2023年中考數(shù)學(xué)真題實(shí)戰(zhàn)測試44 正方形 B

2023年中考數(shù)學(xué)精選真題實(shí)戰(zhàn)測試44正方形B

一、單選題（每題3分，共30分）（共10題；共30分）

1.（3分）（2022?衡陽）下列命題為假命理的是（）

A.對角線相等的平行四邊形是矩形

B.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

C.有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是正方形

D.有一組鄰邊相等的矩形是正方形

2.（3分）（2022?嘉興）“方勝”是中國古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個(gè)全等正方形相疊組成，寓

意是同心吉祥.如圖，將邊長為2cm的正方形ABCD沿對角線BD方向平移1cm得到正方形

A,B,C,D,,形成一個(gè)“方勝”圖案，則點(diǎn)D,B，之間的距離為（）

A.1cmB.2cmC.(V2—l)c.D.(2V2—l)cm

3.（3分）（2021?貴州）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，若將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,

使點(diǎn)B落在點(diǎn)B的位置，連接BB'，過點(diǎn)D作DE,BB',交BB'的延長線于點(diǎn)E,則BE

的長為（）

A.V3—1B.2\/3—2C.D.V3

4.（3分）（2022?資陽）如圖，正方形ZBC。的對角線交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是直線BC上一動點(diǎn).若AB=

A.4V2B.2遮+2C.2V13D.2V10

5.（3分）（2022?包頭）如圖，在矩形力BCD中，點(diǎn)E,F分別在40,BC邊上,EF||

AB,AE=AB，AF與BE相交于點(diǎn)O,連接OC,若BF=2CF,則OC與EF之間的數(shù)量關(guān)系正確的是

A.2OC=V5EFB.V5OC=2EFC.2OC=MEFD.OC=EF

6.（3分）（2022?重慶）如圖，在正方形ABCD中,AE平分NBAC交BC于點(diǎn)E,點(diǎn)F是邊AB上

一點(diǎn)，連接DF,若BE=AF,則NCDF的度數(shù)為（）

A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°

7.（3分）（2021?泰州）如圖，P為AB上任意一點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在AB同側(cè)作正方形

APCD、正方形PBEF,設(shè)乙CBE=a，則Z.AFP為()

A.2aB.90°-a

C.45°+aD.90°-1a

8.（3分）（2022?龍東）如圖，正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，

OEJ.OF交BC于點(diǎn)E,連接AE,BF交于點(diǎn)P,連接OP.則下列結(jié)論：@AE1BF；②zOP/=

45°；@AP-BP=V20P;④若BE：CE=2：3,貝Utan/CAE="⑤四邊形OECF的面積是正

方形ABCD面積的看其中正確的結(jié)論是（）

A.①②④⑤B.①②③⑤C.①②③④D.①③④⑤

9.（3分）（2022?瀘州）如圖，在邊長為3的正方形4BCD中，點(diǎn)E是邊4B上的點(diǎn)，且BE=2AE,過

點(diǎn)E作DE的垂線交正方形外角NCBG的平分線于點(diǎn)尸，交邊BC于點(diǎn)M,連接。尸交邊BC于點(diǎn)N,則MN

的長為（）

A.|B.|C.D.1

10.（3分）（2021?貴港）如圖，在正方形ABCD中，E,F是對角線AC上的兩點(diǎn)，且EF=2AE=

C

2CF,連接DE并延長交AB于點(diǎn)M,連接DF并延長交BC于點(diǎn)N,連接MN,貝U芳出”=

'△MBN

A.1B.|C.1D.

二、填空題（每空3分，共18分）（共6題；共18分）

11.（3分）（2022?海南）如圖，正方形ABCO中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，AE=AF,Z.EAF=

30°,則Z71EB=。；若AAEF的面積等于1,則AB的值是

E

BtC

一,

AD

12.（3分）（2022?畢節(jié)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A,B分別在x軸、y軸

上，對角線交于點(diǎn)E,反比例函數(shù)y=［（%>0,k>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,E.若點(diǎn)4（3,0）,則k的值

是.

13.（3分）（2021?安順）在綜合實(shí)踐課上，老師要求同學(xué)用正方形紙片剪出正三角形且正三角形的頂

點(diǎn)都在正方形邊上.小紅利用兩張邊長為2的正方形紙片，按要求剪出了一個(gè)面積最大的正三角形和

一個(gè)面積最小的正三角形.則這兩個(gè)正三角形的邊長分別是.

14.（3分）（2021?沈陽）如圖，aABC中，AC=3,BC=4,AB=5.四邊形ABEF是正方形，點(diǎn)D

是直線BC上一點(diǎn)，且CD=1.P是線段DE上一點(diǎn)，且PD=|OE.過點(diǎn)P作直線1于BC平行，分

別交AB,AD于點(diǎn)G,H,則GH的長是.

