2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習（基礎(chǔ)版）課時精講第1章　§1.2　常用邏輯用語（含解析）

第第頁§1.2常用邏輯用語課標要求1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)定理與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.2.理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對兩種命題進行否定．知識梳理1．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p2.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示．(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示．3．全稱量詞命題和存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對M中任意一個x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立簡記?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)否定?x∈M，?p(x)?x∈M，?p(x)常用結(jié)論1．充分、必要條件與對應(yīng)集合之間的關(guān)系設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若p是q的充分條件，則A?B；(2)若p是q的充分不必要條件，則A?B；(3)若p是q的必要不充分條件，則B?A；(4)若p是q的充要條件，則A＝B.2．含有一個量詞命題的否定規(guī)律是“改變量詞，否定結(jié)論”．3．命題p與p的否定的真假性相反．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)當p是q的充分條件時，q是p的必要條件．(√)(2)“三角形的內(nèi)角和為180°”是全稱量詞命題．(√)(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要條件．(√)(4)命題“?x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)”是真命題．(×)2．(多選)已知命題p：?x∈R，x＋2≤0，則下列說法正確的是()A．p是真命題B．?p：?x∈R，x＋2>0C．?p是真命題D．?p：?x∈R，x＋2>0答案為：CD解析：當x＝0時，x＋2≤0不成立，故p是假命題，故A錯誤；由含量詞命題的否定可知，p：?x∈R，x＋2≤0的否定為?p：?x∈R，x＋2>0，故D正確，B錯誤；?p是真命題，故C正確．3．設(shè)x>0，y>0，則“x2>y2”是“x>y”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案為：C4．已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要條件，則a的取值范圍為________．答案為：(－∞，3)解析：由題意知，x∈A?x∈B，x∈B?x∈A，即AB，所以a<3.題型一充分、必要條件的判定例1(1已知向量n為平面α的一個法向量，向量m為直線l的一個方向向量，則m∥n是l⊥α的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案為：C解析：當m∥n時，l⊥α，當l⊥α時，m∥n，綜上所述，m∥n是l⊥α的充要條件．(2)在等比數(shù)列{an}中，“a1>0，且公比q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案為：A解析：當a1>0，且q>1時，有an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)>0，所以an＋1>an(n∈N*)，即{an}為遞增數(shù)列；當{an}為遞增數(shù)列時，即對一切n∈N*，有an＋1>an恒成立，所以an＋1－an＝a1qn－1(q－1)>0，但a1<0且0<q<1時，上式也成立，顯然無法得出a1>0，且q>1.則“a1>0，且公比q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件．思維升華充分、必要條件的三種判定方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p是否成立進行判斷．(2)集合法：根據(jù)p，q成立對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷．(3)等價轉(zhuǎn)化法：對所給題目的條件進行一系列的等價轉(zhuǎn)化，直到轉(zhuǎn)化成容易判斷充分、必要條件是否成立為止．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)f(x)＝cos(2x＋φ)，則“φ＝eq\f(π,2)”是“f(x)是奇函數(shù)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案為：A解析：f(x)是奇函數(shù)等價于cos(－2x＋φ)＝－cos(2x＋φ)，即cos(－2x＋φ)＝cos(π－2x－φ)，故－2x＋φ＝π－2x－φ＋2kπ，k∈Z，所以φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.則“φ＝eq\f(π,2)”是“f(x)是奇函數(shù)”的充分不必要條件．題型二充分、必要條件的應(yīng)用例2在①“x∈A”是“x∈B”的充分條件；②“x∈?RA”是“x∈?RB”的必要條件這兩個條件中任選一個，補充到本題第(2)問的橫線處，并求解下列問題．問題：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．(1)當a＝2時，求A∩B；(2)若________，求實數(shù)a的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．