高考數(shù)學(xué)19題新題型專項(xiàng)練習(xí)題

2025屆高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷19題新題型集訓(xùn)卷（1）學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、解答題1．已知集合，，，若，，或，則稱集合A具有“包容”性.（Ⅰ）判斷集合和集合是否具有“包容”性；（Ⅱ）若集合具有“包容”性，求的值；（Ⅲ）若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64個(gè)，，試確定集合C.答案：（Ⅰ）集合不具有“包容”性；集合具有“包容”性（Ⅱ）（Ⅲ），，，或解析：（Ⅰ）集合中的，，所以集合不具有“包容”性.集合中的任何兩個(gè)相同或不同的元素，相加或相減，得到的兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于集合，所以集合具有“包容”性.（Ⅱ）已知集合具有“包容”性，記，則，易得，從而必有，不妨令，則，且，則，且，①當(dāng)時(shí)，若，得，此時(shí)具有包容性；若，得，舍去；若，無解②當(dāng)時(shí)，則，由且，可知b無解，故.綜上，.（Ⅲ）因?yàn)榧螩的子集有64個(gè)，所以集合C中共有6個(gè)元素，且，又，且C中既有正數(shù)也有負(fù)數(shù)，不妨設(shè)，其中，，，根據(jù)題意，且，從而或.①當(dāng)時(shí)，，并且由，得，由，得，由上可得，并且，綜上可知；②當(dāng)時(shí)，同理可得.綜上，C中有6個(gè)元素，且時(shí)，符合條件的集合C有5個(gè)，分別是，，，或.2．對(duì)于給定的兩個(gè)向量a和b，定義運(yùn)算，.（1）已知，，，求，并說明其幾何意義.（2）設(shè)，，求.（3）在平行六面體中，側(cè)棱與底面所成的角為，底面四邊形中較小的內(nèi)角為，，且該六面體所有棱長(zhǎng)之和為，求該六面體體積的最大值.答案：（1），其幾何意義為的面積（2）（3）解析：（1）由題意，得，，，且，，，.，其幾何意義為的面積.（2），，，，.（3）設(shè)平行六面體一個(gè)頂點(diǎn)引出的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，不妨設(shè)棱a，b的夾角為，側(cè)棱長(zhǎng)為c，則，即.由（1）知底面面積，高，.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，且當(dāng)時(shí)，，.故該六面體體積的最大值為.3．[2024屆·山東濱州·二模]定義：函數(shù)滿足對(duì)于任意不同的，，都有，則稱為上的“k類函數(shù)”.（1）若，判斷是否為上的“2類函數(shù)”；（2）若為上的“3類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若為上的“2類函數(shù)”，且，證明：，，.答案：（1）為上的“2類函數(shù)”（2）（3）證明見詳解解析：（1）對(duì)于任意不同的，，不妨設(shè)，即，則，所以為上的“2類函數(shù)”.（2）因?yàn)闉樯系摹?類函數(shù)”，對(duì)于任意不同的，，不妨設(shè)，則恒成立，可得，即，均恒成立，構(gòu)建，，則，由可知在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)恒成立，即在內(nèi)恒成立；同理可得：內(nèi)恒成立；即在內(nèi)恒成立，又因?yàn)?，即，整理得，可得，即在?nèi)恒成立，令，因?yàn)?，在?nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)，；當(dāng)，；可知，可得在內(nèi)恒成立，構(gòu)建，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，構(gòu)建，，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則；可得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（3）（i）當(dāng)，可得，符合題意；（ⅱ）當(dāng)，因?yàn)闉樯系摹?類函數(shù)”，不妨設(shè)，①若，則；②若，則；綜上所述：，，.4．[2024屆·吉林通化·模擬考試校考]已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).若斜率為的直線與橢圓E相切于點(diǎn)T，過直線上異于點(diǎn)T的一點(diǎn)P，作斜率為的直線與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，定義為點(diǎn)P處的切割比，記為.（1）求E的方程；（2）證明：與點(diǎn)P的坐標(biāo)無關(guān)；（3）若，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則當(dāng)時(shí)，求直線的方程.答案：（1）（2）證明見解析（3）或解析：（1）設(shè)橢圓E的半焦距為c，由題意知，，所以，解得.又橢圓E過點(diǎn)，所以，結(jié)合，解得，，所以E的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)，直線的方程為，由消去y，得（*），，由直線與橢圓E相切，得.設(shè)切點(diǎn)，則，，所以.設(shè)，，由（*）式同理可得，，所以，易知，點(diǎn)在橢圓E外，所以，所以，.結(jié)合與的表達(dá)式知，要想與點(diǎn)P的坐標(biāo)無關(guān)，需要從的表達(dá)式中分離出，由，得，即.因?yàn)?所以，所以.所以，與點(diǎn)P的坐標(biāo)無關(guān).（3）由（2）得，，所以，因?yàn)?，所以?又，所以②，由①②解得或（舍去）.所以直線OT的方程為，由解得或故切點(diǎn)T的坐標(biāo)為或.所以直線的方程為或.5．設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列，，…，為階“曼德拉數(shù)列”：①；②.（1）若某階“曼德拉數(shù)列”是等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)（，用k，n表示）.（2）若某階“曼德拉數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)（，用k，n表示）.（3）記n階“曼德拉數(shù)列”的前k項(xiàng)和為，若存在，使，試問：數(shù)列能否為n階“曼德拉數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請(qǐng)說明理由.答案：（1）或（2）（3）數(shù)列不為n階“曼德拉數(shù)列”解析：（1）設(shè)等比數(shù)列，，，…，的公比為q.若，則由①得，得，由②得或.若，由①得，，得，不可能.綜上所述，.或.（2）設(shè)等差數(shù)列，，，…，的公差為d，，，，即，，當(dāng)時(shí)，“曼德拉數(shù)列”的條件①②矛盾，當(dāng)時(shí)，據(jù)“曼德拉數(shù)列”的條件①②得，，，即，由得，即，.當(dāng)時(shí)，同理可得，即.由得，即，.（3）記，，…，中非負(fù)項(xiàng)和為A，負(fù)項(xiàng)和為B，則，，得，，，即.若存在，使，由前面的證明過程知：，，…，，，，…，，且.若數(shù)列為n階“曼德拉數(shù)列”，記數(shù)列的前k項(xiàng)和為，則.，又，，，.又，，，…，，，又與不能同時(shí)成立，數(shù)列不為n階“曼德拉數(shù)列”.6．信息在傳送中都是以字節(jié)形式發(fā)送，每個(gè)字節(jié)只有0或1兩種狀態(tài)，為保證信息在傳送中不至于泄露，往往需要經(jīng)過多重加密，若A，B是含有一個(gè)字節(jié)的信息，在加密過程中，會(huì)經(jīng)過兩次加密，第一次加密時(shí)信息中字節(jié)會(huì)等可能的變?yōu)?或1，且0，1之間轉(zhuǎn)換是相互獨(dú)立的，第二次加密時(shí)，字節(jié)中0或1發(fā)生變化的概率為p，若A，B的初始狀態(tài)為0，1或1，0，記通過兩次加密后A，B中含有字節(jié)1的個(gè)數(shù)為X.（Ⅰ）若兩次加密后的A，B中字節(jié)1的個(gè)數(shù)為2，且，求A，B通過第一次加密后字節(jié)1的個(gè)數(shù)為2的概率；（Ⅱ）若一條信息有n（，）種等可能的情況且各種情況互斥，記這些情況發(fā)生的概率分別為，，，…，，則稱（其中）為這條信息的信息熵，試求A，B通過兩次加密后字節(jié)1的個(gè)數(shù)為X的信息熵H；（Ⅲ）將一個(gè)字節(jié)為0的信息通過第二次加密，當(dāng)字節(jié)變?yōu)?時(shí)停止，否則重復(fù)通過第二次加密直至字節(jié)變?yōu)?，設(shè)停止加密時(shí)該字節(jié)通過第二次加密的次數(shù)為.證明：.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）證明見解析解析：（Ⅰ）記事件為“A，B通過第一次加密后字節(jié)1的個(gè)數(shù)為i”，，事件N為“A，B通過第二次加密后字節(jié)1的個(gè)數(shù)為2”，則，，，，，則，故.（Ⅱ）由題知，由（Ⅰ）知，同理可得，則，故X的信息熵.（Ⅲ）證明：由題知，其中，則.因?yàn)?，，①，②得，?dāng)n無限增大時(shí)，和都無限趨近于0，所以2025屆高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷19題新題型集訓(xùn)卷（2）學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、解答題1．