15.（3分）（2022?達(dá)州）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別為AD,CD邊上的

動點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接BE,BF,分別交對角線AC于點(diǎn)P,Q.點(diǎn)E,F在運(yùn)動過程中，

始終保持乙EBF=45°,連接EF,PF,PD.下列結(jié)論：

ED

①PB=PD；②乙EFD=2乙FBC；@PQ=PA+CQ；④△BPF為等腰直角三角形；⑤若

過點(diǎn)B作BH1EF,垂足為H,連接DH,則DH的最小值為2魚—2,其中所有正確結(jié)論的

序號是.

16.（3分）（2022?銅仁）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將ACDE沿CE

翻折得△CME,點(diǎn)M落在四邊形ABCE內(nèi).點(diǎn)N為線段CE上的動點(diǎn)，過點(diǎn)N作NP//EM交MC于

點(diǎn)P,則MN+NP的最小值為.

三、解答題（共8題，共72分）（共8題；共72分）

17.（6分）（2022?邵陽）如圖，在菱形4BC0中，對角線AC,BC相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E,尸在對角線BD

上，且BE=DF,OE=OA.

18.（8分）⑵21?荊門）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上的動點(diǎn)，/AEF=90。，且EF=

AE,FHLBH.

（1）（4分）求證：BE=CH；

（2）（4分）若ZB=3,BE=x,用x表示DF的長.

19.（8分）（2021?邵陽）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,F

是對角線AC上的兩點(diǎn)，且AE=CF.連接DE,DF,BE,BF.

（1）（4分）證明：&ADE王ACBF.

（2）（4分）若=4近，AE=2,求四邊形BEDF的周長.

20.（10分）（2021?南通）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上（不與端點(diǎn)A,D重合），點(diǎn)A

關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F,連接CF,設(shè)AABE=a.

（備用圖）

（1）（3分）求乙BCF的大?。ㄓ煤琣的式子表示）；

（2）（3分）過點(diǎn)C作CGJ.AF,垂足為G,連接DG.判斷DG與CF的位置關(guān)系，并說明

理由；

（3）（4分）將△4BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到&CBH，點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H,連接

BF,HF.當(dāng)ABFH為等腰三角形時(shí)，求sina的值.

21.（10分）（2022?呼和浩特）下面圖片是八年級教科書中的一道題：如圖，四邊形ABC。是正方形，

點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，乙4EF=90。，月.EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F.求證AE=EF.（提示：

BEC

（1）（3分）請你思考題中“提示”，這樣添加輔助線的意圖是得到條件：；

（2）（3分）如圖1,若點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)（不與B、C重合），其他條件不變.求證：AE=

圖1

（3）（4分）在（2）的條件下，連接4C,過點(diǎn)E作EPJ.ZC,垂足為P.設(shè)黑=k,當(dāng)k為何值

時(shí)，四邊形ECFP是平行四邊形，并給予證明.

22.（10分）（2022?黔西）如圖1,在正方形ABCD中，E,F分別是BC,CD邊上的點(diǎn)（點(diǎn)E不與

點(diǎn)B,C重合），且zE4F=45。.

（1）（3分）當(dāng)BE=。尸時(shí)，求證：AE=AF-,

(2)(3分)猜想BE,EF,DF三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

（3）（4分）如圖2,連接AC,G是CB延長線上一點(diǎn)，GHLAE,垂足為K,交AC于點(diǎn)H且

GH=AE.若DF=a,CH=b,請用含a,b的代數(shù)式表示EF的長.

23.（10分）（2021.徐州）如圖1,正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)P在邊ZD上（P不與A,D

重合），連接PB,PC.將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到PE,將線段PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90。得到PF.連接EF,EA,FD.

EEN

B

圖1圖2

（1）（5分）求證：

①ZPOF的面積S=^PD123；

（2）EA=FD；

（2）（5分）如圖2,EA.FD的延長線交于點(diǎn)M,取EF的中點(diǎn)N,連接MN,求MN

的取值范圍.

24.（10分）（2022?武威）已知正方形ABCD,E為對角線AC上一點(diǎn).

（1）（3分）【建立模型】如圖1,連接BE,DE.求證：BE=DE；

（2）（4分）【模型應(yīng)用】如圖2,尸是。E延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)BLBE,EF交于點(diǎn)G.

①判斷△FBG的形狀并說明理由；

②若G為AB的中點(diǎn)，且AB=4,求4F的長.

（3）（3分）【模型遷移】如圖3,F是DE延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)B工BE,E尸交4B于點(diǎn)

G,BE=BF.求證：GE=（V2-1）DE.

