2024年高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2函數(shù)的基本性質(zhì)第2課時奇偶性學(xué)案新人教A版必修第一冊

第2課時奇偶性課標要點核心素養(yǎng)1．理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義．了解奇函數(shù)、偶函數(shù)圖象的特征．2．駕馭推斷函數(shù)奇偶性的方法．3．會依據(jù)函數(shù)奇偶性求函數(shù)值或解析式．1．借助奇（偶）函數(shù)的特征，培育直觀想象素養(yǎng)．2．借助函數(shù)奇、偶的推斷方法，培育邏輯推理素養(yǎng)．3．借助奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．1．函數(shù)奇偶性的定義（1）一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I，假如?x∈I，都有-x∈I，且f（-x）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)．（2）一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I，假如?x∈I，都有-x∈I，且f（-x）=-f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)．2．奇、偶函數(shù)圖象的對稱性（1）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱圖形，反之，假如一個函數(shù)的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù)．（2）偶函數(shù)的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，假如一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù)．思索辨析（正確的打“√”，錯誤的打“×”）（1）對于函數(shù)y=f（x），若存在x，使f（-x）=-f（x），則函數(shù)y=f（x）肯定是奇函數(shù)． （）（2）不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)． （）（3）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)不是奇函數(shù)就是偶函數(shù)． （）（4）奇函數(shù)f（x）=1x，當x>0時的解析式與x<0時的解析式相同，所以一般的奇函數(shù)在（0，+∞）上的解析式與（-∞，0）上的解析式也相同． （（5）若奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有最小值a，則f（x）在（-∞，0）上有最大值-a． （）[解析]（1）×反例：f（x）=x2，存在x=0，f（-0）=-f（0）=0，但函數(shù)f（x）=x2不是奇函數(shù)．（2）×存在f（x）=0，x∈R既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．（3）×函數(shù)f（x）=x2-2x，x∈R的定義域關(guān)于原點對稱，但它既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)．（4）×反例函數(shù)f（x）=x-1，x>0，f（x）=x+1，x<0不同．（5）√奇函數(shù)f（x）關(guān)于原點對稱，在對稱區(qū)間上的最值互為相反數(shù)．[答案]（1）×（2）×（3）×（4）×（5）√函數(shù)奇偶性的推斷愛好探究[思索]1．如圖所示，它們分別是哪種對稱的圖形？2．視察函數(shù)f（x）=x和f（x）=1x的圖象（如圖），你能發(fā)覺兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎[答案]1．第一個既是軸對稱圖形、又是中心對稱圖形，其次個和第三個圖形為軸對稱圖形．2．兩個函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱．學(xué)問歸納1．奇偶性是函數(shù)“整體”性質(zhì)，只有對函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的每一個值x，都有f（-x）=-f（x）（或f（-x）=f（x）），才能說f（x）是奇函數(shù)（或偶函數(shù)）．2．函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象特別對稱性的反映，也體現(xiàn)了在關(guān)于原點對稱的定義域的兩個區(qū)間上函數(shù)值及其性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化，這是對稱思想的應(yīng)用．考向例題考向一用定義推斷函數(shù)的奇偶性【例1】推斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）=x3+x；（2）f（x）=x-1+（3）f（x）=36-（4）f（x）=x[解析]（1）函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱．又f（-x）=（-x）3+（-x）=-（x3+x）=-f（x），因此函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．（2）對于f（x）=x-1+有x-1≥01-x≥0即函數(shù)的定義域為{x|x=1}，其定義域不關(guān)于原點對稱，為非奇非偶函數(shù)；（3）對于f（x）=36-有36-x2≥0|x+3|-3≠0，解可得：-6<即函數(shù)的定義域為{x|-6<x≤6且x≠0}，其定義域不關(guān)于原點對稱，為非奇非偶函數(shù)．（4）函數(shù)f（x）的定義域為R，關(guān)于原點對稱．f（-x）=-即f（-x）=-于是有f（-x）=-f（x）．所以f（x）為奇函數(shù)．[答案]（1）奇函數(shù)（2）非奇非偶函數(shù)（3）非奇非偶函數(shù)（4）奇函數(shù)方法技巧：定義法推斷函數(shù)奇偶性的步驟：（1）求函數(shù)f（x）的定義域，看定義域是否關(guān)于原點對稱，不對稱就是非奇非偶函數(shù)；（2）定義域?qū)ΨQ時再求f（-x）；（3）比較f（-x）與f（x）的關(guān)系；（4）下結(jié)論：若f（-x）=f（x），f（x）為偶函數(shù)，若f（-x）=-f（x），f（x）為奇函數(shù)．即時鞏固推斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）=x-1+（2）f（x）=1[解析]（1）使函數(shù)有意義需滿意x所以該函數(shù)的定義域為{1}，因為定義域不關(guān)于原點對稱，所以f（x）為非奇非偶函數(shù)．（2）函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點對稱．當x>0時，-x<0，f（-x）=-12（-x）2-1=-（12x2+1）=-f（當x<0時，-x>0，f（-x）=12（-x）2+1=12x2+1=-（-12x2-1）=-f（綜上可知，函數(shù)f（x）=12x考向二奇偶函數(shù)的圖象【例2】已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當x≤0時，f（x）=x2+2x．現(xiàn)已畫出函數(shù)f（x）在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示．（1）畫出函數(shù)f（x）在y軸右側(cè)的圖象，并寫出函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）寫出訪f（x）<0的x的取值集合．[解析]（1）圖象如下：函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，0）和（1，+∞）；（2）由圖象知，使函數(shù)值y<0的x的取值集合為（-2，0）∪（0，2）．方法技巧：巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問題（1）依據(jù)：奇函數(shù)?圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)?圖象關(guān)于y軸對稱．（2）求解：依據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對稱性可以解決諸如求函數(shù)值或知道一半圖象畫稀奇偶函數(shù)完整圖象的問題．即時鞏固如圖是函數(shù)f（x）=1x2+1在區(qū)間[0，+∞）上的圖象，請據(jù)此在該坐標系中補全函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的圖象[解析]因為f（x）=1x所以f（x）的定義域為R．又對隨意x∈R，都有f（-x）=1(-x)2+1=1所以f（x）為偶函數(shù)．所以f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，其圖象如圖所示．函數(shù)奇偶性的簡潔應(yīng)用愛好探究[思索]1．對于定義域內(nèi)的隨意x，若f（-x）+f（x）=0，則函數(shù)f（x）是否具有奇偶性？若f（-x）-f（x）=0呢？2．若f（x）是奇函數(shù)且在x=0處有定義，則f（0）的值可求嗎？若f（x）為偶函數(shù)呢？[答案]1．由f（-x）+f（x）=0得f（-x）=-f（x），∴f（x）為奇函數(shù)．由f（-x）-f（x）=0得f（-x）=f（x），∴f（x）為偶函數(shù)．2．若f（x）為奇函數(shù)，f（-0）=-f（0），2f（0）=0，則f（0）=0；若f（x）為偶函數(shù)，f（-0）=f（0），f（0）=f（0），無法求出f（0）的值．學(xué)問歸納利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的關(guān)鍵是利用奇偶函數(shù)的關(guān)系式f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x），但要留意求給定哪個區(qū)間的解析式就設(shè)這個區(qū)間上的變量為x，然后把x轉(zhuǎn)化為-x（另一個已知區(qū)間上的解析式中的變量），通過適當推導(dǎo)，求得所求區(qū)間上的解析式．考向例題考向一利用函數(shù)的奇偶性求值【例3】（1）若函數(shù)f（x）=ax2+bx+3a+b+2是偶函數(shù)，定義域為[a-1，2a]，則a=，b=；

