2022-2023學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：

一、單選題

1.已知集合4=卜€(wěn)口%24i},8={x-y|x,yeA},則AB=（）

A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}

C.{-2,-1,0,1,2}D.{-1,0,1}

2.i是虛數(shù)單位，若言=a+〃（。，/JeR）,則loga（a—6）的值是

A.-1B.1C.0D.-j

3.唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”

詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題一一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳

下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)

系中，設(shè)軍營所在位置為3（-2,0）,若將軍從山腳下的點42,0）處出發(fā)，河岸線所在直

線方程為x+y=3,則“將軍飲馬”的最短總路程為（）

A.4B.5C.5/26D.3亞

4.如圖，在正方體ABCD-ABCD中，E,F分別是CD,CG的中點，則異面直線AE與

BF所成角的余弦值為（）

5.已知數(shù)列{叫為等差數(shù)列，生+4=6,則4+%+%=（）

A.9B.12C.15D.16

6.我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱為“趙爽弦圖”.他用數(shù)形

結(jié)合的方法給出了勾股定理的證明，極富創(chuàng)新意識.“趙爽弦圖”是由四個全等的直角

三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，如圖，若大正方形的面積是25,小正

方形的面積是1,則A￡>.AE=（）

AB

A.16B.15C.12D.9

7.若對函數(shù)/(x)=2x-sinx的圖象上任意一點處的切線函數(shù)g(x)=〃/'+(〃?-2)x

的圖象上總存在一點處的切線4,使得則〃，的取值范圍是()

A.'"JB.(0,|]

C.(-1,0)D.(0,1)

8.已知函數(shù)AM是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，時于任意的實數(shù)x,都有與"=當(dāng)

/(X)

xvO時,/(x)+/,(x)>0,若e"/(2a+l)N/(a+l),則實數(shù)。的取值范圍是()

"2"1「21

A.0,-B.--,0C.[0,+s)D.(-?,0]

二、多選題

9.已知直線4：4x-3y+4=0,/2：(，〃+2)x-(，〃+l)y+2巾+5=0(〃zeR),則()

A.直線4過定點(-2,-1)

B.當(dāng)機=1時，/1±/2

C.當(dāng)根=2時，

D.當(dāng)時，兩直線44之間的距離為1

10.函數(shù)/(x)=sin(0x+“0>O,|0|<5)的部分圖象如圖所示，則()

C.f(x)在區(qū)間(一|,0)上單調(diào)遞增

D.將/(x)的圖象向左平移芻個單位長度后得到y(tǒng)=cos2x的圖象

6

11.下列說法不正確的是()

A.不等式(2x-l)(l-x)<0的解集為｛xg<x<l)

B.已知。：l<x<2,^:log2(x+l)>l,則。是4的充分不必要條件

C.若xeA,則函數(shù)y=4rM+美￡^的最小值為2

D.當(dāng)xeA時，不等式Ax?+日+1>0恒成立，則k的取值范圍是(0,4)

12.正方體ABCQ-A4G2的棱長是2,M.N分別是AB、8c的中點，則下列結(jié)論

正確的是()

A.DtM±B.C

B.以鼻為球心，括為半徑的球面與側(cè)面BCC4的交線長是兀

C.平面QMN截正方體所得的截面周長是a+2月

D.。聲與平面QMN所成的角的正切值是正

三、填空題

9

13.燈△/!弦的兩條直角邊叱3,AO\,PCL平面/8GPO-,則點尸到斜邊18的距

離是.

14.已知數(shù)列｛叫的前〃項和為S,,4=1,a3-4用=4+為3>0),則

15.下列命題中，正確命題的序號是.

①函數(shù)y=sin4x-cos4x的最小正周期是m；

②終邊在y軸上的角的集合是｛a\a=k7r,keZ｝i

③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象與函數(shù)y=x的圖象有3個公共點；

④把函數(shù)丫=3疝(2嗚)的圖象向右平移7個單位長度得到y(tǒng)=3sin2x的圖象.

16.設(shè)“X)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)X20時,f(x)=2x2-x,WJ/(-1)=

四、解答題

17.已知向量OA=(2cosa,/lsina)(2wO),OB=(-sincos/?),其中O為坐標(biāo)原點.

TT

(1)若="且2=1,求向量OA與0B的夾角；

O

(2)若網(wǎng)匐04對任意實數(shù)&,4都成立，求實數(shù)4的取值范圍.

