2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性目錄考點(diǎn)清單題型清單考點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性考點(diǎn)2函數(shù)的奇偶性題型1函數(shù)單調(diào)性的判斷及應(yīng)用題型2奇偶性的判斷及應(yīng)用考點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性1.函數(shù)的單調(diào)性一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,區(qū)間D?I:(1)增函數(shù):如果?x1,x2∈D,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)

遞增,圖象描述如圖①.特別地,當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí),我們就稱它是增

函數(shù);(2)減函數(shù):如果?x1,x2∈D,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)

遞減,圖象描述如圖②.特別地,當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí),我們就稱它是減

函數(shù).

圖①

圖②拓展1.單調(diào)函數(shù)的定義有以下兩種等價(jià)形式:?x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,(1)

>0?f(x)在D上是增函數(shù);

<0?f(x)在D上是減函數(shù).(2)(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0?f(x)在[a,b]上是增函數(shù);(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0?f(x)在[a,b]上是減

函數(shù).2.對勾函數(shù)y=x+

(a>0)的增區(qū)間為(-∞,-

]和[

,+∞),減區(qū)間為(-

,0)和(0,

).3.在公共定義域內(nèi),當(dāng)f(x),g(x)都是增(減)函數(shù)時(shí),f(x)+g(x)是增(減)函數(shù).4.若k>0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同;若k<0,則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相反.5.在公共定義域內(nèi),函數(shù)y=f(x)與y=

的單調(diào)性相反.2.單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)

格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.提醒有多個(gè)單調(diào)區(qū)間時(shí),不能用符號“∪”連接,也不能用“或”連接,只能用“,”或

“和”連接.3.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件①對于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M①對于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M結(jié)論M為y=f(x)的最大值M為y=f(x)的最小值拓展(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值.考點(diǎn)2函數(shù)的奇偶性前提(必要條件)奇偶性滿足的充要條件圖象特征函數(shù)y=f(x)的定義域關(guān)

于原點(diǎn)對稱奇函數(shù)對定義域中任意的x,都

有f(-x)=-f(x)關(guān)于原點(diǎn)對稱偶函數(shù)對定義域中任意的x,都

有f(-x)=f(x)關(guān)于y軸對稱常用結(jié)論1.若f(x)≠0,則奇(偶)函數(shù)定義的等價(jià)形式如下:(1)f(x)為奇函數(shù)?f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=0?

=-1.(2)f(x)為偶函數(shù)?f(-x)=f(x)?f(-x)-f(x)=0?

=1.2.如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義,那么一定有f(0)=0.3.如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).4.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間

上具有相反的單調(diào)性.5.若y=f(x+a)是奇函數(shù),則f(-x+a)=-f(x+a);若y=f(x+a)是偶函數(shù),則f(-x+a)=f(x+a).即練即清1.判斷正誤(對的打“√”,錯(cuò)的打“?”)(1)函數(shù)y=

的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0)∪(0,+∞).

(

)(2)若定義在R上的函數(shù)f(x)有f(-1)<f(3),則函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù).

(

)(3)偶函數(shù)圖象不一定過原點(diǎn),奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn).

(

)2.已知f(x)=ax2+bx是定義在[a-1,2a]上的偶函數(shù),那么a+b的值是

.3.已知函數(shù)f(x)=

,x∈[2,6],則f(x)的最大值為

,最小值為

.×××2題型1函數(shù)單調(diào)性的判斷及應(yīng)用1.判斷函數(shù)單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間的方法(1)定義法:一般步驟為設(shè)元—作差—變形—判斷符號—得出結(jié)論.(2)圖象法:若f(x)是以圖象形式給出,或者f(x)的圖象易作出,則可由圖象的上升或下降

確定單調(diào)性.(3)導(dǎo)數(shù)法:先求導(dǎo)數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(4)性質(zhì)法:對于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù),根據(jù)各基本初等函數(shù)的增減性

及“增+增=增,增-減=增,減+減=減,減-增=減”進(jìn)行判斷.(5)復(fù)合法:對于復(fù)合函數(shù),先將函數(shù)f(g(x))分解成f(t)和t=g(x),然后討論(判斷)這兩個(gè)函

