《數(shù)字信號處理》課件1第7章

第7章數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)7.1網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的信號流圖表示

7.2

IIR數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

7.3

FIR數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

7.4格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

習題

7.1網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的信號流圖表示

1.基本運算單元的流圖表示

數(shù)字濾波器可用線性常系數(shù)差分方程和系統(tǒng)函數(shù)表示，即(7.1.2)(7.1.1)由式(7.1.2)可知，數(shù)字信號處理中的基本運算有三種，即加法、乘法和單位延時，這些基本運算單元可采用兩種方法描述——方框圖法和信號流圖法。如圖7.1.1所示，(a)為方框圖，(b)為信號流圖。兩種表示方法本質(zhì)上是等效的，只是符號上有差異，用方框圖表示較為明顯直觀，用信號流圖表示則更加簡單方便。圖7.1.1基本運算單元的流圖表示

2.流圖的有關(guān)術(shù)語

信號流圖由節(jié)點和有向支路組成。在圖7.1.1(b)的信號流圖中，圓點表示節(jié)點，和每個節(jié)點連接的有輸入支路和輸出支路，支路上的箭頭表示信號流動方向。寫在箭頭旁邊的z－1或系數(shù)a稱為支路增益，如果箭頭旁邊沒有標明增益符號，則表示支路增益是1。用指向一個節(jié)點的兩個箭頭表示兩個變量相加。沒有輸入箭頭的節(jié)點稱為源節(jié)點或輸入節(jié)點，沒有輸出箭頭或輸出箭頭不指向其它節(jié)點的節(jié)點稱

為輸出節(jié)點。每個節(jié)點表示一個信號，節(jié)點處的信號稱為節(jié)點變量，每個節(jié)點可以同時含有幾條輸入支路和幾條輸出支路，節(jié)點變量等于所有輸入支路信號之和。因此，整個運算結(jié)構(gòu)完全可用三種基本運算支路組成。圖7.1.2表示了濾波器的信號流圖。圖7.1.2(a)中有5個節(jié)點，其中x是輸入節(jié)點，y是輸出節(jié)點，w1、w2、w3稱為混合節(jié)點。此外，信號流圖中還有通路與環(huán)路，通路是指從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點之間沿著箭頭方向的一串連續(xù)的支路，如圖7.1.2(a)中的x→w1→y、x→w1→w2→y和x→w1→w2→w3→y均為通路。通路的增益是該通路上各支路增益的乘積，例如上述三條通路的增益分別為b0、b1z－1和b2z－2。環(huán)路是指從一個節(jié)點出發(fā)沿著箭頭方向到達同一個節(jié)點的閉合通路，有環(huán)路意味著系統(tǒng)中存在反饋。圖7.1.2(a)中有兩個環(huán)路w1→w2→w1和w1→w2→w3→w1，其增益分別為a1z－1和a2z－2。圖7.1.2信號流圖實例

3.基本信號流圖的條件

不同的信號流圖代表不同的運算方法，而對于同一個系統(tǒng)函數(shù)，可以有很多種信號流圖與之相對應(yīng)。從運算的可實現(xiàn)性考慮，信號流圖必須滿足以下三個條件，稱為基本信號流圖。

(1)信號流圖中所有支路進行的都是基本運算，即支路增益是常數(shù)或者是z－1；

(2)信號流圖中如果有環(huán)路，則環(huán)路中必須存在延遲支路，否則將出現(xiàn)信號w(n)的計算要依賴于w(n)值的悖論狀況，使數(shù)字系統(tǒng)無法實現(xiàn)。

(3)節(jié)點和支路的數(shù)目是有限的。對照上述條件，圖7.1.2(a)的流圖是一個基本信號流圖。而圖7.1.2(b)支路增益不是常數(shù)也不是z－1，不能得出一種具體的算法，所以它不是基本流圖。

4.已知信號流圖求系統(tǒng)函數(shù)

