冀教版八年級數(shù)學上冊【教學設(shè)計】《反證法》

義務(wù)教育教科書

數(shù)學

八年級上冊

《反證法》

?教材分析

反證法又稱歸謬法。反證的批判思想有助于學生正確的認識客觀世界。中學階段，是一個人

形成價值觀的重要階段。這些信息在學生頭腦中留下各種是或非的印象，如何取其精華，去

其糟粕？學生可以利用反證法。我們現(xiàn)行的教材中，許多的內(nèi)容可以說是矛盾的，學生如果

能正確的分析問題，不是被動的接受書本或是教師的灌輸，對其今后的學習、工作，無疑將

有很大的幫助。

在教學過程中，我們重視的不是學生如何解決矛盾，而是非常高興地看到學生利用反證法對

客觀世界的認識提出了自己的問題，正是反證法教學所要教給學生的。這些正是學生學習數(shù)

芋應(yīng)該學會的能力.

?教學目標

【知識與能力目標】

通過實例，體會反證法的含義，培養(yǎng)用反證法簡單推理的技能，進一步培養(yǎng)觀察能力、分析

能力、邏輯思維能力及解決問題的能力。

【過程與方法目標】

了解反證法證題的基本步驟，會用反證法證明簡單的命題。

【情感態(tài)度價值觀目標】

在觀察、操作、推理等探索過程中，體驗數(shù)學活動充滿探索性和創(chuàng)造性；滲透事物之間都是

相互對立、相互矛盾、相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義思想。

?教學重難點

【教學重點】

1、理解反證法的概念，2、體會反證法證明命題的思路方法及反證法證題的步驟，3、用反

證法證明簡單的命題。

【教學難點】

理解“反證法”證明得出“矛盾的所在”。

?課前準備

直尺、三角板、多媒體課件等。

?教學過程

（一）情境導(dǎo)入

王戎7歲時，與小伙伴們外出游玩，看到路邊的李樹上結(jié)滿了果子。小伙伴們紛紛去摘取果

子，只有王戎站在原地不動。

王戎回答說：“樹在道邊而多子，此必苦李?！?/p>

小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李。

王戎是怎樣知道李子是苦的呢?他運用了怎樣的推理方法？

我們不得不佩服王戎，小小年紀就具備了反證法的思維。反證法是數(shù)學中常用的一種方

法。人們在探求某一問題的解決方法而正面求解乂比較困難時，常常采用從反面考慮的策略,

往往能達到柳暗花明又一村的境界。你能總結(jié)出以上這種證明方法的步驟嗎？

假設(shè)李子不是苦的，即李子是甜的，那么這長在人來人往的大路邊的李子會不會被過路人摘

去解渴呢？那么，樹上的李子還會這么多嗎？這與事實矛盾嗎？說明李子是甜的這個假設(shè)是

錯的還是對的？所以，李子是苦的。其思維過程的表述如下圖：

假設(shè)李子甜-樹在道邊則李子少-與與己知條件“樹在道邊而多子”產(chǎn)生矛盾-假設(shè)“李子

甜”不成立-所以“樹在道邊而多子,此必為苦李”是正確的。

（二）探究新知

1.認識反證法

反證法：在證明一個命題時，有時先假設(shè)命題不成立，從這樣的假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理得出和

已知條件矛盾，或者與定義，公理，定理等矛盾，從而得出假設(shè)命題不成立是錯誤的，即所

求證的命題正確。這種證明方法叫做反證法。

在證明一些命題為真命題時，一般用直接證明的方法，但有時候間接證明的方法可能更方便,

反證法就是一種常見的間接證明方法。

在第九章中，我們已經(jīng)知道”一個三角形中最多有一個直角''這個結(jié)論，我們怎樣證明它呢？

求證：一個三角形中最多有一個直角.

已知:如圖,AABC.

求證：在△ABC中，如果它含有直角，那么它只能有一個直角.

A、

C

B

證明：假設(shè)aABC中有兩個（或三個）直角，不妨設(shè)/A=NB=90°

VZA+ZB=180°,

’從這個假設(shè)和其他已知條件出發(fā)，經(jīng)

?--------\過推論論證，得出矛盾的結(jié)果.

.,.ZA+ZB+Z01800.1-----------/

這與“三角形的內(nèi)角和等于180°”相矛盾.

