《運(yùn)籌學(xué)》 課件 第10、11章 排隊(duì)論、存儲(chǔ)論

7/16/2024第10章排隊(duì)論1WheretheTimeGoes美國(guó)人一生中平均要花費(fèi)---7/16/202426年吃5年排隊(duì)等待4年做家務(wù)2年回電話不成功1年尋找放置不當(dāng)?shù)奈锲?個(gè)月打開郵寄廣告6個(gè)月停在紅燈前AC尼爾森公司的調(diào)查在消費(fèi)者經(jīng)常遭遇排隊(duì)問(wèn)題的各類場(chǎng)所銀行的排隊(duì)率是73%；醫(yī)院以44%居第二；零售商店的排隊(duì)率以43%居第三。在調(diào)查受訪的消費(fèi)者中，超過(guò)60%的受訪者稱通常一周用于排隊(duì)的時(shí)間高于30分鐘。在所有受訪的消費(fèi)者中，有28%的人因排長(zhǎng)隊(duì)而轉(zhuǎn)選其它服務(wù)提供商，66%的人因不想耽誤時(shí)間而選擇離開，而46%的人會(huì)有抱怨。7/16/20243行為研究結(jié)論行為科學(xué)家發(fā)現(xiàn)：無(wú)序排隊(duì)是影響客戶流失的一條主要原因。研究結(jié)果表明等候時(shí)間：超過(guò)十分鐘，情緒開始急躁；超過(guò)二十分鐘，情緒表現(xiàn)厭煩；超過(guò)四十分鐘，常因惱火而離去。7/16/20244如何減少排隊(duì)？減少等候時(shí)間的解決方案：開設(shè)更多的服務(wù)點(diǎn)；提供自助服務(wù)解決方案；雇用更多員工。7/16/20245排隊(duì)管理系統(tǒng)的應(yīng)用近年來(lái)，許多公共服務(wù)場(chǎng)所出現(xiàn)了排隊(duì)機(jī)(ticketdispenserunit)，窗口秩序?yàn)橹蛔?，一種令人耳目一新的排隊(duì)方式：進(jìn)得大門，在排隊(duì)機(jī)的觸摸屏上點(diǎn)一下所要辦理的項(xiàng)目，排隊(duì)機(jī)就會(huì)“吐”出一張像名片大小的號(hào)票，拿著這張?zhí)柶卑舶察o靜地坐在休息區(qū)舒適的椅子上等候，輪到自己時(shí)，大屏幕和語(yǔ)音系統(tǒng)會(huì)提醒你到相應(yīng)的窗口辦理，井然有序。7/16/20246DisneyParis’sEuroDisney,Tokyo’sDisneyJapan,andtheU.S.’sDisneyWorldandDisneylandallhaveonefeatureincommon—longlinesandseeminglyendlesswaits。在游樂(lè)園中的頻頻排隊(duì)會(huì)極為掃興……7/16/20247Disney在佛羅里達(dá)州Orlando的DisneyLand里,游客們依著繩子排成許多隊(duì)，指示牌可以估計(jì)出等待的時(shí)間，而許多大的電視屏幕為游客們提供消遣。DisneyLand中的FastPass系統(tǒng)就是想解決排隊(duì)問(wèn)題。7/16/20248WhatisFastPass?工作原理：到達(dá)的顧客將自己的票插入FastPass的slot中FastPass計(jì)算出建議顧客返回的時(shí)間間隔（timeinterval）或時(shí)間點(diǎn)或時(shí)間窗（timewindow）顧客無(wú)需排隊(duì)，在指定的時(shí)間返回就可持票進(jìn)入7/16/20249Disney’sFastpass7/16/202410

如何計(jì)算顧客等待時(shí)間？7/16/202411

排隊(duì)論！服務(wù)系統(tǒng)的構(gòu)成排隊(duì)現(xiàn)象抽象成服務(wù)系統(tǒng)，它由顧客、服務(wù)機(jī)構(gòu)、隊(duì)列和服務(wù)規(guī)則等組成7/16/202412ThreePartsofaQueuingSystem

atDave’sCar-Wash7/16/202413排隊(duì)系統(tǒng)的基本特征離開排隊(duì)規(guī)則到達(dá)過(guò)程排隊(duì)結(jié)構(gòu)服務(wù)過(guò)程退出需求群體7/16/202414什么是排隊(duì)論排隊(duì)論是研究服務(wù)系統(tǒng)中排隊(duì)現(xiàn)象隨機(jī)規(guī)律的理論與方法。因?yàn)榕抨?duì)現(xiàn)象是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，因此在研究排隊(duì)現(xiàn)象的時(shí)候，主要采用的是研究隨機(jī)現(xiàn)象的概率論作為主要工具，還有微分方程。7/16/202415排隊(duì)論研究目的和內(nèi)容減少顧客等待時(shí)間計(jì)算顧客平均等待時(shí)間計(jì)算顧客的平均隊(duì)長(zhǎng)提高服務(wù)系統(tǒng)的效率計(jì)算服務(wù)強(qiáng)度計(jì)算忙期\閑期對(duì)服務(wù)系統(tǒng)進(jìn)行成本效益平衡分析增加服務(wù)臺(tái)的成本與效益分析7/16/202416排隊(duì)論發(fā)展簡(jiǎn)述1909年丹麥數(shù)學(xué)家A.K.Erlang(愛(ài)爾朗)服務(wù)于一家電話公司，他在解決自動(dòng)電話設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)開始形成的，當(dāng)時(shí)稱為話務(wù)理論。他在熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)平衡理論的啟發(fā)下，成功地建立了電話統(tǒng)計(jì)平衡模型，并由此得到一組遞推狀態(tài)方程，從而導(dǎo)出著名的愛(ài)爾朗電話損失率公式。7/16/202417排隊(duì)論發(fā)展簡(jiǎn)述上世紀(jì)50年代，英國(guó)人D.G.Kendall提出嵌入馬爾可夫鏈理論，以及對(duì)排隊(duì)隊(duì)型的分類方法，為排隊(duì)論奠定了理論基礎(chǔ)；上世紀(jì)60年代更多的應(yīng)用于生產(chǎn)線，交通信號(hào)燈綠信比的設(shè)置等問(wèn)題；上世紀(jì)70年代應(yīng)用于計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、通信等領(lǐng)域；如今通信系統(tǒng)仍然是排隊(duì)論應(yīng)用的主要領(lǐng)域,同時(shí)在運(yùn)輸、港口泊位設(shè)計(jì)、機(jī)器維修、庫(kù)存控制等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，特別是服務(wù)行業(yè)。7/16/202418CONTENTS019目錄7/16/202410.1

