機(jī)械控制理論基礎(chǔ) 課件 第6章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

FundamentalsofMechanicalControlTheory機(jī)械控制理論

基礎(chǔ)StabilityAnalysisofControlSystems控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性CHAPTER61本章主要內(nèi)容(MainContents)穩(wěn)定性概念與判穩(wěn)準(zhǔn)則

(DefinitionofStability)勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)(Routh-HurwitzCriterion)乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

(NyquistCriterion)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性(RelativeStabilityofsystems)*根軌跡法(RootLocusMethod)本章總結(jié)21.穩(wěn)定性的概念6.1穩(wěn)定性概念與判穩(wěn)準(zhǔn)則系統(tǒng)在受到外界干擾作用時(shí)，其被控制量將偏離平衡位置，當(dāng)這個干擾作用去除后，若系統(tǒng)在足夠長的時(shí)間內(nèi)能夠恢復(fù)到其原來的平衡狀態(tài)或者趨于一個給定的新的平衡狀態(tài)，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。3（a）穩(wěn)定（b）臨界（c）不穩(wěn)定4線性系統(tǒng)穩(wěn)定與否，取決于系統(tǒng)內(nèi)部條件，而與輸入或擾動無關(guān)。（非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是與輸入有關(guān)的）控制理論所討論的穩(wěn)定性其實(shí)都是指自由振蕩下（即輸入為零，而初始狀態(tài)不為零時(shí)）的穩(wěn)定性。初始條件不為零時(shí)引起的初始輸出不為零初始條件為零時(shí)，對系統(tǒng)施加瞬間干擾，即輸入單位脈沖函數(shù)。注意：這里所講的“外界擾動作用”可以分為兩種情況：穩(wěn)定性的例子：戰(zhàn)斗機(jī)，麥克風(fēng)，海灣大橋，單足與雙足機(jī)器人，倒立擺，Segway等等52.判斷穩(wěn)定性的基本準(zhǔn)則對于n階定常線性系統(tǒng)，其微分方程為進(jìn)行拉氏變換后整理得：其中為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)再進(jìn)行拉氏反變換后得到：6穩(wěn)定性就是研究初始狀態(tài)下的輸出情況。上式右邊的第一項(xiàng)即系統(tǒng)在初始狀態(tài)下的輸出。當(dāng)特征方程的根各不相同時(shí)，系統(tǒng)的輸出為

若系統(tǒng)的特征方程的根實(shí)部均為負(fù)值，即Re[si]<0，則零輸入響應(yīng)最終將衰減為零。這樣系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。由此可見：系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)（即其輸入項(xiàng)參數(shù)）對系統(tǒng)的穩(wěn)定性無影響。

7若對線性系統(tǒng)在初始狀態(tài)為零時(shí)輸入單位脈沖函數(shù)，單位脈沖響應(yīng)的形式與零輸入響應(yīng)形式相同。綜上所述，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)的全部特征根都具有負(fù)實(shí)部。即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)均位于[s]平面的左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。這是判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本準(zhǔn)則。隨著時(shí)間t趨于無窮，當(dāng)單位脈沖響應(yīng)趨于零時(shí)，則系統(tǒng)穩(wěn)定。

8[s]平面的劃分：（1）特征根在復(fù)平面的左半平面（包含原點(diǎn)），系統(tǒng)對于干擾的響應(yīng)為衰減振蕩；（2）特征根在虛軸上，系統(tǒng)對于干擾的響應(yīng)為等幅振蕩；（3）特征根在復(fù)平面的右半平面，系統(tǒng)對于干擾的響應(yīng)為擴(kuò)散振蕩。思考：當(dāng)系統(tǒng)有一個、兩個特征根在原點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性？96.2Routh（勞斯）穩(wěn)定性判據(jù)1.系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件如上一節(jié)所述，線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，本質(zhì)上就是確定其特征方程的根在復(fù)平面上的位置分布。它可以采用直接對特征方程求解的形式，但這并不是在任何情況下都容易做到的。Routh和Hurwitz判據(jù)就是采用間接方法確定特征方程根的，它們都是利用特征方程系數(shù)之間的代數(shù)關(guān)系來實(shí)現(xiàn)對特征根位置分布的判斷，因而屬于代數(shù)判據(jù)。下面重點(diǎn)講述Routh判據(jù)。該判據(jù)由英國科學(xué)家E.J.Routh在1877年提出。1011要使全部特征根均具有負(fù)實(shí)部，必須滿足兩個條件，即必要條件：