數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的規(guī)則進(jìn)行判斷.2.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(1)比較函數(shù)值或自變量的大小;(2)求解或證明不等式;(3)求參數(shù)的取值范圍.3.分段函數(shù)的單調(diào)性分段函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增(減)必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件,即在每一段上都單調(diào)遞增

(減)且在分段端點(diǎn)處左邊的函數(shù)值恒小于或等于(大于或等于)右端點(diǎn)的函數(shù)值.例1

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對任意的x1,x2(x1≠x2)恒有x1f(x1)-x1f(x2)-x2f(x1)+x2f(x2)>0,

若a=f(0),b=f(1),c=f(2),則(

)A.c<b<a

B.a<b<c

C.c<a<b

D.a<c<b

解析

因?yàn)閤1f(x1)-x1f(x2)-x2f(x1)+x2f(x2)>0,所以(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0,即x1-x2與f(x1)-f(x2)同號,由此可得f(x)在R上單調(diào)遞增,所以f(2)>f(1)>f(0),即a<b<c.故選B.

答案

B即練即清1.(2023江蘇省揚(yáng)中高級中學(xué)模擬,5)設(shè)函數(shù)f(x)=-x2+2x+8,g(x)=logax(0<a<1),則函數(shù)y=g(f(x))的單調(diào)遞減區(qū)間為

(

)A.(-∞,1)

B.(-2,1)

C.(1,+∞)

D.(1,4)B2.(2024屆江蘇淮安期中,7)若函數(shù)f(x)=

是定義在R上的減函數(shù),則a的取值范圍為

(

)A.

B.

C.

D.

∪

A題型2奇偶性的判斷及應(yīng)用1.判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法:

(2)圖象法:

(3)性質(zhì)法:在公共定義域內(nèi)有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.2.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用主要有兩個(gè)方向(1)求函數(shù)值或函數(shù)解析式:將所求值或解析式對應(yīng)的自變量利用奇偶性轉(zhuǎn)化到已知解

析式的區(qū)間,構(gòu)造方程(組).(2)求參數(shù):由定義或定義的等價(jià)關(guān)系式f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))與f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù))得到

恒等式,再利用系數(shù)相等構(gòu)造方程(組).3.常見的具有奇偶性的函數(shù)類型(1)常見的奇函數(shù):①函數(shù)f(x)=m·

(x≠0)或函數(shù)f(x)=m·

;②函數(shù)f(x)=±(ax-a-x);③函數(shù)f(x)=loga

=loga

或函數(shù)f(x)=loga

=loga

;④函數(shù)f(x)=loga(

±m(xù)x)(m≠0).(2)常見的偶函數(shù):函數(shù)f(x)=±(ax+a-x).(以上各式中a>0,且a≠1)例2

(2022全國乙文,16,5分)若f(x)=ln

+b是奇函數(shù),則a=

,b=

.

解析

解法一(利用奇函數(shù)的定義求參)

f(x)=ln

+b=ln

+b=ln

+b,且f(-x)=ln

+b,又∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù),∴f(x)+f(-x)=ln

+ln

+2b=0,∴l(xiāng)n

+2b=0恒成立,因此有

=

,則2a+1=0,解得a=-

,-2b=ln

=-2ln2?b=ln2,∴a=-

,b=ln2.解法二∵f(x)是奇函數(shù),∴f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.由已知得x≠1,∴x≠-1,即當(dāng)x=-1時(shí),

=0,∴a+

=0,∴a=-

,此時(shí)f(x)=ln

+b,∵f(x)為奇函數(shù)且在x=0處有意義,∴f(0)=0,即ln

+b=ln

+b=0,∴b=-ln

=ln2,此時(shí)f(x)=ln

+ln2=ln

,滿足題意.綜上可知,a=-

,b=ln2.

答案

-

;ln2即練即清3.判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=

;(2)f(x)=|x|+x;(3)f(x)=

;(4)f(x)=

.解析

(1)f(x)的定義域?yàn)?-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對稱.f(-x)=

=-f(x),則f(x)為奇函數(shù).(2)由于f(1)=|1|+1=2,f(-1)=0,因此f(1)≠f