解：(1)由(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，所以B＝{x|－1<x<3}，當a＝2時，A＝{x|2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|2≤x<3}．(2)選①“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則A?B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1<a<1，即a∈(－1,1)；選②“x∈?RA”是“x∈?RB”的必要條件，則A?B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1<a<1，即a∈(－1,1)．充分不必要條件的等價形式p是q的充分不必要條件，等價于?q是?p的充分不必要條件．典例已知命題p：|x|≤1，q：x＜a，若?q是?p的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍為_____________．答案為：(1，＋∞)解析：由|x|≤1，即－1≤x≤1，由題意知p是q的充分不必要條件，所以a＞1.思維升華求參數(shù)問題的解題策略(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗．跟蹤訓(xùn)練2從①“充分不必要條件”，②“必要不充分條件”這兩個條件中任選一個，補充到本題第(2)問的橫線處，并解答下列問題：已知集合A＝{x|eq\f(1,4)≤2x≤32}，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}．(1)若m＝3，求A∪B；(2)若存在正實數(shù)m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正實數(shù)m的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．解：(1)依題意，得2－2≤2x≤25，解得－2≤x≤5，即A＝{x|－2≤x≤5}，當m＝3時，解不等式x2－4x－5≤0，得－1≤x≤5，即B＝{x|－1≤x≤5}，所以A∪B＝{x|－2≤x≤5}．(2)選①，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，解不等式x2－4x＋4－m2≤0，得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，因為“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要條件，則有A?B，于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－m<－2，,2＋m≥5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－m≤－2，,2＋m>5，))解得m>4或m≥4，即有m≥4，所以正實數(shù)m的取值范圍是m≥4.選②，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，解不等式x2－4x＋4－m2≤0，得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，因為“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分條件，則有B?A，于是得－2<2－m<2＋m≤5或－2≤2－m<2＋m<5，解得0<m≤3或0<m<3，即有0<m≤3，所以正實數(shù)m的取值范圍是0<m≤3.題型三全稱量詞與存在量詞命題點1含量詞的命題的否定例3(1)(多選)下列說法正確的是()A．“正方形是菱形”是全稱量詞命題B．?x∈R，ex<ex＋1C．命題“?x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定為“?x∈R，x2－2x＋3≠0”D．命題“?x>1，都有2x＋1>5”的否定為“?x≤1，使得2x＋1≤5”答案為：ABC解析：對于A，“正方形是菱形”等價于“所有的正方形都是菱形”，是全稱量詞命題，故A正確；對于B，當x＝1時，e<e＋1成立，故B正確；對于C，命題“?x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定為“?x∈R，x2－2x＋3≠0”，故C正確；對于D，命題“?x>1，都有2x＋1>5”的否定為“?x>1，使得2x＋1≤5”，故D不正確．(2)寫出“所有實數(shù)都不是無理數(shù)”的否定形式：________________________.答案為：至少有一個實數(shù)是無理數(shù)命題點2含量詞的命題的真假判斷例4(多選)下列命題中的真命題是()A．?x∈R,2x－1>0B．?x∈N*，(x－1)2>0C．?x∈R，lgx<1D．?x∈R，tanx＝2答案為：ACD解析：指數(shù)函數(shù)的值域為(0，＋∞)，所以?x∈R,2x－1>0，故A正確；當x＝1時，(x－1)2＝0，所以?x∈N*，(x－1)2>0是假命題，故B錯誤；當x＝1時，lgx＝0<1，所以?x∈R，lgx<1，故C正確；函數(shù)y＝tanx的值域為R，所以?x∈R，tanx＝2，故D正確．命題點3含量詞的命題的應(yīng)用例5(1)若命題“?x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．(－∞，2]D．(－∞，5]答案為：B解析：由“?x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命題可知，不等式m≤x2＋1，對?x∈[－1,2]恒成立，因此只需m≤(x2＋1)min，x∈[－1,2]，易知函數(shù)y＝x2＋1在x∈[－1,2]上的最小值為1，所以m≤1.即實數(shù)m的取值范圍是(－∞，1]．(2)(多選)命題p：?x∈R，x2＋2x＋2－m<0為假命題，則實數(shù)m的取值可以是()A．－1B．0C．1D．2答案為：ABC解析：若命題p：?x∈R，x2＋2x＋2－m<0為真命題，則Δ＝22－4(2－m)＝4m－4>0，解得m>1，所以當命題p：?x∈R，x2＋2x＋2－m<0為假命題時，m≤1，符合條件的為A，B，C選項．