1）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)ai（a0除外）都不為零。因?yàn)槿粲幸幌禂?shù)為零，則必出現(xiàn)實(shí)部為零的特征根或?qū)嵅坑姓胸?fù)的特征根，此時(shí)系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定或不穩(wěn)定。

2）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)ai的符號都相同。

122.系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（1）Routh數(shù)列13（2）Routh穩(wěn)定性判據(jù)因此，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：特征方程的系數(shù)全為正，且Routh數(shù)列中第一列各元素的符號均為正。若Routh數(shù)表中第一列各元不全為正，則其符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程具有正實(shí)部特征根（即不穩(wěn)定特征根）的個數(shù)。例如：

沒有不穩(wěn)定根（穩(wěn)定）

有一個不穩(wěn)定根（不穩(wěn)定）

有兩個不穩(wěn)定根（不穩(wěn)定）14例1：(1)(2)(3)

（4）一項(xiàng)為負(fù)，不穩(wěn)定缺項(xiàng)，不穩(wěn)定滿足必要條件，可能穩(wěn)定由于特征方程中有一系數(shù)為負(fù)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。Routh數(shù)列滿足充要條件，穩(wěn)定15對于三階系統(tǒng)a3s3+a2s2+a1s+a0=0只要a1a2>a0a3

則系統(tǒng)穩(wěn)定對于二階系統(tǒng)a2s2+a1s+a0=0所有系數(shù)全為正，系統(tǒng)

穩(wěn)定。16例2：Routh數(shù)列：第一列中有兩次符號變化，系統(tǒng)有兩個極點(diǎn)在【s】平面的右半平面，不穩(wěn)定。

17在Routh數(shù)表中某一行的第一個元為零，而其后各元均不為零或部分地不為零，可以用一個很小的正數(shù)ε來代替第一列等于零的元，然后計(jì)算Routh數(shù)表的其余各元。Routh數(shù)表的某一行中的所有元素均為零時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定?？衫迷撔猩弦恍械脑貥?gòu)成一個輔助方程，其解即系統(tǒng)的不穩(wěn)定特征根。3.應(yīng)用Routh判據(jù)的兩種特殊情況18特殊情況:（1）Routh數(shù)表第一列出現(xiàn)零元素例3系統(tǒng)不穩(wěn)定。第一列元素兩次變號，有兩個不穩(wěn)定根。19特殊情況

（2）Routh數(shù)表中某一行全為零例4輔助方程某一行全為零，說明存在對稱于原點(diǎn)的根。系統(tǒng)不穩(wěn)定例520Routh判據(jù)的應(yīng)用：確定穩(wěn)定的參數(shù)范圍解：閉環(huán)特征方程為例5：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的K的取值范圍。21Routh數(shù)列：S3T1T21S2T1+T2KS10S0K0為閉環(huán)穩(wěn)定的條件22例6：已知ξ=0.2，ωn=86.6，試確定K取何值時(shí)，系統(tǒng)方能穩(wěn)定。23解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程為由穩(wěn)定的充要條件可知：0<K<34.6

24例7系統(tǒng)的特征方程

由系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件可知：

25Hurwitz判據(jù)（1895年，德國數(shù)學(xué)家）系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)特征方程：①特征方程的系數(shù)全為正②Hurwitz行列式全為正，即該方法對六階以上系統(tǒng)很少使用。266.3Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)由美籍瑞典人H.Nyquist于1932年提出，在1940年以后得到了廣泛的應(yīng)用。它奠定了頻率法控制理論的基礎(chǔ)，屬于幾何判據(jù)。Routh判據(jù)：利用特征方程系數(shù)之間的代數(shù)關(guān)系判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是代數(shù)判據(jù)?？梢耘袛嘞到y(tǒng)穩(wěn)定與否，給出不穩(wěn)定的特征根的個數(shù)，但不能給出穩(wěn)定或不穩(wěn)定程度的判斷；Nyquist判據(jù)：利用開環(huán)頻率特性的Nyquist圖來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是幾何判據(jù)。不但能判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定與否，給出不穩(wěn)定的特征根的個數(shù)，而且能判斷穩(wěn)定或不穩(wěn)定的程度，并從中找出改善系統(tǒng)性能的途徑。與Routh判據(jù)的比較：27一、基本原理閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定閉環(huán)特征方程的根全部位于[s]平面的左半平面。判斷穩(wěn)定性的基本準(zhǔn)則：閉環(huán)特征方程為：28設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)特征函數(shù)為：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)29（1）A(s)的零點(diǎn)z1,z2…,zn，即為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)GB(s)的極點(diǎn)，亦即系統(tǒng)特征方程的根；（2）A(s)的極點(diǎn)p1,p2…,pn，即為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)的極點(diǎn)；