排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的基本概念10.2

到達(dá)間隔與服務(wù)時(shí)間的分布10.3

生滅過(guò)程與系統(tǒng)狀態(tài)方程10.4

單服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)模型10.5

多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)模型10.6

其他類型排隊(duì)模型10.7

排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化10.1排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的基本概念10.1排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的基本概念一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)可以抽象描述為：為了獲得服務(wù)的顧客到達(dá)服務(wù)設(shè)施前排隊(duì)，等候接受服務(wù)，服務(wù)完畢后就自行離開。要求得到服務(wù)的對(duì)象稱為顧客服務(wù)者稱為服務(wù)設(shè)施或服務(wù)臺(tái)顧客的到達(dá)和離開稱為排隊(duì)系統(tǒng)的輸入和輸出。顧客的總體稱為顧客源或輸入源。因此，任何一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)是一種輸入-輸出系統(tǒng)。7/16/202421服務(wù)系統(tǒng)系統(tǒng)類型 顧客 服務(wù)臺(tái)理發(fā)店 人 理發(fā)師銀行出納服務(wù) 人 出納ATM機(jī)服務(wù) 人 ATM機(jī)超市收銀臺(tái) 人 收銀員電影院售票窗口 人 售票員機(jī)場(chǎng)檢票處 人 航空公司代理人7/16/202422服務(wù)系統(tǒng)系統(tǒng)類型 顧客 服務(wù)臺(tái)公路收費(fèi)站 汽車 收費(fèi)員港口卸貨區(qū) 輪船 卸貨工人等待起飛的飛機(jī) 飛機(jī) 跑道航班服務(wù) 人 飛機(jī)出租車服務(wù) 人 出租車電梯服務(wù) 人 電梯停車場(chǎng) 汽車 停車空間急救車服務(wù) 人 急救車7/16/20242310.1.1排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的構(gòu)成事實(shí)上，任何一個(gè)排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)都是一種輸入-輸出系統(tǒng)。顧客的到達(dá)和離開稱為排隊(duì)系統(tǒng)的輸入和輸出。顧客的總體稱為顧客源或輸入源。顧客源等候隊(duì)列服務(wù)設(shè)施到達(dá)輸入輸出離開排隊(duì)系統(tǒng)7/16/202424排隊(duì)系統(tǒng)的三個(gè)基本組成部分：輸入過(guò)程(顧客按照怎樣的規(guī)律到達(dá))；排隊(duì)規(guī)則(顧客按照一定規(guī)則排隊(duì)等待服務(wù))；服務(wù)機(jī)構(gòu)(服務(wù)機(jī)構(gòu)的設(shè)置,服務(wù)臺(tái)的數(shù)量,服務(wù)的方式,服務(wù)時(shí)間分布等)10.1.1排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的構(gòu)成7/16/202425一、輸入ArrivalCharacteristics顧客源是有限集還是無(wú)限集（Sizeofthearrivalpopulation）工廠內(nèi)待修的機(jī)器數(shù)是有限集，售票處購(gòu)票顧客源可認(rèn)為是無(wú)限集。顧客到達(dá)系統(tǒng)的方式是單個(gè)的，還是成批的（Behaviorofarrivals）如到達(dá)賓館服務(wù)臺(tái)住宿有散客，也有團(tuán)體相繼到達(dá)系統(tǒng)的時(shí)間間隔是確定性的還是隨機(jī)性的（Patternofarrivalatthesystem）如自動(dòng)裝配線上待裝配部件到達(dá)各工序的時(shí)間間隔是確定的。而多數(shù)顧客到達(dá)都是隨機(jī)的，隨機(jī)的服從某種概率分布：二項(xiàng)、負(fù)指數(shù)、愛(ài)爾朗分布等。7/16/202426到達(dá)過(guò)程(輸入過(guò)程)的內(nèi)容顧客總體數(shù)或顧客源數(shù)有限或無(wú)限顧客的到達(dá)類型單個(gè)或成批顧客的到達(dá)間隔時(shí)間間隔時(shí)間分布7/16/202427二、排隊(duì)規(guī)則QueueDiscipline顧客來(lái)到排隊(duì)系統(tǒng)后如何排隊(duì)等候服務(wù)的規(guī)則1、即時(shí)制（損失制）：當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，如果所有服務(wù)臺(tái)都已被占用，顧客可以隨即離開系統(tǒng)；如電話撥號(hào)后出現(xiàn)忙音，顧客可馬上掛上電話。2、等候制：當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，所有服務(wù)臺(tái)都已被占用，顧客就加入排隊(duì)隊(duì)列等候服務(wù)。排隊(duì)規(guī)則：FIFO/FCFS先到先服務(wù)，最常見(jiàn)LIFO：乘電梯的顧客是后進(jìn)先出SIRO隨機(jī)服務(wù)：從等待的顧客中隨機(jī)取一個(gè)進(jìn)行服務(wù)，人工電話交換優(yōu)先權(quán)服務(wù)：重病優(yōu)先、老年人優(yōu)先等7/16/202428二、排隊(duì)規(guī)則QueueDiscipline3、混合制：即時(shí)制和等候制相結(jié)合的一種排隊(duì)服務(wù)規(guī)則。隊(duì)列長(zhǎng)度有限制時(shí)：排隊(duì)等候的人數(shù)超過(guò)預(yù)定數(shù)量，后來(lái)的顧客就自動(dòng)離開。排隊(duì)時(shí)間有限制時(shí)：顧客排隊(duì)等候超過(guò)一定的時(shí)間就會(huì)自動(dòng)離開，不能再等；電子元器件庫(kù)存超過(guò)一定時(shí)期，就失效了7/16/202429三、服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)設(shè)施的結(jié)構(gòu)、服務(wù)方式、服務(wù)時(shí)間：按服務(wù)設(shè)施個(gè)數(shù)分，有一個(gè)或多個(gè)之分，有并聯(lián)和串聯(lián)之分單臺(tái)服務(wù)系統(tǒng)和多臺(tái)服務(wù)系統(tǒng)服務(wù)方式有單個(gè)服務(wù)和成批服務(wù)服務(wù)時(shí)間是確定和隨機(jī)的7/16/202430服務(wù)臺(tái)結(jié)構(gòu)等候隊(duì)列服務(wù)臺(tái)單服務(wù)臺(tái)等候隊(duì)列服務(wù)臺(tái)2服務(wù)臺(tái)1并列多臺(tái)等候隊(duì)列服務(wù)臺(tái)1串列多臺(tái)服務(wù)臺(tái)2等候隊(duì)列服務(wù)臺(tái)3服務(wù)臺(tái)1混列多臺(tái)服務(wù)臺(tái)4服務(wù)臺(tái)27/16/202431服務(wù)方式

服務(wù)的方式是對(duì)單個(gè)顧客進(jìn)行的，還是對(duì)成批顧客進(jìn)行的。公共汽車站臺(tái)等待的顧客是成批進(jìn)行服務(wù)的。7/16/202432服務(wù)時(shí)間對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間是確定的還是隨機(jī)的。自動(dòng)沖洗汽車的裝置對(duì)每輛汽車沖洗服務(wù)的時(shí)間是確定性的。但大多數(shù)情況下服務(wù)時(shí)間是隨機(jī)性的。對(duì)于隨機(jī)要知道它的概率分布，是定長(zhǎng)、負(fù)指數(shù)還是愛(ài)爾朗分布。Servicetimedistribution7/16/202433排隊(duì)結(jié)構(gòu)多隊(duì)多服務(wù)臺(tái)領(lǐng)號(hào)34826101211579單隊(duì)多服務(wù)臺(tái)入口7/16/202434通常，按排隊(duì)系統(tǒng)的主要特征來(lái)進(jìn)行排隊(duì)系統(tǒng)的分類。一般是以相繼顧客到達(dá)系統(tǒng)的間隔時(shí)間分布類型、服務(wù)時(shí)間的分布類型和服務(wù)臺(tái)數(shù)目為分類標(biāo)志。Kendall提出一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的分類方法，特征可以用六個(gè)參數(shù)表示，形式為：

X／Y／Z其中X––顧客到達(dá)的概率分布，可取M、D、Ek、G等；Y––服務(wù)時(shí)間的概率分布，可取M、D、Ek、G等；Z––服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)，取正整數(shù)；10.1.2排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的分類7/16/202435X、Y可有四種分布符號(hào)M、D、Ek、GM—負(fù)指數(shù)分布所描述的隨機(jī)現(xiàn)象對(duì)于過(guò)去的事件具有無(wú)記憶性或稱馬爾可夫性MarkovD—定長(zhǎng)分布，事件以不變的方式發(fā)生DeterministicEk—k階愛(ài)爾朗分布ErlangG—一般隨機(jī)分布General如M/M/1表示到達(dá)的間隔時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)時(shí)間也服從負(fù)指數(shù)分布的單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)模型M/D/2表示到達(dá)的間隔時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)時(shí)間為定長(zhǎng)分布的雙服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)模型10.1.2排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的分類7/16/2024361971年又將Kendall符號(hào)擴(kuò)展為：

X／Y／Z/A／B／C其中：A––排隊(duì)系統(tǒng)的最大容量，可取正整數(shù)N或

；B––顧客源的最大容量，可取正整數(shù)m或

；C––排隊(duì)規(guī)則，可取FCFS、LCFS等。特別約定，如略去后三項(xiàng)，則是指

X／Y／Z/

／

／FCFS因?yàn)楸菊n程只介紹FCFS,所以略去最后一項(xiàng)10.1.2排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的分類7/16/20243710.1.2排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的分類例

M/M/1/

/

/FCFS表示：顧客到達(dá)的時(shí)間間隔是負(fù)指數(shù)分布服務(wù)時(shí)間是負(fù)指數(shù)分布一個(gè)服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)和顧客源的容量都是無(wú)限實(shí)行先到先服務(wù)的一個(gè)服務(wù)系統(tǒng)

7/16/202438一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)開始運(yùn)行時(shí),系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)在很大程度上取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)和運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)間。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間以后，系統(tǒng)的狀態(tài)將獨(dú)立于初始狀態(tài)和經(jīng)歷時(shí)間，這時(shí)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。排隊(duì)系統(tǒng)主要研究穩(wěn)定狀態(tài)。系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，工作狀況與時(shí)刻t無(wú)關(guān)。10.1.3排隊(duì)系統(tǒng)的相關(guān)術(shù)語(yǔ)7/16/202439主要名詞術(shù)語(yǔ)平均到達(dá)率

n

：當(dāng)系統(tǒng)中有n個(gè)顧客時(shí)，新來(lái)顧客的平均到達(dá)率（單位時(shí)間內(nèi)顧客的到達(dá)數(shù)）。當(dāng)對(duì)所有n值

n為常數(shù)時(shí)，可用代替n1/

為相鄰兩顧客到達(dá)系統(tǒng)的平均間隔時(shí)間。平均服務(wù)率

n

：當(dāng)系統(tǒng)中有n個(gè)顧客時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)被服務(wù)完畢后離開系統(tǒng)的平均顧客數(shù)。當(dāng)對(duì)所有n值，

n為常數(shù)時(shí)，可用代替n1/

為每個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間。c—系統(tǒng)中并列服務(wù)臺(tái)數(shù)目。7/16/202440主要名詞術(shù)語(yǔ)N(t)

在時(shí)刻t排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)的顧客數(shù)，即系統(tǒng)在時(shí)刻t的瞬時(shí)狀態(tài)。Pn(t)

在t時(shí)刻系統(tǒng)中恰好有n個(gè)顧客的概率主要分析系統(tǒng)平穩(wěn)分布,即當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)時(shí)處于狀態(tài)n的概率,記為Pn7/16/202441主要系統(tǒng)性能指標(biāo)平均逗留時(shí)間Ws

：進(jìn)入系統(tǒng)的顧客逗留時(shí)間的平均值，包括接受服務(wù)的時(shí)間。平均等待時(shí)間Wq

：進(jìn)入系統(tǒng)的顧客等待時(shí)間的平均值。服務(wù)機(jī)構(gòu)工作強(qiáng)度

：服務(wù)機(jī)構(gòu)累計(jì)的工作時(shí)間占全部時(shí)間的比例，即服務(wù)強(qiáng)度

平均顧客數(shù)Ls

：一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的顧客平均數(shù)，包括正在接受服務(wù)的顧客。平均隊(duì)長(zhǎng)Lq

：系統(tǒng)中等待服務(wù)的顧客平均數(shù)。7/16/202442常用的記號(hào)c—服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)n––系統(tǒng)中的顧客數(shù),即系統(tǒng)狀態(tài)

––平均到達(dá)率，即單位時(shí)間內(nèi)平均到達(dá)的顧客數(shù)