18.甲、乙兩人進行圍棋比賽，比賽要求雙方下滿五盤棋，已知第一盤棋甲贏的概率為

3由于心態(tài)不穩(wěn)，若甲贏了上一盤棋，則下一盤棋甲贏的概率依然為3=,若甲輸了上

44

一盤棋，則下一盤棋甲贏的概率就變?yōu)?.已知比賽沒有和棋，且前兩盤棋都是甲贏.

(1)求第四盤棋甲贏的概率；

(2)求比賽結(jié)束時，甲恰好贏三盤棋的概率.

19.如圖所示，在正四棱柱ABCO-AACQI中，點E，F(xiàn),G分別為棱CG，CD,DD,

的中點.

(1)證明：FG〃平面ABE：

⑵若他=2,〃=3,求平面A成與平面A8AA,夾角的余弦值.

20.已知數(shù)列｛q,｝是公差不為零的等差數(shù)列，4=2,且4，生,對成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛叫的通項公式；

⑵設(shè)4=q-2/，求數(shù)列他,｝的前〃項和S,,.

21.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線)，=丘+1與拋物線C:/=4y交于A,B兩點.

(1)證明：498為鈍角三角形；

(2)若直線/與直線平行，直線/與拋物線C相切，切點為P,且一R記的面積為16,

求直線/的方程.

22.已知函數(shù)/(x)=(x-l)e*-or.

⑴當(dāng)x>-l時，而是y=的一個極值點且/小)=-1,求.%及〃的值；

⑵已知gGbYlnx,設(shè)〃(*)=叫/")+可，若%>1,x2>0,且g(x)=〃(w),

求占-2%的最小值.

參考答案:

1.D

【分析】求得集合4={-1,0,1},結(jié)合集合交集的運算，即可求解.

【詳解】由題意，集合A={xeZ|x241}={-l,0,l},所以集合

3={x-y|x,ywA}={-2,T0,l,2},所以A3={-1,0,1}.

故選：D

2.B

【詳解】試題分析：因為咎=所以由復(fù)數(shù)相等的定義可

l+i?+限—?222

31

知。=1，=y,log,(a-b)=log22=1.選B.

考點：復(fù)數(shù)相等

【名師點睛】本題重點考查復(fù)數(shù)的基本運算和復(fù)數(shù)的概念，屬于基本題.首先對于復(fù)數(shù)

的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,(a,b,c.deR).其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如

復(fù)數(shù)“+砥的實部為。、虛部為匕、模為行不、共軌為楨

3.C

【分析】求出點力關(guān)于直線的對稱點，再求解該對稱點與6點的距離，即為所求.

【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：

因為點A(2,0),設(shè)其關(guān)于直線x+y=3的對稱點為A(A-o,%)

故可得解得%=3,%=1,即A（3,1）

22

故“將軍飲馬”的最短總路程為由固=J(3+2)2+(l-0)2=腐.

試卷第6頁，共19頁

故選：c.

【點睛】本題考查點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)的求解，以及兩點之間的距離公式，屬基

礎(chǔ)題.

4.D

【分析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DDi為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再利

用向量法求出異面直線AE與BE所成角的余弦值.

【詳解】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體ABCD-ABCD中棱長為2E,F分別是CD,CG的中點,

A(2,0,0),E(0,1,2),B(2,2,0),F(0,2,1),

AE=(-2,1,2),BF=(-2,0,1),

設(shè)異面直線AE與BF所成角的平面角為。，

AE'BF=6—述...異面直線AE與BF所成角的余弦值為手.

則cos0

AE\\BF~3S/5~~

故選D.

【點睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理運用，屬于基礎(chǔ)

題.

5.A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)計算可得.

【詳解】解：在等差數(shù)列｛q｝中/+6=2%=6,所以%=3,

所以/+%+%=3%=9；

故選：A

6.A

【分析】設(shè)DE=W=x，根據(jù)勾股定理求得x=3,得出cosNDAE,再根據(jù)數(shù)量積的

定義可求.

【詳解】因為大正方形的面積是25,小正方形的面積是1,??.AO=5,EH=1,

試卷第7頁，共19頁

i^DE=AH=x,貝lj短=4/+即=》+1,

在向△AEQ中，AD2=DE2+AE2,即25=d+(x+l)?,解得x=3或T(舍去)，

r…AE4

/.cosNDAE=---=—

AD5f

.■MDME=|AD|.|A￡|-COSZDA￡=5X4X1=16.

故選：A.

7.D

【分析】求導(dǎo)得到一看范圍A,再分〃?>0,加<0,，〃=0三種情況討論得g'(x)范

圍B,最后根據(jù)條件得A與B包含關(guān)系，計算得到答案.