根據(jù)節(jié)點變量等于所有輸入支路信號之和的原則，可列出各個節(jié)點變量方程，推導(dǎo)出輸出與輸入之間的關(guān)系，從而求出網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)。當系統(tǒng)內(nèi)沒有環(huán)路時，只要靠代入法消去中間變量就很容易解出。如果系統(tǒng)內(nèi)存在環(huán)路，就要進行等式兩端的移項合并。

例7.1.1求出圖7.1.2(a)信號流圖的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

解依圖7.1.2(a)可列出各節(jié)點方程為將上式進行Z變換，得到將上式進行聯(lián)立求解，得到

因此得到系統(tǒng)函數(shù)為

當網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)復(fù)雜時，上面利用節(jié)點變量方程聯(lián)立求解的方法較麻煩，可以用梅森公式(參考有關(guān)教材)求系統(tǒng)函數(shù)。對于同一個差分方程或系統(tǒng)函數(shù)，可能有若干不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，但不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)會影響系統(tǒng)的精度、誤差、穩(wěn)定性、經(jīng)濟性以及運算速度等重要的性能。在研究FFT算法時已經(jīng)看到過，同樣的DFT運算，改變計算結(jié)構(gòu)對提高計算效率和節(jié)省存儲量有很大的影響。此外，在有限精度(有限字長)情況下，不同運算結(jié)構(gòu)的誤差、穩(wěn)定性是不同的。因此，對濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的研究對于濾波器設(shè)計與實現(xiàn)是非常重要和有意義的。 7.2

IIR數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

IIR網(wǎng)絡(luò)的特點是信號流圖中含有反饋支路，即含有環(huán)路，其單位脈沖響應(yīng)是無限長的?；揪W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有三種，即直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型。

(1)直接型，即以直接形式實現(xiàn)差分方程的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。這種濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可分為兩個部分，即極點部分和零點部分。根據(jù)兩部分運算的先后，有兩種實現(xiàn)形式，即直接Ⅰ型和直接Ⅱ型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

(2)級聯(lián)型，即分別把系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子分母因式分解成二階子系統(tǒng)。每個二階子系統(tǒng)都以直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，整個系統(tǒng)函數(shù)由分子分母多個二階子系統(tǒng)的級聯(lián)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。

(3)并聯(lián)型，即把系統(tǒng)函數(shù)H(z)用部分分式展開，合并共軛項，使之成為二階子系統(tǒng)的和。每一子系統(tǒng)用直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，整個系統(tǒng)函數(shù)以子系統(tǒng)的并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。

本節(jié)將簡單討論這些形式。7.2.1

IIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

1.直接Ⅰ型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

將N階差分方程重寫如下：

為了簡化討論，設(shè)M=N=2，其系統(tǒng)函數(shù)如下：(7.2.2)(7.2.1)按照差分方程可以直接畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖7.2.1(a)所示，這種信號流圖叫做直接Ⅰ型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。圖中，先實現(xiàn)系統(tǒng)的零點，對應(yīng)H(z)的分子部分，用H1(z)表示，后實現(xiàn)系統(tǒng)的極點，對應(yīng)H(z)的分母部分，用H2(z)表示，然后把兩部分級聯(lián)起來，即H(z)=H1(z)·H2(z)。需要注意的是，H2(z)是反饋結(jié)構(gòu)，各支路的增益應(yīng)是－ak。圖7.2.1

IIR網(wǎng)絡(luò)的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

2.直接Ⅱ型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

一個線性時不變系統(tǒng)，若交換其級聯(lián)子系統(tǒng)的次序，系統(tǒng)函數(shù)是不變的，也就是說總的輸入輸出關(guān)系不改變，即H(z)=H2(z)·H1(z)。按照這種思路，將圖7.2.1(a)中兩部分流圖交換位置，如圖7.2.1(b)所示。該圖中節(jié)點變量w1=w2，因此前后兩部分的延時支路可以合并，形成如圖7.2.1(c)所示的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)流圖，我們將圖7.2.1(c)所示的這類流圖稱為直接Ⅱ型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。注意，從輸入輸出的觀點看，這兩種直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是等價的，但在內(nèi)部，它們的信號是不同的。由于直接Ⅱ型比直接Ⅰ型節(jié)省延時單元，用硬件實現(xiàn)可以節(jié)省寄存器，若用軟件實現(xiàn)則可節(jié)省存儲單元。因此，通常IIR的直接型是指直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)。