––平均服務(wù)率，即單位時(shí)間內(nèi)服務(wù)完畢的顧客數(shù)Pn(t)––時(shí)刻t系統(tǒng)狀態(tài)n的概率Pn––系統(tǒng)中的顧客數(shù)n（系統(tǒng)狀態(tài)n)的穩(wěn)態(tài)概率M––顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布D––顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔服從定長(zhǎng)分布Ek––顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔服從k階Erlang分布G—顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔服從一般分布7/16/20244310.2到達(dá)間隔與服務(wù)時(shí)間的分布組成一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的四要素輸入\輸出\排隊(duì)服務(wù)規(guī)則\服務(wù)機(jī)構(gòu)顧客的輸入和輸出過(guò)程一般是隨機(jī)的研究較多且結(jié)果較好的排隊(duì)系統(tǒng)是：顧客的輸入過(guò)程服從泊松分布，而服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布的排隊(duì)系統(tǒng)若顧客輸入過(guò)程服從泊松分布，則顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布。10.2到達(dá)間隔與服務(wù)時(shí)間的分布7/16/202445定義：滿足以下條件的輸入流稱為Poisson流（最簡(jiǎn)單流、Poisson過(guò)程）1）無(wú)后效性：不相交的時(shí)間區(qū)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)互相獨(dú)立。2）平穩(wěn)性：對(duì)充分小的

t，在時(shí)間區(qū)間[t,t+

t)內(nèi)到達(dá)1個(gè)顧客的概率與t無(wú)關(guān)，只與

t有關(guān)，即：其中：l是一個(gè)大于零的常數(shù)，表示單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)一個(gè)顧客的概率3）守序性：設(shè)在[t,t+

t）內(nèi)到達(dá)多于一個(gè)顧客的概率為極小o(

t)。即 10.2.1Poisson流7/16/202446實(shí)際情況是否符合三條性質(zhì)到達(dá)工廠機(jī)修車間的要維修的機(jī)器情況分析：因?yàn)槊颗_(tái)機(jī)器在各個(gè)時(shí)刻處的狀態(tài)大致一樣，所以在相等時(shí)間區(qū)間內(nèi)各臺(tái)機(jī)器損壞的概率大致相同，即要求維修的機(jī)器的流具有平穩(wěn)性由于一臺(tái)機(jī)器的故障不會(huì)引起另一臺(tái)機(jī)器的故障，而對(duì)同一臺(tái)機(jī)器，這段時(shí)間內(nèi)損壞的次數(shù)不影響到以后損壞次數(shù)多少，這表明具有無(wú)后效性由于每臺(tái)機(jī)器損壞概率很小，在足夠小的時(shí)間區(qū)間內(nèi)發(fā)生兩臺(tái)及以上機(jī)器損壞的概率幾乎為0，這就符合普通性。因此對(duì)到達(dá)機(jī)修車間的要維修的機(jī)器數(shù)可以認(rèn)為是最簡(jiǎn)單流,即poisson流。7/16/202447Poisson流與Poisson分布定理1對(duì)于一個(gè)參數(shù)為

的Poisson流，在[0，t]內(nèi)到達(dá)n個(gè)顧客的概率為

即服從以

為參數(shù)的Poisson分布。

7/16/202448PoissonDistributionsforArrivalTimesProbabilityProbability=2=4

：?jiǎn)挝粫r(shí)間顧客的平均到達(dá)率7/16/202449Poisson流與負(fù)指數(shù)分布間的關(guān)系定理2

在排隊(duì)系統(tǒng)中，如果單位時(shí)間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)服從以

為參數(shù)的Poisson分布，則顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔T服從以

為參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布。

l=0.41/

為平均到達(dá)間隔時(shí)間（expectedinterarrivaltime)7/16/202450負(fù)指數(shù)分布

NegativeExponentialDistribution分布函數(shù)7/16/202451負(fù)指數(shù)分布——無(wú)后效性無(wú)后效性表示T顧客到達(dá)的時(shí)間間隔已經(jīng)過(guò)了s后，再等t的時(shí)間與s無(wú)關(guān)。7/16/20245210.2.2服務(wù)時(shí)間的分布1）負(fù)指數(shù)分布在排隊(duì)系統(tǒng)中，一般假設(shè)服務(wù)時(shí)間（servicetime)服從參數(shù)為m的負(fù)指數(shù)分布：1/m為平均服務(wù)時(shí)間（expectedservicetime)7/16/202453平均服務(wù)時(shí)間Meanservicetime=1/

分布函數(shù)10.2.2服務(wù)時(shí)間的分布7/16/202454服務(wù)時(shí)間負(fù)指數(shù)分布的性質(zhì)假如服務(wù)設(shè)施對(duì)每個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，則對(duì)每個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間為1/m當(dāng)服務(wù)設(shè)施對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間t為參數(shù)m

的負(fù)指數(shù)分布時(shí)，則有在[t,t+

t]時(shí)間內(nèi)，沒(méi)有顧客離去的概率為1-m

t在[t,t+

t]時(shí)間內(nèi)，恰有一個(gè)顧客離去的概率為m

t如果

t足夠小，在[t,t+

t]時(shí)間內(nèi)有多于兩個(gè)以上顧客離去的概率趨于07/16/202455服務(wù)時(shí)間負(fù)指數(shù)分布的性質(zhì)若按依次到達(dá)的間隔時(shí)間統(tǒng)計(jì)，顧客流服從負(fù)指數(shù)分布，則對(duì)同一顧客流若按單位時(shí)間到達(dá)的數(shù)量統(tǒng)計(jì)，它服從泊松分布。泊松分布和負(fù)指數(shù)分布是對(duì)同一顧客流按不同方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)時(shí)得到的兩種不同分布。7/16/2024562）k階Erlang分布愛(ài)爾朗分布比負(fù)指數(shù)分布具有更廣泛的適應(yīng)性，k階愛(ài)爾朗分布（Ek)的概率密度函數(shù)為：

10.2.2服務(wù)時(shí)間的分布7/16/202457愛(ài)爾朗分布的均值和方差是由此可得愛(ài)爾朗分布的階數(shù)：10.2.2服務(wù)時(shí)間的分布7/16/20245810.2.2服務(wù)時(shí)間的分布m=1k=1k=2k=4k=87/16/202459K個(gè)相互獨(dú)立的且具有相同參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布的隨機(jī)變量的和，其分布服從k階Erlang分布。例如一臺(tái)自動(dòng)機(jī)床上依次利用三把刀具對(duì)一個(gè)工件進(jìn)行加工，若每把刀具對(duì)該工件的加工時(shí)間均為參數(shù)相同的負(fù)指數(shù)分布，則該工件在自動(dòng)機(jī)床上總的加工時(shí)間服從3階Erlang分布10.2.2服務(wù)時(shí)間的分布7/16/202460定理3設(shè)v1，v2，…，vk是k個(gè)互相獨(dú)立的，具有相同參數(shù)m的負(fù)指數(shù)分布的隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量

Ek=v1+v2+…+vk服從k階Erlang分布，Ek的密度函數(shù)為10.2.2服務(wù)時(shí)間的分布7/16/202461均值、方差和階數(shù)總服務(wù)時(shí)間服從愛(ài)爾朗分布，其均值和方差是由此可得愛(ài)爾朗分布的階數(shù)：每個(gè)服務(wù)臺(tái)的平均服務(wù)時(shí)間是：7/16/20246210.3生滅過(guò)程10.3生滅過(guò)程排隊(duì)系統(tǒng)—隨機(jī)聚散服務(wù)系統(tǒng)顧客到達(dá)是“生”，顧客離開是“滅”7/16/202464生滅過(guò)程

Birth-deathprocessN(t)是系統(tǒng)t時(shí)刻的狀態(tài)（顧客數(shù)），則{N(t),t>=0}就構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，若用“生”表示一個(gè)顧客的到達(dá)，“滅”代表一個(gè)顧客過(guò)程的離去，則對(duì)許多排隊(duì)過(guò)程來(lái)說(shuō)，{N(t),t>=0}也是一類特殊的隨機(jī)過(guò)程——生滅過(guò)程7/16/202465定義：設(shè){N(t),t>=0}是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，如果其概率分布滿足有如下性質(zhì)：（1）給定N(t)=n,到下一個(gè)“生”（顧客到達(dá)）的間隔時(shí)間服從參數(shù)為ln的負(fù)指數(shù)分布;（2）給定N(t)=n,到下一個(gè)“滅”（顧客離去）的間隔時(shí)間服從參數(shù)為mn的負(fù)指數(shù)分布;（3）同一時(shí)刻只能到達(dá)一個(gè)或離去一個(gè)顧客；則稱{N(t),t>=0}是生滅過(guò)程生滅過(guò)程

Birth-deathprocess7/16/202466當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)間服從參數(shù)為λn