（3）A(s)的零點(diǎn)個數(shù)與其極點(diǎn)個數(shù)相同。則閉環(huán)特征函數(shù)可表示為：

301.閉環(huán)特征方程、閉環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)特征函數(shù)以及開環(huán)傳遞函數(shù)的關(guān)系為：

線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：其閉環(huán)特征方程1+G(s)H(s)=0的根全部具有負(fù)實(shí)部，即GB(s)在[s]平面的右半平面沒有極點(diǎn)，亦即A(s)在[s]平面的右半平面沒有零點(diǎn)。

312.幅角原理（Cauchy’sTheorem）

對于復(fù)變函數(shù)設(shè)其n個零點(diǎn)（即閉環(huán)特征方程的根）與n個極點(diǎn)（即開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)）均已知，它們在[s]平面上的分布如圖6-5所示。圖中用“○”表示零點(diǎn)，“×”表示極點(diǎn)。

圖6-5[s]平面與A(s)平面的映射關(guān)系

32A(s)在[A(s)]平面上（除有限個奇異點(diǎn)外）為單值的連續(xù)正則函數(shù)。[s]平面上解析點(diǎn)s映射到[A(s)]平面上為點(diǎn)A(s)，或?yàn)閺脑c(diǎn)指向此映射點(diǎn)的向量A(s)。[s]平面上任意選定一封閉曲線，只要此曲線不經(jīng)過A(s)的奇點(diǎn)，則在[A(s)]平面上必有一對應(yīng)的映射曲線，也是一封閉曲線。當(dāng)解析點(diǎn)s按順時(shí)針方向沿變化一周時(shí)，向量A(s)將按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)N周，即A(s)以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)N周，這就等于曲線逆時(shí)針包圍原點(diǎn)N次。33假設(shè)包圍于內(nèi)的A(s)的零點(diǎn)數(shù)為z，包圍于

內(nèi)的A(s)的極點(diǎn)數(shù)為p，則當(dāng)s沿順時(shí)針方向移動一周時(shí)，每個被包圍于的向量(s-zi)與（s-pj）的相位角變化-2π弧度，而其他各向量的相位角變化為零。即向量A(s)的相位角變化為-2π（z-p)，或者說A(s)在[A(s)]平面上沿繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)了（z-p）周。

兩邊同除以，得

所以34即將擴(kuò)展為一條包圍整個[s]右半平面的封閉曲線，而[A(s)]

平面通過坐標(biāo)平移后可轉(zhuǎn)換為GH平面，如下圖。即因此，為閉環(huán)特征方程在[s]右半平面的特征根的個數(shù)；為開環(huán)傳遞函數(shù)在[s]右半平面的極點(diǎn)的個數(shù)；為在GH平面上的開環(huán)頻率特性逆時(shí)針包圍（-1,j0）的圈數(shù)。353.Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)由于閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是A(s)（或1+G(s)H(s)=0）在[s]平面的右半平面沒有零點(diǎn)（或特征根），即所以Nyquist穩(wěn)定判據(jù)為：當(dāng)ω由-∞到+∞變化時(shí)，若[GH]平面上的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)逆時(shí)針方向包圍（-1，j0）點(diǎn)P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。p為G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù)。對于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，有p=0，此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)的乃奎斯特圖不包含（-1，j0）點(diǎn)，即N=0。