【詳解】由〃x)=2x—sinx,得尸(x)=2—cosxe[l,3],所以一1w-1,-1=A,

乙一wOo人J

由g(x)=me"+(m-2)x,得g'(x)=mex+m—2.

(1)當(dāng)機>0時，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，/(x)e(/7?-2,4w),

由題意得吃,加,((為必'(々)=-ig‘(w)=-7777AcB

J\^>

故，解得

⑵當(dāng)相<0時，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞減，g'(x)e(-oo,m-2),同理可得，〃-2>-g,與機<0矛

盾，舍去；

(3)當(dāng)加=0時，不符合題意.

綜上所述：川的取值范圍為(0,1).

故選：D.

【點睛】本題考查了函數(shù)的切線問題，根據(jù)直線的位置關(guān)系求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計

算能力和應(yīng)用能力.

8.B

AT)

【分析】由e?,得e"(x)=e-'f(-x),進而令g(x)=e"(x),易知g(x)為偶函數(shù),

,f(x)

再結(jié)合當(dāng)x<0時，/(x)+/'(x)>0得函數(shù)g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，由于不等式

</(2〃+1)2/3+1)轉(zhuǎn)化為/"+了(2。+1)26-'/(4+1),進而根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)解

g(2a+l)2g(a+l)即可.

【詳解】???^^=/工，.?.^^=e"(x)=e-"(-x),

f(x)e'

令g(x)=e"(x),則g(-x)=g(x),即g(x)為偶函數(shù)，

試卷第8頁，共19頁

當(dāng)x<o時〃x)+r(x)>o,

g'(x)=(x)+f(x)]>0,即函數(shù)g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增.

根據(jù)偶函數(shù)對稱區(qū)間上單調(diào)性相反的性質(zhì)可知g(x)在(0,田)上單調(diào)遞減，

???eaf(2a+\)>f(a+\),

：.e2a+'f(2a+\)>e0+'f(a+l),

：.g(2a+l)>g(a+l),即12a+1兇a+11,

2

解得，——<a<0,

故選:B.

【點睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知構(gòu)造函數(shù)

g(x)=e"(x),進而將問題轉(zhuǎn)化為而2a+l)Ng(a+l),利用g(x)的性質(zhì)求解,考查運

算求解能力，化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

9.CD

【分析】根據(jù)給定的直線44的方程，結(jié)合各選項中的條件逐一判斷作答.

[x—y+2=0fx=-3

【詳解】依題意，直線4：(x-y+2)加+(2x-y+5)=0,由」八解得：，，

[2x-y+5=0[y=T

因此直線4恒過定點(-3,-1),A不正確；

當(dāng)m=1時，直線4：3x—2y+7=0,而直線4：4x-3y+4=0,顯然3x4+(-2)x(-3)w0,

即直線4,不垂直，B不正確;

當(dāng)，"=2時，直線小4廠3尸9=0,而直線《：4x_3y+4=0,顯4然-3;4即////,,

4-39

C正確；

當(dāng)“〃時，有小2=-(、+1)*也乂解得加=2,即直線4：4x-3y+9=0,

4-34

.|9-4|?

因此直線《4之間的距離"=/,，八，=1，D正確.

0-+(-3)2

故選：CD

10.BD

【分析】先根據(jù)圖象求解出了(x)的解析式，然后逐項判斷最小正周期、/1g]的值、

在上的單調(diào)性以及平移后的函數(shù)解析式.

試卷第9頁，共19頁

【詳解】因為/(O)=sine=±|同所以e=/,所以〃x)=sin5+4

2266)'

5兀

0,所以sin

又因為了71

所以包0+工=上%,keZ,所以“二'!^--,keZ,

1265

T57c

—>--

T7m、1.212匚lI、［5/r27r5乃..1612

又因為<,所"以一<二，所以=<。<二，

T6。355

—<--5TT

1412

所以當(dāng)〈空/eZ,所以k=l,O=2,所以〃x）=sin卜x+j］；

555\o7

A.T=§=萬，故錯誤；

B./侍卜'in（與+3=sin^=_l,故正確；

C.當(dāng)儀4,0）時，（2x+?Hf,因為y=sinx在「普意上不單調(diào)，

所以“X）在區(qū)間（一|，0）上不單調(diào)，故錯誤；

D.將/（x）的圖象向左平移各個單位長度后得到

y=sin2（x+?）+?=sinf2x+=cos2x,故正確；

故選:BD.