例7.2.1設(shè)IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為

畫出該濾波器的直接Ⅱ型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

解按照H(z)表達式，先畫分母部分，再畫分子部分，直接畫出直接Ⅱ型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖7.2.2所示。圖7.2.2例7.2.1圖

3.IIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特點

直接Ⅱ型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)所需延時單元少，但由于反饋環(huán)路是套在一起的，如果計算有誤差，這些誤差容易通過反饋進行積累，造成誤差較大。另外，在前面已介紹過，濾波器特性取決于系統(tǒng)零極點的分布，而極點取決于系統(tǒng)函數(shù)分母部分的系數(shù)，如果有多個極點，就有多個反饋系數(shù)，只要調(diào)整一個系數(shù)，多個極點位置都會變化。系統(tǒng)函數(shù)分子部分的系數(shù)決定其零點位置，調(diào)整時也存在同樣問題。直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不容易進行調(diào)試，因而一般只用一階或者二階結(jié)構(gòu)，也就是說，反饋系數(shù)最多有兩個。對于更高階的，可以用下面的級聯(lián)型和并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。7.2.2

IIR級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

IIR級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的實現(xiàn)方法，是通過對H(z)的分子、分母多項式分別進行因式分解，將H(z)分解為零-極點形式，即(7.2.3)式中，A是常數(shù)；ck和dk分別表示零點和極點。由于多項式的系數(shù)是實數(shù)，ck和dk是實數(shù)或者是共軛成對的復(fù)數(shù)。將共軛成對的零點(極點)放在一起，形成一個實系數(shù)的二階因子。如果把單實根因子看做二階因子的特例，則系統(tǒng)函數(shù)H(z)可以分解成實系數(shù)二階因子的級聯(lián)形式，如下式：

式中，β0i、β1i、β2i、α1i和α2i均為實數(shù)。每個Hi(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)均采用前面介紹的直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)，則可以得到系統(tǒng)函數(shù)H(z)的級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖7.2.3所示。(7.2.4)圖7.2.3

IIR網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

例7.2.2設(shè)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式：

試畫出其級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

解將H(z)的分子、分母進行因式分解，得到

為減少單位延遲的數(shù)目，將一階的分子、分母多項式組成一個一階網(wǎng)絡(luò)，二階的分子、分母多項式組成一個二階網(wǎng)絡(luò)，畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)流圖如圖7.2.4所示。圖7.2.4例7.2.2圖級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中每一個一階網(wǎng)絡(luò)決定一個零點、一個極點，每一個二階網(wǎng)絡(luò)決定一對零點、一對極點。在式(7.2.4)中，調(diào)整β0i、β1i和β2i三個系數(shù)可以改變一對零點的位置，調(diào)整α1i和α2i可以改變一對極點的位置。因此，相對直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，調(diào)整方便是其優(yōu)點。此外，級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，后面的網(wǎng)絡(luò)輸出不會再反饋到前面，運算誤差的積累相對直接型也小。7.2.3

IIR并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

IIR并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的實現(xiàn)方法，是將系統(tǒng)函數(shù)H(z)展開成部分分式之和的形式，即

式中，A是常數(shù)；β0i、β1i、α1i和α2i均為實數(shù)。每個Hi(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)采用前面介紹的直接Ⅱ型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，則可以得到系統(tǒng)函數(shù)H(z)的并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖7.2.5所示。(7.2.5)圖7.2.5

