高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 9.2排列與組合講解與練習(xí) 理 新人教A版

eq\a\vs4\al(第二節(jié)排列與組合)[備考方向要明了]考什么怎么考1.理解排列組合的概念．2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式．3.能利用排列組合知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.1.排列組合概念及排列數(shù)、組合數(shù)公式一般不單獨(dú)考查．2.排列組合的應(yīng)用問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，獨(dú)立命題，題多為選擇、填空題，如年陜西T8，安徽T10，遼寧T5等.[歸納·知識(shí)整合]1．排列與排列數(shù)公式(1)排列與排列數(shù)(2)排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)(m，n∈N*，m≤n)．(3)排列數(shù)的性質(zhì)Aeq\o\al(n,n)＝n??；Aeq\o\al(0,n)＝1；0?。?.[探究]1.排列與排列數(shù)有什么區(qū)別？提示：排列與排列數(shù)是兩個(gè)不同的概念，排列是一個(gè)具體的排法，不是數(shù)，而排列數(shù)是所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)正整數(shù)．2．組合與組合數(shù)公式(1)組合與組合數(shù)(2)組合數(shù)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)(m，n∈N*，m≤n)．(3)組合數(shù)性質(zhì)①Ceq\o\al(0,n)＝1；②Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；③Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).[探究]2.如何區(qū)分一個(gè)問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題？提示：看選出的元素與順序是否有關(guān)，若與順序有關(guān)，則是排列問(wèn)題，若與順序無(wú)關(guān)，則是組合問(wèn)題．[自測(cè)·牛刀小試]1．12名選手參加校園歌手大獎(jiǎng)賽，大賽設(shè)一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)各一名，每人最多獲得一種獎(jiǎng)項(xiàng)，則不同的獲獎(jiǎng)種數(shù)是()A．123 B．312C．Aeq\o\al(3,12) D．12＋11＋10解析：選C從12名選手中選出3名獲獎(jiǎng)并安排獎(jiǎng)次，共有Aeq\o\al(3,12)種不同的獲獎(jiǎng)情況．2．異面直線a，b上分別有4個(gè)點(diǎn)和5個(gè)點(diǎn)，由這9個(gè)點(diǎn)可以確定的平面?zhèn)€數(shù)是()A．20 B．9C．Ceq\o\al(3,9) D．Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)解析：選B分兩類，第一類在直線a上任取一點(diǎn)與直線b可確定Ceq\o\al(1,4)個(gè)平面；第二類在直線b上任取一點(diǎn)與直線a可確定Ceq\o\al(1,5)個(gè)平面．故可確定Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)＝9個(gè)不同的平面．3．將7名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍中，每個(gè)宿舍至少安排兩名學(xué)生，那么互不相同的分配方案共有()A．252種 B．112種C．20種 D．56種解析：選B不同的分配方案共有Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(4,7)Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(5,7)Ceq\o\al(2,2)＝112種．4．從4名男生和3名女生中選出4人擔(dān)任奧運(yùn)志愿者，若選出的4人中既有男生又有女生，則不同的選法共有________種．解析：(間接法)共有Ceq\o\al(4,7)－Ceq\o\al(4,4)＝34種不同的選法．答案：345．如圖M，N，P，Q為海上四個(gè)小島，現(xiàn)要建造三座橋，將這四個(gè)小島連接起來(lái)，則不同的建橋方法有________種．解析：M，N，P，Q共有6條線段(橋抽象為線段)，任取3條有Ceq\o\al(3,6)＝20種方法，減去不合題意的4種．則不同的方法有16種．答案：16排列問(wèn)題[例1]3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù)：(1)選其中5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體站成一排，男、女各站在一起；(4)全體站成一排，男生不能站在一起；(5)全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾．[自主解答](1)問(wèn)題即為從7個(gè)元素中選出5個(gè)全排列，有Aeq\o\al(5,7)＝2520種排法．(2)前排3人，后排4人，相當(dāng)于排成一排，共有Aeq\o\al(7,7)＝5040種排法．(3)相鄰問(wèn)題(捆綁法)：男生必須站在一起，是男生的全排列，有Aeq\o\al(3,3)種排法；女生必須站在一起，是女生的全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法；全體男生、女生各視為一個(gè)元素，有Aeq\o\al(2,2)種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有N＝Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝288種．