11.ACD

【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法，可判定/錯誤；根據(jù)對數(shù)的運算和充分、必要條

件的判定，可判定6正確；結(jié)合基本不等式，可判定C錯誤；根據(jù)不等式恒成立和二次

函數(shù)的性質(zhì)，可判定〃錯誤.

【詳解】對4由（2x-l）（l-x）<0可得（2x—l）（x—1）>。，

所以或x>l,所以4錯誤.

對6：由Iog2（x+1）N1可得x+122,所以x21,

所以p:1<x<2是q：log?（》+1）21的充分不必要條件，所以8正確.

對C：由y=Jf+4+1產(chǎn),當(dāng)且僅當(dāng)f+4=1時取等號，

但是-+424,所以丫=6+4+-74f4+：=］,所以。錯誤.

Vx+444

對"若當(dāng)xeR時，不等式履2_h+［〉0恒成立，

①當(dāng)左=（）時，不等式為1>0恒成立，滿足題意；

試卷第10頁，共19頁

②當(dāng)心。時，只要-—Av。,解得。＜女＜4；

所以不等式"2一區(qū)+1〉。的解集為R,則實數(shù)％的取值范圍為［0,4）,所以〃錯誤.

故選：ACD

【點睛】本題主要考查了命題的真假判定，其中解答中涉及到了一元二次不等式的求解,

基本不等式的應(yīng)用，以及不等式的恒成立問題的求解，著重考查推理與運算能力，屬于

中檔試題.

12.AC

【分析】以點A為坐標(biāo)原點，A3、AD.AA所在直線分別為x、y、z軸建立空間直

角坐標(biāo)系，可判斷AD選項；分析可知以A為球心，逐為半徑的球面與側(cè)面BCC內(nèi)的

交線是以點C為圓心，半徑為廠=小5-CQ；=1的;圓,利用扇形的弧長公式可判斷B

選項；確定平面"MN與正方體各棱的交點，求出截面周長，可判斷C選項.

【詳解】以點A為坐標(biāo)原點，AB.AD,AA所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系，

對于A選項，A（0,2,2）、M（1,0,0）、4（2,0,2）、C（2,2,0）,

￡＞附=（1,—2,-2）,4c=（0,2,-2）,則RM由C=0—4+4=0,DtM1B.C,A對；

對于B選項，因為DCJ■平面881GC,

所以，以。為球心，方為半徑的球面與側(cè)面8CC4的交線是以點G為圓心，半徑為

Js-CQ；=1的;圓,

故交線長為gx兀xl=5,B錯；

對于D選項，易知點4（2,0,2）、4（0,2,2）、M（1,0,0）、N（2,l,0）,

設(shè)平面RMN的法向量為〃=（x,y,z）,MN=0,1,0）,DtM=（1,-2-2）,

n?MN=x+y=0

則取x=2,可得〃=（2,—2,3）,

n-DXM=x-2y-2z=0

B.D,?n—82>/2

牝=（-2,2,。），8s<杷,〃>=碩"而，

試卷第11頁，共19頁

設(shè)直線BQ與平面所成角為6,則sin6=^；,

后

所以，cos（9=Vl-sin26>=-^=,故tan6="2=22,

V17cos。3

因此，。蜴與平面"MN所成的角的正切值是過1,D錯.

3

對于C選項，設(shè)平面交棱AA于點E（0,0/）,其中04d2,M￡=（-l,0,r）,

因為MEu平面RMN,所以，MEn=-2+3t=0,解得，=［，即點后1,。1}

由空間中兩點間的距離公式可得忸同=0目=,02+（2-0）2+（2-目—=半，

同理可得目=|NF卜半，|例可=血，

因此，平面1MN截正方體所得的截面為五邊形D,EMNF,

其周長是尤+2x言—+己_=5/2+2>/13,C對.

故選：AC.

【點睛】方法點睛：計算線面角，一般有如下幾種方法：

（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在

平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；

（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度"，從而不必

作出線面角，則線面角，滿足sine=：（/為斜線段長），進而可求得線面角；

（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)a為直線/的方向向量，〃為平面的法

向量，則線面角。的正弦值為sin0=|cos<a,".

13.3

【分析】先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出P，A8坐標(biāo)和AB的坐標(biāo)，再利用空間中點到直

試卷第12頁，共19頁

線的距離公式計算即可.

