2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)版）課時(shí)精講第8章　§8.1　直線的方程（原卷版）

第第頁(yè)§8.1直線的方程課標(biāo)要求1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.2.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式及一般式)．知識(shí)梳理1．直線的方向向量設(shè)A，B為直線上的兩點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))就是這條直線的方向向量．2．直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.3．直線的斜率(1)定義：把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即k＝tanα.(α≠90°)(2)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式如果直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).4．直線方程的五種形式名稱(chēng)方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直線x＝x1和直線y＝y(tǒng)1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用常用結(jié)論1．直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢記口訣：“斜率變化分兩段，90°是分界線；遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論”．2．“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù)．應(yīng)注意過(guò)原點(diǎn)的特殊情況是否滿(mǎn)足題意．3．斜率為k的直線的一個(gè)方向向量為(1，k)．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角．()(2)直線的斜率越大，傾斜角就越大．()(3)若直線的傾斜角為α，則斜率為tanα.()(4)經(jīng)過(guò)P0(x0，y0)的任意直線方程可表示為y－y0＝k(x－x0)．()2．已知點(diǎn)A(2,0)，B(3，eq\r(3))，則直線AB的傾斜角為()A．30°B．60°C．120°D．150°3．過(guò)點(diǎn)P(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為_(kāi)____．4．直線x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．題型一直線的傾斜角與斜率例1(1)若直線l過(guò)點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，eq\r(3))為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是()A．[－eq\r(3)，1]B．(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，1))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪[1，＋∞)延伸探究本例(1)條件不變，則直線l的傾斜角的取值范圍是________．(2)已知直線l的方程為xsinα＋eq\r(3)y－1＝0，α∈R，則直線l傾斜角的范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))跟蹤訓(xùn)練1(1)已知直線l的一個(gè)方向向量為p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)，cos\f(π,3)))，則直線l的傾斜角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)(2)在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形ABC的邊AB所在直線斜率為2eq\r(3)，則邊AC所在直線斜率的一個(gè)可能值為_(kāi)_______．題型二求直線的方程例2求符合下列條件的直線方程：(1)直線過(guò)點(diǎn)A(－1，－3)，且斜率為－eq\f(1,4)；(2)斜率為eq\f(3,4)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的面積為6；(3)直線過(guò)點(diǎn)(2,1)，且橫截距為縱截距的兩倍．跟蹤訓(xùn)練2(1)過(guò)點(diǎn)P(1,4)在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線有()A．1條B．2條C．3條D．4條(2)在△ABC中，若A(2,3)，B(－2,0)，C(2,0)，則∠BAC的角平分線所在直線l的方程是()A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．2x－3y－2＝0 D．3x－y－1＝0題型三直線方程的綜合應(yīng)用例3已知直線l過(guò)點(diǎn)M(2,1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程．延伸探究1．在本例條件下，當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，求直線l的方程．2．在本例條件下，當(dāng)|MA|·|MB|取得最小值時(shí)，求直線l的方程．跟蹤訓(xùn)練3(1)若直線l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0經(jīng)過(guò)第四象限，則a的取值范圍為()A．(－∞，0)∪(2，＋∞)B．(－∞，0)∪[2，＋∞)C．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))D．(－∞，0)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))(2)已知直線kx－y＋2k－2＝0恒過(guò)定點(diǎn)A，點(diǎn)A在直線mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均為正數(shù)，則eq\f(2,m)＋eq\f(2,n)的最小值為()A．4 B．4＋4eq\r(2)C．8 D．4－4eq\r(2)課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．在x軸與y軸上截距分別為－2,2的直線的傾斜角為()A．45°B．135°C．90°D．180°2．已知ab<0，bc<0，則直線ax＋by＝c不過(guò)()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知直線l的一個(gè)方向向量為n＝(2,3)，若l過(guò)點(diǎn)A(－4,3)，則直線l的方程為()A．y－3＝－eq\f(3,2)(x＋4)B．y＋3＝eq\f(3,2)(x－4)C．y－3＝eq\f(3,2)(x＋4)D．y＋3＝－eq\f(3,2)(x－4)4．直線l的傾斜角是直線eq\r(3)x－y－1＝0的傾斜角的2倍，且過(guò)點(diǎn)(eq\r(3)，－1)，則直線l的方程為()A.eq\r(3)x－y－4＝0 B．2eq\r(3)x－y－7＝0C.eq\r(3)x＋y－2＝0 D.eq\r(3)x＋y－4＝05．已知直線a1x＋b1y＋1＝0和直線a2x＋b2y＋1＝0都過(guò)點(diǎn)A(4,3)，則過(guò)點(diǎn)P1(a1，b1)和點(diǎn)P2(a2，b2)的直線方程為()A．4x－3y＋1＝0 B．3x－4y－1＝0C．4x＋3y＋1＝0 D．3x＋4y－1＝06．已知直線l：y＝eq\f(1,2)x＋1與y軸交于點(diǎn)P，將l繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后與x軸交于點(diǎn)Q，要使直線l平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，則應(yīng)將直線l()A．向左平移eq\f(1,6)個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移eq\f(1,6)個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移eq\f(5,3)個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移eq\f(5,3)個(gè)單位長(zhǎng)度二、多項(xiàng)選擇題7．已知直線l的方程為ax＋by－2＝0，則下列判斷正確的是()A．若ab>0，則直線l的斜率小于0B．若b＝0，a≠0，則直線l的傾斜角為90°C．直線l可能經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)D．若a＝0，b≠0，則直線l的傾斜角為0°三、填空題8．已知直線y＝(3－2k)x－6不經(jīng)過(guò)第一象限，則k的取值范圍為_(kāi)_______．9．過(guò)點(diǎn)M(－3,5)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為_(kāi)______________．10．已知點(diǎn)A(2,4)，B(4,2)，直線l：y＝kx－2，則直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)________，若直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是________．四、解答題11．根據(jù)所給條件求直線方程．(1