(4)不相鄰問(wèn)題(插空法)：先安排女生共有Aeq\o\al(4,4)種排法，男生在4個(gè)女生隔成的五個(gè)空中安排共有Aeq\o\al(3,5)種排法，故N＝Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440種．(5)先安排甲，從除去排頭和排尾的5個(gè)位中安排甲，有Aeq\o\al(1,5)＝5種排法；再安排其他人，有Aeq\o\al(6,6)＝720種排法．所以共有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(6,6)＝3600種排法．本例中若全體站成一排，男生必須站在一起，有多少中排法？解：(捆綁法)即把所有男生視為一個(gè)元素，與4名女生組成5個(gè)元素全排，故有N＝Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(5,5)＝720種．———————————————————解決排列類應(yīng)用題的主要方法(1)直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算；(2)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；(3)捆綁法：相鄰問(wèn)題捆綁處理的方法，即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體參與其他元素排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列；(4)插空法：不相鄰問(wèn)題插空處理的方法，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中；(5)分排問(wèn)題直排處理的方法；(6)“小集團(tuán)”排列問(wèn)題中先集體后局部的處理方法；(7)定序問(wèn)題除法處理的方法，即可以先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列．1．一位老師和5位同學(xué)站成一排照相，老師不站在兩端的排法()A．450 B．460C．480 D．500解析：選C先排老師有Aeq\o\al(1,4)種排法，剩下同學(xué)有Aeq\o\al(5,5)種排法．共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝480種排法．2．排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單．(1)任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？(2)歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？解：(1)先排歌唱節(jié)目有Aeq\o\al(5,5)種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)空位，從中選4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有Aeq\o\al(4,6)種方法，所以任兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(4,6)＝43200種方法．(2)先排舞蹈節(jié)目有Aeq\o\al(4,4)種方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個(gè)空位，恰好供5個(gè)歌唱節(jié)目放入．所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(5,5)＝2880種方法.組合問(wèn)題[例2]要從5名女生，7名男生中選出5名代表，按下列要求，分別有多少種不同的選法？(1)至少有1名女生入選；(2)至多有2名女生入選；(3)男生甲和女生乙入選；(4)男生甲和女生乙不能同時(shí)入選；(5)男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選．[自主解答](1)法一：至少有1名女生入選包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．由分類加法計(jì)數(shù)原理知總選法數(shù)為Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(5,5)＝771種．法二：“至少有1名女生入選”的反面是“全是男代表”，可用間接法求解．從12名人中任選5人有Ceq\o\al(5,12)種選法，其中全是男代表的選法有Ceq\o\al(5,7)種．所以“至少有1名女生入選”的選法有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(5,7)＝771種；(2)至多有2名女生入選包括如下幾種情況：0女5男，1女4男，2女3男，由分類加法計(jì)數(shù)原理知總選法數(shù)為Ceq\o\al(5,7)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,7)＝546種．(3)男生甲和女生乙入選，即只要再?gòu)某猩缀团彝獾?0人任選3名即可，共有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,10)＝120種選法；(4)法一：男生甲和女生乙不能同時(shí)入選包括以下幾種情況：男生甲入選女生乙不入選；男生甲不入選女生乙入選；男生甲和女生乙都不入選．由分類加法計(jì)數(shù)原理知總選法數(shù)為Ceq\o\al(4,10)＋Ceq\o\al(4,10)＋Ceq\o\al(5,10)＝672種．