答案解析部分

L【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】B

10.【答案】A

11.【答案】60；V3

12.【答案】4

13.【答案】2V6-2V2,2

14.【答案】g或卷

15.【答案】①②④⑤

16.【答案】|

17.【答案】證明：；四邊形ABCD是菱形

二OA=OC,OB=ODKAC1BD,

XVBE=DF

二OB-BE=OD-DF

即OE=OF

：OE=OA

.*.OA=OC=OE=OF,

/.AC=EF

又：AC，EF

...四邊形DEBF是正方形.

18.【答案】(1)證明：?.?四邊形ABCD是正方形,

.,.ZABE=90°,AB=BC,

ZAEF=90°,

???ZAEB+ZFEH=90°.

而NAEB+NBAE=90。，

AZBAE=ZFEH.

又,.?EF=AE,

/.△ABE^AEHF.

ABE=FH,AB=EH,

???AB=BC=EH,貝ljBC-EC=EH-EC,

ABE=CH；

(2)解：作FP1.CD于P,

由(1)可知EH=AB,

，CE=3-x.

ACH=FH=FP=x,

???PD=3—x.

DF=yjx2+(3—x)2=-6%+9

19.【答案】(1)證明：?.?四邊形ABCD是正方形

JAD=DOBC二AB,ZDAC=ZDCA=ZCAB=ZACB=45°

AD=CB

在^ADE和^CBF中l(wèi)^DAE=dCB

AE=CF

：.〉A(chǔ)DE"CBF(SAS)

(2)解：???四邊形ABCD是正方形

JZDAC=ZDCA=ZCAB=ZACB=45°,AC1BD

???在RtAAOB中，NOAB=45。又AB=4或

AOA=OB=sinZOABxAB=號x4V2=4

9JAE=2

AOE=2

在RtAEOB中，BE=yJOE2+OB2=<4+16=2而

?.?四邊形ABCD是正方形

.,.AO=CO,DO=BO

又=CF

：.EO=FO,又DO=BO

二四邊形DEBF是平行四邊形

又：ACJ_BD,即BDJ_EF

二四邊形DEBF是菱形

，BE=DE=DF=BF=275

四邊形BEDF的周長=4x2V5=8Z

20.【答案】（1）解：連接BF,設(shè)AF和BE相交于點(diǎn)N.

點(diǎn)A關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F

BE是AF的垂直平分線

BE1AF,AB=BF

Z.BAF=乙BFA

??,Z.ABE—a

:.Z.BAF=90°-a=Z.BFA

???乙EBF=180°—90°一(90°-a)=a

v四邊形ABCD是正方形

???AB=BC,/.ABC=90°

???乙FBC=90°-2a,AB=BC=BF

???乙BFC=乙BCF

???(BFC+乙BCF+Z.FBC=180%乙FBC=90°-2a

180。一（90。-2a）

???乙BFC—Z.BCF—45°+a

2

(2)解：位置關(guān)系：平行.

理由：連接BF,AC,DG

設(shè)DC和FG的交點(diǎn)為點(diǎn)M,AF和BE相交于點(diǎn)N

由(1)可知,

ZABE=乙EBF=a,Z.BAF=Z.BFA=90°-a,2BFC=乙BCF=45°+a

/.AFC=^AFB+乙CFB=90°—a+45°+a=135°

乙CFG=180°-乙AFC=45°

???CG1AG

4FGC=90°

乙GCF=180°-NFGC-乙CFG=45°=乙CFG

CGF是等腰直角三角形

CG1

,FF

???四邊形ABCD是正方形

???/.BAD=Z.ADC=乙BCD=90°,AD=CD

：.&ADC是等腰直角三角形

DC1

'?衣=港〃8=45°

???乙BCA=45°

???BE垂直平分AF

???Z.ANE=90°

???Z-NAE=180°-4ANE一乙AEN=a

在ZMOM和△CGM中，

Z.ADC=乙4GC=90°

/.AMD=乙CMG

ADMCGM

:.乙MCG=Z-GAD=a

???乙BCA=45。，乙BCF=45。+a

:.Z-ACF—乙BCF—乙BCA—a

在XDGC和△AFC中，

DCCG1

：AC=FC=^乙DCG="CF=a

DGC—△AFC

???/.AFC=乙DGC=135°

???Z,DGA=乙DGC-Z-AGC=135°-90°=45°

???Z.DGA=乙CFG=45°

:.CF//DG

(3)解：&BFH為等腰三角形有三種情況：①FH=BH②BF=FH③BF=BH,要分三種情況討

論：

①當(dāng)FH=BH時(shí)，作，BF于點(diǎn)M

由(1)可知：AB=BF,Z.ABE=Z.EBF=a

???四邊形ABCD是正方形

AB=BC,/-ABC=90°,^BAE=90°

設(shè)AB=BF=BC=a

???將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH

Z.CBH=Z.ABE=a,BH=BE

2FBH=^ABC-AABF+乙CBH=90°—2a+a=90°—a

FH=BH

???乙HBF=乙BFH=90。-a

???(FHB=180°-乙FBH-乙BFH=2a

BFH是等腰三角形，BH=HF,HM1BF

1a

:.乙BHM=4FHM=a,BM=MF=^BF=

乙乙

在XABE和AMHB中，

(Z.BAE=乙BMH=90°

t乙BHM=Z.ABE=a

ABEMHB

BMBH

BM=AE=?