的負(fù)指數(shù)分布時(shí)，則有:在[t,t+

t]時(shí)間內(nèi)，沒(méi)有顧客到達(dá)的概率為在[t,t+

t]時(shí)間內(nèi)，恰有一個(gè)顧客到達(dá)的概率為如果

t足夠小，在[t,t+

t]時(shí)間內(nèi)有多于兩個(gè)以上顧客到達(dá)的概率趨于07/16/202467生滅過(guò)程

Birth-deathprocess當(dāng)服務(wù)設(shè)施對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布時(shí)，則有:在[t,t+

t]時(shí)間內(nèi)，沒(méi)有顧客離去的概率為在[t,t+

t]時(shí)間內(nèi)，恰有一個(gè)顧客離去的概率為如果

t足夠小，在[t,t+

t]時(shí)間內(nèi)有多于兩個(gè)以上顧客離去的概率趨于07/16/202468生滅過(guò)程

Birth-deathprocessnnn+1n-1nPn(t)Pn-1(t)Pn+1(t)Pn(t)t時(shí)刻t+

t時(shí)刻無(wú)到達(dá)，無(wú)離開無(wú)到達(dá)，離開一個(gè)到達(dá)一個(gè)，無(wú)離開到達(dá)一個(gè)，離開一個(gè)假設(shè)在t+

t時(shí)刻系統(tǒng)中顧客數(shù)為n的概率Pn(t+

t)7/16/202469生滅過(guò)程

Birth-deathprocess7/16/202470生滅過(guò)程

Birth-deathprocess系統(tǒng)的過(guò)渡狀態(tài)與穩(wěn)定狀態(tài)過(guò)渡穩(wěn)定7/16/202471生滅過(guò)程的穩(wěn)定狀態(tài)方程生滅過(guò)程的瞬時(shí)狀態(tài)一般很難求得，但可求得穩(wěn)定狀態(tài)分布7/16/202472生滅過(guò)程的穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖對(duì)于穩(wěn)定的生滅狀態(tài)，從平均意義上說(shuō)有：“流入速率=流出速率”穩(wěn)定的生滅過(guò)程可以用狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖表示7/16/202473生滅過(guò)程的穩(wěn)態(tài)方程基本原理系統(tǒng)任意狀態(tài)n達(dá)到穩(wěn)態(tài)平衡的條件是：產(chǎn)生該狀態(tài)的平均速率等于該狀態(tài)轉(zhuǎn)變成其他狀態(tài)的平均速率例如，對(duì)于系統(tǒng)狀態(tài)n=0的情況，產(chǎn)生和破壞該狀態(tài)的可能性有兩種情況。如后圖所示。7/16/202474n=0狀態(tài)的產(chǎn)生和破壞7/16/202475n=1狀態(tài)的產(chǎn)生和破壞7/16/202476n=2狀態(tài)的產(chǎn)生和破壞7/16/202477n-1狀態(tài)的產(chǎn)生和破壞7/16/202478任意狀態(tài)n的產(chǎn)生和破壞7/16/202479λ012n-1nn+17/16/202480生滅過(guò)程Birth-deathprocess生滅過(guò)程的基本公式7/16/202481生滅過(guò)程的狀態(tài)概率因?yàn)樗约吹?/16/202482標(biāo)準(zhǔn)的排隊(duì)過(guò)程是參數(shù)不隨狀態(tài)而變的特殊的生滅過(guò)程7/16/202483生滅過(guò)程

Birth-deathprocess10.4單服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)模型輸入過(guò)程為泊松流，服務(wù)時(shí)間基本服從負(fù)指數(shù)分布的排隊(duì)系統(tǒng)10.4.1標(biāo)準(zhǔn)M/M/1/∞/∞10.4.2有限隊(duì)列模型M/M/1/N/

/10.4.3顧客為有限源系統(tǒng)M/M/1/∞/m10.4單服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)模型7/16/20248510.4.1標(biāo)準(zhǔn)排隊(duì)模型[M/M/1/

/

/FCFS][M/M/1/

/

/FCFS]顧客到達(dá)的時(shí)間間隔是負(fù)指數(shù)分布服務(wù)時(shí)間是負(fù)指數(shù)分布一個(gè)服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)和顧客源的容量都是無(wú)限實(shí)行先到先服務(wù)的一個(gè)服務(wù)系統(tǒng)7/16/202486M/M/1的狀態(tài)轉(zhuǎn)移分析012n-1nn+17/16/202487M/M/1排隊(duì)模型標(biāo)準(zhǔn)的排隊(duì)過(guò)程是參數(shù)不隨狀態(tài)而變的特殊的生滅過(guò)程7/16/202488得到

令

稱

為服務(wù)強(qiáng)度，則得由M/M/1排隊(duì)模型7/16/202489例10.1高速公路入口收費(fèi)處設(shè)有一個(gè)收費(fèi)通道，汽車到達(dá)服從Poisson分布，平均到達(dá)速率為100輛／小時(shí)，收費(fèi)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均收費(fèi)時(shí)間為15秒／輛。求1、收費(fèi)處空閑的概率；2、收費(fèi)處忙的概率；3、系統(tǒng)中分別有1，2，3輛車的概率。7/16/202490M/M/1排隊(duì)模型根據(jù)題意,

=100輛/小時(shí),1/

=15秒=1/240（小時(shí)/輛）,即

＝240（輛/小時(shí)）。因此，

=

/

=100/240=5/12。系統(tǒng)空閑的概率為：

P0=1-

=1-(5/12)=7/12=0.583系統(tǒng)忙的概率為：

1-P0=1-(1-

)=

=5/12=0.417系統(tǒng)中有1輛車的概率為：

P1=

(1-

)=0.417×0.583=0.243系統(tǒng)中有2輛車的概率為：

P2=

2(1-

)=0.4172×0.583=0.101系統(tǒng)中有3輛車的概率為：

P3=

3(1-

)=0.4173×0.583=0.04217/16/202491M/M/1排隊(duì)模型解：系統(tǒng)績(jī)效度量

系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)LsExpectednumberofcustomersinsystem

平均等待顧客個(gè)數(shù)Lq（排隊(duì)長(zhǎng)）

Expectedqueuelength(excludecustomersbeingserved)

顧客平均逗留時(shí)間Ws

Waitingtimeinsystem

顧客平均（排隊(duì)）等待時(shí)間WqWaitingtimeinqueue(excludeservicetime)7/16/202492M/M/1/

/

/FCFS的系統(tǒng)指標(biāo)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)Ls

隊(duì)列中的平均顧客數(shù)Lq7/16/202493顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間Ts服從參數(shù)為m-l的負(fù)指數(shù)分布7/16/202494顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間Ws

顧客在隊(duì)列中的平均逗留時(shí)間Wq

顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間7/16/202495JohnD.C.Little公式7/16/202496理發(fā)店空閑的概率店內(nèi)有3個(gè)顧客的概率店內(nèi)至少有一個(gè)顧客的概率店內(nèi)顧客的平均數(shù)，等待服務(wù)顧客的平均數(shù)顧客在店內(nèi)的平均逗留時(shí)間和平均等待時(shí)間必須在店內(nèi)消耗15分鐘以上的概率例10.2某理發(fā)店只有一名理發(fā)師，來(lái)理發(fā)的顧客按泊松分布到達(dá)，平均每小時(shí)4人，理發(fā)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需要6分鐘，求7/16/202497M/M/1排隊(duì)模型(3)P(n≥1)=1?P(n<1)=1?P0=0.4(4)Ls=r/(1?r)=0.4/(1?0.4)=0.667人

Lq=Ls?r=0.667-0.4=0.227解：此為M/M/1系統(tǒng)，已知l=4/60=1/15人/分

m=1/6人/分，r=l/m=(1/15)/(1/6)=0.4(1)P0=1?r=1=0.4=0.6(2)P3=(1?r)r3=0.6×0.43=0.03847/16/202498M/M/1排隊(duì)模型

例10.3高速公路入口收費(fèi)處設(shè)有一個(gè)收費(fèi)通道，汽車到達(dá)服從Poisson分布，平均到達(dá)速率為200輛/小時(shí)，收費(fèi)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均收費(fèi)時(shí)間為15秒/輛。求Ls、Lq、Ws和Wq。7/16/202499M/M/1排隊(duì)模型解：根據(jù)題意，

=200輛/小時(shí)，

=240輛/小時(shí)，

=

/

=5/6。7/16/2024100M/M/1排隊(duì)模型當(dāng)隊(duì)列的容量從無(wú)限值變?yōu)橛邢拗礜時(shí)，[M/M/1/

/

/FCFS]就轉(zhuǎn)化成為[M/M/1/N/

/FCFS]

10.4.2有限隊(duì)列模型M/M/1/N/

/FCFS7/16/2024101系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖012N-1N7/16/2024102系統(tǒng)的狀態(tài)概率平衡方程對(duì)于狀態(tài)0：

0P0=

1P1

… …對(duì)于狀態(tài)n：

n-1Pn-1+

n+1Pn+1=(

n+

n)Pn0<n<N… …對(duì)于狀態(tài)N：

N-1PN-1=

NPN7/16/2024103系統(tǒng)參數(shù)7/16/2024104系統(tǒng)狀態(tài)概率PN稱為顧客損失率7/16/2024105系統(tǒng)的狀態(tài)概率由得到

7/16/2024106系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)當(dāng)r=1時(shí)的情形，此時(shí)由得：7/16/2024107系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)對(duì)于

1有7/16/2024108有效到達(dá)率7/16/2024109Little公式7/16/2024110例10.4

一個(gè)單人理發(fā)店，除理發(fā)椅外，還有4把椅子可供顧客等候。顧客到達(dá)發(fā)現(xiàn)沒(méi)有座位空閑，就不再等待而離去。顧客到達(dá)的平均速率為4人/小時(shí)，理發(fā)的平均時(shí)間為10分鐘/人。顧客到達(dá)服從Poisson流，理發(fā)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布。求：1、顧客到達(dá)不用等待就可理發(fā)的概率；2、理發(fā)店里的平均顧客數(shù)以及等待理發(fā)的平均顧客數(shù)；3、顧客來(lái)店理發(fā)一次平均花費(fèi)的時(shí)間及平均等待的時(shí)間；4、顧客到達(dá)后因客滿而離去的概率顧客損失率；5、增加一張椅子可以減少的顧客損失率。7/16/202411110.4.2有限隊(duì)列模型M/M/1/N/

/FCFS解：這是一個(gè)[M/M/1/N/

/FCFS]系統(tǒng)，其中N=4+1=5，

=4人/小時(shí)，

=6人/小時(shí)，

=2/3。

7/16/202411210.4.2有限隊(duì)列模型M/M/1/N/

/FCFS因客滿而離去的概率為0.00487/16/202411310.4.2有限隊(duì)列模型M/M/1/N/

/FCFS當(dāng)N=6時(shí)