[2024屆·長(zhǎng)郡中學(xué)·模擬考試]集合論在離散數(shù)學(xué)中有著非常重要的地位.對(duì)于非空集合A和B，定義和集，用符號(hào)表示和集內(nèi)的元素個(gè)數(shù).（1）已知集合，，，若，求x的值；（2）記集合，，，為中所有元素之和，，求證：；（3）若A與B都是由個(gè)整數(shù)構(gòu)成的集合，且，證明：若按一定順序排列，集合A與B中的元素是兩個(gè)公差相等的等差數(shù)列.答案：（1）4（2）見解析（3）見解析解析：（1）由題：，所以，，且，2，6，從而，，，故.（2）若，，，，使，其中，，，，則，故，.，，.（3）設(shè)集合，，其中，.則，這里共個(gè)不同元素，又，所以上面為合集中的所有元素.又，這里共個(gè)不同元素，也為合集中的所有元素，所以有，即.一般地，由，，可得，即.同理可得，得證.2．設(shè)有n維向量，，稱為向量和的內(nèi)積，當(dāng)，稱向量和正交.設(shè)為全體由-1和1構(gòu)成的n元數(shù)組對(duì)應(yīng)的向量的集合.（1）若，寫出一個(gè)向量，使得.（2）令.若，證明：為偶數(shù).（3）若，是從中選出向量的個(gè)數(shù)的最大值，且選出的向量均滿足，猜測(cè)的值，并給出一個(gè)實(shí)例.答案：（1）（2）證明見解析（3）見解析解析：（1）（答案不唯一）.（2）證明：對(duì)于，，2，…，n，存在，，，，使得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.令.所以.所以為偶數(shù).（3）當(dāng)時(shí)，可猜測(cè)互相正交的4維向量最多有4個(gè)，即.不妨取，，，，則有，，，，，.若存在，使，則或或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故找不到第5個(gè)向量與已知的4個(gè)向量互相正交.3．若對(duì)任意實(shí)數(shù)k，b都有函數(shù)的圖象與直線相切，則稱函數(shù)為“恒切函數(shù)”.設(shè)函數(shù)，a，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）已知函數(shù)為“恒切函數(shù)”.①求實(shí)數(shù)p的取值范圍；②當(dāng)p取最大值時(shí)，若函數(shù)為“恒切函數(shù)”，求證：.（參考數(shù)據(jù)：）答案：（1）當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）①；②解析：（1），當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）①若函數(shù)為“恒切函數(shù)”，則函數(shù)的圖象與直線相切，設(shè)切點(diǎn)為，則且，即，.因?yàn)楹瘮?shù)為“恒切函數(shù)”，所以存在，使得，，，得，.設(shè)，則，由，得，由，得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，故實(shí)數(shù)p的取值范圍為.②由①知當(dāng)p取最大值時(shí)，，，故，，因?yàn)楹瘮?shù)為“恒切函數(shù)”，故存在，使得，，由得，即.設(shè)，則，由得，由得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.在單調(diào)遞增區(qū)間上，，故，則由，得.在單調(diào)遞減區(qū)間上，，，故在區(qū)間上存在唯一的，使得，，此時(shí)由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，故.綜上，.4．費(fèi)馬原理，也稱為時(shí)間最短原理：光傳播的路徑是光程取極值的路徑.在凸透鏡成像中，根據(jù)費(fèi)馬原理可以推出光線經(jīng)凸透鏡至像點(diǎn)的總光程為定值（光程為光在某介質(zhì)中傳播的路程與該介質(zhì)折射率的乘積）.一般而言，空氣的折射率約為1.如圖是折射率為2的某平凸透鏡的縱截面圖，其中平凸透鏡的平面圓直徑MN為6，且MN與x軸交于點(diǎn).平行于x軸的平行光束從左向右照向該平凸透鏡，所有光線經(jīng)折射后全部匯聚在點(diǎn)處并在此成像.（提示：光線從平凸透鏡的平面進(jìn)入時(shí)不發(fā)生折射）（1）設(shè)該平凸透鏡縱截面中的曲線為曲線C，試判斷C屬于哪一種圓錐曲線，并求出其相應(yīng)的解析式.（2）設(shè)曲線F為解析式同C的完整圓錐曲線，直線l與F交于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q不與F的頂點(diǎn)重合）.若，，試求出點(diǎn)Q所有可能的坐標(biāo).答案：（1）（2）Q的坐標(biāo)可能為或解析：（1）設(shè)C上任意一點(diǎn)，，光線從點(diǎn)N至點(diǎn)的光程為，光線穿過凸透鏡后從T點(diǎn)折射到點(diǎn)的光程為，則，，由題意得，得，化簡(jiǎn)得，，.令，得，為雙曲線的一部分，解析式為.（2）由題意知.設(shè)，，，，則，，，，，，易知，，得，，即，.將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，得，化簡(jiǎn)整理得.同理可得，與為方程的兩個(gè)解，.由題知，，解得，點(diǎn)Q的坐標(biāo)可能為或.5．設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為互不相等的正整數(shù)，前n項(xiàng)和為，稱滿足條件“對(duì)任意的m，，均有”的數(shù)列為“好”數(shù)列.（1）試分別判斷數(shù)列，是否為“好”數(shù)列，其中，，，并給出證明.（2）已知數(shù)列為“好”數(shù)列，其前n項(xiàng)和為.①若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②若，且對(duì)任意給定的正整數(shù)p，，有，，成等比數(shù)列，求證：.答案：（1）數(shù)列不是“好”數(shù)列，證明見解析（2）①；②證明見解析解析：（1）設(shè)，的前n項(xiàng)和分別為，，若，則，所以，而，所以對(duì)任意的m，均成立，即數(shù)列是“好”數(shù)列.若，則，不妨取，，則，，此時(shí)，故數(shù)列不是“好”數(shù)列.（2）因?yàn)閿?shù)列為“好”數(shù)列，取，則，即.當(dāng)時(shí)，有，兩式相減，得，即，所以，所以，即，即，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，有，即，所以對(duì)任意的，恒成立，所以數(shù)列是等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列的公差為d，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)為互不相等的正整數(shù)，所以，①若，則，即，又，所以，，所以.②若，則，由，，成等比數(shù)列，得，所以，化簡(jiǎn)得，即.因?yàn)閜是任意給定的正整數(shù)，所以要使，則，不妨設(shè)，由于s是任意給定的正整數(shù)，所以.6．正態(tài)分布與指數(shù)分布均是用于描述連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布.對(duì)于一個(gè)給定的連續(xù)型隨機(jī)變量X，定義其累積分布函數(shù)為.已知某系統(tǒng)由一個(gè)電源和并聯(lián)的A，B，C三個(gè)元件組成，在電源電壓正常的情況下，至少一個(gè)元件正常工作才可保證系統(tǒng)正常運(yùn)行，電源及各元件之間工作相互獨(dú)立.（1）已知電源電壓X（單位：V）服從正態(tài)分布，且X的累積分布函數(shù)為，求；（2）在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時(shí)間間隔或等待時(shí)間.已知隨機(jī)變量T（單位：天）表示某高穩(wěn)定性元件的使用壽命，且服從指數(shù)分布，其累積分布函數(shù)為.（?。┰O(shè)，證明：；（ⅱ）若第n天元件A發(fā)生故障，求第天系統(tǒng)正常運(yùn)行的概率.附：若隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布，則，，.答案：（1）0.8186（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）解析：（1）由題設(shè)得，，所以，.（2）（ⅰ）由題設(shè)得：，，，所以.（ⅱ）由（?。┑?，所以第天元件B，C正常工作的概率均為.為使第天系統(tǒng)仍正常工作，元件B，C必須至少有一個(gè)正常工作，因此所求概率為2025屆高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷19題新題型集訓(xùn)卷（3）學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、解答題1．[2024屆·安徽馬鞍山·模擬考試]已知S是全體復(fù)數(shù)集C的一個(gè)非空子集，如果，總有，，，則稱S是數(shù)環(huán).設(shè)F是數(shù)環(huán)，如果①F內(nèi)含有一個(gè)非零復(fù)數(shù)；②，且，有，則稱F是數(shù)域.由定義知有理數(shù)集Q是數(shù)域.