2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)指數(shù)函數(shù)

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)指數(shù)函數(shù)考點(diǎn)清單題型清單目錄考點(diǎn)

指數(shù)與指數(shù)函數(shù)題型1比較冪值大小題型2指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題考點(diǎn)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)冪的運(yùn)算(1)根式的概念一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根其中(n>1,n∈N*).式子

叫做根式,其中n叫做根指數(shù),a叫做被開(kāi)方數(shù).(2)根式的性質(zhì)和運(yùn)算根式的性質(zhì)

=

若

有意義,則(

)n=a分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

=

,a>0,m,n∈N*,n>1

=

,a>0,m,n∈N*,n>1指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)(其中a,b>0,r,s∈R)aras=ar+s(ar)s=ars(ab)r=arbr2.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)x是自變量,定義域是R.提醒形如y=kax,y=ax+k(k∈R且k≠0,a>0且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù),不是指數(shù)函數(shù).

a>10<a<1圖象

定義域R值域(0,+∞)(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)(0,1),即當(dāng)x=0時(shí),y=1當(dāng)x>0時(shí),y>1;當(dāng)x<0時(shí),0<y<1當(dāng)x<0時(shí),y>1;當(dāng)x>0時(shí),0<y<1在(-∞,+∞)上是增函數(shù)在(-∞,+∞)上是減函數(shù)提示1.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象恒過(guò)點(diǎn)(0,1),(1,a),

,依據(jù)這三點(diǎn)的坐標(biāo)可得到指數(shù)函數(shù)的大致圖象.2.函數(shù)y=ax與y=

(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).3.在直線(xiàn)x=1的右側(cè),指數(shù)函數(shù)的圖象越高,其底數(shù)的值越大.如圖所示,其中0<d<c<1<b

<a.

即練即清1.判斷正誤(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“?”)(1)

=(

)n=a.

(

)(2)若函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù),且f(1)>1,則f(x)是增函數(shù).

(

)2.若函數(shù)f(x)=(a2-1)·ax為指數(shù)函數(shù),則a=

.3.若函數(shù)f(x)=ax在[-1,1]上的最大值為2,則a=

.4.若a>0且a≠1,則函數(shù)f(x)=ax+1-1的圖象恒過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)為

.×√2或

(-1,0)題型1比較冪值大小

例1比較下列兩組數(shù)的大小:(1)(-2.5

和(-2.5

;(2)0.4-2.5,2-0.2,2.51.6.

解析

(1)(-2.5

=2.

,(-2.5

=

,∵y=2.5x在R上為增函數(shù),且

>

,∴2.

>2.

,即(-2.5

>(-2.5

.(2)∵0.4-2.5=2.52.5,y=2.5x在R上為增函數(shù),且2.5>1.6>0,∴2.52.5>2.51.6>1,又2-0.2<20=1,∴0.4-2.5>2.51.6>2-0.2.即練即清1.比較下列兩組數(shù)的大小:(1)

和(0.4

;(2)

和

.解析

(1)(0.4

=

.∵y=

在R上為減函數(shù),且-

>-

,∴

>

,即

<(0.4

.(2)∵y=

在R上為減函數(shù),y=

在R上為增函數(shù),且-

<0,∴

>1,

<1,∴

>

.題型2指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題1.指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題形如函數(shù)y=af(x)(a>0且a≠1)的單調(diào)性,單調(diào)區(qū)間與f(x)的單調(diào)性,單調(diào)區(qū)間有關(guān):(1)若a>1,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即函數(shù)y=af(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間;(2)若0<a<1,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即函數(shù)y=af(x)的單調(diào)遞減(增)區(qū)間.2.指數(shù)方程或指數(shù)不等式問(wèn)題(1)解指數(shù)方程或不等式的依據(jù)①af(x)=ag(x)(a>0且a≠1)?f(x)=g(x).②af(x)>ag(x),當(dāng)a>1時(shí),等價(jià)于f(x)>g(x);當(dāng)0<a<1時(shí),等價(jià)于f(x)<g(x).(2)解指數(shù)不等式的方法先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪,再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解.例2

(2023山西晉城二中期末,5)若不等式

<

恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(

)A.(-1,0)

B.

C.

D.

解析

不等式

<

恒成立,即

<

恒成立,由指數(shù)函數(shù)y=

的單調(diào)性得x2-2ax>-(3x+a2)恒成立,即x2+(3-2a)x+a2>0恒成立,所以Δ=(3-2a)2-4a2<0,解得a>

,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是

,故