思維升華含量詞命題的解題策略(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個成立即可．當一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假．(2)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價命題求參數(shù)的范圍．跟蹤訓(xùn)練3(1)下列命題為真命題的是()A．任意兩個等腰三角形都相似B．所有的梯形都是等腰梯形C．?x∈R，x＋|x|≥0D．?x∈R，x2－x＋1＝0答案為：C解析：對于A，任意兩個等腰三角形不一定相似，故A錯誤；對于B，所有的梯形都是等腰梯形是假命題，故B錯誤；對于C，因為?x∈R，|x|≥－x，即x＋|x|≥0，故C正確；對于D，因為?x∈R，x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，故D錯誤．(2)(多選)已知命題p：?x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，命題q：?x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≤0，則下列說法正確的是()A．命題p的否定是“?x∈[0,1]，不等式2x－2<m2－3m”B．命題q的否定是“?x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≥0”C．當命題p為真命題時，1≤m≤2D．當命題q為假命題時，a<4答案為：ACD解析：命題p的否定是“?x∈[0,1]，不等式2x－2<m2－3m”，故A正確；命題q的否定是“?x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4>0”，故B錯誤；若命題p為真命題，則當x∈[0,1]時，(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m＋2≤0，解得1≤m≤2，故C正確；若命題q為假命題，則?x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4>0為真命題，即a<x＋eq\f(4,x)恒成立，因為x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4，當且僅當x＝eq\f(4,x)，即x＝2時取等號，所以a<4，故D正確．課時精練一、單項選擇題1．命題“?x>0，sinx－x≤0”的否定為()A．?x≤0，sinx－x>0B．?x>0，sinx－x≤0C．?x>0，sinx－x>0D．?x≤0，sinx－x>0答案為：C解析：由題意知命題“?x>0，sinx－x≤0”為存在量詞命題，其否定為全稱量詞命題，即?x>0，sinx－x>0.2．下列命題中，p是q的充分條件的是()A．p：ab≠0，q：a≠0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：eq\r(a)>eq\r(b)答案為：A解析：對于A，ab≠0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,b≠0))?a≠0，故p是q的充分條件；對于B，a2＋b2≥0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a∈R，,b∈R))?a≥0且b≥0，故p不是q的充分條件；對于C，x2>1?x>1或x<－1?x>1，故p不是q的充分條件；對于D，當a>b時，若b<a<0，則不能推出eq\r(a)>eq\r(b)，故p不是q的充分條件．3．設(shè)λ∈R，則“λ＝1”是“直線3x＋(λ－1)y＝1與直線λx＋(1－λ)y＝2平行”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案為：A解析：若直線3x＋(λ－1)y＝1與直線λx＋(1－λ)y＝2平行，則3(1－λ)－λ(λ－1)＝0，解得λ＝1或λ＝－3，經(jīng)檢驗，當λ＝1或λ＝－3時，兩直線平行．即“λ＝1”是“直線3x＋(λ－1)y＝1與直線λx＋(1－λ)y＝2平行”的充分不必要條件．4．已知p：eq\f(1,x)>1，q：x>m，若p是q的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是()A．[0，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，0]D．(－∞，1]答案為：C解析：由eq\f(1,x)>1可得x(x－1)<0，解得0<x<1，記A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x>m}，若p是q的充分條件，則A是B的子集，所以m≤0，所以實數(shù)m的取值范圍是(－∞，0]．5．下列說法正確的是()A．“對任意一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)”是真命題B．“xy>0”是“x＋y>0”的充要條件C．命題“?x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“?x∈R，x2＋1<0”D．若“1<x<3”的一個必要不充分條件是“m－2<x<m＋2”，則實數(shù)m的取值范圍是[1,3]答案為：D解析：eq\r(2)是無理數(shù)，x2＝2是有理數(shù)，A錯誤；當x＝－2，y＝－1時，xy>0，但x＋y＝－3<0，不是充要條件，B錯誤；命題“?x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“?x∈R，x2＋1≤0”，C錯誤；“1<x<3”的必要不充分條件是“m－2<x<m＋2”，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2≤1，,m＋2≥3，))兩個不等式的等號不同時取到，解得1≤m≤3，D正確．6．設(shè)p：關(guān)于x的不等式x2＋ax＋1>0對一切x∈R恒成立，q：對數(shù)函數(shù)y＝log(4－3a)x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，那么p是q的()A．充分不必要條件B．