【詳解】解：以點C為坐標(biāo)原點，CA,CB,“所在直線分別為X軸，y軸，z軸建立如

則4(4,0,0),6(0,3,0),所以A8=(-4,3,0),衣=卜,0,)

所以點P到48的距離d=4|J"為]="6+坦—變=3.

Y1|A8|JV2525

故答案為：3.

【點睛】本題考查空間中點到直線的距離，關(guān)鍵是熟悉向量法表示距離，屬于基礎(chǔ)題.

【分析】根據(jù)題意求得。,用-4,=1,得到q=",利用等差數(shù)列的求和公式，求得

1c/I1、

2?(----------),結(jié)合裂項法求和法，即可求解.

Stlnn+l

【詳解】由碌1-4向=4+%，可得。；+1-d="“+|+?！?，即(~-%)(4+1+%)=%+%，

因為M>。，所以

又因為4=1,所以%=l+(〃-l)xl=",

可得5.=嗎曲，所以

"2Sn〃(幾+1)n〃+1

所以J+[++-^-=2x[(l-1)+(1-1)++(---二)]=2x(1--二)=鳥.

SjS2Sn223n/?+1n+1n+\

2〃

故答案為：----.

n+1

15.①④

【分析】對于①，利用輔助角公式可得y=3sin(4x-?),利用公式可求其最小正周

期后可知①正確；對于②，｛a[e=QrMwZ｝表示x軸上的角，對于③，不等式

sinx<x(0<x<]｝亙成立，故可判斷②③是錯誤，而利用圖像變換可知④正確.

【詳解】對于①，因為y=^sin(4x-?),故最小正周期為7=今=],故①正確；

試卷第13頁，共19頁

對于②，｛。|。=版deZ｝表示》軸上的角，故②錯；

對于③，不等式sinx<｛0<x<]｝亙成立，故在(O,])±y=sinx的圖像與y=x的圖

rr

像沒有公共點，但x=0,sinx=x=O,當(dāng)x>5時，x>1,5>sinx，,y=sinx的圖像與

丁=》的圖像在(。,+8)沒有公共點，而丫=$皿工為奇函數(shù)，所以在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)

y=sinx的圖像與函數(shù)y=x的圖像有1個公共點；

對于④，因為y=3sin2x=3sin(2x—9+])=3sin20,一高+?,故把函數(shù)

y=3sin(2x+的圖像向右平移%個單位長度可得到y(tǒng)=3sin2x的圖像，故④正確.

綜上，①④正確，填①④.

【點睛】三角函數(shù)的圖像往往涉及振幅變換、周期變換和平移變換，找尋兩個不同函數(shù)

圖像的變換時，首先它們的函數(shù)名要相同，其次兩者之間的周期變換看。，左右平移看

區(qū).注意周期變換和平移變換(左右平移)的次序?qū)瘮?shù)解析式的影響，比如

CD

>=sin(2x+?),它可以先向左平移(個單位，再縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)?/p>

原來的;，也可以先保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，再向左平移g.

//6

16.1

【解析】由偶函數(shù)的性質(zhì)運算即可得解.

【詳解】因為/⑴是定義在R上的偶函數(shù)且當(dāng)xNO時，fM=2x2-x,

所以f(T)=〃l)=2-l=l.

故答案為：1.

17.(1)〈04,08〉=。；(2)(-00,-311J[3,+?).

【分析】(1)按向量數(shù)量積的定義先求夾角余弦，再求得夾角；

(2)不等式22|。0化為l+2/lsin(p-a)+4b4恒成立，令sin(/?-a)取1和一1

代入解不等式組即可得.

【詳解】(1)當(dāng)/=1時，(?A=(cosa,sina),故|。小=Jcos?a+sin2a=1,

|OB|=J(-sin此+cos2。=\,

41

又。4O8=sin(a—/?)=sin_=一,

試卷第14頁，共19頁

小.OAOB1

故cos〈OA,08〉=?~~-?.

供必n卜阿2-

jr

因為〈。4。8〉￡[0,如，所以〈。4,。8〉=§.

(2)BA=OA-OB=(2cosa+sin4,2sina-cos(3),

故網(wǎng)>2|(?B|對任意實數(shù)a,夕都成立，

即(Acostz4-sin/7)24-(2sincr-cos/7)224對任意實數(shù)a,p都成立.

整理得儲+1+22sin(4-a)24對任意實數(shù)a,P都成立.

因為一lWsin(力-a)Wl,

所以「fA>+0心“或Wf2<+0,I+2…解得八3或&3.

所以實數(shù)2的取值范圍為(9,-3][3,+w).