IIR網(wǎng)絡(luò)的并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

例7.2.3畫出例題7.2.2中H(z)的并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

解將例7.2.2中H(z)展開成部分分式形式：

將每一部分用直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，其并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖7.2.6所示。圖7.2.6例7.2.3圖在這種并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，每一個一階網(wǎng)絡(luò)決定一個實數(shù)極點，每一個二階網(wǎng)絡(luò)決定一對共軛極點，所以調(diào)整極點位置方便，但調(diào)整零點位置不如級聯(lián)型方便。另外，各個基本網(wǎng)絡(luò)是并聯(lián)的，產(chǎn)生的運算誤差互不影響，不像直接型和級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)那樣有誤差積累，因此并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)運算誤差最小。由于基本網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)，可同時對輸入信號進行運算，因此并聯(lián)型與直接型和級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相比較，其運算速度最高。 7.3

FIR數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特點是沒有反饋支路，即沒有環(huán)路，其單位脈沖響應(yīng)是有限長的。FIR的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有四種，即直接型、級聯(lián)型、線性相位型和頻率采樣型。

(1)直接型。這種結(jié)構(gòu)形式以直接實現(xiàn)差分方程而得名。

(2)級聯(lián)型。這種結(jié)構(gòu)把系統(tǒng)函數(shù)H(z)因式分解成多個二階子系統(tǒng)。每個二階子系統(tǒng)都以直接形式實現(xiàn)，整個系統(tǒng)函數(shù)由二階子系統(tǒng)的級聯(lián)實現(xiàn)。

(3)線性相位型。當FIR濾波器具有線性相位特性時，其單位脈沖響應(yīng)具有對稱性，利用這種對稱關(guān)系，能將乘法計算量縮減一半。

(4)頻率采樣型。這種結(jié)構(gòu)基于脈沖響應(yīng)h(n)的DFT，也可以基于頻率的樣本H(ωk)，其結(jié)果可以形成一個并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

本節(jié)將分別介紹這些網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

7.3.1

FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

設(shè)單位脈沖響應(yīng)h(n)長度為N，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)和差分方程分別為(7.3.2)(7.3.1)按照H(z)或者差分方程直接畫出直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖7.3.1所示。由于差分方程是單位脈沖和輸入信號的卷積，因此這種結(jié)構(gòu)也可稱為卷積型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中延時支路相互串聯(lián)，稱為延時線。延時線上有N個抽頭，分別連接乘法器，乘法器相乘的系數(shù)就是單位脈沖響應(yīng)。

由圖7.3.1可知，長度為N的FIR濾波器直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)需要N－1個單位延時器、N個乘法器、N－1個加法器。圖7.3.1

FIR網(wǎng)絡(luò)的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)7.3.2

FIR級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

將H(z)進行因式分解，并將共軛成對的零點放在一起，形成一個系數(shù)為實數(shù)的二階形式：

由式(7.3.3)可以得到FIR系統(tǒng)的級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，其中每一個因式都用直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，如圖7.3.2所示。(7.3.3)圖7.3.2

FIR并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

例7.3.1設(shè)FIR網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式：

H(z)=0.96+2.0z－1+2.8z－2+1.5z－3

畫出H(z)的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

解將H(z)進行因式分解，得到

H(z)=(0.6+0.5z－1)(1.6+2z－1+3z－2)

其級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖7.3.3所示。圖7.3.3例7.3.1圖級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)每一個一階因子控制一個零點，每一個二階因子控制一對共軛零點，因此調(diào)整零點位置比直接型方便，但H(z)中的系數(shù)比直接型多，因而需要的乘法器多。在例7.3.1中，直接型需要四個乘法器，而級聯(lián)型則需要五個乘法器，如果分解的因子愈多，需要的乘法器也愈多。另外，當H(z)的階次較高時，也不易分解。因此，普遍應(yīng)用的是直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。7.3.3線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

由第6章可知，當h(n)是實序列，且關(guān)于 偶對稱，即h(n)=h(N－n－1)時，F(xiàn)IR濾波器具有第一類線性相位；當h(n)是實序列，且關(guān)于 奇對稱，即h(n)=－h(huán)(N－n－1)時，F(xiàn)IR濾波器具有第二類線性相位。