（1）求元素個(gè)數(shù)最小的數(shù)環(huán)；（2）證明：記，證明：是數(shù)域；（3）若，是數(shù)域，判斷是否是數(shù)域，請(qǐng)說明理由.答案：（1）；（2）證明見詳解；（3）不一定數(shù)域，證明見詳解解析：（1）因?yàn)闉閿?shù)環(huán)，可知不是空集，即中至少有一個(gè)元素，若，則，可知為數(shù)環(huán)；若，則，可知中不止一個(gè)元素，不是元素個(gè)數(shù)最小的數(shù)環(huán)；綜上所述：元素個(gè)數(shù)最小的數(shù)環(huán)為.（2）設(shè)，，，可知，則有：，，，因?yàn)椋瑒t，，，，，，可知，，，所以是數(shù)環(huán)；若，可知，滿足①；若，則，因?yàn)?，則，可知，滿足②；綜上所述：是數(shù)域.（3）不一定是數(shù)域，理由如下：①若，，顯然，均為數(shù)域，且是數(shù)域；②設(shè)，，，可知，則有：，，，因?yàn)椋瑒t，，，，，，可知，，，所以是數(shù)環(huán)；若，可知，滿足①；若，則，因?yàn)?，則，，可知，滿足②；綜上所述：是數(shù)域.例如：，，例如，，但，所以不是數(shù)域；綜上所述：不一定數(shù)域.2．在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)，的“曼哈頓距離”定義為，記為，如點(diǎn)，的“曼哈頓距離”為5，記為.（1）若點(diǎn)，M是滿足的動(dòng)點(diǎn)Q的集合，求點(diǎn)集M所占區(qū)域的面積.（2）若動(dòng)點(diǎn)P在直線上，動(dòng)點(diǎn)Q在函數(shù)的圖像上，求的最小值.（3）設(shè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q在函數(shù)的圖像上，的最大值記為，求的最小值.答案：（1）8（2）3（3）解析：（1）設(shè)點(diǎn).由，得.的圖像是以原點(diǎn)為中心，順次連接四點(diǎn)，，，所形成的正方形.將其上移2個(gè)單位長(zhǎng)度即得的圖像.所以點(diǎn)集M所占區(qū)域是以四點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的正方形及其內(nèi)部，面積為8.（2）設(shè)，，則.將看成關(guān)于的函數(shù)，則在或時(shí)取得最小值，即.令，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，此時(shí).所以的最小值為3.（3）設(shè)點(diǎn)，，則，.若存在實(shí)數(shù)a，b，使，則對(duì)任意的成立.令，則.令，則.所以，所以.令，，則是上的偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，若，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以存在實(shí)數(shù)a，b且，，使得的最小值為.3．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足如下條件：①對(duì)任意的，總有；②；③當(dāng)，，時(shí)，恒成立.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且，，令.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若，求證：.答案：（1）的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式（2）證明見解析解析：（1）不妨設(shè)，則，，，若，即，此時(shí)，這與矛盾，，故，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，.已知，兩邊同時(shí)除以，化簡(jiǎn)可得，即，是以為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，.又，，當(dāng)時(shí)，.又當(dāng)時(shí)，，故.（2）由（1）可得.當(dāng)時(shí)，，且，，，又，，即，，，即，，.4．對(duì)于給定的正整數(shù)n，記集合，其中元素稱為一個(gè)n維向量.特別地，稱為零向量.設(shè)，，，定義加法和數(shù)乘：，.對(duì)一組向量，，…，（，），若存在一組不全為零的實(shí)數(shù)，，…，，使得，則稱這組向量線性相關(guān).否則，稱為線性無關(guān).（1）對(duì)，判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由.①，；②，，；③，，，.（2）已知向量，，線性無關(guān)，判斷向量，，是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由.（3）已知個(gè)向量，，…，線性相關(guān)，但其中任意個(gè)都線性無關(guān)，證明下列結(jié)論：①如果存在等式（，），則這些系數(shù)，，…，或者全為零，或者全不為零；②如果兩個(gè)等式，（，，）同時(shí)成立，其中，則.答案：（1）①，線性相關(guān)，②，，線性相關(guān)，③，，，線性相關(guān)（2）向量，，線性無關(guān)，理由見解析（3）證明見解析解析：（1）對(duì)于①，設(shè)，則可得，所以，線性相關(guān)；對(duì)于②，設(shè)，則可得，所以，，所以，，線性相關(guān)；對(duì)于③，設(shè)，則可得，可取，符合該方程，所以，，，線性相關(guān).（2）設(shè)，則，因?yàn)橄蛄?，，線性無關(guān)，所以，解得，所以向量，，線性無關(guān).（3）證明：①，如果某個(gè)，，2，…，m，則，因?yàn)槿我鈧€(gè)都線性無關(guān)，所以，，…，，，…，都等于0，所以這些系數(shù)，，…，或者全為零，或者全不為零，②因?yàn)?，所以，，…，全不為零，所以由可得，代入可得，所以，所以，，，所?5．我們將離心率相等的所有橢圓稱為“一簇橢圓系”.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，上頂點(diǎn)為D.（1）若橢圓與橢圓E在“一簇橢圓系”中，求常數(shù)s的值；（2）設(shè)橢圓，過A作斜率為的直線與橢圓G有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過D作斜率為的直線與橢圓G有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求當(dāng)為何值時(shí)，取得最小值，并求其最小值；（3）若橢圓與橢圓E在“一簇橢圓系”中，橢圓H上的任意一點(diǎn)記為，求證：的垂心M必在橢圓E上.答案：（1）或1（2）當(dāng)時(shí)，取得最小值（3）證明見解析解析：（1）因?yàn)闄E圓E的離心率，故由條件得，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得.綜上，或1.（2）易得，，所以直線，的方程分別為，，由，得，又直線與橢圓G相切，則，又，即.由，得，又直線與橢圓G相切，則，又，即，故，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí).所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.（3）顯然橢圓.因?yàn)闄E圓H上的任意一點(diǎn)記為，所以.①設(shè)的垂心M的坐標(biāo)為，連接CM，AM，因?yàn)?，，故由?又，，所以，（*）將代入（*），得，②由①②得.將，，代入①得，即的垂心M在橢圓E上.6．[2024春·高三·湖北武漢·月考]利用方程的方法可以將無限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，例如將化為分?jǐn)?shù)是這樣計(jì)算的：設(shè)，則，即，解得.這是一種利用方程求解具有無限過程的問題的方法，這種方法在高中計(jì)算無限概率、無限期望問題時(shí)都有很好的妙用.已知甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果互不影響.規(guī)定：凈勝m局指的是一方比另一方多勝m局.（1）如果約定先獲得凈勝兩局者獲勝，求恰好4局結(jié)束比賽的概率；（2）如果約定先獲得凈勝三局者獲勝，那么在比賽過程中，甲可能凈勝局.設(shè)甲在凈勝局時(shí)，繼續(xù)比賽甲獲勝的概率為，比賽結(jié)束（甲、乙有一方先凈勝三局）時(shí)需進(jìn)行的局?jǐn)?shù)為，期望為.①求甲獲勝的概率；②求.答案：（1）（2）①；②解析：（1）4局結(jié)束比賽時(shí)甲獲勝，則在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局甲勝，概率為；4局結(jié)束比賽時(shí)乙獲勝，則在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局乙勝，概率為，所以恰好4局結(jié)束比賽的概率.（2）①在甲在凈勝-2局前提下，繼續(xù)比賽一局：若甲贏，則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟?1局，繼續(xù)比賽獲勝的概率為；若甲輸，則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟?3局，比賽結(jié)束，根據(jù)全概率公式，，同理，，，，由，，得，與聯(lián)立消去，得，又，，即，因此，所以甲獲勝的概率為.