（2）已知f（x）=3x7-ax5+bx3+cx+2，若f（-3）=-3，則f（3）=．

[解析]（1）因為偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，所以a-1=-2a，解得a=13又函數(shù)f（x）=13x2+bx+b+3為二次函數(shù)結(jié)合偶函數(shù)圖象的特點，對稱軸為x=-32b，易得b=0（2）令g（x）=3x7-ax5+bx3+cx，則g（x）是奇函數(shù)，∴f（-3）=g（-3）+2=-g（3）+2，又f（-3）=-3，∴g（3）=5．又f（3）=g（3）+2，所以f（3）=5+2=7．[答案]（1）130（2）方法技巧：利用奇偶性求參數(shù)的常見類型及策略（1）定義域含參數(shù)：奇、偶函數(shù)f（x）的定義域為[a，b]，依據(jù)定義域關(guān)于原點對稱，利用a+b=0求參數(shù)．（2）解析式含參數(shù)：依據(jù)f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）列式，比較系數(shù)即可求解．即時鞏固若f（x）=（x+a）（x-4）為偶函數(shù)，則實數(shù)a=．

[解析]法一：f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，f（-x）=（-x+a）（-x-4）=x2-（a-4）x-4a，兩式恒相等，則a-4=0，即a=4．法二：f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，要使函數(shù)為偶函數(shù)，只需多項式的奇次項系數(shù)為0，即a-4=0，則a=4．[答案]4考向二用奇偶性求解析式【例4】（1）函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，當x>0時，f（x）=-x+1，求f（x）的解析式；（2）設(shè)f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，且f（x）+g（x）=1x-1，求函數(shù)f（x），g（x[解析]（1）設(shè)x<0，則-x>0，∴f（-x）=-（-x）+1=x+1，又∵函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），∴-f（x）=x+1，∴當x<0時，f（x）=-x-1．又f（x）為奇函數(shù)，故x=0時，f（0）=0，所以f（x）=-（2）∵f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x）．由f（x）+g（x）=1x-用-x代替x得f（-x）+g（-x）=1-∴f（x）-g（x）=1-x（①+②）÷2，得f（x）=1x（①-②）÷2，得g（x）=xx[答案]（1）f（x）=-（2）f（x）=1x2-1g（方法技巧：利用函數(shù)奇偶性求解析式的方法（1）“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè)．（2）要利用已知區(qū)間的解析式進行代入．（3）利用f（x）的奇偶性寫出f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x），從而聯(lián)立方程解出f（x）．即時鞏固已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當x≤0，時，f（x）=x2-2x，那么當x>0時，f（x）的解析式是．

[解析]由題意可得：設(shè)x>0，則-x<0；∵當x≤0時，f（x）=x2-2x，∴f（-x）=x2+2x，因為函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），所以x>0時f（x）=-x2-2x，故答案為f（x）=-x2-2x．[答案]f（x）=-x2-2x函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合問題愛好探究[思索]1．假如奇函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞增，那么你能確定f（x）在（-b，-a）上的單調(diào)性嗎？假如偶函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減，那么你能確定f（x）在（-b，-a）上的單調(diào)性嗎？2．若偶函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，那么f（3）和f（-2）的大小關(guān)系如何？若f（a）>f（b），你能得到什么結(jié)論？[答案]1．假如奇函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞增，那么f（x）在（-b，-a）上單調(diào)遞增；假如偶函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減，那么f（x）在（-b，-a）上單調(diào)遞增．2．f（-2）>f（3），若f（a）>f（b），則|a|<|b|．學(xué)問歸納（1）奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反．（2）偶函數(shù)的一個重要性質(zhì)：f（|x|）=f（x），它能使自變量化歸到[0，+∞）上，避開分類探討．考向例題考向一利用奇偶性比較大小【例5】函數(shù)y=f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，且函數(shù)f（x+2）是偶函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是 （）A．f（1）<f（52）<f（7B．f（72）<f（1）<f（5C．f（72）<f（52）<f（D．f（52）<f（1）<f（7[解析]∵函數(shù)f（x+2）是偶函數(shù)，∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，∴f（52）=f（32），f（72）=f又f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，∴f（12）<f（1）<f（32），即f（72）<f（1）<f（[答案]B即時鞏固設(shè)偶函數(shù)f（x）的定義域為R，當x∈[0，+∞）時，f（x）是增函數(shù)，則f（-2），f（π），f（-3）的大小關(guān)系是（）A．f（π）>f（-3）>f（-2）B．f（π）>f（-2）>f（-3）C．f（π）<f（-3）<f（-2）D．f（π）<f（-2）<f（-3）[解析]由偶函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系知，若x∈[0，+∞）時，f（x）是增函數(shù)，則x∈（-∞，0）時，f（x）是減函數(shù)，故其圖象的幾何特征是自變量的肯定值越小，則其函數(shù)值越小，∵|-2|<|-3|<π，∴f（π）>f（-3）>f（-2），故選A．[答案]A考向二利用奇偶性解不等式【例6】已知定義在[-2，2]上的奇函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上是減函數(shù)，若f（1-m）<f（m），求實數(shù)m的取值范圍．[解析]因為f（x）在區(qū)間[-2，2]上為奇函數(shù)，且在區(qū)間[0，2]上是減函數(shù)，所以f（x）在[-2，2]上為減函數(shù)．又f（1-m）<f（m），所以-即-1≤m≤3,-2≤m≤2,m<1故實數(shù)m的取值范圍是[-1，12）即時鞏固已知偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）單調(diào)遞增，則滿意f（x+2）<f（x）的x取值范圍是 （A．（2，+∞） B．（-∞，-1）C．[-2，-1）∪（2，+∞） D．（-1，2）[解析]∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）=f（-x）=f（|x|），∴f（x+2）<f（|x|），∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）單調(diào)遞增，∴x+2<|x|，解得：x∈[-2，-1）∪（2，+∞）．[答案]C1．函數(shù)f（x）=1x，x∈（0，1）的奇偶性是 （A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)