364.關(guān)于Nyquist判據(jù)的幾點(diǎn)說明Nyquist判據(jù)并不是在[s]平面而是在[GH]平面判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即根據(jù)G(jω)H(jω)軌跡包圍（-1，j0）點(diǎn)的情況來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Nyquist判據(jù)的證明復(fù)雜，但應(yīng)用簡單。在p=0，即GK(s)在[s]平面的右半平面無極點(diǎn)時(shí)，習(xí)慣稱為開環(huán)穩(wěn)定。否則開環(huán)不穩(wěn)定。開環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)仍可能穩(wěn)定；開環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)也可能不穩(wěn)定。在整個實(shí)數(shù)域內(nèi)開環(huán)Nyquist軌跡對實(shí)軸是對稱的，因?yàn)楫?dāng)-ω變?yōu)?ω時(shí)，G(-jω)H(-jω)與G(jω)H(jω)的模相同，而相位異號。37例8：0型系統(tǒng)二、Nyquist判據(jù)的應(yīng)用38例9：I型系統(tǒng)39例10：II型系統(tǒng)40例11：判斷圖示閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。41積分環(huán)節(jié)數(shù)=1在無窮遠(yuǎn)處順時(shí)針繞半圈；

=2在無窮遠(yuǎn)處順時(shí)針繞一圈；

=3在無窮遠(yuǎn)處順時(shí)針繞一圈半?！罭yquist判據(jù)：是在已知開環(huán)極點(diǎn)在[s]右半平面的個數(shù)p和積分環(huán)節(jié)個數(shù)（這意味著必須已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)）以及Nyquist圖繞(-1,j0)點(diǎn)圈數(shù)N的情況下，求閉環(huán)特征根在[s]右半平面的個數(shù)z。小結(jié)：426.4系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性相對穩(wěn)定性，是對穩(wěn)定或不穩(wěn)定的程度的衡量——以穩(wěn)定裕量表示。幅值穿越頻率幅值裕量：相位裕量：相位穿越頻率43相位裕量幅值裕量系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定為負(fù)值系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定442.Nyquist圖和Bode圖的對應(yīng)關(guān)系Nyquist圖上的單位圓對應(yīng)于Bode圖上的0分貝線確定幅值穿越頻率（剪切頻率）ωcNyquist圖上的負(fù)實(shí)軸相當(dāng)于Bode圖上的-180°線確定相位穿越頻率ωg45穩(wěn)定（ωg＞

ωc

）不穩(wěn)定（ωg<ωc

）46例12低頻轉(zhuǎn)折頻率47關(guān)于相位裕量和幅值裕量的幾點(diǎn)說明：①上述定義是對最小相位系統(tǒng)而言，對非最小相位系統(tǒng)不適用。②衡量一個系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，必須同時(shí)用相位裕量和幅值裕量這兩個指標(biāo)。③適當(dāng)?shù)剡x擇相位裕量和幅值裕量，可以防止系統(tǒng)中參數(shù)變化導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定的現(xiàn)象。一般取。④對于最小相位系統(tǒng)，開環(huán)的幅頻特性和相頻特性有一定的關(guān)系，要求系統(tǒng)具有30°～60°的相位裕量，因此在ωc

處應(yīng)以－20dB/dec斜率穿越為好，因?yàn)樾甭蕿椋?0dB/dec穿越時(shí)，對應(yīng)的相位角在-90°左右。考慮到還有其它因素的影響，就能滿足γ

=30°～60°。⑤一階和二階系統(tǒng)，理論上不可能不穩(wěn)定。但是實(shí)際上其數(shù)學(xué)模型是在忽略了一些次要因素之后建立的，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，比如開環(huán)增益太大，這些系統(tǒng)仍有可能不穩(wěn)定。48例13:496.5

根軌跡方法分析系統(tǒng)性能（TheRootLocusMethod）判斷控制系統(tǒng)穩(wěn)定與否的根本出發(fā)點(diǎn)是判斷閉環(huán)特征方程的根在S平面上的位置分布。對于圖示閉環(huán)控制系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)增益50當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)增益K=0~∞或根軌跡增益K*=0~∞變化時(shí)，1+G(s)H(s)=0的根在s平面上的移動軌跡，即為根軌跡（RootLocus）。根軌跡方法由伊凡思（W.R.Evans）在1948年提出。該方法對于控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)很有用也很方便。它指明了開環(huán)零、極點(diǎn)及開環(huán)增益或根軌跡增益變化時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)的變化情況，從而指明了如何調(diào)整開環(huán)零、極點(diǎn)及增益大小來滿足閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)所要求的性能指標(biāo)，可以用于系統(tǒng)的分析與綜合。6.5