②在甲凈勝-2局前提下，繼續(xù)比賽一局：若甲贏，則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟?1局，繼續(xù)比賽至結(jié)束，還需要局，共進(jìn)行了局；若甲輸，則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟?3局，比賽結(jié)束，共進(jìn)行了1局，則，即，同理，即，，即，，即，，即，聯(lián)立與，得，聯(lián)立與，得，代入，得，所以2025屆高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷19題新題型集訓(xùn)卷（4）學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、解答題1．交比是射影幾何中最基本的不變量，在歐氏幾何中亦有應(yīng)用.設(shè)A，B，C，D是直線l上互異且非無窮遠(yuǎn)的四點(diǎn)，則稱（分式中各項(xiàng)均為有向線段長(zhǎng)度，例如）為A，B，C，D四點(diǎn)的交比，記為.（1）證明：；（2）若，，，為平面上過定點(diǎn)P且互異的四條直線，，為不過點(diǎn)P且互異的兩條直線，與，，，的交點(diǎn)分別為，，，，與，，，的交點(diǎn)分別為，，，，證明：；（3）已知第（2）問的逆命題成立，證明：若與的對(duì)應(yīng)邊不平行，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于同一點(diǎn)，則與對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上.答案：（1）證明見解析（2）證明見解析（3）證明見解析解析：（1）.（2）.（3）設(shè)與交于X，與交于Y，與交于Z，連接，與交于L，與交于M，與交于N，欲證X，Y，Z三點(diǎn)共線，只需證Z在直線上.考慮線束，，，，由第（2）問知，再考慮線束，，，，由第（2）問知，從而得到，于是由第（2）問的逆命題知，，，交于一點(diǎn)，即為點(diǎn)Z，從而過點(diǎn)Z，故Z在直線上，X，Y，Z三點(diǎn)共線.2．[2024春·高一·重慶·月考]若非空集合A與B,存在對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使A中的每一個(gè)元素a,B中總有唯一的元素b與它對(duì)應(yīng),則稱這種對(duì)應(yīng)為從A到B的映射,記作．設(shè)集合,（,）,且．設(shè)有序四元數(shù)集合,且,．對(duì)于給定的集合B,定義映射,記為,按映射f,若,則;若,則．記．（1）若,,寫出Y,并求;（2）若,,求所有的總和;（3）對(duì)于給定的,記,求所有的總和（用含m的式子表示）．答案：（1）,（2）40（3）解析：（1）由題意知,,所以．（2）對(duì)1,-3,5是否屬于B進(jìn)行討論：①含1的B的個(gè)數(shù)為,此時(shí)在映射f下,;不含1的B的個(gè)數(shù)為,此時(shí)在映射f下,;所以所有Y中2總個(gè)數(shù)和1的總個(gè)數(shù)均為10;②含5的B的個(gè)數(shù)為,此時(shí)在映射f下,;不含5B的個(gè)數(shù)為,此時(shí)在映射f下,;所以所有Y中6的總個(gè)數(shù)和5的總個(gè)數(shù)均為10;②含的B的個(gè)數(shù)為,此時(shí)在映射f下,,;不含的B的個(gè)數(shù)為,此時(shí)在映射f下,,;所以所有y中的總個(gè)數(shù)和的總個(gè)數(shù)均為20．綜上,所有的總和為．（3）對(duì)于給定的,考慮在映射f下的變化．由于在A的所有非空子集中,含有的子集B共個(gè),所以在映射f下變?yōu)?不含的子集B共個(gè),在映射f下變?yōu)?所以在映射f下得到的所有的和為．同理,在映射f下得到的所有的和．所以所有的總和為．3．人類對(duì)地球形狀的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歷程.古人認(rèn)為宇宙是“天圓地方”的，以后人們又認(rèn)為地球是個(gè)圓球.17世紀(jì)，牛頓等人根據(jù)力學(xué)原理提出地球是扁球的理論，這一理論直到1739年才為南美和北歐的弧度測(cè)量所證實(shí).其實(shí)，之前中國(guó)就曾進(jìn)行了大規(guī)模的弧度測(cè)量，發(fā)現(xiàn)緯度越高，每度子午線弧長(zhǎng)越長(zhǎng)的事實(shí)，這同地球兩極略扁，赤道隆起的理論相符.地球的形狀類似于橢球體，橢球體的表面為橢球面，在空間直角坐標(biāo)系下，橢球面（，，），這說明橢球完全包含在由平面，，所圍成的長(zhǎng)方體內(nèi)，其中a，b，c按其大小，分別稱為橢球的長(zhǎng)半軸、中半軸和短半軸.某橢球面與坐標(biāo)面的截痕是橢圓.（1）已知橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為.過橢圓E的左焦點(diǎn)作直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點(diǎn)M，求面積的最小值.（2）我國(guó)南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家祖暅于5世紀(jì)末提出了祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.祖暅原理用現(xiàn)代語言可描述為：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.當(dāng)時(shí)，橢球面圍成的橢球是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，類比計(jì)算球的體積的方法，運(yùn)用祖暅原理求該橢球的體積.答案：（1）（2）解析：（1）橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則.當(dāng)直線l的傾斜角為0時(shí)，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，此時(shí)兩切線平行無交點(diǎn)，不符合題意，所以直線l的傾斜角不為0.設(shè)直線，，.由得，則，，，所以.又橢圓E在點(diǎn)A處的切線方程為，在點(diǎn)B處的切線方程為，由得，代入①得，所以.因?yàn)辄c(diǎn)M到直線l的距離，所以.設(shè)，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，的面積最小，最小值是.（2）橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為1，橢球由橢圓E及其內(nèi)部繞x軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體.構(gòu)造一個(gè)底面半徑為1，高為的圓柱，在圓柱中挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體.當(dāng)平行于底面的截面與圓錐頂點(diǎn)距離為時(shí)，設(shè)小圓錐底面半徑為r，則，即，所以新幾何體的截面面積為.把代入，得，解得，所以半橢球的截面面積為.由祖暅原理，得橢球的體積.4．已知函數(shù)，，且在處取得極大值.（1）求a的值與的單調(diào)區(qū)間.（2）如圖，若函數(shù)的圖像在連續(xù)，試猜想拉格朗日中值定理，即一定存在，使得，求m的表達(dá)式〔用含a，b，，的式子表示了.（3）利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)的連線斜率不大于.答案：（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）（3）證明見解析解析：（1）由，得.由題意，得，解得，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在和上分別單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以滿足題意，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）猜想如下：.因?yàn)楸硎镜膱D像上兩端點(diǎn)A，B連線的斜率，所以由圖像可知，曲線上至少存在一點(diǎn)且，使得曲線在該點(diǎn)處的切線與的圖像上兩端點(diǎn)A，B的連線平行.設(shè)切線的斜率為，即，故一定存在，使得.（3）證明：由（1）可知，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).由猜想可知，對(duì)于函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)A，B，在A，B之間一定存在一點(diǎn)，使得.又，所以.5．行列式是近代數(shù)學(xué)中研究線性方程的有力工具，其中最簡(jiǎn)單的二階行列式的運(yùn)算定義如下：.（1）在等比數(shù)列中，，是的兩個(gè)實(shí)根，求的值；（2）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù).設(shè)函數(shù)，且存在實(shí)數(shù)M，使得對(duì)于任意的都成立，若，求的值.答案：（1）（2）（3）617解析：（1）由題知，，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)根，所以根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，，，則且.又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，所以，則.（2）由題知，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，成立，所以.