2020年中考數(shù)學(xué) 反比例函數(shù)復(fù)習(xí)

第三章函數(shù)第十三講反比例函數(shù)

★★★核心知識(shí)回顧★★★

知識(shí)點(diǎn)一、反比例函數(shù)的概念及解析式

1.反比例函數(shù)的定義

一般地，形如函數(shù)丫=（k是常數(shù)，厚0）叫做反比例函數(shù)，自變量x的取值范圍是。

2.反比例函數(shù)的解析式有三中形式：

（1）y=-（k是常數(shù)，k和）；（2）y=kx"（k是常數(shù)，厚0）；（3）xy=k（k/0）,

__________X______________________________

知識(shí)點(diǎn)二、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1.反比例函數(shù)y=幺（k/0）的圖象：

X

反比例函數(shù)y=&（k翔）的圖象是,它有兩個(gè)分支，關(guān)于對(duì)稱；

X

2.反比例函數(shù)>=幺（k#0）的性質(zhì)：

x

（1）當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于象限，在每一個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而；

（2）當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而.

（1）反比例函數(shù)關(guān)系式是一個(gè)分式，自變量和函數(shù)值都不能為0,即呼0、x邦、40,所以其圖象與I

：x軸、y軸無交點(diǎn)，但無限地接近于兩坐標(biāo)軸。

（2）反比例函數(shù)的圖象在x=0處是斷開的，因此其性質(zhì)強(qiáng)調(diào)在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的變化而變化。

U.__________________________________________________________________________I

3.反比例函數(shù)），=4（k為常數(shù)，k/0）中比例系數(shù)k的幾何意義：

X

如圖，從雙曲線>=或（厚0）上任意一點(diǎn)A向兩坐標(biāo)軸作垂線段AB與AC,兩垂線段與坐標(biāo)軸圍成的矩

X

形面積為，即：

S矩形ABOC二?SAAOB=。B~

即：過雙曲線y=4（修0）上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，所得的矩形面積均為。

X

?一-一一--i

I

：k的幾何意義常常與前邊提示中所談到的xy=k聯(lián)系起來理解和應(yīng)用。

!____________________________________________I

知識(shí)點(diǎn)三、反比例函數(shù)解析式的確定

因?yàn)榉幢壤瘮?shù)y=V（k戶0）中只有一個(gè)待定系數(shù),所以求反比例函數(shù)關(guān)系式只需知道一組

X

對(duì)應(yīng)的X、y值或一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可，步驟同一次函數(shù)解析式的求法。

知識(shí)點(diǎn)五、反比例函數(shù)的應(yīng)用

解反比例函數(shù)的實(shí)際問題時(shí)，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，這里要特別注意自變

量的___________

★★★中考典例剖析★★★

考點(diǎn)一：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

例1（2018?懷化）函數(shù)y=kx-3與y=&（厚0）在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（）

A.B.

例2.（2019?湖北天門?3分）反比例函數(shù)y=-上，下列說法不正確的是（

X

A.圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,-3）B.圖象位于第二、四象限

C.圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱D.y隨x的增大而增大

例3（2018?烏魯木齊）小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y=x的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究.

X

下面是小明的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

（1）函數(shù)y=%+4的自變量x的取值范圍是.

x

（2）下表列出了y與x的幾組對(duì)應(yīng)值，請(qǐng)寫出m,n的值：m=—,n=—；

￡￡

X-3-2-1_11234

-2332

10_5_5_2025_17

y-2m2n

~2~222T

（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出了以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，根據(jù)描出的點(diǎn)，畫出該

函數(shù)的圖象；

（4）結(jié)合函數(shù)的圖象，請(qǐng)完成：

17

①當(dāng)y=--時(shí)，x=_________.

4

②寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)_________________________________

③若方程x+L=t有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則t的取值范圍

X

是.

跟蹤訓(xùn)練

k

1.（2019?湖北武漢）已知反比例函數(shù)丫=一的圖象分別位于第二、第四象限,A（xi，力）、B（x2,y2）兩

X

點(diǎn)在該圖象上，下列命題：①過點(diǎn)A作ACJ_x軸，C為垂足，連接OA.若4人03的面積為3,則k=-6；

②若X1VOVX2，則yi>y2；③若xr?2=0,則yi+y2=0，其中真命題個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

Q

2.（2018/1照）已知反比例函數(shù)》二一2,下列結(jié)論：①圖象必經(jīng)過（-2,4）；②圖象在二，四象限內(nèi);

x

③y隨x的增大而增大；④當(dāng)x>-l時(shí)，則y>8.其中錯(cuò)誤的結(jié)論有（）個(gè)

A.3B.2C.1D.0

3.（2018?郴州）參照學(xué)習(xí)函數(shù)的過程與方法，探究函數(shù)^=之2（#0）的圖象與性質(zhì).

X

因?yàn)閥==-=l--，E|Jy=—+l,所以我們對(duì)比函數(shù)y=--來探究.

XXXX

列表:

J_

X-4-3-2-11234

'22

2j_22j_

y=--124-4-2-1

X23'3~2

?X—225J_

y二235-3-10

X232

描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量X的取值為橫坐標(biāo)，以y=y='X—^2相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出

x

相應(yīng)的點(diǎn)，如圖所示：

（1）請(qǐng)把y軸左邊各點(diǎn)和右邊各點(diǎn)，分別用一條光滑曲線順次連接起來;

（2）觀察圖象并分析表格，回答下列問題：

①當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而；（填“增大”或“減小”）

x-22

②y=--的圖象是由y:一的圖象向平移個(gè)單位而得到；

XX

③圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.(填點(diǎn)的坐標(biāo))

Y—2

(3)設(shè)A(X”yi),B(x2,y2)是函數(shù)y=-------的圖象上的兩點(diǎn)，且X]+X2=O,試求yi+yz+3的值.