根軌跡法分析系統(tǒng)性能根軌跡增益系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)也可以寫為：開環(huán)增益與根軌跡增益關(guān)系：開環(huán)增益51[引例1]

如圖所示的監(jiān)控?cái)z像頭跟蹤系統(tǒng)，跟蹤系統(tǒng)可以監(jiān)控像素變化并驅(qū)動攝像頭定位到變化后的場景中心，其跟蹤控制系統(tǒng)的方框圖如圖b，圖c為閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)。下面討論閉環(huán)極點(diǎn)（即閉環(huán)特征根）在復(fù)平面上的位置隨著K值（即根軌跡增益）改變而變化的情況

開環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：

52其閉環(huán)特征方程：的解為

當(dāng)K取不同值時(shí)的閉環(huán)特征根如下表所示，其在復(fù)平面的位置如右下圖示53將K取不同值時(shí)的閉環(huán)特征根變化軌跡連起來形成的根軌跡如下圖：當(dāng)K=0時(shí)，根軌跡分別起始于0，-10，此時(shí)系統(tǒng)為過阻尼情況；當(dāng)K=25時(shí)，根軌跡在-5，此時(shí)系統(tǒng)為臨界阻尼情況；當(dāng)K>25時(shí)，根軌跡從實(shí)軸的-5處分別垂直向上和向下走，此時(shí)系統(tǒng)為欠阻尼情況從根軌跡的變化可以得到結(jié)論：無論K如何變化，該二階系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，但瞬態(tài)性能有變化，其變化規(guī)律？54由根軌跡定義，根軌跡上的每一點(diǎn)都滿足方程：1.

基本原理（BasicPrinciple）或即幅值條件只要同時(shí)滿足幅值條件和相位條件的s值就是閉環(huán)特征方程的根，也即閉環(huán)極點(diǎn)相位條件（6-38）

（6-39）

（6-40）

（6-41）

55根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡的分支數(shù)實(shí)軸上的根軌跡段根軌跡的漸近線根軌跡的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)根軌跡在無窮遠(yuǎn)處的狀態(tài)根軌跡離開復(fù)極點(diǎn)或進(jìn)入復(fù)零點(diǎn)時(shí)的出射角或入射角根軌跡穿過虛軸的點(diǎn)繪制根軌跡時(shí)，并不需要在s平面上找很多點(diǎn)描繪其精確曲線，而是根據(jù)根軌跡的一些特征進(jìn)行近似作圖。這些特征包括：下面我們根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)和閉環(huán)特征方程的根之間的關(guān)系，給出反映以上特征的根軌跡作圖法則。2.

根軌跡作圖（BasicrulesforRootLocus）56法則1.根軌跡對稱于實(shí)軸。這一點(diǎn)很容易理解，因?yàn)殚]環(huán)極點(diǎn)若為實(shí)數(shù)，則必定位于實(shí)軸上；若為復(fù)數(shù)，則一定是以共軛復(fù)數(shù)成對出現(xiàn)，所以根軌跡必然對稱于實(shí)軸。法則2.根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)（起始點(diǎn)對應(yīng)于K或K*＝0），終止于開環(huán)零點(diǎn)（終止點(diǎn)對應(yīng)于K或K*＝∞）。若開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m少于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，則有（n-m)條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處。法則3.根軌跡的分支數(shù)等于閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)n（亦即開環(huán)極點(diǎn)數(shù)，系統(tǒng)階數(shù)）。這可以由根軌跡的幅值條件來證明：當(dāng)時(shí)，只有令s取p1，p2，…，pn的值才能滿足；當(dāng)時(shí)，只有令s取z1，z2，…，zm的值才能滿足。2.