所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.令，則，兩式相減可得，化簡(jiǎn)可得，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（3）由題意得，存在實(shí)數(shù)M，使得對(duì)于任意的都成立，即，令，則①，令，則②，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，，，，，整理得，令，則，又，且，所以，所以，所以.6．置換是代數(shù)的基本模型，定義域和值域都是集合，的函數(shù)稱為n次置換.滿足對(duì)任意，的置換稱作恒等置換.所有n次置換組成的集合記作.對(duì)于，我們可用列表法表示此置換，如.記，，，…，，，.（1）若，，計(jì)算.（2）證明：對(duì)任意，存在，使得為恒等置換.（3）對(duì)編號(hào)從1到52的撲克牌進(jìn)行洗牌，分成上下各26張兩部分，互相交錯(cuò)插入，即第1張不動(dòng)，第27張變?yōu)榈?張，第2張變?yōu)榈?張，第28張變?yōu)榈?張，……依次類推.這樣的操作最少重復(fù)幾次就能恢復(fù)原來的牌型？請(qǐng)說明理由.答案：（1）（2）證明見解析（3）8次，理由見解析解析：（1）由題意可知，則.（2）證明：①若，則為恒等置換.②若存在兩個(gè)不同的i，使得，不妨設(shè)，則.所以，即為恒等置換.③若存在唯一的i，使得，不妨設(shè)，則或.當(dāng)時(shí)，由（1）可知為恒等置換；同理可知，當(dāng)時(shí)，也是恒等置換.④若對(duì)任意的i，，則情形一：或或；情形二：或或或或或.對(duì)于情形一：為恒等置換；對(duì)于情形二：為恒等置換.綜上，對(duì)任意，存在，使得為恒等置換.（3）不妨設(shè)原始牌型從上到下依次編號(hào)為1到52，則洗牌一次相當(dāng)于對(duì)作一次如下置換：，即其中.注意到各編號(hào)在置換中的如下變化：，，，，，，，，.所有編號(hào)在連續(xù)置換中只有三種循環(huán)：一階循環(huán)2個(gè)，二階循環(huán)2個(gè)，八階循環(huán)48個(gè)，注意到1，2，8的最小公倍數(shù)為8，由此可見，即為恒等置換，故這樣洗牌最少8次就能恢復(fù)原來的牌型.2025屆高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷19題新題型集訓(xùn)卷（5）學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、解答題1．給定正整數(shù)，已知項(xiàng)數(shù)為m且無重復(fù)項(xiàng)的數(shù)對(duì)序列A：，，…，，滿足如下三個(gè)性質(zhì)：①，且；②；③與不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列A中.（1）當(dāng)，時(shí)，寫出所有滿足的數(shù)對(duì)序列A；（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，記m的最大值為，求.答案：（1），，或，，（2）證明詳見解析（3）解析：（1）依題意，當(dāng)，時(shí)有：，，或，，.（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)榕c不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列A中，所以，所以1，2，3，4，5，6每個(gè)數(shù)至多出現(xiàn)5次，又因?yàn)?，所以只有，?duì)應(yīng)的數(shù)可以出現(xiàn)5次，所以.（3）當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，先證明.因?yàn)榕c不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列A中，所以，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造，，恰有項(xiàng)，且首項(xiàng)的第1個(gè)分量與末項(xiàng)的第2個(gè)分量都為1.對(duì)奇數(shù)N，如果和可以構(gòu)造一個(gè)恰有項(xiàng)的序列A，且首項(xiàng)的第1個(gè)分量與末項(xiàng)的第2個(gè)分量都為1，那么對(duì)奇數(shù)而言，可按如下方式構(gòu)造滿足條件的序列：首先，對(duì)于如下個(gè)數(shù)對(duì)集合：，，……，，每個(gè)集合中都至多有一個(gè)數(shù)對(duì)出現(xiàn)在序列中，所以，其次，對(duì)每個(gè)不大于N的偶數(shù)，將如下4個(gè)數(shù)對(duì)并為一組：，，，，共得到組，將這組對(duì)數(shù)以及，，，按如下方式補(bǔ)充到A的后面，即A，，，，，，…，，，，，，.此時(shí)恰有項(xiàng)，所以.綜上，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，.2．[2024屆·安徽合肥·模擬考試]在數(shù)學(xué)中，廣義距離是泛函分析中最基本的概念之一.對(duì)平面直角坐標(biāo)系中兩個(gè)點(diǎn)和，記，稱為點(diǎn)與點(diǎn)之間的“距離”，其中表示p，q中較大者.(1)計(jì)算點(diǎn)和點(diǎn)之間的“距離”；(2)設(shè)是平面中一定點(diǎn)，.我們把平面上到點(diǎn)的“距離”為r的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合叫做以點(diǎn)為圓心，以r為半徑的“圓”.求以原點(diǎn)O為圓心，以為半徑的“圓”的面積；(3)證明：對(duì)任意點(diǎn)，，，答案：(1)；(2)4；(3)證明見解析.解析：（1）由定義知，；（2）設(shè)是以原點(diǎn)O為圓心，以為半徑的圓上任一點(diǎn)，則.若，則；若，則有.由此可知，以原點(diǎn)O為圓心，以為半徑的“圓”的圖形如下所示：則“圓”的面積為.（3）考慮函數(shù).因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增.又，于是，同理，.不妨設(shè)，則.3．已知無窮數(shù)列滿足，其中表示x，y中最大的數(shù)，表示x，y中最小的數(shù).（1）當(dāng)，時(shí)，寫出的所有可能值；（2）若數(shù)列中的項(xiàng)存在最大值，證明：0為數(shù)列中的項(xiàng)；（3）若，是否存在正實(shí)數(shù)M，使得對(duì)任意的正整數(shù)n，都有？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的M；如果不存在，說明理由.答案：（1）（2）證明見解析（3）不存在，理由見解析解析：（1）由，，若，則，即，此時(shí)，當(dāng)，則，即；當(dāng)，則，即；若，則，即，此時(shí)，當(dāng)，則，即；當(dāng)，則，即（舍）；綜上，的所有可能值為.（2）由（1）知：，則，數(shù)列中的項(xiàng)存在最大值，故存在使，，由，所以，故存在使，所以0為數(shù)列中的項(xiàng).（3）不存在，理由如下：由，則，設(shè)，若，則，，對(duì)任意，?。ū硎静怀^x的最大整數(shù)），當(dāng)時(shí)，；若，則S為有限集，設(shè)，，對(duì)任意，?。ū硎静怀^x的最大整數(shù)），當(dāng)時(shí)，；綜上，不存在正實(shí)數(shù)M，使得對(duì)任意的正整數(shù)n，都有.4．[2024屆·遼寧撫順·模擬考試聯(lián)考]如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個(gè)球，，它們都與圓錐的側(cè)面相切（即與圓錐的每條母線相切），且這兩個(gè)球都與平面相切，切點(diǎn)分別為，，數(shù)學(xué)家丹德林利用這個(gè)模型證明了平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，記為，，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).設(shè)直線分別與該圓錐的母線交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的母線分別與球，相切于C，D兩點(diǎn)，已知，.以直線為x軸，在平面內(nèi)，以線段的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）點(diǎn)T在直線上，過點(diǎn)T作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，A，B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，連接，，設(shè)直線與交于點(diǎn)P.證明：點(diǎn)P在直線上.答案：（1）（2）解析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由切線長(zhǎng)定理知，，則，解得.由，解得，.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：設(shè)，，，，已知，.設(shè)，.聯(lián)立方程組消去得，由，可得，所以，同理.因?yàn)镸，N是切點(diǎn)，且，所以直線的方程為，即，顯然直線過定點(diǎn)，即M，D，N三點(diǎn)共線，則，解得或（舍去），聯(lián)立方程組解得，即點(diǎn)P在直線上.5．