設(shè)N為偶數(shù)，則有(7.3.4)令m=N－n－1，則有

因為

h(n)=±h(N－n－1)

(7.3.6)

式中“+”代表第一類線性相位，“－”代表第二類線性相位。(7.3.7)(7.3.5)

如果N為奇數(shù)，則將中間項 單獨列出，有

我們知道，對于FIR濾波器的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖7.3.1所示，圖中共需要N個乘法器，但對于線性相位FIR濾波器，N為偶數(shù)時，按照式(7.3.7)僅需要N／2次乘法，節(jié)約乘法器一半。如果N為奇數(shù)，按照式(7.3.8)，則需要(N+1)／2個乘法器，也節(jié)約了近一半。(7.3.8)下面舉例說明。對于第一類線性相位，設(shè)N=4，則h(0)=h(3)，h(1)=h(2)，帶入式(7.3.7)，可得

按照上面公式，畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖7.3.4(a)所示，它的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖7.3.4(b)所示。(7.3.9)圖7.3.4第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(N=4)如果N=5，則h(0)=h(4)，h(1)=h(2)，帶入式(7.3.8)，可得

按照上面公式，畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖7.3.5(a)所示，它的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖7.3.5(b)所示。(7.3.10)圖7.3.5第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(N=5)同理，可畫出第二類線性相位時，N=4的線性網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖7.3.6(a)所示，N=5的線性網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖7.3.6(b)所示。圖7.3.6第二類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)7.3.4頻率采樣型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

由頻率采樣定理可知，對有限長序列h(n)的Z變換H(z)在單位圓上作N點的等間隔采樣，可得頻率采樣序列H(k)，H(k)的IDFT所對應(yīng)的時域信號hN(n)是原序列h(n)以采樣點數(shù)N為周期進行周期延拓的結(jié)果。當N大于等于原序列h(n)長度M時，hN(n)=h(n)，不會發(fā)生信號失真，此時H(z)可以用頻率采樣序列H(k)內(nèi)插得到，內(nèi)插公式如下：(7.3.11)則有

其中(7.3.12)(7.3.13)(7.3.14)式(7.3.12)為FIR濾波器的頻率采樣型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。第一部分Hc(z)的頻率響應(yīng)為

其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和幅頻特性如圖7.3.7所示，Hc(z)是一個由N階延時單元組成的梳狀濾波器，它在單位圓上有N個等間隔的零點。第二部分是N個一階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)，每個一階網(wǎng)絡(luò)在單位圓上有一個極點，這N個極點正好和第一部分梳狀濾波器的N個零點相抵消，從而使H(z)在這些頻率上的響應(yīng)等于H(k)。(7.3.15)圖7.3.7梳狀濾波器結(jié)構(gòu)及頻率響應(yīng)幅度頻率采樣型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是由梳狀濾波器Hc(z)和N個一階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)進行級聯(lián)而成的，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖7.3.8所示。圖7.3.8

FIR濾波器頻率采樣型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)頻率域采樣型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有兩個突出優(yōu)點：

(1)一階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)中乘法器的系數(shù)H(k)就是濾波器在 處的響應(yīng)，因此，只要調(diào)整H(k)，就可以直接控制濾波器的頻率響應(yīng)特性。

(2)只要濾波器的階數(shù)N相同，對于任何頻率響應(yīng)形狀，其梳狀濾波器部分和N個一階網(wǎng)絡(luò)部分結(jié)構(gòu)完全相同，只是各支路增益H(k)不同。因此頻率采樣型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)便于標準化、模塊化。然而，該網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)也有兩個缺點：

(1)系統(tǒng)穩(wěn)定是靠位于單位圓上的N個零點和極點對消來保證的。如果濾波器的系數(shù)稍有誤差，可能使零點和極點不能完全對消，此時若未對消的極點位于單位圓外，就會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(2)頻率采樣型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，H(k)和