P5-P6=0.0480-0.0311=0.0169=1.69%即增加一張椅子可以減少顧客損失率1.69%7/16/202411410.4.2有限隊(duì)列模型M/M/1/N/

/FCFS設(shè)顧客總數(shù)為m,當(dāng)顧客需要服務(wù)時(shí)，就進(jìn)入隊(duì)列等待；服務(wù)完畢后，重新回到顧客源中,如此循環(huán)往復(fù)。。。服務(wù)臺(tái)...顧客源需要服務(wù)服務(wù)完畢隊(duì)列10.4.3M/M/1/∞/m/FCFS模型7/16/2024115關(guān)于顧客的平均到達(dá)率，在無(wú)限源的情形下是按全體顧客來(lái)考慮的，而在有限源的情形下，必須按照每個(gè)顧客來(lái)考慮，l即為每一顧客單位時(shí)間內(nèi)請(qǐng)求服務(wù)的平均次數(shù)。10.4.3M/M/1/∞/m/FCFS模型7/16/2024116分析假定每一個(gè)顧客在單位時(shí)間內(nèi)需要接受服務(wù)的平均次數(shù)是相同的，設(shè)為λ

。當(dāng)正在等待及正在接受服務(wù)的顧客數(shù)為n時(shí)，則在單位時(shí)間內(nèi)要求接受服務(wù)的平均顧客數(shù)為：

λn=λ(m-n)01nm7/16/2024117狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程λ0P0=μP1 ……[λn+μ]Pn=μPn+1+λn-1Pn-1

(n=1，2，…，m-1) ……μPm=λm-1Pm-1

(n=1，2，…，m) 7/16/20241187/16/2024119狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程有效到達(dá)率λn=λ(m-n)n=1,2,…,m7/16/2024120系統(tǒng)績(jī)效指標(biāo)7/16/2024121例10.5某車間有5臺(tái)機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器的連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均連續(xù)運(yùn)行時(shí)間15分鐘。有一個(gè)修理工，每次修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每次12分鐘。求:(1)修理工空閑的概率；(2)五臺(tái)機(jī)器都出故障的概率；(3)出故障的平均臺(tái)數(shù)；(4)平均停工時(shí)間；(5)平均等待修理時(shí)間；(6)評(píng)價(jià)這個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)行情況。7/16/202412210.4.3M/M/1/∞/m/FCFS模型解：根據(jù)題意，m=5，λ=1/15，μ=1/12，ρ=λ/μ=0.8

7/16/202412310.4.3M/M/1/∞/m/FCFS模型（7）系統(tǒng)絕對(duì)通過(guò)能力（工人的維修能力）A=le=l(m-Ls)=m(1-P0)=0.083

每小時(shí)維修0.083*60=4.96（臺(tái)）總體看來(lái)，該維修系統(tǒng)較繁忙，機(jī)器等待時(shí)間過(guò)長(zhǎng)。7/16/202412410.4.3M/M/1/∞/m/FCFS模型10.5多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)模型標(biāo)準(zhǔn)的[M/M/c/∞/∞/FCFS]模型系統(tǒng)容量有限的[M/M/c/N/∞/FCFS]模型有限顧客源的[M/M/c/∞/m/FCFS]模型

10.5多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)模型7/16/2024126服務(wù)臺(tái)服務(wù)臺(tái)服務(wù)臺(tái)顧客到達(dá)顧客離去顧客離去顧客離去隊(duì)列顧客到達(dá)后，進(jìn)入隊(duì)列尾端；當(dāng)某一個(gè)服務(wù)臺(tái)空閑時(shí)，隊(duì)列中的第一個(gè)顧客即到該服務(wù)臺(tái)接收服務(wù)；服務(wù)完畢后隨即離去。各服務(wù)臺(tái)互相獨(dú)立且服務(wù)速率相同，即μ1=μ2=…=μc

10.5.1M/M/c/∞/∞/FCFS模型7/16/2024127分析系統(tǒng)的服務(wù)速率與系統(tǒng)中的顧客數(shù)有關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)中的顧客數(shù)k不大于服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)，即1≤k≤c時(shí)，系統(tǒng)中的顧客全部在服務(wù)臺(tái)中，這時(shí)系統(tǒng)的服務(wù)速率為kμ；當(dāng)系統(tǒng)中的顧客數(shù)k＞c時(shí)，服務(wù)臺(tái)中正在接受服務(wù)的顧客數(shù)仍為c個(gè)，其余顧客在隊(duì)列中等待服務(wù)，這時(shí)系統(tǒng)的服務(wù)速率為cμ。

則當(dāng)ρ＜1時(shí)系統(tǒng)才不會(huì)排成無(wú)限的隊(duì)列

7/16/2024128狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖與狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程對(duì)狀態(tài)0: λP0=μP1

對(duì)狀態(tài)1: λP0+2μP2=(λ+μ)P1 …………對(duì)狀態(tài)c： λPc-1+cμPc+1=(λ+cμ)Pc …………對(duì)狀態(tài)n λPn-1+cμPn+1=(λ+cμ)Pn ………01cn7/16/2024129狀態(tài)概率7/16/2024130運(yùn)行指標(biāo)7/16/2024131例10.6某售票處有三個(gè)窗口，顧客到達(dá)服從Poisson流，到達(dá)速率為0.9人／分，售票時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，每個(gè)窗口的平均售票速率為0.4人／分。顧客到達(dá)后排成一隊(duì)，依次到空閑窗口購(gòu)票。求：(1)所有窗口都空閑的概率；(2)平均隊(duì)長(zhǎng)；(3)平均等待時(shí)間及逗留時(shí)間；(4)顧客到達(dá)后必須等待的概率。7/16/202413210.5.1M/M/c/∞/∞/FCFS模型解：λ/μ=2.25，ρ=λ/cμ=0.75(1)所有窗口都空閑的概率，即求P0的值

(2)平均隊(duì)長(zhǎng)，即求Ls的值，必須先求Lq

7/16/202413310.5.1M/M/c/∞/∞/FCFS模型(3)平均等待時(shí)間和平均逗留時(shí)間，即求Wq和Ws和的值

(4)顧客到達(dá)后必須等待，即n≥37/16/202413410.5.1M/M/c/∞/∞/FCFS模型M/M/C型VSC個(gè)M/M/1型如果顧客到達(dá)后在每個(gè)窗口各排一隊(duì)，且進(jìn)入隊(duì)列后不可更換，形成3個(gè)隊(duì)列，在上例中，每個(gè)隊(duì)列的平均到達(dá)率為：7/16/2024135M/M/1系統(tǒng)的指標(biāo)λ=0.3，μ=0.4，ρ=λ/μ=0.75P0=1-ρ=0.25P(n>=1)=1-P0=0.75Ls=λ/(μ-λ)=3Lq=Ls-ρ=3-0.75=2.25Ws=Ls/λ=10分Wq=Ws-1/μ=7.5分7/16/2024136指標(biāo)模型M/M/3M/M/1服務(wù)臺(tái)空閑的概率P00.07480.25(每個(gè)子系統(tǒng)）顧客必須等待的概率0.570.75平均隊(duì)列長(zhǎng)（等待顧客數(shù)）Lq1.702.25(每個(gè)子系統(tǒng)）平均隊(duì)長(zhǎng)（顧客數(shù)）Ls3.959.00（整個(gè)系統(tǒng)）平均逗留時(shí)間Ws4.39分鐘10分鐘平均等待時(shí)間Wq1.89分鐘7.5分鐘由此可見(jiàn)，單隊(duì)比三隊(duì)有顯著的優(yōu)越性。系統(tǒng)指標(biāo)對(duì)比結(jié)果7/16/2024137離開服務(wù)臺(tái)服務(wù)臺(tái)服務(wù)臺(tái)顧客到達(dá)顧客離去顧客離去顧客離去隊(duì)列10.5.2M/M/c/N/∞/FCFS模型7/16/2024138分析設(shè)系統(tǒng)容量為N(N≥c)，當(dāng)系統(tǒng)中的顧數(shù)n＜N時(shí)，到達(dá)的顧客就進(jìn)入系統(tǒng)；當(dāng)n=N時(shí)，到達(dá)的顧客就被拒絕。設(shè)顧客到達(dá)的速率為λ，每個(gè)服務(wù)臺(tái)服務(wù)的速率為μ，ρ=λ/cμ。由于系統(tǒng)不會(huì)無(wú)限止地接納顧客，對(duì)ρ不必加以限制。

7/16/2024139狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖與狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程對(duì)狀態(tài)0: λP0=μP1

對(duì)狀態(tài)1: λP0+2μP2=(λ+μ)P1 …………對(duì)狀態(tài)c： λPc-1+cμPc+1=(λ+cμ)Pc …………對(duì)狀態(tài)N λPN-1=cμPN ………01cN7/16/2024140狀態(tài)概率7/16/2024141系統(tǒng)指標(biāo)7/16/2024142例10.7某旅館有8個(gè)單人房間，旅客到達(dá)服從Poisson流，平均速率為6人／天，旅客平均逗留時(shí)間為2天，求：(1)每天客房平均占用數(shù)；(2)旅館客滿的概率。7/16/202414310.5.2M/M/c/N/∞/FCFS模型旅館8個(gè)房間全滿的概率為0.423平均占用客房數(shù)為6.9間?？头空加寐蕿?6.6%7/16/202414410.5.2M/M/c/N/∞/FCFS模型解：顧客到達(dá)修理速率μ發(fā)生故障等待修理的機(jī)器修理速率μ修理速率μ正在修理的機(jī)器到達(dá)速率(m-n)λ修理速率cμ運(yùn)行的機(jī)器數(shù)m-n10.5.3M/M/c/∞/m/FCFS模型7/16/2024145狀態(tài)概率其中

