北師大九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教案3.6 第2課時(shí) 切線的判定及三角形的內(nèi)切圓1

PAGE3.6直線和圓的位置關(guān)系第2課時(shí)切線的判定及三角形的內(nèi)切圓1．掌握切線的判定定理，并會(huì)運(yùn)用它進(jìn)行切線的證明；(重點(diǎn))2．能靈活選用切線的三種判定方法判定一條直線是圓的切線；(難點(diǎn))3．掌握畫三角形內(nèi)切圓的方法和三角形內(nèi)心的概念.(重點(diǎn))一、情境導(dǎo)入下雨天，當(dāng)你轉(zhuǎn)動(dòng)雨傘，你會(huì)發(fā)現(xiàn)雨傘上的水珠順著傘面的邊緣飛出．仔細(xì)觀察一下，水珠是順著什么樣的方向飛出的？這就是我們所要研究的直線與圓相切的情況．二、合作探究探究點(diǎn)一：切線的判定【類型一】已知直線過圓上的某一個(gè)點(diǎn)，證明圓的切線如圖，點(diǎn)D在⊙O的直徑AB的延長線上，點(diǎn)C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求證：CD是⊙O的切線．解析：要證明CD是⊙O的切線，即證明OC⊥CD.連接OC，由AC＝CD，∠D＝30°，則∠A＝∠D＝30°，得到∠COD＝60°，所以∠OCD＝90°.證明：連接OC，如圖，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD.∴CD是⊙O的切線．方法總結(jié)：一定要分清圓的切線的判定定理的條件與結(jié)論，特別要注意“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”這兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是圓的切線．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第6題【類型二】直線與圓的公共點(diǎn)沒有確定時(shí)，證明圓的切線如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)M.求證：CD與⊙O相切．解析：連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥CD于點(diǎn)N，用正方形的性質(zhì)得出AC平分角∠BCD，再利用角平分線的性質(zhì)得出OM＝ON即可．證明：連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥CD于點(diǎn)N，∵⊙O與BC相切于點(diǎn)M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O為正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，∴OM＝ON，∴CD與⊙O相切．方法總結(jié)：如果直線與圓的公共點(diǎn)沒有確定，則應(yīng)過圓心作直線的垂線，證明圓心到這條直線的距離等于半徑．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第5題【類型三】切線的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AB上，DE⊥EB.(1)求證：AC是△BDE的外接圓的切線；(2)若AD＝2eq\r(3)，AE＝6，求EC的長．解析：(1)取BD的中點(diǎn)O，連接OE，如圖，由∠BED＝90°，可得BD為△BDE的外接圓的直徑，點(diǎn)O為△BDE的外接圓的圓心，再證明OE∥BC，得到∠AEO＝∠C＝90°，可得結(jié)論；(2)設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)勾股定理和平行線分線段成比例定理，可求答案．(1)證明：取BD的中點(diǎn)O，連接OE，如圖所示，∵DE⊥EB，∴∠BED＝90°，∴BD為△BDE的外接圓的直徑，點(diǎn)O為△BDE的外接圓的圓心．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴OE⊥AE，∴AC是△BDE的外接圓的切線；(2)解：設(shè)⊙O的半徑為r，則OA＝OD＋DA＝r＋2eq\r(3)，OE＝r.在Rt△AEO中，有AE2＋OE2＝AO2，即62＋r2＝(r＋2eq\r(3))2，解得r＝2eq\r(3).∵OE∥BC，∴eq\f(AE,CE)＝eq\f(AO,OB)，即eq\f(6,CE)＝eq\f(4\r(3),2\r(3))，∴CE＝3.方法總結(jié)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即可．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第6題探究點(diǎn)二：三角形的內(nèi)切圓【類型一】利用三角形的內(nèi)心求角的度數(shù)如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)D、E、F分別在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，連接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于()A．40°B．55°C．65°D．70°解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°.∵⊙O內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)分別為D、E、F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA－∠OFA＝110°，∴∠EDF＝eq\f(1,2)∠EOF＝55°.故選B.方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是理解三角形內(nèi)心的概念，求出∠EOF的度數(shù)．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第10題【類型二】求三角形內(nèi)切圓半徑如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，CB＝8，則△ABC的內(nèi)切圓半徑r為()A．1B．2C．1.5D．2.5解析：∵∠C＝90°，AC＝6，CB＝8，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝10，∴△ABC的內(nèi)切圓半徑r＝eq\f(6＋8－10,2)＝2.故選B.方法總結(jié)：記住直角邊為a、b，斜邊為c的三角形的內(nèi)切圓半徑為eq\f(a＋b－c,2)，可以大大簡化計(jì)算．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第2題【類型三】三角形內(nèi)心的綜合應(yīng)用如圖①，I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長線交邊BC于點(diǎn)D，交△ABC的外接圓于點(diǎn)E.(1)BE與IE相等嗎？請(qǐng)說明理由．(2)如圖②，連接BI，CI，CE，若∠BED＝∠CED＝60°，猜想四邊形BECI是何種特殊四邊形，并證明你的猜想．解析：(1)連接BI，根據(jù)I是△ABC的內(nèi)心，得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根據(jù)∠BIE＝∠1＋∠3，∠IBE＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，得出∠BIE＝∠IBE，即可證出IE＝BE；(2)由三角形的內(nèi)心，得到角平分線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到邊相等，由等量代換得到四條邊都相等，推出四邊形是菱形．解：(1)BE＝IE.理由如下：如圖①，連接BI，∵I是△ABC的內(nèi)心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠BIE＝∠1＋∠3，∠IBE＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，∴∠BIE＝∠IBE，∴BE＝IE；(2)四邊形BECI是菱形．證明如下：∵∠BED＝∠CED＝60°，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴BE＝CE.∵I是△ABC的內(nèi)心，∴∠4＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°，∠ICD＝eq\f(1,2)∠ACB＝30°，∴∠4＝∠ICD，∴BI＝IC.由(1)證得IE＝BE，∴BE＝CE＝BI＝IC，∴四邊形BECI是菱形．方法總結(jié)：解決本題要掌握三角形的內(nèi)心