【點睛】本題考查向量模與夾角，考查不等式恒成立問題，不等式

22+l+22sin(^-a)>4中把sin(力-a)作為一個整體，它是關(guān)于sin(￡-a)的一次不等

式，因此要使它恒成立，只要sin(/?-a)取1和一1時均成立即可.

【分析】(1)第四盤棋甲贏的事件為A,它是第三盤棋甲贏和甲輸?shù)膬蓚€互斥事件的和，

再利用獨立事件、互斥事件的概率公式計算作答.

(2)甲恰好贏三盤棋的事件為反它是甲在第三盤贏、第四盤贏、第五盤贏的互斥事

件的和，再利用獨立事件、互斥事件的概率公式計算作答.

【詳解】(1)記第四盤棋甲贏的事件為4它是第三盤棋甲贏和甲輸?shù)膬蓚€互斥事件A，4

的和，

339111g111

P(A)=：X，=77,^)=7XX=O*則P(A)=P(A)+P(4)=/+$=R，

44lo42oloolo

所以第四盤棋甲贏的概率是

16

(2)記甲恰好贏三盤棋的事件為6,它是后三盤棋甲只贏一盤的三個互斥事件的和，

甲只在第三盤贏的事件為耳、只在第四盤贏的事件為打、只在第五盤贏的事件為反，

試卷第15頁，共19頁

則尸(即=汨x(l-；)G，P(B2)=lxlx[l-2j=±.P(B3)=lx(l-l)xl^I,

3113

則有尸8)=尸4+P闖+尸闖=++=

3232lolo

3

所以比賽結(jié)束時，甲恰好贏三盤棋的概率為77.

16

19.(1)證明見解析

⑵必

61

【分析】(1)證明尸G〃BA，根據(jù)線面平行的判定定理證明FG〃平面ABE；(2)距離

空間直角坐標(biāo)系利用向量方法求平面ABE與平面A3AA夾角的余弦值.

(1)

如圖，連接CR.

因為點F,G分別為棱CO,OR的中點，所以FG〃CR.

在正四棱柱ABCO—AAGR中，CD,//BAt,所以FG〃B4，

又尸Ga平面aBE,BAU平面ABE

所以FG〃平面ABE.

(2)

如圖，以A為坐標(biāo)原點，分別以A3,AD,A4所在直線為x,y,z軸建立空間直角

坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z.

則A(0,0,3),8(2,0,0),

所以BE=(0,2,1),BA,=(-2,0,3).

試卷第16頁，共19頁

設(shè)平面ABE的法向量為〃=(x,)，,z),則〃_(_網(wǎng)，nlBE，

n-BA=-2x+3z=0

所以3，令z=4,得〃=(6,-3,4).

n-BE=2y+—z=0

易知平面ABB,A的一個法向量為初=(0,1,0).

設(shè)平面ABE與平面AB4A的夾角為e.

m-n33向

則|cos0\

Im||n\66+9+16-61

所以平面ABE與平面A網(wǎng)A夾角的余弦值近.

20.(1)an=2/?,HGN.

44n+,

(2)Sn=n+?+---—.

【分析】(1)根據(jù)等比中項求解得d=2,進而根據(jù)等差數(shù)列通項公式求解即可;

(2)由題知％=2〃-4",進而分組求和即可.

【詳解】(1)解：由題意，設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為"0x0),

?=2+d,%=2+3d,

生,4成等比數(shù)列，

：.a-=ai-a,,即(2+d)2=2(2+34),整理得/一2"=0,

解得”=0(舍去)，或4=2,

二.。“=2+2(〃-1)=GN\

試卷第17頁，共19頁

(2)解：由(1)知么=4一2%=2〃-22"=2〃一4",

l2

所以，S?=b］+b2++Z>?=(2xl-4)+(2x2-4)++(2〃-4")

=2x(l+2++”)-(4+42+....+4")

?”(〃+l)4(1-4")244,1+1

21-433

21.(1)證明見解析；(2)y=±y/3x-3.

【分析】(1)設(shè)AG/),85,為)，聯(lián)立［iU：得/一4收一4=0,求出

。4。3=為電+蘆％<0,從而證明.408為鈍角三角形；

(2)由(1)知，xt+x2=4k,y+、2=%(可+±)+2=4標(biāo)+2,求出弦長|A3|和點p到

直線>=履+1的距離，由.皿的面積為16可列式計算，求直線/的斜率，進而求直線/

的方程.