7/16/2024146系統(tǒng)指標(biāo)有效到達(dá)速率λe為單位時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)故障的機(jī)器數(shù)，有

λe=λ(m-Ls)7/16/2024147例10.8車間有5臺(tái)機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器的故障率為1次／小時(shí)，有2個(gè)修理工負(fù)責(zé)修理這5臺(tái)機(jī)器，工作效率相同，為4臺(tái)／小時(shí)。求：(1)等待修理的平均機(jī)器數(shù)；(2)等待修理及正在修理的平均機(jī)器數(shù)；(3)每小時(shí)發(fā)生故障的平均機(jī)器數(shù)；(4)平均等待修理的時(shí)間；(5)平均停工時(shí)間。7/16/202414810.5.2M/M/c/N/∞/FCFS模型可以計(jì)算得到（算式略）：P1=0.394，P2=0.197，P3=0.074，P4=0.018，P5=0.0027/16/202414910.5.2M/M/c/N/∞/FCFS模型解：由此，計(jì)算系統(tǒng)的各項(xiàng)運(yùn)行指標(biāo)如下：7/16/202415010.5.2M/M/c/N/∞/FCFS模型10.7排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化一般排隊(duì)系統(tǒng)的總費(fèi)用構(gòu)成：總費(fèi)用=服務(wù)能力費(fèi)+顧客損失費(fèi)最佳服務(wù)能力服務(wù)能力顧客損失費(fèi)服務(wù)能力費(fèi)總費(fèi)用費(fèi)用10.7排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化7/16/2024152單位時(shí)間總費(fèi)用單位時(shí)間服務(wù)成本單位顧客停留單位時(shí)間損失成本1）

M/M/1/

模型優(yōu)化10.7.1M/M/1模型的最優(yōu)服務(wù)率μ*7/16/202415310.7.1M/M/1模型的最優(yōu)服務(wù)率μ*7/16/20241542）M/M/1/K模型優(yōu)化顧客被拒概率為PK,接受概率1-PK,有效到達(dá)率le.設(shè)每服務(wù)一個(gè)顧客服務(wù)機(jī)構(gòu)獲G元,則單位時(shí)間收入期望值為利潤(rùn)：10.7.1M/M/1模型的最優(yōu)服務(wù)率μ*7/16/2024155令：得：由此確定出r,進(jìn)而確定出使服務(wù)系統(tǒng)最優(yōu)的m*

10.7.1M/M/1模型的最優(yōu)服務(wù)率μ*7/16/2024156每個(gè)服務(wù)臺(tái)單位時(shí)間成本每位顧客停留單位時(shí)間損失成本10.7.2M/M/c/

∞/

∞/FCFS模型的最優(yōu)服務(wù)臺(tái)數(shù)c*7/16/202415710.7.2M/M/c/

∞/

∞/FCFS模型的最優(yōu)服務(wù)臺(tái)數(shù)c*7/16/20241587/16/2024第11章存儲(chǔ)論159CONTENTS7/16/20240160目錄11.1存儲(chǔ)論概述11.2確定性存儲(chǔ)基本模型11.3隨機(jī)需求的基本存儲(chǔ)模型11.1存儲(chǔ)論概述庫(kù)存一詞在英語(yǔ)里面有兩種表達(dá)方式：Inventory和Stock，它表示用于將來(lái)目的的資源暫時(shí)處于閑置狀態(tài)。庫(kù)存的目的：是防止短缺，就象水庫(kù)里儲(chǔ)存的水一樣；它還具有保持生產(chǎn)過(guò)程連續(xù)性、分?jǐn)傆嗀涃M(fèi)用、快速滿足用戶訂貨需求的作用。11.1存儲(chǔ)論概述7/16/2024162庫(kù)存是緩解供給與需求之間不協(xié)調(diào)的重要環(huán)節(jié)供應(yīng)需求庫(kù)存11.1存儲(chǔ)論概述7/16/2024163庫(kù)存的雙重影響積極影響緩沖作用制造與購(gòu)買中的經(jīng)濟(jì)性生產(chǎn)連續(xù)運(yùn)行的媒介服務(wù)水平(ServiceLevel)消極影響占用流動(dòng)資金庫(kù)存系統(tǒng)運(yùn)行費(fèi)用機(jī)會(huì)成本(OpportunityCost)掩蓋管理問(wèn)題7/16/2024164顧客的參與產(chǎn)出產(chǎn)品服務(wù)投入人力物料設(shè)備技術(shù)信息能源土地實(shí)施信息反饋?zhàn)儞Q過(guò)程12345生產(chǎn)與運(yùn)作活動(dòng)過(guò)程7/16/2024165TypesofInventoryMaintenance/Repair/Operatingsupply(MRO)FinishedgoodsRawmaterialWork-in-process(WIP)1.原材料2.在制品3.維修備件4.產(chǎn)成品7/16/2024166TypesofInventoriesHeldinaSupplyChain7/16/2024167CycleStockandSafetyStockCycleStockCycleStockCycleStockSafetyStockOnHandWhatshouldmyinventorypolicybe?(howmuchtoorderwhen)Whatshouldmysafetystockbe?Whataremyrelevantcosts?Time7/16/2024168庫(kù)存論發(fā)展的里程1915年F．哈里斯就穩(wěn)定需求，即對(duì)供應(yīng)的情況得出關(guān)于存儲(chǔ)費(fèi)用的“簡(jiǎn)單批量公式”。1929年，L．梅厄（奧地利人）出版的《倉(cāng)庫(kù)業(yè)的經(jīng)營(yíng)經(jīng)濟(jì)學(xué)》是與庫(kù)存論有關(guān)的早期著作之一。二戰(zhàn)后，由于成批生產(chǎn)的日益普遍，同時(shí)由于運(yùn)籌學(xué)的其他分支和管理科學(xué)的建立，庫(kù)存論得到深入的發(fā)展，例如隨機(jī)性模型得到進(jìn)一步的研究，20世紀(jì)50年代，庫(kù)存論成為一門應(yīng)用廣泛的運(yùn)籌學(xué)的分支學(xué)科。庫(kù)存論被應(yīng)用到更廣泛的領(lǐng)域：停車場(chǎng)大小，鐵路車場(chǎng)側(cè)線數(shù)量、電力系統(tǒng)發(fā)電設(shè)備容量、計(jì)算機(jī)容量等的決策問(wèn)題都可應(yīng)用庫(kù)存論來(lái)解決。自上世紀(jì)70年代，汽車工業(yè)的發(fā)展和生產(chǎn)管理，為庫(kù)存論的研究注入新的要素，如JIT.7/16/2024169供應(yīng)鏈管理環(huán)境下的庫(kù)存庫(kù)存問(wèn)題信息類問(wèn)題（牛鞭效應(yīng)）供應(yīng)鏈的運(yùn)作問(wèn)題供應(yīng)鏈的戰(zhàn)略與規(guī)劃問(wèn)題庫(kù)存策略：VMI管理系統(tǒng)聯(lián)合庫(kù)存管理多級(jí)庫(kù)存優(yōu)化7/16/2024170供應(yīng)需求庫(kù)存庫(kù)存的基本問(wèn)題:什么時(shí)候補(bǔ)貨(When)?補(bǔ)多少(Howmany)?11.1.2存儲(chǔ)問(wèn)題的分類7/16/2024171庫(kù)存分類在庫(kù)存理論中，人們一般根據(jù)物品需求的重復(fù)程度分為單周期庫(kù)存和多周期庫(kù)存。單周期需求也叫一次性訂貨，這種需求的特征是偶發(fā)性和物品生命周期短，因而很少重復(fù)訂貨，如報(bào)紙，沒(méi)有人會(huì)訂過(guò)期的報(bào)紙來(lái)看，人們也不會(huì)在農(nóng)歷八月十六預(yù)訂中秋月餅，這些都是單周期需求。多周期需求是在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)需求反復(fù)發(fā)生，庫(kù)存需要不斷補(bǔ)充，在實(shí)際生活中，這種需求現(xiàn)象較為多見(jiàn)。7/16/2024172庫(kù)存問(wèn)題的基本術(shù)語(yǔ)需求（demand)確定隨機(jī)補(bǔ)充(訂貨)（replenishment)Leadtime(從訂貨到進(jìn)貨的時(shí)間，備貨時(shí)間）訂貨周期（OrderCycleTime)訂貨量（OrderQuantity）費(fèi)用（cost)存儲(chǔ)費(fèi)HoldingCost缺貨費(fèi)ShortageCost訂貨費(fèi)OrderingCost+PurchaseCost生產(chǎn)費(fèi)(set-upcost設(shè)備安裝費(fèi)+productcost生產(chǎn)費(fèi)用）7/16/2024173庫(kù)存策略庫(kù)存策略（inventorystrategy)t0