一般為復(fù)數(shù)，要求乘法器完成復(fù)數(shù)乘法運算，這對硬件實現(xiàn)是不方便的。

為了克服上述缺點，對頻率采樣型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)作以下修正。

首先將單位圓上的零點和極點向單位圓內(nèi)收縮一點，收縮到半徑為r的圓上，取r<1且r≈1。此時H(z)為

式中，Hr(k)是在半徑為r的圓上對H(z)的N點等間隔采樣之值。由于r≈1，所以可以近似取Hr(k)≈H(k)。這樣一來，零點和極點均為 ，k=0，1，2，…，N－1。如果由于某種原因，零點和極點不能抵消時，極點位置仍在單位圓內(nèi)，保持系統(tǒng)穩(wěn)定。(7.3.16)另外，由于實際濾波器總是實系數(shù)的，因此，可以利用實序列DFT的共軛對稱性H(k)=H*(N－k)和旋轉(zhuǎn)因子的對稱性 ，將成對的共軛極點結(jié)合起來，即將Hk(z)和HN－k(z)合并為一個二階網(wǎng)絡(luò)，并記為Hk(z)，則(7.3.17)式中

顯然，二階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)的系數(shù)都為實數(shù)，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖7.3.9(a)所示。當N為偶數(shù)時，H(z)可表示為

式中，H(0)和 為實數(shù)。(7.3.18)當N為奇數(shù)時，只有一個采樣值H(0)為實數(shù)，H(z)可表示為

為了區(qū)別式(7.3.11)所描述的頻率采樣型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，將式(7.3.18)和(7.3.19)所描述的頻率采樣網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)稱為頻率采樣修正網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

圖7.3.9(b)畫出了當N為偶數(shù)時的頻率采樣修正網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，其由 個二階網(wǎng)絡(luò)和兩個一階網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)構(gòu)成；當N為奇數(shù)時的修正結(jié)構(gòu)由一個一階網(wǎng)絡(luò)和 個二階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)構(gòu)成。(7.3.19)圖7.3.9頻率采樣修正網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)由圖7.3.8可見，當采樣點數(shù)N很大時，其結(jié)構(gòu)很復(fù)雜，需要的乘法器和延時單元很多。但對于窄帶濾波器，大部分頻率采樣值H(k)為零，從而使二階網(wǎng)絡(luò)個數(shù)大大減少。所以頻率采樣型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)適用于窄帶濾波器。

7.4格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

上面介紹了IIR和FIR濾波器的各種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，下面介紹一種新的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式，即格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是1973年由Gay和Markel提出的，事實證明，這是一種很有用的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，在功率譜估計、語音信號處理、自適應(yīng)濾波等方面已得到廣泛應(yīng)用。本節(jié)分別介紹全零點系統(tǒng)、全極點系統(tǒng)和零-極點系統(tǒng)的格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。7.4.1全零點格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

一個M階的FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)可寫為

其中，系數(shù)表示M階FIR濾波器的第i個系數(shù)，式中假定H(z)的首項系數(shù)h(0)=1。如用FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，有M個參數(shù)或h(i)(i=1，2，…，M)，共需M次乘法，M次延遲。而其對應(yīng)的全零點格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)則如圖7.4.1所示。(7.4.1)圖7.4.1全零點系統(tǒng)(FIR系統(tǒng))的格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)由圖7.4.1可見，全零點格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)沒有反饋通路，所以是一個典型的FIR系統(tǒng)。該結(jié)構(gòu)由M個如圖7.4.2所示的格型基本單元級聯(lián)組成；共有M個參數(shù)ki(i=1，2，…，M)，通常稱ki為反射系數(shù)；實現(xiàn)該結(jié)構(gòu)時共需2M次乘法，M次延遲。圖7.4.2全零點系統(tǒng)(FIR系統(tǒng))的格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)基本傳輸單元由圖7.4.2可得基本單元的輸入輸出關(guān)系為：

fm(n)=fm－1(n)+kmgm－1(n－1)，m=1，2，…，M

(7.4.2a)

gm(n)=kmfm－1(n)+gm－1(n－1)，m=1，2，…，M

(7.4.2b)