法二：間接法：從12人中選出5人，有Ceq\o\al(5,12)種選法，從除去男生甲和女生乙外的10人中任選3人有Ceq\o\al(3,10)種選法，所以“男生甲和女生乙不能同時(shí)入選”的選法有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,10)＝672種；(5)間接法：“男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選”的反面是“兩人都不入選”，即從其余10人中任選5人有Ceq\o\al(5,10)種選法，所以“男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選”的選法數(shù)為Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(5,10)＝540種．———————————————————組合兩類問(wèn)題的解法(1)“含”與“不含”的問(wèn)題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx?。?2)“至少”、“最多”的問(wèn)題：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法或間接法都可以求解．通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理．3．某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有()A．30種 B．35種C．42種 D．48種解析：選A法一：可分兩種互斥情況：A類選1門，B類選2門或A類選2門，B類選1門，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)＝18＋12＝30種選法．法二：總共有Ceq\o\al(3,7)＝35種選法，減去只選A類的Ceq\o\al(3,3)＝1種，再減去只選B類的Ceq\o\al(3,4)＝4種，共有30種選法．排列、組合的綜合應(yīng)用[例3]有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的科代表，求分別符合下列的選法數(shù)：(1)有女生但人數(shù)必須少于男生；(2)某女生一定擔(dān)任語(yǔ)文科代表；(3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表；(4)某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文科代表，某男生必須擔(dān)任科代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表．[自主解答](1)先選后排，先選可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3)種，后排有Aeq\o\al(5,5)種，共有(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3))·Aeq\o\al(5,5)＝5400種．(2)除去該女生后，先取后排，有Ceq\o\al(4,7)·Aeq\o\al(4,4)＝840種．(3)先選后排，但先安排該男生，有Ceq\o\al(4,7)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝3360種．(4)先從除去該男生該女生的6人中選3人有Ceq\o\al(3,6)種，再安排該男生有Ceq\o\al(1,3)種，選出的3人全排有Aeq\o\al(3,3)種，共Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝360種．———————————————————求解排列、組合綜合題的一般思路排列、組合的綜合問(wèn)題，一般是將符合要求的元素取出(組合)或進(jìn)行分組，再對(duì)取出的元素或分好的組進(jìn)行排列．其中分組時(shí)，要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標(biāo)準(zhǔn)．4．4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)．(1)恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？(2)恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法？(3)恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？解：(1)為保證“恰有1個(gè)盒不放球”，先從4個(gè)盒子中任意取出去一個(gè)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“4個(gè)球，3個(gè)盒子，每個(gè)盒子都要放入球，共有幾種放法？”，即把4個(gè)球分成2,1,1的三組，然后再?gòu)?個(gè)盒子中選1個(gè)放2個(gè)球，其余2個(gè)球放在另外2個(gè)盒子內(nèi)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(2,2)＝144種．(2)“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”，即另外3個(gè)盒子放2個(gè)球，每個(gè)盒子至多放1個(gè)球，也即另外3個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒，因此，“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”與“恰有1個(gè)盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法．(3)確定2個(gè)空盒有Ceq\o\al(2,4)種方法，4個(gè)球放進(jìn)2個(gè)盒子可分成(3,1)，(2,2)兩類，第一類有序不均勻分組有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,1)Aeq\o\al(2,2)種方法；第二類有序均勻分組有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(2,2)種方法．故共有Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(3,4)C\o\al(1,1)A\o\al(2,2)＋\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))·A\o\al(2,2)))＝84種．