循環(huán)策略，每隔t0時(shí)間補(bǔ)充庫(kù)存量Q0(t,S)策略,每隔固定時(shí)間t補(bǔ)充一次,補(bǔ)充數(shù)量以補(bǔ)足一個(gè)固定的存儲(chǔ)量S為準(zhǔn).(s,S)策略，當(dāng)存儲(chǔ)量x>s時(shí)，不補(bǔ)充；當(dāng)存儲(chǔ)量x<s時(shí)，補(bǔ)充量Q=S-x；(t,s,S)策略，經(jīng)過(guò)時(shí)間t檢查庫(kù)存量x,當(dāng)x>s時(shí)，不補(bǔ)充；當(dāng)x<s時(shí)，補(bǔ)充庫(kù)存量到S7/16/2024174庫(kù)存策略定量(定點(diǎn))訂貨策略(EOQ)(fixed-orderquantitymodel,Qmodel)事件驅(qū)動(dòng)的，當(dāng)?shù)竭_(dá)規(guī)定的再訂貨水平的事件發(fā)生時(shí)，就進(jìn)行訂貨，這種事件可能隨時(shí)發(fā)生；平均庫(kù)存量較小，有利于貴重物品的庫(kù)存；定期訂貨策略（Fixed-timeperiodmodel,Pmodel)時(shí)間驅(qū)動(dòng)的，只限定在時(shí)間期末進(jìn)行訂貨；平均庫(kù)存量較大。在確定性需求下,這兩個(gè)定貨模型是一樣的時(shí)間定了，定貨量也定了.7/16/2024175CycleStockandSafetyStockCycleStockCycleStockCycleStockSafetyStockOnHandTime7/16/2024176隨機(jī)需求下的訂貨策略定點(diǎn)訂貨策略

如何確定每次訂貨量Q？

7/16/2024177最高庫(kù)存M如何確定？

定期訂貨策略

隨機(jī)需求下的訂貨策略7/16/2024178庫(kù)存模型的分類確定性需求模型不允許缺貨、瞬時(shí)生產(chǎn)時(shí)間不允許缺貨、生產(chǎn)需要時(shí)間允許缺貨、瞬時(shí)生產(chǎn)時(shí)間允許缺貨、生產(chǎn)需要時(shí)間價(jià)格有折扣隨機(jī)性需求模型離散需求連續(xù)需求7/16/2024179報(bào)童問(wèn)題（Newsboyproblems）

一名報(bào)童以每份0.20元的價(jià)格從發(fā)行人那里訂購(gòu)報(bào)紙然后再以0.50元的零售價(jià)格出售，但是他在訂購(gòu)第二天的報(bào)紙時(shí)不能確定實(shí)際的需求量而只是根據(jù)以前的經(jīng)驗(yàn)知道需求量具有均值為50份標(biāo)準(zhǔn)偏差為12份的正態(tài)分布那么他應(yīng)當(dāng)訂購(gòu)多少份報(bào)紙呢？經(jīng)典的隨機(jī)庫(kù)存模型7/16/2024180報(bào)童模型的擴(kuò)展

ExpansionofInventoryManagement

約會(huì)問(wèn)題(DateProblem)

您要與您的女朋友晚上六點(diǎn)鐘在她家附近的一個(gè)地方約會(huì)，您估計(jì)從您的辦公室乘車過(guò)去所用的平均時(shí)間是30分鐘，但由于高峰期會(huì)出現(xiàn)交通阻塞因此還會(huì)有一些偏差，路程所用時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)偏差估計(jì)為10分鐘，雖然很難量化您每遲到一分鐘所造成的損失，但是您覺(jué)得每晚到一分鐘要比早到一分鐘付出十倍的代價(jià)，那么您應(yīng)當(dāng)什么時(shí)候從辦公室出發(fā)呢？7/16/2024181報(bào)童模型的擴(kuò)展超額預(yù)售機(jī)票問(wèn)題（ExcessiveAirTicketSalesProblem）一家航空公司發(fā)現(xiàn)一趟航班的持有機(jī)票而未登機(jī)（no-show）的人數(shù)具有為20人，標(biāo)準(zhǔn)偏差為10人的正態(tài)分布，根據(jù)這家航空公司的測(cè)算每一個(gè)空座位的機(jī)會(huì)成本為100美元，乘客確認(rèn)票后但因滿座不能登機(jī)有關(guān)的罰款費(fèi)用估計(jì)為400美元，該航空公司想限制該航班的“超額預(yù)訂”，飛機(jī)上共有150個(gè)座位，確認(rèn)預(yù)訂的截止上限應(yīng)當(dāng)是多少？7/16/202418211.2確定性存儲(chǔ)基本模型11.2.1不允許缺貨的存儲(chǔ)模型例：某醫(yī)院藥房每年需某種藥品1600瓶，每次訂購(gòu)費(fèi)為5元，每瓶藥品每年保管費(fèi)0.1元，試問(wèn)一年應(yīng)訂購(gòu)多少次？每次應(yīng)訂多少瓶？例：某軋鋼廠每月按計(jì)劃需生產(chǎn)角鋼3000噸，每噸每月存儲(chǔ)費(fèi)5.3元，每次生產(chǎn)需調(diào)整機(jī)器設(shè)備，共需裝配費(fèi)2500元.試排一個(gè)全年的排產(chǎn)計(jì)劃。7/16/2024184t進(jìn)貨周期……時(shí)間庫(kù)存水平最高庫(kù)存Q平均庫(kù)存Q/2一年7/16/202418511.2.1不允許缺貨的存儲(chǔ)模型費(fèi)用分析

單位貨物存儲(chǔ)費(fèi)率C1單位貨物缺貨損失C2每次采購(gòu)費(fèi)用C3貨物單價(jià)為K最佳采購(gòu)量Q*每次采購(gòu)量缺貨成本+采購(gòu)費(fèi)庫(kù)存費(fèi)用總成本費(fèi)用7/16/2024186要達(dá)到的目標(biāo)達(dá)到最小成本成本的構(gòu)成與存儲(chǔ)有關(guān)的費(fèi)用由缺貨所引起的費(fèi)用采購(gòu)費(fèi)用可控變量訂貨時(shí)間每次進(jìn)貨量庫(kù)存模型的要素7/16/2024187模型一：不允許缺貨且瞬時(shí)補(bǔ)貨的存儲(chǔ)模型模型假設(shè)：需求是連續(xù)的、均勻的，需求速度為R（單位時(shí)間的需求量）;缺貨費(fèi)用無(wú)窮大（單位時(shí)間缺少單位貨物的費(fèi)用）；當(dāng)庫(kù)存降至零時(shí)，可立即得到補(bǔ)貨，忽略生產(chǎn)時(shí)間；每次訂貨量不變，訂購(gòu)費(fèi)不變；單位時(shí)間單位貨物存儲(chǔ)費(fèi)不變。7/16/2024188經(jīng)濟(jì)批量(EOQ)t進(jìn)貨周期……時(shí)間庫(kù)存水平最高庫(kù)存Q平均庫(kù)存Q/2一年7/16/2024189平均費(fèi)用C(t)＝存儲(chǔ)費(fèi)＋訂貨費(fèi)第一項(xiàng)是存儲(chǔ)費(fèi)用，時(shí)間越長(zhǎng)，該項(xiàng)費(fèi)用越大，因此從存儲(chǔ)費(fèi)用看每次應(yīng)當(dāng)盡量少購(gòu)一點(diǎn)；第二項(xiàng)是訂購(gòu)費(fèi)，它與訂貨量無(wú)關(guān)，因此訂貨量越大（可用時(shí)間越長(zhǎng)），單位貨物費(fèi)用越少，從這一點(diǎn)上說(shuō)應(yīng)當(dāng)每次盡量多采購(gòu)一些。7/16/2024190經(jīng)濟(jì)批量(EOQ)經(jīng)濟(jì)批量模型的解(EOQ)訂貨周期批次經(jīng)濟(jì)批量最少平均費(fèi)用（不包括KR）7/16/2024191EOQ模型的應(yīng)用例11.1某醫(yī)院藥房每年需某種藥品1600瓶，每次訂購(gòu)費(fèi)為5元，每瓶藥品每年保管費(fèi)0.1元，試求經(jīng)濟(jì)訂貨量？解：已知R=1600，C1=0.1，C3=5。經(jīng)濟(jì)批量7/16/2024192比較分析批量年存儲(chǔ)費(fèi)年訂購(gòu)費(fèi)年總費(fèi)用費(fèi)用最小批量QC10020030040050060051015202530804026.7201613.3855041.7404143.3Q*7/16/2024193EOQ模型的應(yīng)用例11.2某企業(yè)經(jīng)銷某類電子配件，該電子配件的單位進(jìn)貨價(jià)為500元，年存儲(chǔ)費(fèi)為成本的20%，年需求量365件，需求速度為常數(shù)，該電子配件的訂購(gòu)費(fèi)為20元，假設(shè)該商品的補(bǔ)貨可以隨時(shí)實(shí)現(xiàn)。求最佳訂貨批量和最低訂貨周期。7/16/2024194解：依題意，由EOQ公式（11.5）得，最優(yōu)訂貨批量為：最優(yōu)訂貨間隔時(shí)間為：生產(chǎn)速度(或補(bǔ)貨速度)P>RT時(shí)間庫(kù)存水平最高庫(kù)存S平均庫(kù)存S/2一年t-T邊生產(chǎn)邊銷售期銷售期t模型二:不允許缺貨且補(bǔ)貨需要時(shí)間的存儲(chǔ)模型7/16/2024195變量：最大存儲(chǔ)量S最大訂購(gòu)量：Q訂貨周期：t邊生產(chǎn)邊銷售期：T存儲(chǔ)期：t-T關(guān)系：S=(P-R)T=R(t-T)T與t的關(guān)系：指在T時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)的要足夠滿足在t時(shí)間內(nèi)所消耗掉的模型二:不允許缺貨且補(bǔ)貨需要時(shí)間的存儲(chǔ)模型7/16/2024196平均費(fèi)用C(t)＝存儲(chǔ)費(fèi)＋調(diào)整費(fèi)最佳生產(chǎn)周期：每次最佳生產(chǎn)批量：模型二：不允許缺貨且補(bǔ)貨需要時(shí)間的存儲(chǔ)模型7/16/2024197例11.5某汽車公司每月汽車底盤的需求為100件，每月的生產(chǎn)率為500個(gè)，每批裝配費(fèi)為5元，每月每個(gè)汽車底盤存儲(chǔ)費(fèi)為0.4元，問(wèn)應(yīng)如何安排生產(chǎn)使總費(fèi)用最少？7/16/2024198模型二:不允許缺貨且補(bǔ)貨需要時(shí)間的存儲(chǔ)模型解：依題意可知，C3=5,C1=0.4,P=500,R=100則最優(yōu)生產(chǎn)量為