根軌跡作圖（BasicrulesforRootLocus）57例1：例2：如何判斷s平面上某點(diǎn)是否在根軌跡上？例如s=-2±j358法則4.實(shí)軸上根軌跡區(qū)段右側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)的總數(shù)應(yīng)為奇數(shù)。此結(jié)論可用相位條件來說明。

由于復(fù)數(shù)零點(diǎn)和復(fù)數(shù)極點(diǎn)均為共軛的，因此它們與s點(diǎn)形成的矢量的相位角大小相等，符號相反，對相位沒有影響。而位于s點(diǎn)左側(cè)的零、極點(diǎn)到s點(diǎn)的矢量，其相位角總是為零，只有位于s點(diǎn)右側(cè)的零、極點(diǎn)到s點(diǎn)的矢量，其相位角才是-π，因此根據(jù)相位條件，只有當(dāng)實(shí)軸上根軌跡區(qū)段右側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)總數(shù)為奇數(shù)時(shí)，才能符合根軌跡的相位條件。2.

根軌跡作圖（BasicrulesforRootLocus）59例6-16已知開環(huán)傳遞函數(shù)，請畫出K*從0～∞變化時(shí)的根軌跡。

解：系統(tǒng)有三個開環(huán)極點(diǎn)：兩個開環(huán)零點(diǎn)：60法則5.當(dāng)K或K*→∞時(shí)，有（n-m）條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)處，這些根軌跡的漸近線和實(shí)軸正方向的夾角α稱為漸近角，并且（6-44）

其中k依次取0，±1，±2，…直到獲得（n-m）個夾角為止。而根軌跡漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)位于開環(huán)零、極點(diǎn)的重心處，由下式?jīng)Q定：（6-45）

2.

根軌跡作圖（BasicrulesforRootLocus）證明略

61法則6.根軌跡的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)的坐標(biāo)若用d表示，則其值可由下式給出

①式（6-49）同樣適用于系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)為復(fù)數(shù)的情況；②當(dāng)開環(huán)無零點(diǎn)時(shí)，則式（6-49）中③由式（6-49）解出的值，并非都是根軌跡上的點(diǎn)，因此必須舍棄不在根軌跡上的值；④由于根軌跡的共軛對稱性，根軌跡的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)或位于實(shí)軸上，或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)對。（6-49）2.

根軌跡作圖（BasicrulesforRootLocus）說明：62如果根軌跡位于相鄰的開環(huán)極點(diǎn)之間，則在這兩個極點(diǎn)之間至少存在一個分離點(diǎn)。如果根軌跡位于實(shí)軸上兩個相鄰的零點(diǎn)（其中一個零點(diǎn)可以位于）之間，則在這兩個相鄰的零點(diǎn)之間至少存在一個會合點(diǎn)。如果根軌跡位于實(shí)軸上一個開環(huán)極點(diǎn)與一個開環(huán)零點(diǎn)（有限零點(diǎn)或無限零點(diǎn)）之間，則在這兩個相鄰的極、零點(diǎn)之間，或者既不存在分離點(diǎn)也不存在會合點(diǎn)，或者既存在分離點(diǎn)又存在會合點(diǎn)。63例3：漸近角度：漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)：與實(shí)軸分離點(diǎn)：如何求根軌跡與虛軸交點(diǎn)？64法則7.根軌跡自復(fù)數(shù)極點(diǎn)的pi

出射角（即根軌跡在復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角）為根軌跡進(jìn)入復(fù)數(shù)零點(diǎn)的入射角（即根軌跡在復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角）為（6-55）的向量與正實(shí)軸的夾角。

（6-54）式中分別是開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)到所考慮點(diǎn)和2.

根軌跡作圖（BasicrulesforRootLocus）推論：根軌跡離開實(shí)軸或進(jìn)入實(shí)軸時(shí)的出射角或入射角為65例6-18

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)畫其根軌跡圖，并分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：①確定開環(huán)零、極點(diǎn)。開環(huán)傳遞函數(shù)有：2個極點(diǎn)一個零點(diǎn)②確定實(shí)軸上的根軌跡③確定離開復(fù)極點(diǎn)的根軌跡出射角④確定根軌跡進(jìn)入實(shí)軸的匯合點(diǎn)%-----Root-locusPlotofG(s)=K*(s+1)/(s2+2s+3)------num=[012];den=[123];rlocus（num,den）v=[-66-66];axis(v);axis('square‘)gridtitle（'Root-locusPlotofG(s)=K*(s+1)/(s^2+2s+3）')67法則8.當(dāng)根軌跡在s平面的左半平面時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。若根軌跡與虛軸相交，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，其交點(diǎn)處的根（即閉環(huán)特征方程的純虛根）與開環(huán)增益K或根軌跡增益K*可由勞斯穩(wěn)定性判據(jù)或?qū)⒋胩卣鞣匠谭謩e令實(shí)部和虛部等于零求得（為什么？）。2.

