暑期初高中數(shù)學(xué)銜接講義-三元一次方程組

知識(shí)梳理三元一次方程組的含義：含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.其一般形式為：a1x+b1y+c1三元一次方程組的求解思想：求解三元一次方程組的核心思想是“消元”，通過(guò)一系列的運(yùn)算，逐步減少未知數(shù)的數(shù)量，最終求解出每個(gè)未知數(shù)的值.常見(jiàn)的消元方法有代入消元法和加減消元法.三元一次方程組的求解原理：消元法解三元一次方程組的原理是基于等式的基本性質(zhì).等式的基本性質(zhì)包括：等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或式子，等式仍然成立；等式兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為零的數(shù)，等式仍然成立.在解三元一次方程組時(shí)，我們的目標(biāo)是逐步消元，也就是對(duì)各個(gè)方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算（如相加、相減、乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)等），使得方程組中某個(gè)未知數(shù)在其中的一個(gè)或幾個(gè)方程中不再出現(xiàn)，從而將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，然后再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為一元一次方程.三元一次方程組的求解步驟：觀察方程組中各個(gè)方程的系數(shù)，選擇一個(gè)系數(shù)較簡(jiǎn)單的未知數(shù)作為消元的對(duì)象.通過(guò)方程之間的運(yùn)算，消去選定的未知數(shù).可以將一個(gè)方程乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)，然后與另一個(gè)方程相加或相減，以消除該未知數(shù).重復(fù)步驟2，直到只剩下兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組.使用二元一次方程組的求解方法，如代入法或加減法，求解這個(gè)二元一次方程組，得到兩個(gè)未知數(shù)的值.將求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個(gè)方程，求出第三個(gè)未知數(shù)的值.得到三元一次方程組的解，即三個(gè)未知數(shù)的值.例題講解例1.求解下列方程組：x+y+2z=17x?y=32x+y?z=7思路分析：應(yīng)用消元法求解三元一次方程組，選擇合適的消元方法.解：（1）將三元一次方程組中各式從上至下依次編號(hào)為EQ\o\ac(○,1),EQ\o\ac(○,2),EQ\o\ac(○,3)，觀察可知EQ\o\ac(○,2)式中不含有未知量z，因此選用代入消元法和加減消元法都較為合適.（方法一：代入消元法）由EQ\o\ac(○,2)式變形可得y=x?3，編號(hào)為EQ\o\ac(○,4)，將EQ\o\ac(○,4)分別代入EQ\o\ac(○,1)、EQ\o\ac(○,3)，有：x+z=103x?z=10，解該一元二次方程組，有x=5z=5，將該解代回原方程組中的任意一式，得y=2.（方法二：加減消元法）EQ\o\ac(○,3)×2+EQ\o\ac(○,1)，有：5x+3y=31，編號(hào)為EQ\o\ac(○,4)，將EQ\o\ac(○,4)與EQ\o\ac(○,2)聯(lián)立方程組，有：5x+3y=31x?y=3，解該一元二次方程組，有x=5y=2，將該解代回原方程組中的任意一式，得z=5.綜上所述，該三元一次方程組的解為x=5y=2（2）解：將三元一次方程組中各式從上至下依次編號(hào)為EQ\o\ac(○,1),EQ\o\ac(○,2),EQ\o\ac(○,3)，觀察可知各式中未知量z的系數(shù)簡(jiǎn)單，未知量z最適合作為消元的對(duì)象，因此選用加減消元法較為合適.EQ\o\ac(○,1)+EQ\o\ac(○,3)，有：5x+6y=17，編號(hào)為EQ\o\ac(○,4)，EQ\o\ac(○,3)×2+EQ\o\ac(○,2)，有：5x+9y=23，編號(hào)為EQ\o\ac(○,5)，將EQ\o\ac(○,4)與EQ\o\ac(○,5)聯(lián)立方程組，有：5x+6y=175x+9y=23，解該一元二次方程組，有x=1y=2，將該解代回原方程組中的任意一式，得z=3.綜上所述，該三元一次方程組的解為x=1y=2例2.為確保信息安全，對(duì)信息進(jìn)行傳輸時(shí)會(huì)進(jìn)行加密，發(fā)送方由明文轉(zhuǎn)為密文(加密)，接收方由密文轉(zhuǎn)為明文(解密).已知一種加密規(guī)則：明文a，b，c，對(duì)應(yīng)的密文為a＋2，－解：（思路分析）分析題意可知，題干給出關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，對(duì)其進(jìn)行求解，進(jìn)而求出三個(gè)未知數(shù).由題意，有：a+2=9?a+2b+4=13b+3c+9=23，解得：即：求解后得到的明文為7,8,2.自我檢測(cè)求解下列方程組：4x+2y+z=62x?z=42x+4y?z=0已知甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的和為26，甲數(shù)比乙數(shù)大1，甲數(shù)的兩倍與丙數(shù)的和比乙數(shù)大18，求這三個(gè)數(shù)．已知方程組x+y=4y+z=6x+z=8,求某工廠有三個(gè)車間，共生產(chǎn)了1000件產(chǎn)品。其中，第一車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量是第二車間的2倍，第三車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量比第一車間少100件。請(qǐng)問(wèn)每個(gè)車間各生產(chǎn)了多少