【詳解】(1)證明：設(shè)A(x“yJ,8(與％)，聯(lián)立，一4"-4=0,

則為々=-4,

所以yyB1=1.

1216

從而=+、［必=-3<0,

則，403為鈍角，故AOB為鈍角三角形.

(2)解：由(1)知，%+工2=4攵，%+%=k(玉+/)+2=4左2+2,

貝|J|陰=y+%+p=4k2+4.

由12=4y,得夕=工，

42

設(shè)戶(*0，九)，則;x0=無,x0=2k,%=公，

則點P到直線y=履+1的距離d=7F71.

從而一小8的面積+

解得k=±6,

故直線/的方程為y=±百x-3.

試卷第18頁，共19頁

【點睛】圓錐曲線是高考的的重要考點，也是難點，一般的解題方法是將直線方程和圓

錐曲線方程聯(lián)立，然后結(jié)合題意，應(yīng)用韋達定理求解.

22.(1)/=0,a=0

(2)2-21n2

【分析】(1)由已知可得出消去?？傻?片―%+1卜*-1=0,令

F(x)=(x2-x+l)et-l,其中x>-l,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)尸(x)的單調(diào)性與極值，可得

出％的值，進而可求得。的值；

(2)由已知可得小11占=(d)%/2,即為g(xj=g(e*2),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)在

(1,內(nèi))上的單調(diào)性，可得出％=e”，可得出為-2%=j-2%，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)

4(x)=e'-2x在(0,+向上的最小值，即為所求.

【詳解】(1)解：因為/(x)=(x-l)e*-亦,其中x>-l,則/(障)=屁*-4,

令P(x)=f'(x),則p,(x)=(x+l)ex>0對任意的x>-1恒成立，

所以，函數(shù)尸(x)在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

因為%是y="X)的一個極值點且/伉)=-1,則

消去“可得(片-%+1)呼一1=0,

令尸(x)=(x2-x+l)e*-l,其中x>-l,則/'(x)=x(x+l)e*,

當(dāng)-l<x<0時，F(xiàn)(x)<0,此時函數(shù)尸(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>0時，F(xiàn)(x)>0,此時函數(shù)尸(x)單調(diào)遞增,

所以，尸(可0加=/(°)=°，所以，%=。，故a=/e"=。，

此時/(x)=(x-l)ev,則f\x)=xex,

當(dāng)—l<x<0時，/'(x)<0,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>0時，制x)>0,此時函數(shù)〃x)單調(diào)遞增，

故函數(shù)/(X)在x=0處取得極小值-1,合乎題意.

試卷第19頁，共19頁

綜上所述，?=Xo=0.

(2)解：因為/?(x)=e，[r(x)+a]=xe2*,

因為8(%)=人(々)，即X：In%，即x；lnX1=(e*YIne*,

即g(xj=g(e*2),其中玉>1,x2>0,則e->l,

當(dāng)x>l時，g'(x)=2xlnx+x>0,故函數(shù)g(x)在(1,+oo)上單調(diào)遞增,

12

由g(xi)=g(e*)可得%=e*,所以，x,-2x2=e-2x,,其中%>。，

構(gòu)造函數(shù)<7(x)=e*-2x,其中x>0,則</(x)=e*-2,由q[x)=0可得x=ln2,

當(dāng)0<x<ln2時，q'(x)<0,此時函數(shù)q(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)x>ln2時，q'(x)>0,此時函數(shù)4(可單調(diào)遞增，

故9(x)min=4(ln2)=2-21n2,即芯-2%的最小值為2-21n2.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題第(2)的關(guān)鍵就是將等式變形為玉21nxi=(e*『Ine&,轉(zhuǎn)

化為ga)=g(e"),利用指對同構(gòu)的思想得出百=e4,將為-2々轉(zhuǎn)化為以巧為自變量

的函數(shù)，進而利用導(dǎo)數(shù)求解.

2023屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：

一、單選題

1.設(shè)全集U=R,集合A={x|x—240},集合8Hxilgx>0},則AB=()

A.{2}B.{0,2}C.(0,2)D.(1,2]

2.若復(fù)數(shù)z滿足(1—i)z=2+i,貝”=(

“13.13.

A.------1Bn.——+—i

2222

3.ub>a+\n是3'>3"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材

埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”現(xiàn)有一類似問題，

不確定大小的圓柱形木材，部分埋在墻壁中，其截面如圖所示.用鋸去鋸這木材，若鋸

試卷第20頁，共19頁

口深C￡>=2-若，鋸道越=2,則圖中AC8與弦A8圍成的弓形的面積為（）

5.已知向量a=(T,2),b=,〃包=8，則加=()

A.-2B.-1C.1D.2

A.1B.-1C.2D.-4

8

8.定義域為R的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)y=/（x）為尸（X）,滿足〃x）>r（x）,且“0）=1,

則不等式/（x）<e，的解集為（）

A.（YO,2）B.（2,+oo）C.（T,0）D.