...BE=AE2+AB2=Jg)2+

AEV5

???sina=kF=

②當(dāng)BF=FH時(shí)，

設(shè)FH與BC交點(diǎn)為O

△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△CBH

???Z-ABE—乙CBH=a

由(1)可知：Z.ABF=2a

???乙FBC=90°-2a

???(FBH=乙FBC+乙CBH=90°-2a+a=90°-a

???BF=FH

???乙FBH=乙FHB=90°-a

???乙BOH=180°一乙CBH一乙BHF=90°

此時(shí)，乙BOH與乙BCH重合，與題目不符，故舍去

③當(dāng)BF=BH時(shí)，

由(1)可知：AB=BF

設(shè)AB=BF=a

???四邊形ABCD是正方形

???AB=BC=a

???BF=BH

???BF=BH=BC=a

而題目中，BC、BH分別為直角三角形BCH的直角邊和斜邊，不能相等，與題目不符，故舍去.

故答案為：絡(luò)

21.【答案】(1)AG=CE

(2)證明：取AG=EC,連接EG.

BEC

???四邊形ABCD是正方形，

/.AB=BC,ZB=90°.

VAG=CE,

ABG=BE,

/.△BGE是等腰直角三角形,

AZBGE=ZBEG=45°,

AZAGE=135°.

???四邊形ABCD是正方形，

AZBCD=90°.

???CF是正方形ABCD外角的平分線，

???ZDCF=45°,

.,.ZECF=90°+45°=135°.

VAE1EF,

AZAEB+ZFEC=90°.

VZBAE+ZAEB=90°,

/.ZBAE=ZCEF,

.*.△GAE^ACEF,

AAE=EF；

⑶解：當(dāng)士=4時(shí)，四邊形PECF是平行四邊形.

如圖.

由（2）得，ZkGAE/ZiCEF,

ACF=EG.

設(shè)BC=x,貝UBE二kx,

GE—0kx，EC=（1—k）x.

VEP±AC,

???△PEC是等腰直角三角形，

JZPEC=45°,

.-.ZPEC+ZECF=180o,PE=:（1一匹.

.'.PE||CF,

當(dāng)PE=CF時(shí)，四邊形PECF是平行四邊形,

—k）x=>j2kx>

解得k=1.

22.【答案】（1）證明：?.?四邊形ABCD是正方形，：.AB=AD,NB=乙0=90。.在△485和4

；AB=AD

4DF中：.hABE=^ADF(SAS),：.AE=AF；

BE=DF

(2)解：BE,EF,DF存在的數(shù)量關(guān)系為EF=DF+BE.理由如下：延長CB至M,使=

DF,連接AM,

AB=AD

則=90。.在△/BM和△AD9中］448加二4。，，△三△ADF(SAS),：.AM=

.BM=DF

AF,L.MAB=乙FAD.V/.EAF=45°,：.^MAB+Z.BAE=4FAD+Z.BAE=45°.在^AEM^\L

AM=AF

AEF^Z-MAE=4FAE,△AEM=△4EF(SAS),EM=EF=DF4-BE；

AE=AE

(3)解：過點(diǎn)H作，NJLBC于點(diǎn)N,

則N”NG=90。.\UGHLAE,C.Z,AKG=/-ABG=90°,C.Z.BGK=Z.EAB.在和△GNH中

(￡.ABE=(GNH

LBAE=乙NGH,MABEGNH{AAS},：.EB=HN.?:乙HCN=45°,乙HNC=90°,

AE=GH

???sin450=器，:?HN=庠CH，由(2)矢口，EF=BE+DF=HN+DF=：b+a?

23.【答案】(1)證明：過點(diǎn)F作FG，AD交AD的延長線于點(diǎn)G,

E

"：ZFPG+ZPFG=90°,ZFPG+ZCPD=90°,

NFPG=NCPD,

又?.?/PGF=NCDP=90°,PC=PF,

.*.△PFG=△CPD(AAS),

：.APDF的面積S=^PD-FG=^PD2;

②過點(diǎn)E作EHIDA交DA的延長線于點(diǎn)H,

,?ZEPH+ZPEH=90°,ZEPH+NBPA=90。,

，ZPEH=ZBPA,

又?.?/PHE=/BAP=90°,