充要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件答案為：C解析：若關(guān)于x的不等式x2＋ax＋1>0對一切x∈R恒成立，則Δ＝a2－4<0，即－2<a<2；若對數(shù)函數(shù)y＝log(4－3a)x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則0<4－3a<1，即1<a<eq\f(4,3).∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)))(－2,2)，∴p是q的必要不充分條件．7．已知命題p：?x∈R，ax2＋2ax－4≥0為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A．－4<a<0B．－4≤a<0C．－4<a≤0D．－4≤a≤0答案為：C解析：命題p：?x∈R，ax2＋2ax－4≥0為假命題，即命題?p：?x∈R，ax2＋2ax－4<0為真命題，當a＝0時，－4<0恒成立，符合題意；當a≠0時，則a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4<a<0.綜上可知，－4<a≤0.8．記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，設(shè)甲：{an}為等差數(shù)列；乙：{eq\f(Sn,n)}為等差數(shù)列，則()A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件答案為：C解析：方法一甲：{an}為等差數(shù)列，設(shè)其首項為a1，公差為d，則Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)，因此{eq\f(Sn,n)}為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：{eq\f(Sn,n)}為等差數(shù)列，即eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(nSn＋1－n＋1Sn,nn＋1)＝eq\f(nan＋1－Sn,nn＋1)為常數(shù)，設(shè)為t，即eq\f(nan＋1－Sn,nn＋1)＝t，則Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，兩式相減得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，對n＝1也成立，因此{an}為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件．方法二甲：{an}為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，即Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，則eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，因此{eq\f(Sn,n)}為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：{eq\f(Sn,n)}為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{eq\f(Sn,n)}的公差為D，則eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝D，eq\f(Sn,n)＝S1＋(n－1)D，即Sn＝nS1＋n(n－1)D，當n≥2時，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，上邊兩式相減得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，所以an＝a1＋2(n－1)D，當n＝1時，上式成立，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D為常數(shù)，因此{an}為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件．二、多項選擇題9．下列命題是真命題的是()A．?a∈R，使函數(shù)y＝2x＋a·2－x在R上為偶函數(shù)B．?x∈R，函數(shù)y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)的值恒為正數(shù)C．?x∈R,2x＜x2D．?x∈(0，＋∞)，(eq\f(1,3))x＞SKIPIF1<0答案為：AC解析：當a＝1時，y＝2x＋2－x為偶函數(shù)，故A為真命題；y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋eq\r(2)，當sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝－1時，y＝0，故B為假命題；當x∈(2,4)時，2x＜x2，故C為真命題；當x＝eq\f(1,3)時，SKIPIF1<0∈(0,1)，SKIPIF1<0＝1，∴SKIPIF1<0，故D為假命題．10．下列命題中正確的是()A．“A∪B＝A”是“B?A”的充分不必要條件B．“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一負根”的充要條件是“m<0”C．“冪函數(shù)y＝SKIPIF1<0為反比例函數(shù)”的充要條件是“m＝0”D．“函數(shù)f(x)＝－x2＋2mx在區(qū)間[1,3]上不單調(diào)”的一個必要不充分條件是“1≤m≤3”答案為：BCD解析：對于A，由A∪B＝A可得B?A，故充分性成立，由B?A可得A∪B＝A，故必要性成立，所以“A∪B＝A”是“B?A”的充要條件，故A錯誤；對于B，方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一負根，設(shè)為x1，x2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m－32－4m>0，,x1x2＝m<0，))解得m<0，滿足必要性，當m<0時，Δ＝(m－3)2－4m>