根軌跡作圖（BasicrulesforRootLocus）例6-17已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為畫K*變化時(shí)的根軌跡，并求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。開環(huán)傳遞函數(shù)有：4個極點(diǎn)，一個零點(diǎn)，兩種求與虛軸交點(diǎn)和K*的方法68求其與虛軸交點(diǎn)：方法1寫出其勞斯數(shù)列閉環(huán)特征方程解得K*＝160，代入s2行組成的輔助方程，有由第一列中s1項(xiàng)系數(shù)等于零，得：解得。69求其與虛軸交點(diǎn)：方法2將s=jω代入特征方程得閉環(huán)特征方程解得可以得到：分別令其實(shí)部和虛部為零，得K*＝16070例6-18已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）畫K*變化時(shí)的根軌跡，（2）求出根軌跡上阻尼比為0.45的點(diǎn)，及其與虛軸的交點(diǎn)。解：系統(tǒng)有2個開環(huán)極點(diǎn)，2個開環(huán)零點(diǎn)的意義根軌跡與虛軸交點(diǎn)的意義分離點(diǎn)、入射角的計(jì)算71對如圖所示系統(tǒng)，以開環(huán)極點(diǎn)p1為參數(shù)，如何獲得關(guān)于p1變化的根軌跡？此例中開環(huán)傳遞函數(shù)為寫出其閉環(huán)傳遞函數(shù)即將其開環(huán)傳遞函數(shù)改變?yōu)槿缓笞銎涓壽E如圖：723．利用MATLAB工具畫根軌跡利用MATLAB工具可以很方便地畫根軌跡。對于式（6-36）表達(dá)的閉環(huán)特征方程，可以寫成下列形式式中num為分子多項(xiàng)式的系數(shù)從高到低，den為分母多項(xiàng)式的系數(shù)從高到低排列

通常采用下列MATLAB命令畫根軌跡：rlocus（num，den）利用該命令，可以在屏幕上得到畫出的根軌跡圖，增益K*是由程序自動確定的。命令rlocus既適用于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，也適用于離散時(shí)間系統(tǒng)。734.開環(huán)增益或根軌跡增益的計(jì)算對應(yīng)根軌跡上某點(diǎn)si的根軌跡增益值，可以根據(jù)幅值條件式（6-39）來進(jìn)行計(jì)算，即上式表明，與根軌跡上的點(diǎn)相對應(yīng)的根軌跡增益可以利用該點(diǎn)與各開環(huán)零、極點(diǎn)之間的幅值得到，即（6-57）開環(huán)增益K可用下式求出

（6-58）需要注意，使用式（6-58）求開環(huán)增益K時(shí)，不計(jì)坐標(biāo)原點(diǎn)處的開環(huán)零、極點(diǎn)，否則上式無意義。745．控制系統(tǒng)的根軌跡分析如前所述，在已知系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)分布的基礎(chǔ)上，依據(jù)繪制根軌跡的基本法則，可以很方便地繪出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡，并在根軌跡上確定閉環(huán)零、極點(diǎn)的位置，由此可以利用主導(dǎo)極點(diǎn)等概念對系統(tǒng)的動態(tài)性能進(jìn)行分析。根軌跡法特別方便于確定高階系統(tǒng)中某個參數(shù)變化時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)的分布規(guī)律，形象直觀地看出參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響，因此為系統(tǒng)設(shè)計(jì)和性能改善提供了依據(jù)。

例6-19

已知一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試畫出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。無論K在(0，∞)區(qū)間取何值，閉環(huán)系統(tǒng)都不穩(wěn)定75圖6-35例6-19系統(tǒng)附加零點(diǎn)z1=-5時(shí)的根軌跡加零點(diǎn)

z=-5無論K在(0，∞)區(qū)間取何值，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定76圖6-36例6-19系統(tǒng)附加零點(diǎn)z1=-20時(shí)的根軌跡加零點(diǎn)

z=-20閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定77例6-20

已知單位反饋