若函數(shù)在上滿足且不恒為0，則稱函數(shù)為區(qū)間上的絕對(duì)增函數(shù)，稱為函數(shù)的特征函數(shù)，稱任意的實(shí)數(shù)為絕對(duì)增點(diǎn)（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）.（1）若1為函數(shù)的絕對(duì)增點(diǎn)，求a的取值范圍；（2）絕對(duì)增函數(shù)的特征函數(shù)的唯一零點(diǎn)為.（?。┳C明：是的極值點(diǎn)；（ⅱ）證明：不是絕對(duì)增函數(shù).答案：（1）（2）（?。┳C明見解析（ⅱ）證明見解析解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，則.由得，解得或，所以為區(qū)間及區(qū)間上的絕對(duì)增函數(shù).又1為函數(shù)的絕對(duì)增點(diǎn)，所以或，解得或，所以a的取值范圍為.（2）證明：（ⅰ）設(shè)為區(qū)間上的絕對(duì)增函數(shù)，由題意知，當(dāng)時(shí)，，.①若，存在，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上，，，則，與矛盾.若，存在，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上，，，則，與矛盾.若，存在，且在區(qū)間上不單調(diào)，則存在，且，此時(shí)與有唯一零點(diǎn)矛盾.所以.②若，不妨設(shè)，則，且存在，使得當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，即，使在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以為的極值點(diǎn).同理，當(dāng)時(shí)也成立.（ⅱ）若為絕對(duì)增函數(shù)，則在上恒成立，又恒成立，所以恒成立.令，所以，且，所以在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)時(shí)，，則，與矛盾，所以假設(shè)不成立，所以不是絕對(duì)增函數(shù).6．已知是個(gè)正整數(shù)組成的m行m列的數(shù)表，當(dāng)，時(shí)，記.設(shè)，若滿足如下兩個(gè)性質(zhì)：①；②對(duì)任意，存在，，使得，則稱為數(shù)表.（1）判斷是否為數(shù)表，并求的值；（2）若數(shù)表滿足，求中各數(shù)之和的最小值；（3）證明：對(duì)任意數(shù)表，存在，，使得.答案：（1）是；（2）（3）證明見詳解解析：（1）是數(shù)表，.（2）由題可知.當(dāng)時(shí)，有，所以.當(dāng)時(shí)，有，所以.所以所以，，或者，或者，或，或，故各數(shù)之和，當(dāng)時(shí)，各數(shù)之和取得最小值22.（3）由于數(shù)表中共100個(gè)數(shù)字，必然存在，使得數(shù)表中k的個(gè)數(shù)滿足設(shè)第i行中k的個(gè)數(shù)為.當(dāng)時(shí)，將橫向相鄰兩個(gè)k用從左向右的有向線段連接，則該行有條有向線段，所以橫向有向線段的起點(diǎn)總數(shù).設(shè)第j列中k的個(gè)數(shù)為.當(dāng)時(shí)，將縱向相鄰兩個(gè)用從上到下的有向線段連接，則該列有條有向線段，所以縱向有向線段的起點(diǎn)總數(shù).所以，因?yàn)?，所?所以必存在某個(gè)k既是橫向有向線段的起點(diǎn)，又是縱向有向線段的終點(diǎn)，即存在，，使得，所以，則命題得證2025屆高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷19題新題型集訓(xùn)卷（6）學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、解答題1．已知數(shù)列、、…、，其中、、…、是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；、、…、是公差為d的等差數(shù)列；、、…、是公差為的等差數(shù)列.（1）若，求d；（2）試寫出關(guān)于d的關(guān)系式，并求的取值范圍；（3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得、、…、是公差為的等差數(shù)列，…，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列.提出同（2）類似的問題（2）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進(jìn)行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？答案：（1）（2），且的取值范圍是（3）答案見解析解析：（1）由已知可得，.（2），，因?yàn)椋?（3）所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列，其中、、…、是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列、、…、是公差為的等差數(shù)列，研究的問題是：試寫出關(guān)于d關(guān)系式，并求的取值范圍.研究的結(jié)論可以是：由，依次類推可得，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為.2．[2024屆·河南·模擬考試聯(lián)考]在空間解析幾何中,可以定義曲面（含平面）S的方程,若曲面S和三元方程之間滿足：①曲面S上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)均為三元方程的解;②以三元方程的任意解為坐標(biāo)的點(diǎn)均在曲面S上,則稱曲面S的方程為,方程的曲面為S.已知空間中某單葉雙曲面C的方程為,雙曲面C可視為平面xOz中某雙曲線的一支繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面,已知直線l過C上一點(diǎn),且以為方向向量.（1）指出xOy平面截曲面C所得交線是什么曲線,并說明理由;（2）證明：直線l在曲面C上;（3）若過曲面C上任意一點(diǎn),有且僅有兩條直線,使得它們均在曲面C上.設(shè)直線在曲面C上,且過點(diǎn),求異面直線l與所成角的余弦值.答案：（1）以原點(diǎn)O為圓心,1為半徑的圓（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)總是滿足曲面C的方程,從而直線l在曲面C上（3）解析：（1）根據(jù)坐標(biāo)平面xOy內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征可知,坐標(biāo)平面xOy的方程為,已知單葉雙曲面C的方程為,當(dāng)時(shí),平面截曲面C所得交線上的點(diǎn)滿足,從而平面截曲面C所得交線是平面上,以原點(diǎn)O為圓心,1為半徑的圓.（2）設(shè)是直線l上任意一點(diǎn),由,均為直線l的方向向量,得,從而存在實(shí)數(shù),使得,即,則解得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為,于是,因此點(diǎn)P的坐標(biāo)總是滿足曲面C的方程,從而直線l在曲面C上.（3）直線在曲面C上,且過點(diǎn),設(shè)是直線上任意一點(diǎn),直線的方向向量為,由,均為直線的方向向量,得,從而存在實(shí)數(shù)t,使得,即,則解得所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為,因?yàn)辄c(diǎn)M在曲面C上,所以,整理得,因?yàn)镸為直線任意一點(diǎn),所以對(duì)任意的t,有恒成立,所以,且,所以,或,,不妨取,則,或,,所以,或,又直線l的方向向量為,所以異面直線l與所成角的余弦值為.3．[2024屆·貴州黔南州·二模]1799年，哥廷根大學(xué)的高斯在其博士論文中證明了如下定理：任何復(fù)系數(shù)一元n次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域上至少有一根（）.此定理被稱為代數(shù)基本定理，在代數(shù)乃至整個(gè)數(shù)學(xué)中起著基礎(chǔ)作用.由此定理還可以推出以下重要結(jié)論：n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且只有n個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）.對(duì)于n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，其中，，，若方程有n個(gè)復(fù)根，，，，則有如下的高階韋達(dá)定理：(1)在復(fù)數(shù)域內(nèi)解方程；(2)若三次方程的三個(gè)根分別是，，（i為虛數(shù)單位），求a，b，c的值；(3)在的多項(xiàng)式中，已知，，，a為非零實(shí)數(shù)，且方程的根恰好全是正實(shí)數(shù)，求出該方程的所有根（用含n的式子表示）.答案：(1)；(2)，，；(3)解析：（1）由可得，解得.（2）由題意可知：，將，，代入可得，所以，，.（3）設(shè)，，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)榉匠痰母『萌钦龑?shí)數(shù)，設(shè)這n個(gè)正根分別為，，，，且，，，由題意可知：，因?yàn)椋遥?，，均為正?shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)?