最佳周期為11.2.2允許缺貨的存儲(chǔ)模型上節(jié)中模型研究的是不允許缺貨情形下的存儲(chǔ)問(wèn)題，即假設(shè)產(chǎn)品的缺貨費(fèi)用無(wú)窮大。而現(xiàn)實(shí)中有些情況是允許產(chǎn)品暫時(shí)出現(xiàn)缺貨的。顧客在購(gòu)買彩電、冰箱或空調(diào)等商品時(shí)，供應(yīng)商暫時(shí)缺貨，但顧客愿意等待直到之后的某個(gè)日期收到供貨。因此，有必要進(jìn)一步研究允許缺貨的經(jīng)濟(jì)批量模型。7/16/2024199缺貨期t2t1庫(kù)存期……時(shí)間庫(kù)存水平最高庫(kù)存S平均庫(kù)存S/2一

年缺貨量QtQ模型三：允許缺貨且瞬時(shí)補(bǔ)貨的存儲(chǔ)模型7/16/2024200變量：S：最大存儲(chǔ)量；Q：最大訂購(gòu)量;Q-S：最大缺貨量訂貨周期：t=t1+t2；

存儲(chǔ)期：t1；缺貨期：t2

關(guān)系：S=Rt1t1=S/R缺貨期t2t1庫(kù)存期……時(shí)間庫(kù)存水平最高庫(kù)存S平均庫(kù)存S/2一

年缺貨量QtQ模型三：允許缺貨且瞬時(shí)補(bǔ)貨的存儲(chǔ)模型7/16/2024201t時(shí)間內(nèi)平均費(fèi)用C(t1,t2)＝存儲(chǔ)費(fèi)＋訂貨費(fèi)＋缺貨費(fèi)最佳訂貨周期：模型三：允許缺貨且瞬時(shí)補(bǔ)貨的存儲(chǔ)模型7/16/2024202最佳訂貨批量最大庫(kù)存量最佳缺貨量模型三：允許缺貨且瞬時(shí)補(bǔ)貨的存儲(chǔ)模型7/16/2024203例11.7某大型超市對(duì)某款彩電的年需求量為4900臺(tái)，設(shè)每次定購(gòu)費(fèi)為50元，每臺(tái)每年存儲(chǔ)費(fèi)為100元。如果允許缺貨，每臺(tái)每年的缺貨損失費(fèi)為200元，試求最佳存貯方案。7/16/2024204模型三：允許缺貨且瞬時(shí)補(bǔ)貨的存儲(chǔ)模型解：根據(jù)題意知最佳訂貨周期為最大存儲(chǔ)量為7/16/2024205最低費(fèi)用為最佳訂貨量為最大缺貨量為模型三：允許缺貨且瞬時(shí)補(bǔ)貨的存儲(chǔ)模型生產(chǎn)速度Pt1時(shí)間庫(kù)存水平最高庫(kù)存S一年t2邊生產(chǎn)邊銷售期銷售期t缺貨期t3模型四：允許缺貨但需補(bǔ)貨時(shí)間的存儲(chǔ)模型7/16/2024206變量：最大存儲(chǔ)量：S最大訂購(gòu)量：Q最大缺貨量：B=Q-S缺貨期：[0,t2]，t1;存儲(chǔ)期：[t2,t],t3;模型四：允許缺貨但需補(bǔ)貨時(shí)間的存儲(chǔ)模型7/16/2024207關(guān)系：缺貨量：B=Rt1=(P-R)(t2-t1)t1=(P-R)t2/P存儲(chǔ)量：S=(P-R)(t3-t2)=R(t-t3)(t3-t2)=R(t-t2)/P模型四：允許缺貨但需補(bǔ)貨時(shí)間的存儲(chǔ)模型7/16/2024208在[0,t]時(shí)間內(nèi)的費(fèi)用：存儲(chǔ)費(fèi)=存儲(chǔ)量*C1缺貨費(fèi)=缺貨量*C2定購(gòu)費(fèi)（裝配費(fèi)）=C3模型四：允許缺貨但需補(bǔ)貨時(shí)間的存儲(chǔ)模型7/16/20242097/16/2024210

模型四：允許缺貨但需補(bǔ)貨時(shí)間的存儲(chǔ)模型模型四的最優(yōu)解11.2.3四種模型的比較分析7/16/202421111.2.3四種模型的比較分析從最佳訂貨量看不允許缺貨且瞬時(shí)補(bǔ)貨情況下的最優(yōu)訂貨量最小，即模型一的訂貨量最少；允許缺貨，且補(bǔ)貨需要時(shí)間情況下的最優(yōu)訂貨量最多，即模型四的最佳訂貨量最多。從最佳訂貨周期看不允許缺貨且瞬時(shí)補(bǔ)貨情況下的訂貨周期最短，即模型一的訂貨周期最短；允許缺貨且補(bǔ)貨需要時(shí)間情況下的訂貨周期最長(zhǎng)，即模型四的訂貨周期最長(zhǎng)。顯然，當(dāng)補(bǔ)貨速度充分大時(shí)，模型二的解接近模型一的解；當(dāng)缺貨成本

充分大時(shí)，模型三的解接近模型一的解。7/16/2024212價(jià)格-訂購(gòu)量關(guān)系如下圖所示11.2.4經(jīng)濟(jì)批量折扣模型7/16/2024213根據(jù)價(jià)格-訂購(gòu)量關(guān)系圖，給出價(jià)格區(qū)間11.2.4經(jīng)濟(jì)批量折扣模型7/16/2024214費(fèi)用分析一個(gè)周期內(nèi)，所需平均費(fèi)用為平均費(fèi)用C(Q)是關(guān)于Q的分段函數(shù)，分別為7/16/2024215平均費(fèi)用圖示7/16/2024216費(fèi)用分析單位時(shí)間所需平均費(fèi)用為不考慮購(gòu)買費(fèi)用時(shí)的最低費(fèi)用7/16/2024217求經(jīng)濟(jì)批量的方法求經(jīng)濟(jì)批量的步驟計(jì)算Q0若Q0<Q1，計(jì)算求得經(jīng)濟(jì)批量Q*若Q1≤Q0<Q2，計(jì)算并由

確定經(jīng)濟(jì)批量Q*若Q2<Q0，則經(jīng)濟(jì)批量Q*=Q0。7/16/2024218例11.9在例11.1中，假如藥房經(jīng)理計(jì)劃向藥品生產(chǎn)商成批量訂購(gòu)。藥品生產(chǎn)商提出若一次訂購(gòu)800瓶以上，價(jià)格為9.8元/瓶，否則為10元/瓶。藥房經(jīng)理應(yīng)如何訂購(gòu)最為經(jīng)濟(jì)？例11.1某醫(yī)院藥房每年需某種藥品1600瓶，每次訂購(gòu)費(fèi)為5元，每瓶藥品每年保管費(fèi)0.1元，試求每次應(yīng)訂多少瓶？7/16/202421911.2.4經(jīng)濟(jì)批量折扣模型價(jià)格有折扣問(wèn)題舉例解：首先計(jì)算在例1中，假如制藥廠提出若一次訂購(gòu)800瓶以上，價(jià)格為9.8元/瓶，否則為10元/瓶，應(yīng)如何訂購(gòu)？7/16/2024220由于400<800，計(jì)算

可以看出

CII(800)<CI(400)

所以最佳采購(gòu)批量是Q=800瓶/次。7/16/2024221價(jià)格有折扣問(wèn)題舉例再舉一例在上例中，如果R=900瓶/年，C1=2元/瓶年，C3=100元/次，折扣政策Q<900瓶/次，每瓶10元，Q≥900瓶/次，每瓶9.9元。醫(yī)院應(yīng)采取什么存儲(chǔ)策略？解：計(jì)算經(jīng)濟(jì)批量計(jì)算C(300)和C(900)7/16/2024222計(jì)算結(jié)果因?yàn)镃(300)<C(900)，因此應(yīng)當(dāng)一年采購(gòu)三次，每次300瓶，而不是一年采購(gòu)一次，每次900瓶。7/16/202422311.3隨機(jī)需求的基本存儲(chǔ)模型需求是隨機(jī)的，分布概率已知。因?yàn)樾枨箅S機(jī)，因此進(jìn)貨太少，將失去銷售機(jī)會(huì)；進(jìn)貨太多，則因滯銷造成損失。隨機(jī)存儲(chǔ)策略的優(yōu)劣一般用用期望利潤(rùn)值或期望損失值的大小來(lái)衡量，而不是只考慮成本。11.3隨機(jī)需求的基本存儲(chǔ)模型7/16/2024225隨機(jī)需求下的庫(kù)存問(wèn)題—例某商店擬在新年期間出售一批日歷畫片，每售出一千張可贏利7元，如果在新年期間不能售罄，必須降價(jià)處理，一定可以售完，此時(shí)每千張賠損4元。已知市場(chǎng)需求概率見(jiàn)下表，每年只能訂貨一次，問(wèn)應(yīng)訂購(gòu)多少?gòu)埲諝v才能使獲利最大。需求(千張)012345概率0.050.10.250.350.150.17/16/2024226分析我們可以計(jì)算出商家不同定購(gòu)量和不同需求量時(shí)的損益值，和風(fēng)險(xiǎn)決策相似，給出損益表rQ012345期望值0.050.100.250.350.150.100123450-4-8-12-16-20073-1