1個(gè)識(shí)別——排列問(wèn)題與組合問(wèn)題的識(shí)別方法識(shí)別方法排列若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問(wèn)題，即排列問(wèn)題與選取元素順序有關(guān)組合若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果沒有影響，則是組合問(wèn)題，即組合問(wèn)題與選取元素順序無(wú)關(guān)3點(diǎn)注意——求解排列、組合問(wèn)題的三個(gè)注意點(diǎn)(1)解排列、組合綜合題一般是先選后排，或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步，再利用兩個(gè)原理作最后處理．(2)解受條件限制的組合題，通常用直接法(合理分類)和間接法(排除法)來(lái)解決．分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏．(3)對(duì)于選擇題要謹(jǐn)慎處理，注意等價(jià)答案的不同形式，處理這類選擇題可采用排除法分析選項(xiàng)，錯(cuò)誤的答案都是犯有重復(fù)或遺漏.創(chuàng)新交匯——幾何圖形中的排列組合問(wèn)題1．排列、組合問(wèn)題的應(yīng)用一直是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，高考中除了以實(shí)際生活為背景命題外，還經(jīng)常與其他知識(shí)結(jié)合交匯命題．2．解答此類問(wèn)題應(yīng)注意以下問(wèn)題：(1)仔細(xì)審題，判斷是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題；(2)對(duì)限制條件較為復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，可分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單的基本問(wèn)題后再用兩個(gè)原理來(lái)解決；(3)由于排列組合問(wèn)題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗(yàn)證，可采用多種不同的方法求解，看結(jié)果是否相同來(lái)檢驗(yàn)．[典例](·湖北高考)給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色．當(dāng)n≤4時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：由此推斷，當(dāng)n＝6時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有________種，至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案共有________種(結(jié)果用數(shù)值表示)．[解析](1)當(dāng)n＝6時(shí)，如果沒有黑色正方形有1種方案，當(dāng)有1個(gè)黑色正方形時(shí)，有6種方案，當(dāng)有兩個(gè)黑色正方形時(shí)，采用插空法，即兩個(gè)黑色正方形插入四個(gè)白色正方形形成的5個(gè)空內(nèi)，有Ceq\o\al(2,5)＝10種方案，當(dāng)有三個(gè)黑色正方形時(shí)，同上方法有Ceq\o\al(3,4)＝4種方案，由圖可知不可能有4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)黑色正方形，綜上可知共有21種方案．(2)將6個(gè)正方形空格涂有黑白兩種顏色，每個(gè)空格都有兩種方案，由分步計(jì)數(shù)原理一共有26種方案，本問(wèn)所求事件為(1)的對(duì)立事件，故至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的方案有26－21＝43種．[答案]2143eq\a\vs4\al([名師點(diǎn)評(píng)])1．本題有以下創(chuàng)新點(diǎn)(1)命題背景的創(chuàng)新：本題以平面幾何中的著色問(wèn)題為背景，讓學(xué)生根據(jù)所給圖形，歸納探究著色問(wèn)題．(2)考查方式的創(chuàng)新：在切入點(diǎn)上一改往日直來(lái)直去的文字語(yǔ)言敘述，而是以圖形語(yǔ)言的形式呈現(xiàn)，考查了學(xué)生對(duì)圖形語(yǔ)言的理解能力及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與應(yīng)用能力．2．解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)由n＝1,2,3,4時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案種數(shù)的規(guī)律，歸納n＝6時(shí)的情況；(2)求至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案種數(shù)可考慮利用對(duì)立事件求解．3．解決與圖形有關(guān)的排列組合問(wèn)題的注意事項(xiàng)需要強(qiáng)化對(duì)圖形語(yǔ)言的理解訓(xùn)練，強(qiáng)化常用方法的訓(xùn)練，理解體會(huì)解題中運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想和方法，才能快速正確地解決排列組合問(wèn)題．eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練])(·安徽高考)6位同學(xué)在畢業(yè)聚會(huì)活動(dòng)中進(jìn)行紀(jì)念品的交換，任意兩位同學(xué)之間最多交換一次，進(jìn)行交換的兩位同學(xué)互贈(zèng)一份紀(jì)念品．