高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章立體幾何初步第2節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理教學(xué)案文北師大版

第二節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理[最新考綱]1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第125頁(yè))1．空間圖形的公理(1)公理1：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(即可以確定一個(gè)平面)．(2)公理2：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))．(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．(4)公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行．2．空間中兩直線的位置關(guān)系(1)空間中兩直線的位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線,平行直線)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)))(2)異面直線所成的角①定義：過空間任意一點(diǎn)P分別引兩條異面直線a，b的平行線l1，l2(a∥l1，b∥l2)，這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a，b所成的角．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)定理(等角定理)空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)直線a在平面α內(nèi)aα有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)直線在平面外直線a與平面α平行a∥α沒有公共點(diǎn)直線a與平面α斜交a∩α＝A有且只有一個(gè)公共點(diǎn)直線a與平面α垂直a⊥α(2)空間中兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)兩平面平行α∥β沒有公共點(diǎn)兩平面相交斜交α∩β＝l有一條公共直線垂直α⊥β且α∩β＝aeq\o([常用結(jié)論])1．異面直線的判定定理經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為異面直線．2．等角定理的引申(1)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向相同或相反，則這兩個(gè)角相等．(2)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向一個(gè)邊相同，一個(gè)邊相反，則這兩個(gè)角互補(bǔ)．3．唯一性定理(1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．(3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．(4)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō)α，β相交于過A點(diǎn)的任意一條直線． ()(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面． ()(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合． ()(4)沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線． ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×二、教材改編1．下列命題正確的是()A．經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．經(jīng)過一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C．四邊形確定一個(gè)平面D．兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面D[根據(jù)確定平面的公理和推論知選項(xiàng)D正確．]2．若直線a不平行于平面α，且aα，則下列結(jié)論成立的是()A．平面α內(nèi)的所有直線與a異面B．平面α內(nèi)不存在與a平行的直線C．平面α內(nèi)存在唯一的直線與a平行D．平面α內(nèi)的直線與a都相交B[由題意知直線a與平面α相交，則平面α內(nèi)不存在與a平行的直線，故選B.]3.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°C[連接B1D1，D1C(圖略)，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.]4．如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則(1)當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為菱形；(2)當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為正方形．(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD[(1)若四邊形EFGH為菱形，則EF＝EH，∵EFeq\f(1,2)AC，EHeq\f(1,2)BD，∴AC＝BD.(2)若四邊形EFGH為正方形，則EF＝EH且EF⊥EH，∵EFeq\f(1,2)AC，EHeq\f(1,2)BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.](對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第126頁(yè))⊙考點(diǎn)1平面基本性質(zhì)的應(yīng)用共點(diǎn)、共線、共面問題的證明方法(1)證明點(diǎn)共線問題：①公理法：先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)基本公理3證明這些點(diǎn)都在交線上；②同一法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上．(2)證明線共點(diǎn)問題：先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過該點(diǎn)．(3)證明點(diǎn)、直線共面問題：①納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)；②輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合．(1)以下命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．A．0 B．1C．2 D．3(2)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：①E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；②CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．(1)B[①正確，可以用反證法證明，假設(shè)任意三點(diǎn)共線，則四個(gè)點(diǎn)必共面，與不共面的四點(diǎn)矛盾；②中若點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，則A，B，C，D，E不一定共面，故②錯(cuò)誤；③中，直線b，c可能是異面直線，故③錯(cuò)誤；④中，當(dāng)四條線段構(gòu)成空間四邊形時(shí)，四條線段不共面，故④錯(cuò)誤．](2)[證明]①如圖，連接EF，CD1，A1B.∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．②∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則由P∈直線CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．證明兩條直線平行比證明兩條直線相交容易，因此證明四點(diǎn)共面問題時(shí)，一般是證明四點(diǎn)所在的兩條直線平行．1.如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()ABCDD[根據(jù)異面直線的判定定理，選項(xiàng)D中PS與QR是異面直線，則四點(diǎn)P，Q，R，S不共面．故選D.]2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點(diǎn)．求證：D1，H，O三點(diǎn)共線．[證明]如圖，連接BD，B1D1，則BD∩AC＝O，因?yàn)锽B1DD1，所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，又H∈B1D，B1D平面BB1D1D，則H∈平面BB1D1D，因?yàn)槠矫鍭CD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.即D1，H，O三點(diǎn)共線．⊙考點(diǎn)2空間兩條直線的位置關(guān)系(1)已知a，b，c為三條不同的直線，且a平面α，b平面β，α∩β＝c，給出下列命題：①若a與b是異面直線，則c至少與a，b中的一條相交；②若a不垂直于c，則a與b一定不垂直；③若a∥b，則必有a∥c.其中真命題有________．(填序號(hào))(2)如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________(填上所有正確答案的序號(hào))．①②③④(1)①③(2)②④[(1)對(duì)于①，若c與a，b都不相交，則c∥a，c∥b，從而a∥b，這與a與b是異面直線矛盾，故①正確．對(duì)于②，a與b可能異面垂直，故②錯(cuò)誤．對(duì)于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，從而a∥c，故③正確．(2)圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG(圖略)，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面，所以在圖②④中，GH與MN異面．]一些否定性命題不易判斷，可從其反面入手．反面成立，則此命題是假命題．如本例T(1)，T(2)．[教師備選例題]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，則EF與BD1的位置關(guān)系是()A．相交但不垂直B．相交且垂直C．異面D．平行D[連接D1E并延長(zhǎng)，與AD交于點(diǎn)M，由A1E＝2ED，可得M為AD的中點(diǎn)，連接BF并延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)N，因?yàn)镃F＝2FA，可得N為AD的中點(diǎn)，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且eq\f(ME,ED1)＝eq\f(1,2)，eq\f(MF,BF)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(ME,ED1)＝eq\f(MF,BF)，所以EF∥BD1，故選D.]1.下列結(jié)論中正確的是()①在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行；②與同一直線都相交的三條平行線在同一平面內(nèi)；③一條直線與兩條平行直線中的一條相交，那么它也與另一條相交；④空間四條直線a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③ B．②④C．③④ D．②③B[①錯(cuò)，兩條直線不相交，則它們可能平行，也可能異面；②顯然正確；③錯(cuò)，若一條直線和兩條平行直線中的一條相交，則它和另一條直線可能相交，也可能異面；④由平行直線的傳遞性可知正確．故選B.]2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確結(jié)論的序號(hào)為________．③④[直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，所以①②錯(cuò)誤．點(diǎn)B，B1，N在平面BB1C1C中，點(diǎn)M在此平面外，所以BN，MB1是異面直線．同理AM，DD1也是異面直線．]⊙考點(diǎn)3兩條異面直線所成的角平移法求異面直線所成角的步驟平移平移的方法一般有三種類型：(1)利用圖中已有的平行線平移；(2)利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；(3)補(bǔ)形平移(一作)證明證明所作的角是異面直線所成的角或其補(bǔ)角(二證)計(jì)算在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之(三計(jì)算)取舍因?yàn)楫惷嬷本€所成角θ的取值范圍是0°＜θ≤90°，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角(四取舍)(1)(2018·全國(guó)卷Ⅱ)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\f(\r(7),2)(2)(2019·成都模擬)在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)(1)C(2)A[(1)如圖，連接BE，因?yàn)锳B∥CD，所以異面直線AE與CD所成的角等于相交直線AE與AB所成的角，即∠EAB.不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝eq\r(5).又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan∠EAB＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2).故選C.(2)如圖，分別取AB，AD，BC，BD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，O，連接EF，EG，OG，F(xiàn)O，F(xiàn)G，則EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG為異面直線AC與BD所成的角．易知FO∥AB，因?yàn)锳B⊥平面BCD，所以FO⊥平面BCD，所以FO⊥OG，設(shè)AB＝2a，則EG＝EF＝eq\r(2)a，F(xiàn)G＝eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)a，所以∠FEG＝60°，所以異面直線AC與BD所成角的余弦值為eq\f(1,2)，故選A.]平移法作異面直線所成的角時(shí)，利用平行四邊形或三角形的中位線是常用的方法．1.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1，P是AB的中點(diǎn)，則異面直線BC1與PD所成的角等于()A．30° B．45°C．60° D．90°C[取CD的中點(diǎn)Q，連接BQ，C1Q，∵P是AB的中點(diǎn)，∴BQ∥PD，∴∠C1BQ是異面直線BC1與PD所成的角．在△C1BQ中，C1B＝BQ＝C1Q＝eq\r(2)，∴∠C1BQ＝60°，即異面直線BC1與PD所成的角等于60°，故選C.]2．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(15),5)C.eq\f(\r(10),5) D.eq\f(\r(3),3)C[將直三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)形為直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，如