式中，fm－1(n)和gm－1(n)分別表示第m個基本單元的上、下端的輸入序列；fm(n)和gm(n)分別表示第m個基本單元的上、下端的輸出序列。并且由圖7.4.1可得

f0(n)=g0(n)=x(n)

(7.4.3a)

fM(n)=y(n)

(7.4.3b)

為了分析方便，定義Bm(z)和分別為由輸入端到第m個基本傳輸單元上、下端所對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)，則有

Bm(z)是Bm－1(z)再級聯(lián)一個基本單元后得到的更高一級的FIR系統(tǒng)，因此格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有著模塊化的結(jié)構(gòu)形式。特別地，當m=M時，BM(z)=B(z)。(7.4.4b)(7.4.4a)下面討論FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和全零點格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

1.Bm(z)與Bm－1(z)的遞推關(guān)系

對式(7.4.2a)和式(7.4.2b)取Z變換，可得

Fm(z)=Fm－1(z)+kmz－1Gm－1(z)

(7.4.5a)

Gm(z)=kmFm－1(z)+z－1Gm－1(z)

(7.4.5b)

先將式(7.4.5a)除以F0(z)，再代入式(7.4.4a)，可得高階與低階之間的遞推關(guān)系為(7.4.6b)(7.4.6a)同理，可得低階與高階之間的遞推關(guān)系為

下面再將這四個關(guān)系式加以推導(dǎo)，得出Bm(z)與Bm－1(z)的相互遞推關(guān)系。

由式(7.4.4)式及圖7.4.1，有(7.4.7b)(7.4.7a)代入式(7.4.6a)和式(7.4.6b)，令m=1，可得

也就是滿足

同樣，令m=2，3，…，M，代入式(7.4.6a)和式(7.4.6b)，則有(7.4.8b)(7.4.8a)(7.4.9)(7.4.10)將式(7.4.10)分別代入式(7.4.6a)、式(7.4.7a)，可得

這是兩個重要的從低階到高階或從高階到低階的遞推關(guān)系。注意，BM(z)=B(z)，即包含有M階FIR系統(tǒng)的B(z)。(7.4.11b)(7.4.11a)

2.格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)km與直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)各系數(shù)的關(guān)系

將式(7.4.4a)的 以及 分別代入式(7.4.11a)和式(7.4.11b)，利用待定系數(shù)法可分別得到兩組遞推關(guān)系：(7.4.12)(7.4.13)以上兩式中，i=1，2，…，m－1；m=1，2，…，M。

3.由直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換到全零點格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

當給出H(z)=B(z)=BM(z)時，則要按以下步驟求出k1，k2，…，kM：

(1)由式(7.4.12)求出

。

(2)從式(7.4.13)，由kM及系數(shù) 求出BM－1(z)的系數(shù) ，或者由式(7.4.11b)直接求出BM－1(z)，則

。

(3)重復(fù)(2)，可全部求出kM，kM－1，…，k1，BM－1(z)，…，B1(z)。

例7.4.1一個FIR濾波器的零點分別在0.9e±jπ/3及0.8，求其格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

解

H(z)=B(z)=(1－0.9z－1ejπ/3)(1－0.9z－1e－jπ/3)(1－0.8z－1)

=1－1.7z－1+1.53z－2－0.648z－3

由式(7.4.1)可得

由式(7.4.12)得到

根據(jù)式(7.4.13)可得因而

B2(z)=1－1.221453z－1+0.738498z－2

同樣可得

最后畫出三階格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖7.4.3所示。圖7.4.3例7.4.1的全零點FIR濾波器的格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

4.由全零點格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換到直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

若已知全零點格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)k1，k2，…，kM，可利用式(7.4.12)求出直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的系數(shù)。其步驟如下：

