它的結(jié)果有一個自己的名字:導(dǎo)數(shù),它的英文術(shù)語是:derivative.然后,我將介紹導(dǎo)數(shù)概念的由來.它是由英國數(shù)學(xué)家牛頓(Newton)和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨(Leibniz)分別在研究力學(xué)和幾何學(xué)過程中,在前人研究的基礎(chǔ)上同時建立的.就像我們前面研究例1和例4那樣.導(dǎo)數(shù)是數(shù)學(xué)的一個分支——微積分的重要概念.我國的第一本微積分,也是第一本解析幾何的漢譯本是清朝數(shù)學(xué)家李善蘭和偉烈亞力(英國人)合譯的《代微積拾級》.牛

頓（Newton）

萊布尼茨（Leibniz）下面給出導(dǎo)數(shù)的嚴(yán)格定義:[定義]考慮函數(shù)y＝f(x),如果自變量x在x0處有增量△x，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量△y＝f(x+△x)-f(x0),比值叫做函數(shù)y＝f(x)在x0到x0+△x之間的平均變化率，即.如果當(dāng)時，有極限，我們就說函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把這個極限叫做f(x)點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作或.即

(2)概念剖析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,有:例1、小球在時刻t＝1時的“瞬時速度”,就是小球距離地面的高度h（t）在時刻t＝1處的導(dǎo)數(shù):（）；

例2、病人在服藥劑量d＝30時對藥物的敏感度,就是病人體溫T（d）在d＝30處的導(dǎo)數(shù):（）；例3、某產(chǎn)品產(chǎn)量在x＝x0時的“邊際成本”,就是總成本C（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù):（）；例4、曲線在點(diǎn)P0（x0，y0）處切線的斜率,就是曲線y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù):（）.然后由學(xué)生來歸納出求函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟：（1）

求函數(shù)的增量:

△y＝f(x+△x)–f(x0)；（2）求平均變化率:；（3）取極限，得導(dǎo)數(shù):[練習(xí)]求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).（三）課堂小結(jié)與布置作業(yè)：課堂小結(jié):我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生回顧兩節(jié)課的內(nèi)容,從知識和方法兩個方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié),并點(diǎn)出:在