已知6位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換，則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為()A．1或3 B．1或4C．2或3 D．2或4解析：選D不妨設(shè)6位同學(xué)分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，列舉交換紀(jì)念品的所有情況為AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共有15種．因?yàn)?位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換，即缺少以上交換中的2種．第一類，某人少交換2次，如DF，EF沒有交換，則A，B，C交換5次，D，E交換4次，F(xiàn)交換3次；第二類，4人少交換1次，如CD，EF沒有交換，則A，B交換5次，C，D，E，F(xiàn)交換4次．一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．(·遼寧高考)一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為()A．3×3！ B．3×(3！)3C．(3！)4 D．9!解析：選C利用“捆綁法”求解．滿足題意的坐法種數(shù)為Aeq\o\al(3,3)(Aeq\o\al(3,3))3＝(3！)4.2．(·新課標(biāo)全國(guó)卷)將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有()A．12種 B．10種C．9種 D．8種解析：選A先安排1名教師和2名學(xué)生到甲地，再將剩下的1名教師和2名學(xué)生安排到乙地，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12種安排方案．3．在“神九”航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，先后要實(shí)施6個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C實(shí)施時(shí)必須相鄰，請(qǐng)問(wèn)實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有()A．24種 B．48種C．96種 D．144種解析：選C當(dāng)A出現(xiàn)在第一步時(shí)，再排A，B，C以外的三個(gè)程序，有Aeq\o\al(3,3)種，A與A，B，C以外的三個(gè)程序生成4個(gè)可以排列程序B、C的空檔，此時(shí)共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)種排法；當(dāng)A出現(xiàn)在最后一步時(shí)的排法與此相同，故共有2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)＝96種編排方法．ABCD4.如圖所示2×2方格，在每一個(gè)方格中填入一個(gè)數(shù)字，數(shù)字可以是1、2、3、4中任何一個(gè)，允許重復(fù)．若填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字，則不同的填法共有()A．192種 B．128種C．96種 D．12種解析：選C可分三步：第一步，填A(yù)、B方格的數(shù)字，填入A方格的數(shù)字大于B方格中的數(shù)字有6種方式(若方格A填入2，則方格B只能填入1；若方格A填入3，則方格B只能填入1或2，若方格A填入4，則方格B只能填入1或2或3)；第二步，填方格C的數(shù)字，有4種不同的填法；第三步，填方格D的數(shù)字，有4種不同的填法．由分步計(jì)數(shù)原理得，不同的填法總數(shù)為6×4×4＝96.5．兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有()A．10種 B．15種C．20種 D．30種解析：選C分三種情況：恰好打3局，有2種情形；恰好打4局(一人前3局中贏2局，輸1局，第4局贏)，共有2Ceq\o\al(2,3)＝6種情形；恰好打5局(一人前4局中贏2局，輸2局，第5局贏)，共有2Ceq\o\al(2,4)＝12種情形．所有可能出現(xiàn)的情形共有2＋6＋12＝20種．6．(·山東高考)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為()A．232 B．252C．472 D．484解析：選C若沒有紅色卡片，則需從黃、藍(lán)、綠三色卡片中選3張，若都不同色則有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)＝64種，若2張同色，則有Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(1,4)＝144種；若紅色卡片有1張，剩余2張不同色，則有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)＝192種，剩余2張同色，則有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(2,4)＝72種，所以共有64＋144＋192＋72＝472種不同的取法．二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7．某公司計(jì)劃在北京、上海、蘭州、銀川四個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過(guò)2個(gè)，則該公司不同的投資方案種數(shù)是________(用數(shù)字作答)．解析：由題意知按投資城市的個(gè)數(shù)分兩類：①投資3個(gè)城市即Aeq\o\al(3,4)種．②投資2個(gè)城市即Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)種，共有不同的投資方案種數(shù)是Aeq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝60.答案：608．