二、多選題

9.若a>b>l,0<c<l,則下列表達正確的是（）

A.logac>log*cB.log,,a<log,,b

C.ac<bcD.ca>cb

10.已知函數(shù)f（同=心叭5+。）（4>0,0>0,|同<:|）的部分圖象如圖所示.將函數(shù)

試卷第21頁，共19頁

/（X）的圖象向右平移2■個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱

坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，則（）

B.g（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱

O

c.g（x）的圖象關(guān)于點修，0）對稱

D.函數(shù)〃x）+g（x）的最小值為-4

11.已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點M、N,若線段MN的最小值為73-1，

則（）

4%

A.正方體的外接球的表面積為12萬B.正方體的內(nèi)切球的體積為7

C.正方體的棱長為2D.線段MN的最大值為2石

12.設(shè)函數(shù)〃x）=xlnx,g（x）=gx2,給定下列命題，其中正確的是（）

A.若方程〃力=%有兩個不同的實數(shù)根，則壯（一,0）；

B.若方程/（力=/恰好只有一個實數(shù)根，貝必＜0；

c.若片＞蒞＞。，總有，”[8（n）-8（*2）]＞/（菁）-/（*2）恒成立，則加之/；

D.若函數(shù)尸（x）=〃x）-2?g（x）有兩個極值點，則實數(shù)

三、填空題

13.已知向量。=(1,3),6=(-2,1),1=(3,2)若向量'與向量3+5共線,則實數(shù)

k=.

14.sin(-1110°)=.

試卷第22頁，共19頁

W-2x+4

15.若x>2,則、=的最小值為

x—2

四、雙空題

16.三棱錐尸―ABC中，R4=P3=PC=AB=BC=1,且平面PACJ_平面ABC,則AC=

；若球。與該三棱錐除PB以外的5條棱均相切，則球。的半徑為.

五、解答題

17.已知數(shù)列｛%｝滿足4=1,4+|=-"：

[a“+2,〃為偶數(shù).

(1)記"=a2?,寫出々，b2,并求數(shù)列也｝的通項公式；

(2)求｛%｝的前20項和.

18.在；A8C中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知A=:,6=200

(1)求tanC；

(2)若“=26,求_43C的面積.

19.某校兩個班級100名學(xué)生在一次考試中成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績

分組如下表：

組號第一組第二組第三組第四組第五組

分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻率

(1)求。的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學(xué)生這次考試成績的平均分；

(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法從第三、四、五組中隨機抽取6名學(xué)生，將該樣本看成一個

試卷第23頁，共19頁

總體，從中隨機抽取2名，求其中恰有1人的分數(shù)不低于90分的概率.

20.如圖，在三棱柱ABC-A4G中，AB=AC^2,。為BC的中點，平面陽C。，平

面ABC,設(shè)直線/為平面ACQ與平面A4G的交線.

(1)證明：/工平面

(2)已知四邊形BBC。為邊長為2的菱形，且N8/C=60。，求二面角。-AC；-C的余

弦值.

2、,21

21.已知橢圓C:r予■+方=1(。>6>0)的下頂點A和右頂點B都在直線4：y=](x-2)上.

(1)求橢圓方程及其離心率；

⑵不經(jīng)過點B的直線4：y=履+相交橢圓C于兩點P,Q,過點尸作x軸的垂線交/,于點

。，點P關(guān)于點D的對稱點為E.若E/.Q三點共線，求證：直線4經(jīng)過定點.

22.已知函數(shù)/(x)=xe*-ar-gax2.

⑴當(dāng)。=2時，求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若〃")=/("+：以2在(y,0)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

⑶當(dāng)時，確定函數(shù)“X)零點的個數(shù).

試卷第24頁，共19頁

參考答案：

1.D

【分析】求出集合A中的不等式的解集，確定出集合A,利用對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)及

對數(shù)的運算性質(zhì)，求出集合8中不等式的解集，確定出集合8,找出兩集合的公共部分，

即可得到兩集合的交集.

【詳解】由集合A中的不等式X-2W0,解得X42,

???集合4=（fo,2］,

由集合8中的不等式lgx>O=l