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專題13計(jì)數(shù)原理(理)考點(diǎn)三年考情(2022-2024)命題趨勢考點(diǎn)1:利用二項(xiàng)式定理求項(xiàng)的系數(shù)2024年北京高考數(shù)學(xué)真題2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題2023年天津高考數(shù)學(xué)真題2024年天津高考數(shù)學(xué)真題2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題今后在本節(jié)的考查形式依然以選擇或者填空為主,以考查基本概念和基本方法為主,難度中等偏下,與教材相當(dāng).考點(diǎn)2:利用二項(xiàng)式定理求系數(shù)和問題2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題考點(diǎn)3:排列組合綜合運(yùn)用2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題
考點(diǎn)1:利用二項(xiàng)式定理求項(xiàng)的系數(shù)1.(2024年北京高考數(shù)學(xué)真題)在的展開式中,的系數(shù)為(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】的二項(xiàng)展開式為,令,解得,故所求即為.故選:A.2.(2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題)的展開式中的系數(shù)為(用數(shù)字作答).【答案】-28【解析】因?yàn)?,所以的展開式中含的項(xiàng)為,的展開式中的系數(shù)為-28故答案為:-283.(2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.【答案】【解析】由題意的展開式的通項(xiàng)為,令即,則,所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為:.4.(2023年天津高考數(shù)學(xué)真題)在的展開式中,項(xiàng)的系數(shù)為.【答案】【解析】展開式的通項(xiàng)公式,令可得,,則項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為:60.5.(2024年天津高考數(shù)學(xué)真題)在的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為.【答案】20【解析】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為,令,可得,所以常數(shù)項(xiàng)為.故答案為:20.6.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)中的最大值為.【答案】5【解析】由題展開式通項(xiàng)公式為,且,設(shè)展開式中第項(xiàng)系數(shù)最大,則,,即,又,故,所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第9項(xiàng),且該項(xiàng)系數(shù)為.故答案為:5.7.(2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題)在的二項(xiàng)展開式中,若各項(xiàng)系數(shù)和為32,則項(xiàng)的系數(shù)為.【答案】10【解析】令,,即,解得,所以的展開式通項(xiàng)公式為,令,則,.故答案為:10.考點(diǎn)2:利用二項(xiàng)式定理求系數(shù)和問題8.(2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題)已知多項(xiàng)式,則,.【答案】【解析】含的項(xiàng)為:,故;令,即,令,即,∴,故答案為:;.9.(2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題)若,則(
)A.40 B.41 C. D.【答案】B【解析】令,則,令,則,故,故選:B.考點(diǎn)3:排列組合綜合運(yùn)用10.(2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題)設(shè)集合中的元素皆為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù),且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù),求集合中元素個數(shù)的最大值.【答案】329【解析】由題意知集合中且至多只有一個奇數(shù),其余均是偶數(shù).首先討論三位數(shù)中的偶數(shù),①當(dāng)個位為0時,則百位和十位在剩余的9個數(shù)字中選擇兩個進(jìn)行排列,則這樣的偶數(shù)有個;②當(dāng)個位不為0時,則個位有個數(shù)字可選,百位有個數(shù)字可選,十位有個數(shù)字可選,根據(jù)分步乘法這樣的偶數(shù)共有,最后再加上單獨(dú)的奇數(shù),所以集合中元素個數(shù)的最大值為個.故答案為:329.11.(2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課,學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有種(用數(shù)字作答).【答案】64【解析】(1)當(dāng)從8門課中選修2門,則不同的選課方案共有種;(2)當(dāng)從8門課中選修3門,①若體育類選修課1門,則不同的選課方案共有種;②若體育類選修課2門,則不同的選課方案共有種;綜上所述:不同的選課方案共有種.故答案為:64.12.(2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題)某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況,用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查,擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生,已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生,則不同的抽樣結(jié)果共有(
).A.種 B.種C.種 D.種【答案】D【解析】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人,高中部共抽取,根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種.故選:D.13.(2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演,若甲不站在兩端,丙和丁相鄰,則不同排列方式共有(
)A.12種 B.24種 C.36種 D.48種【答案】B【解析】因?yàn)楸∫谝黄?,先把丙丁捆綁,看做一個元素,連同乙,戊看成三個元素排列,有種排列方式;為使甲不在兩端,必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入,有2種插空方式;注意到丙丁兩人的順序可交換,有2種排列方式,故安排這5名同學(xué)共有:種不同的排列方式,故選:B14.(2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動,在某一星期的星期六、星期日兩天,每天從這5人中安排2人參加公益活動,則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有(
)A.120 B.60 C.30 D.20【答案】B【解析】不妨記五名志愿者為,假設(shè)連續(xù)參加了兩天公益活動,再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動,共有種方法,同理:連續(xù)參加了兩天公益活動,也各有種方法,所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動的選擇種數(shù)有種.故選:B.15.(2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種,則這兩人選讀的課外讀
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