(·武漢模擬)某車隊(duì)有7輛車，現(xiàn)要調(diào)出4輛按一定順序出去執(zhí)行任務(wù)．要求甲、乙兩車必須參加，且甲車要先于乙車開出有________種不同的調(diào)度方法(填數(shù)字)．解析：先從除甲、乙外的5輛車任選2輛有Ceq\o\al(2,5)種選法，連同甲、乙共4輛車，排列在一起，先從4個(gè)位置中選兩個(gè)位置安排甲、乙，甲在乙前共有Ceq\o\al(2,4)種，最后，安排其他兩輛車共有Aeq\o\al(2,2)種方法，故不同的調(diào)度方法為Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝120種．答案：1209．(·宜昌模擬)某省高中學(xué)校自實(shí)施素質(zhì)教育以來(lái)，學(xué)生社團(tuán)得到迅猛發(fā)展．某校高一新生中的五名同學(xué)打算參加“春暉文學(xué)社”、“舞者輪滑俱樂(lè)部”、“籃球之家”、“圍棋苑”四個(gè)社團(tuán)．若每個(gè)社團(tuán)至少有一名同學(xué)參加，每名同學(xué)至少參加一個(gè)社團(tuán)且只能參加一個(gè)社團(tuán)，且同學(xué)甲不參加“圍棋苑”，則不同的參加方法的種數(shù)為________(用數(shù)字作答)．解析：設(shè)五名同學(xué)分別為甲、乙、丙、丁、戊，由題意，如果甲不參加“圍棋苑”，有下列兩種情況：(1)從乙、丙、丁、戊中選一人(如乙)參加“圍棋苑”，有Ceq\o\al(1,4)種方法，然后從甲與丙、丁、戊共4人中選2人(如丙、丁)并成一組與甲、戊分配到其他三個(gè)社團(tuán)中，有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種方法，這時(shí)共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種參加方法．(2)從乙、丙、丁、戊中選2人(如乙、丙)參加“圍棋苑”，有Ceq\o\al(2,4)種方法，甲與丁、戊分配到其他三個(gè)社團(tuán)中有Aeq\o\al(3,3)種方法，這時(shí)共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種參加方法．綜合(1)(2)，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝180種參加方法．答案：180三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10．已知10件不同的產(chǎn)品中有4件是次品，現(xiàn)對(duì)它們進(jìn)行一一測(cè)試，直至找出所有4件次品為止．(1)若恰在第5次測(cè)試，才測(cè)試到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)是多少？(2)若恰在第5次測(cè)試后，就找出了所有4件次品，則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)是多少？解：(1)先排前4次測(cè)試，只能取正品，有Aeq\o\al(4,6)種不同測(cè)試方法，再?gòu)?件次品中選2件排在第5和第10的位置上測(cè)試，有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝Aeq\o\al(2,4)種測(cè)試方法，再排余下4件的測(cè)試位置，有Aeq\o\al(4,4)種測(cè)試方法．所以共有不同的測(cè)試方法Aeq\o\al(4,6)·Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(4,4)＝103680種．(2)第5次測(cè)試恰為最后一件次品，另3件在前4次中出現(xiàn)，從而前4次有一件正品出現(xiàn)，所以共有不同的測(cè)試方法Aeq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(4,4)＝576種．11．從1到9的9個(gè)數(shù)字中取3個(gè)偶數(shù)4個(gè)奇數(shù)，試問(wèn)：(1)能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？(2)上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)？(3)(1)中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有幾個(gè)？解：(1)分三步完成：第一步，在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，有Ceq\o\al(3,4)種情況；第二步，在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，有Ceq\o\al(4,5)種情況；第三步，3個(gè)偶數(shù)，4個(gè)奇數(shù)進(jìn)行排列，有Aeq\o\al(7,7)種情況．所以符合題意的七位數(shù)有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(7,7)＝100800個(gè)．(2)上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起的有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(3,3)＝14400個(gè)．(3)上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起，4個(gè)奇數(shù)也排在一起的有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝5760個(gè)．12.編號(hào)為A，B，C，D，E的五個(gè)小球放在如圖所示的五個(gè)盒子里，要求每個(gè)盒子只能放一個(gè)小球，且A球不能放在1,2號(hào)，B球必須放在與A球相鄰的盒子中，不同的放法有多少種？解：根據(jù)A球所在位置分三類：(1)若A球放在3號(hào)盒子內(nèi)，則B球只能放在4號(hào)盒子內(nèi)，余下的三個(gè)盒子放球C，D