(1)根據(jù) ，求出 。

(2)根據(jù) ，令m=2，i=1，求出 。

(3)重復(fù)(2)，逐步令m=3，…，M和i=1，2，…，m－1，可求出所有的 。

(4)根據(jù) ，寫出直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的系數(shù)h(i)，i=0，1，…，M。

例7.4.2假設(shè)三階全零點格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)為：

，試求出相應(yīng)的FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的系數(shù)。

解

N=3，由式(7.4.12)可得最后得到

7.4.2全極點格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

全極點IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)可表示為

其中，系數(shù)表示M階全極點IIR濾波器的第i個系數(shù)。與式(7.4.1)比較可見，A(z)是FIR系統(tǒng)，因此全極點IIR系統(tǒng)H(z)是全零點FIR系統(tǒng)A(z)的逆系統(tǒng)。(7.4.14)求該逆系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)流圖的步驟如下：

(1)將輸入至輸出無延時的直通通路反向，該通路的常數(shù)增益為原常數(shù)增益的倒數(shù)(此處b0為1)。

(2)所有指向新直通通路各節(jié)點的所有增益乘以－1。

(3)交換輸入與輸出位置。

(4)按照習慣再畫出輸入在左、輸出在右的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)流圖。

按照求逆系統(tǒng)的方法，由圖7.4.1得到如圖7.4.4所示的全極點格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。圖7.4.4全極點IIR系統(tǒng)的格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)由圖可見，全極點格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是由M個如圖7.4.5所示的格型基本單元級聯(lián)組成的。圖7.4.5全極點IIR系統(tǒng)格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的基本單元由圖7.4.5可得基本單元的輸入輸出關(guān)系為

fm－1(n)=fm(n)－kmgm－1(n－1)，m=1，2，…，M

(7.4.15a)

gm(n)=kmfm－1(n)+gm－1(n－1)，m=1，2，…，M

(7.4.15b)

式中，fm(n)和gm－1(n)分別表示第m個基本單元的上、下端的輸入序列；fm－1(n)和gm(n)分別表示第m個基本單元的上、下端的輸出序列。并且由圖7.4.4可得

x(n)=fM(n)

(7.4.16a)

f0(n)=g0(n)=y(n)

(7.4.16b)由于兩種結(jié)構(gòu)中最基本的差分方程式(7.4.2)與式(7.4.15)是相同的，所以系數(shù)km以及(i=1，2，…，m；m=1，2，…，M)的求解方法與全零點結(jié)構(gòu)相同，僅將改為。

例7.4.3將下面IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)轉(zhuǎn)換成格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，要求畫出該濾波器的格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)流圖。

解根據(jù)給出的系統(tǒng)函數(shù)可得

由式(7.4.12)得到

根據(jù)式(7.4.13)可得

則

其全極點格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖7.4.6所示。圖7.4.6例7.4.3中IIR系統(tǒng)的格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)7.4.3零-極點格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

具有零-極點的IIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為

通常M≤N。M=N時，IIR系統(tǒng)的格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖7.4.7所示。(7.4.17)圖7.4.7零-極點IIR系統(tǒng)的格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖中c0，c1，…，cM為確定系統(tǒng)函數(shù)零點的梯形系數(shù)。由圖可見：

(1)若k1=k2=…=kM=0，即所有乘k(或－k)處的連線全斷開，則圖7.4.7就變成一個全零點FIR系統(tǒng)的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

(2)若c0=1，c1=c2=…=cM=0，即含c0，c1，…，cM的連線都斷開，那么圖7.4.7就變成全極點IIR系統(tǒng)的格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

(3)由上述兩點可知，圖7.4.7的上半部分格型對應(yīng)于全極點系統(tǒng)1/A(z)；下半部分格型對應(yīng)于全零點系統(tǒng)B(z)。因下半部分全零點系統(tǒng)B(z)無反饋，對上半部分無影響，所以反射系數(shù)k1，k2，…，kM仍可按全極點系統(tǒng)的方法求出。但由于上半部分對下半部分有影響，所以這里的ci和全零點系統(tǒng)的bi求法不同，現(xiàn)在的任務(wù)是想辦