因此，三角形有兩個（或三個）直角的假設(shè)不成立。

故如果三角形含有直角，那么它只能有一個直角.i

,由矛盾的結(jié)果，河岸

立，從而說明命題的

不用HU?

同學們討論用反證法證明一個命題的步驟，然后師生共同總結(jié)。

用反證法證明一個命題是真命題的一般步驟：

第一步，假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

第二步，從這個假設(shè)和其他已知條件出發(fā)，經(jīng)過推論論證，得出與學過的概念，基本事實,

己知證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果；

第三步，由矛盾的結(jié)果，判定假設(shè)不成立，從而說明命題的結(jié)論是正確的。

（三）學以致用

例1用反證法證明平行線的性質(zhì)定理一：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.。

已知：如圖，直線46〃切，直線旗分別于直線16,切交于點G,H,N1和N2是同位角.

求證：Z1=Z2.

師生互動。

證明：假設(shè)N1WN2.

過點C作直線JW,使得/￡6滬N1.

VZEGN=Z1.

AMN#CD（基本事實）,

又：AB〃CD（已知），

.??過點G,有兩條不同的直線AB和MN都與直線CD平行.這與“經(jīng)過已知直線外一點，有且

只有一條直線和已知”相矛盾.

??.N1rZ2的假設(shè)是不成立的.

因此，Z1=Z2.

使學生再次明確：用反證法證題的基本思路及步驟。

例2用反證法證明直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理.

已知：如圖，在△ABC和△4‘6'C'中，NC=NC'=90。，AB=A'B',AC=A'C'.

求證：△ABCgaA'B'C'.

證明：假設(shè)△ABC與△A'B'C'不全等,即BCWB'C'.

不妨設(shè)BCVB'C'.如圖，在B'C'上截取C'D=CB,連接A'D

在△ABC和4A'DC'中，VAC=A'C,ZC=ZC，,CB=CD

AAABC^AA'DC'（SAS）.

/.AB=A，D（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.

?.?AB=A'B''（已知），

.?.A'B'，=A'D（等量代換）.

AZB'=/A'DB'（等邊對等角），.'.NA'DB'<90°（三角形內(nèi)角和定理），

即/C'〈/A'DB'<90°（三角形的外角大于和它不相鄰的內(nèi)角）.

這與/C'=90°相矛盾.

因此，BCWB'C'不成立.即4ABC與ANB'C'不全等的假設(shè)不成立.

AABC^AA'B*C.

教師帶領(lǐng)學生先進行一定的分析，預(yù)設(shè)問題：

（1）你首選的是哪一種方法？

（2）如果你選擇反證法，先怎樣假設(shè)？結(jié)果和什么產(chǎn)生矛盾？

（3）能不用反證法嗎？你準備怎樣證明？

教師在例后要引導(dǎo)學生比較體會反證法的優(yōu)點：當正面證明比較繁雜或較難證明時，用反證

法證明是一種證明的思路。

（四）鞏固新知

1.利用反證法證明"直角三角形至少有一個銳角不大于45°”，應(yīng)先假設(shè)（C）

A.直角三角形的每個銳角都小于45°B.直角三角形有一個銳角大于45°

C.直角三角形的每個銳角都大于45°D.直角三角形有一個銳角小于45°

2.命題“aABC中，若NA>/B,則a>b”的結(jié)論的否定應(yīng)該是(B)

A.a<bB.aWbC.a=bD.a》b

3、“a<b”的反面應(yīng)是(C)

(A)aW>b(B)a>b(C)a=b(D)a=b或a>b

4.用反證法證明命題“若X244,則XW2”的第一步應(yīng)假設(shè)(X=2)

(五)鏈接生活

反證法的思想也時常體現(xiàn)在人們的日常交流中，下面是有關(guān)的一個例子：

媽媽：小華，聽說鄰居小芳全家這幾天下在外出旅游。

小華：不可能，我上午還在學校碰到了她和她媽媽呢！

上述對話中，小華要告訴媽媽的命題是什么？(小芳全家沒外出旅游.)

他是如何推斷該命題的正確性的？

在你的日常生活中也有類似的例子嗎?請舉一至兩個例子.

(六)課堂小結(jié)

間接證明方法

反證法〉

假設(shè)結(jié)論不成立

I得出矛盾的結(jié)果

假設(shè)不成立,原命題成立

?