，即，所?4．懸鏈線的原理運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程.通過適當(dāng)建立坐標(biāo)系，懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)的圖象，類比三角函數(shù)的三種性質(zhì)：①平方關(guān)系：①，②和角公式：，③導(dǎo)數(shù)：定義雙曲正弦函數(shù).（1）直接寫出，具有的類似①、②、③的三種性質(zhì)（不需要證明）；（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）求的最小值.答案：（1）答案見解析（2）（3）0解析：（1）平方關(guān)系：；和角公式：；導(dǎo)數(shù)：.理由如下：平方關(guān)系，，，，和角公式：，故.導(dǎo)數(shù)：，.（2）構(gòu)造函數(shù)，，由（1）可知，i.當(dāng)時(shí)，由可知，故，故單調(diào)遞增，此時(shí)，故對(duì)任意，恒成立，滿足題意；ii.當(dāng)時(shí)，令，，則，可知單調(diào)遞增，由與可知，存在唯一，使得，故當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)遞減，故對(duì)任意，，即，矛盾；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（3），，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，由（2）可知，，則，令，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，因?yàn)?，即為偶函?shù)，故在內(nèi)單調(diào)遞減，則，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值0.5．[2024屆·河北保定·模擬考試聯(lián)考]對(duì)于任意給定的四個(gè)實(shí)數(shù)，，，，我們定義方陣，方陣A對(duì)應(yīng)的行列式記為，且，方陣A與任意方陣的乘法運(yùn)算定義如下：，其中方陣，且.設(shè)，，.（1）證明：.（2）若方陣A，B滿足，且，，證明：.答案：（1）見解析（2）見解析解析：（1）證明：設(shè)方陣，則，，，，則，所以.因?yàn)?，所以，證畢.（2）證明：設(shè)，，則由，可得，①，②，③，④由①×④，得，⑤由②×③，得，⑥由⑤-⑥，可得，整理得，即.由，可得或則.又，所以，證畢.6．[2024屆·湖北黃岡·模擬考試?？糫第二十五屆中國(guó)國(guó)際高新技術(shù)成果交易會(huì)（簡(jiǎn)稱“高交會(huì)”）在深圳閉幕.會(huì)展展出了國(guó)產(chǎn)全球首架電動(dòng)垂直起降載人飛碟.觀察它的外觀造型，我們會(huì)被其優(yōu)美的曲線折服.現(xiàn)代產(chǎn)品外觀特別講究線條感，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖所示的光滑曲線上的曲線段，其弧長(zhǎng)為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從A沿曲線段運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的切線也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）.顯然，當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)B越接近A，即越小，K就越能精確刻畫曲線C在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義（若極限存在）為曲線C在點(diǎn)A處的曲率.（其中，分別表示在點(diǎn)A處的一階?二階導(dǎo)數(shù)）（1）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，則在該拋物線上點(diǎn)處的曲率是多少？（2）若函數(shù)，不等式對(duì)于恒成立，求的取值范圍；（3）若動(dòng)點(diǎn)A的切線沿曲線運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)處的切線，點(diǎn)B的切線與x軸的交點(diǎn)為.若，，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明.答案：（1）（2）（3）解析：（1）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，則，即拋物線方程為，即，則，，又拋物線在點(diǎn)處的曲率，則，即在該拋物線上處的曲率為.（2），在R上為奇函數(shù)，又在R上為減函數(shù).不等式對(duì)于恒成立，等價(jià)于對(duì)于恒成立.又因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)都是偶函數(shù)，記，，則曲線恒在曲線上方.，，又因?yàn)?，所以在處三角函?shù)的曲率不大于曲線的曲率.即又因?yàn)椋?，，，所以，解得：，因此，的取值范圍?（3）由題可得.所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是：.即.令，得.即.顯然，.由，知，同理，故.從而，設(shè)，即.所以，數(shù)列成等比數(shù)列.故.即.從而所以，，當(dāng)時(shí)，顯然.當(dāng)時(shí)，，.綜上，2025屆高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷19題新題型集訓(xùn)卷（7）學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、解答題1．[2024屆·河北秦皇島·模擬考試?？糫“完全數(shù)”是一類特殊的自然數(shù)，它的所有正因數(shù)的和等于它自身的兩倍.尋找“完全數(shù)”需要用到函數(shù)，記函數(shù)，為n的所有正因數(shù)之和.（1）判斷28是否為完全數(shù)，并說明理由.（2）已知，若為質(zhì)數(shù)，證明：為完全數(shù).（3）已知，求，的值.答案：（1）28是完全數(shù)（2）見解析（3）；解析：（1）28的所有正因數(shù)為1，2，4，7，14，28，因?yàn)?，所?8是完全數(shù).（2）證明：的正因數(shù)為，，，，，，，，，，，所以為完全數(shù).（3）的正因數(shù)為，，，…，，，，，…，，…，，，，…，，所以.因?yàn)?，所?2．設(shè)正整數(shù)數(shù)列，，，滿足，其中.如果存在，使得數(shù)列A中任意k項(xiàng)的算術(shù)平均值均為整數(shù)，則稱A為“k階平衡數(shù)列”（1）判斷數(shù)列2，4，6，8，10和數(shù)列1，5，9，13，17是否為“4階平衡數(shù)列”？（2）若N為偶數(shù)，證明：數(shù)列，2，3，…，N不是“k階平衡數(shù)列”，其中（3）如果，且對(duì)于任意，數(shù)列A均為“k階平衡數(shù)列”，求數(shù)列A中所有元素之和的最大值.答案：（1）2，4，6，8，10不是4階平衡數(shù)列；1，5，9，13，17是4階平衡數(shù)列（2）證明見解析（3）12873解析：（1）由不為整數(shù)，可得數(shù)列2，4，6，8，10不是4階平衡數(shù)列；數(shù)列1，5，9，13，17為首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，則數(shù)列1，5，9，13，17是4階平衡數(shù)列.（2）證明：若N為偶數(shù)，設(shè)，考慮1，2，3，…，k這k項(xiàng)，其和為.所以這k項(xiàng)的算術(shù)平均值為：，此數(shù)不是整數(shù)；若k為奇數(shù)，設(shè)，，考慮1，2，3，4，5，…，，，；這k項(xiàng)，其和為，所以這k項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)為：，此數(shù)不是整數(shù)；故數(shù)列A：1，2，3，4，…，N不是“k階平衡數(shù)列”，其中；（3）在數(shù)列A中任意兩項(xiàng)，，，對(duì)于任意，在A中任意取兩項(xiàng)，，相異的項(xiàng)，并設(shè)這項(xiàng)和為.由題意可得，都是k的倍數(shù)，即，，（p，q為整數(shù)），可得，即數(shù)列中任意兩項(xiàng)之差都是k的倍數(shù)，，因此所求數(shù)列A的任意兩項(xiàng)之差都是2，3，…，的倍數(shù)，如果數(shù)列A的項(xiàng)數(shù)超過8，那么，，…，均為2，3，4，5，6，7的倍數(shù)，即，，…，均為420的倍數(shù)，（420為2，3，4，5，6，7的最小公倍數(shù)），，即，這與矛盾，故數(shù)列A的項(xiàng)數(shù)至多7項(xiàng).數(shù)列A的項(xiàng)數(shù)為7，那么，，…，均為2，3，4，5，6的倍數(shù)，即，，…，均為60的倍數(shù)，（60為2，3，4，5，6的最小公倍數(shù)），又，且，所以，，…，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，取得最大值12873；驗(yàn)證可得此數(shù)列為“k階平衡數(shù)列”，，如果數(shù)列的項(xiàng)數(shù)小于或等于6，由，可得數(shù)列中所有項(xiàng)的之和小于或等于，綜上可得數(shù)列A中所有元素之和的最大值為12873.3．