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錯位相減法求前n項和學(xué)問與方法設(shè)是等差數(shù)列，是公比的等比數(shù)列，則數(shù)列的前n項和的常規(guī)求法是錯位相減法，取巧可這樣做：設(shè)，則，其中，.推導(dǎo)過程請參考視頻，x、y的計算公式可不記，記住的形式，取和用待定系數(shù)法來算就可以了.典型例題【例題】已知，求數(shù)列的前n項和.【解析】解法1：，，兩式作差得：，所以.解法2：由題意，，所以可設(shè)，又，，所以，解得：，故.【反思】上面的解法2不能作為正式作答的書寫方法，操作的時候可以草稿紙上這樣算，卷面上按解法1的格式來寫，詳情請參考本節(jié)視頻.變式已知，求數(shù)列的前n項和.解法1：當(dāng)時，，當(dāng)時，，兩式作差得：，即，明顯也滿意上式，所以.解法2：設(shè)，數(shù)列的前n項和為，則，兩式作差得：，故，留意到數(shù)列與僅首項不同，，，所以.強化訓(xùn)練1.（★★★）設(shè)為數(shù)列的前n項和，且（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿意，求數(shù)列的前n項和.【解析】（1）由題意，，故，當(dāng)時，，所以，故，從而是等比數(shù)列，所以.（2），所以兩式作差得：，所以.2.（★★★）已知數(shù)列和滿意，，，.（1）證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【解析】（1）由題意，，所以，又，所以是等比數(shù)列，首項為1，公比為，所以，故，所以是等差數(shù)列，首項為，公差為2.（2）由（1）知，，故，所以，兩式作差得：，所以.3．（★★★★）已知，求數(shù)列的前n項和.解法1：當(dāng)時，，當(dāng)時，兩式作差得：，即，明顯也滿意上式，故.解法2：設(shè)，的前n項和為，則兩式作差得：故，留意到與僅首項不同，，，故.4.（★★★★）設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入n個數(shù)，使得這個數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項和為，證明：.【解析】因為，所以當(dāng)時，，故，所以，因為是等比數(shù)列，所以其公比為3
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