多元導(dǎo)數(shù)在微積分學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)y是由a，b，c…等多個(gè)自變量唯一確定的因變量，則當(dāng)a變化為時(shí)，y變化為，記為y對(duì)a的導(dǎo)數(shù)，其符號(hào)為.和一般導(dǎo)數(shù)一樣，若在上，已知，則y隨著a的增大而增大；反之，已知，則y隨著a的增大而減小.多元導(dǎo)數(shù)除滿足一般分式的運(yùn)算性質(zhì)外，還具有下列性質(zhì)：①可加性：；②乘法法則：；③除法法則：；④復(fù)合法則：.記.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），（1）寫出和的表達(dá)式；（2）已知方程有兩實(shí)根，，.①求出a的取值范圍；②證明，并寫出隨a的變化趨勢(shì).答案：（1），（2）①；②證明見解析，隨a增大而減小解析：（1）設(shè)，則，同理.（2）①由（1），可得，則，且時(shí)，，，，即單調(diào)遞減，時(shí)，即單調(diào)遞增，故，又由時(shí)，趨近于0的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于趨近于的速度，故，，因此只需且，即由零點(diǎn)存在性定理，，，存在兩個(gè)零點(diǎn)，故；②由，由①可得，，故只需證明，令，設(shè)，則，且，則，又單調(diào)遞增，且，故，單調(diào)遞增，則，必然，否則即單調(diào)遞減，不符合題意，，故原命題成立.所以隨a增大而減小.4．[2024屆·安徽阜陽·模擬考試聯(lián)考]如圖，各邊與坐標(biāo)軸平行或垂直的矩形ABCD內(nèi)接于橢圓，其中點(diǎn)A，B分別在第三、四象限，邊AD，BC與x軸的交點(diǎn)為，.（1）若，且，為橢圓E的焦點(diǎn)，求橢圓E的離心率；（2）若是橢圓E的另一內(nèi)接矩形，且點(diǎn)也在第三象限，若矩形ABCD和矩形的面積相等，證明：是定值，并求出該定值；（3）若ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，邊AB，CD與y軸的交點(diǎn)為，，設(shè)（，，…，）是正方形ABCD內(nèi)部的100個(gè)點(diǎn)，記，其中，2，3，4.證明：，，，中至少有兩個(gè)小于81.答案：（1）；（2）證明見解析，定值為；（3）證明見解析解析：（1）依題意，，，所以.（2）設(shè)，，由題意，矩形ABCD和矩形的面積相等，所以，即，而，（*）從而上式化為，整理可得，代入（*）式，，故，即為定值，且該定值為.（3）如圖，以AD，BC的中點(diǎn)為焦點(diǎn)構(gòu)造經(jīng)過A，B，C，D的橢圓，對(duì)于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與該橢圓交于點(diǎn)Q，連接，則.因而，中至少有一個(gè)小于81，同理，中至少有一個(gè)小于81，故，，，中至少有兩個(gè)小于81.5．已知數(shù)列，，…，為有窮正整數(shù)數(shù)列.若數(shù)列A滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列A為m的k減數(shù)列：①；②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有k個(gè).（1）寫出所有4的1減數(shù)列；（2）若存在m的6減數(shù)列，證明：；（3）若存在2024的k減數(shù)列，求k的最大值.答案：（1）數(shù)列1，2，1和數(shù)列3，1（2）證明見解析（3）k的最大值為512072解析：（1）由題意得，則或，故所有4的1減數(shù)列有數(shù)列1，2，1和數(shù)列3，1.（2）因?yàn)閷?duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有k個(gè)，且存在m的6減數(shù)列，所以，得.①當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖趍的6減數(shù)列，所以數(shù)列中各項(xiàng)均不相同，所以.②當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖趍的6減數(shù)列，所以數(shù)列各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以.若，滿足要求的數(shù)列中有四項(xiàng)為1，一項(xiàng)為2，所以，不符合題意，所以.③當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖趍的6減數(shù)列，所以數(shù)列各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以.綜上所述，若存在m的6減數(shù)列，則.（3）若數(shù)列中的每一項(xiàng)都相等，則，若，所以數(shù)列A存在大于1的項(xiàng)，若末項(xiàng)，將拆分成個(gè)1后k變大，所以此時(shí)k不是最大值，所以.當(dāng)，2，…，時(shí)，若，交換，的順序后k變?yōu)?，所以此時(shí)k不是最大值，所以.若，所以，所以將改為，并在數(shù)列末尾添加一項(xiàng)1，所以k變大，所以此時(shí)k不是最大值，所以.若數(shù)列A中存在相鄰的兩項(xiàng)，設(shè)此時(shí)A中有x項(xiàng)為2，將改為2，并在數(shù)列末尾添加項(xiàng)1后，k的值至少變?yōu)?，所以此時(shí)k不是最大值，所以數(shù)列A的各項(xiàng)只能為2或1，所以數(shù)列A為2，2，…，2，1，1，…，1的形式.設(shè)其中有x項(xiàng)為2，有y項(xiàng)為1，因?yàn)榇嬖?024的k減數(shù)列，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，k取最大值為512072.所以，若存在2024的k減數(shù)列，k的最大值為512072.6．若一個(gè)兩位正整數(shù)m的個(gè)位數(shù)為4，則稱m為“好數(shù)”.（1）求證：對(duì)任意“好數(shù)”m，一定為20的倍數(shù)；（2）若，且p，q為正整數(shù)，則稱數(shù)對(duì)為“友好數(shù)對(duì)”，規(guī)定：，例如，稱數(shù)對(duì)為“友好數(shù)對(duì)”，則，求小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對(duì)”的的最大值.答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明：設(shè)，且t為整數(shù)，，，且t為整數(shù)，是正整數(shù)，一定是20的倍數(shù).（2），且p，q為正整數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，沒有滿足條件的p，q，當(dāng)時(shí)，，滿足條件的有或，解得或，或，當(dāng)時(shí)，，沒有滿足條件的p，q，當(dāng)時(shí)，，滿足條件的有，解得，，當(dāng)時(shí)，，沒有滿足條件的p，q，當(dāng)時(shí)，，滿足條件的有或，解得或，或，小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對(duì)”的的最大值為2025屆高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷19題新題型集訓(xùn)卷（8）學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、解答題1．[2024屆·甘肅酒泉·模擬考試]十七世紀(jì)至十八世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上第一個(gè)提出二進(jìn)制記數(shù)法的人，用二進(jìn)制記數(shù)只需數(shù)字0和1，對(duì)于整數(shù)可理解為逢二進(jìn)一，例如：自然數(shù)1在二進(jìn)制中就表示為，2表示為，3表示為，5表示為，發(fā)現(xiàn)若可表示為二進(jìn)制表達(dá)式，則，其中，或．（1）記，求證：；（2）記為整數(shù)n的二進(jìn)制表達(dá)式中的0的個(gè)數(shù)，如，．（?。┣?；（ⅱ）求（用數(shù)字作答）．答案：（1）證明見解析；（2）（?。?；（ⅱ）3280解析：（1）因?yàn)?，，，，；?）（?。?，；（ⅱ），，故從到中，有、、…、共8個(gè)，有個(gè)，由，即共有個(gè)，有個(gè)，由，即共有個(gè)，……，有個(gè)，.2．設(shè)是定義在R上的函數(shù)，若存在區(qū)間和，使得在上嚴(yán)格減，在上嚴(yán)格增，則稱為“含谷函數(shù)”，為“谷點(diǎn)”，稱為的一個(gè)“含谷區(qū)間”.（1）判斷下列函數(shù)中，哪些是含谷函數(shù)？若是，請(qǐng)指出谷點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由：（i），（ii）；（2）已知實(shí)數(shù)，是含谷函數(shù)，且是它的一個(gè)含谷區(qū)間，求m的取值范圍；（3）設(shè)p，，.設(shè)函數(shù)是含谷函數(shù)，是它的一個(gè)含谷區(qū)間，并記的最大值為.若，且，求的最小值.答案：（1）是含谷函數(shù)，谷點(diǎn)；不是含谷函數(shù)，證明見解析（2）（3）解析：（1）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以是含谷函數(shù)，谷