_______________________________x

考點(diǎn)二：反比例函數(shù)圖象的坐標(biāo)特征

例4(2019*貴州畢節(jié))若點(diǎn)A〈-4,yi)、B(-2,y2),C(2,y3)都在反比例函數(shù)y=--的圖象上,

X

則丫1丫2丫3的大小關(guān)系是()

A.yi>y2>y3B.y3>y2>yiC.y2>yi>y3D.yi>y3>y2

跟蹤訓(xùn)練

2

1.（2018?濟(jì)南）在反比例函數(shù)y=--圖象上有三個(gè)點(diǎn)A（xi，yP、B（x2,y2）、C（x3,y3）,若X|V0<

x

X2VX3,則下列結(jié)論正確的是（）

A.yj<y2<yiB.yi<y3<y2C.y2<y3<yiD.y3<yi<y2

k

2.（2019廣西）若點(diǎn)（-1,%），（2,y2）,（3,y3）在反比例函數(shù)y=-（k<0）的圖象上，則為，力，y3

x

的大小關(guān)系是（）

A.yi>y2>y3B.y3>y2>yiC.y1>yi>y1D.力>V3>Vi

考點(diǎn)三：反比例函數(shù)解析式

例5(2019湖北省十堰市，第10題，3分)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A(-8,0),B(-8,4),C(0,

4),反比例函數(shù)y=&的圖象分別與線段A8,BC交于點(diǎn)D,E,連接?！?若點(diǎn)8關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)恰好在

X

OA±,貝ljA=()

A.-20B.-16C.-12D.-8

跟蹤訓(xùn)練

1.(2018?遵義)如圖，直角三角形的直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，ZOAB=30°,若點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=-(x

x

>0)的圖象上，則經(jīng)過點(diǎn)B的反比例函數(shù)解析式為()

考點(diǎn)四：反比例函數(shù)k的幾何意義

例6(2018?溫州)如圖，點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)y=L(x>0)的圖象上，點(diǎn)C,D在反比例函數(shù)y="(k

XX

_3

>0)的圖象上，AC〃BD〃y軸，已知點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為1,2,AOAC與AABD的面積之和為Q,

則k的值為()

3

A.4B.3C.2D.-

2

跟蹤練習(xí)：1(2019湖南省株洲市，第9題，3分)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)48、C為

k

反比例函數(shù)y=—(k>0)上不同的三點(diǎn)，連接。A、OB、OC,過點(diǎn)A作AOJ_y軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)B、C分別

X

作BE,CF垂直x軸于點(diǎn)E、F,OC與8E相交于點(diǎn)記△A。。、△BO/W、四邊形C/WEF的面積分別為入、

52、S3,則()

A.SI=52+$3B.S2=S3C.S3>S2>SiD.5152Vs3

2.(2018?樂山)如圖，曲線C2是雙曲線C|：y=-(x>0)繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到的圖形，P是

X

曲線C2上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A在直線1：y=x上，且PA=PO,則ZkPOA的面積等于()

A.限B.6C.3D.12

考點(diǎn)五：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題

例7(2018?銅仁市)如圖，已知一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)>=&的圖象相交于A(-2,y,),B(1,

X

y2)兩點(diǎn)，則不等式ax+b<L的解集為()

A.x<-2或0<xVlB.x<-2C.0<x<lD.-2<xV0或x>l

m

跟蹤練習(xí)1.(2019?湖南衡陽?3分)如圖,一次函數(shù)y)=kx+b(kWO)的圖象與反比例函數(shù)y=—(m

2x

為常數(shù)且m/0)的圖象都經(jīng)過A(-1,2),B(2,-1),結(jié)合圖象，則不等式kx+b>'的解集是()

X

A.x<-1B.-l<x<0C.xV-l或0VxV2D.-IVXVO或x>2

2.(2018?安順)如圖，已知直線y=kix+b與x軸、y軸相交于P、Q兩點(diǎn)，與y=&的圖象相交于A(-2,

x

m)、B(1,n)兩點(diǎn),連接OA、OB,給出下列結(jié)論：①k]k2V0；②m+；n=0；③SAAOP=S^BOQ；④不等

式k1X+b>b的解集是x<-2或0<x<1,其中正確的結(jié)論的序號(hào)是.

X

考點(diǎn)六：反比例函數(shù)的應(yīng)用

例9（2018?樂山）某蔬菜生產(chǎn)基地的氣溫較低時(shí)，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種蔬菜.如圖是

試驗(yàn)階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度y（℃）與時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系，其中

線段AB、BC表示恒溫系統(tǒng)開啟階段，雙曲線的一部分CD表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段.

請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問題：

（1）求這天的溫度y與時(shí)間x（0<x<24）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度；

（3）若大棚內(nèi)的溫度低于10℃時(shí)，蔬菜會(huì)受到傷害.問這天內(nèi)，恒溫系統(tǒng)最多可以關(guān)閉多少小時(shí)，才能

使蔬菜避免受到傷害？

跟蹤練習(xí)：

1.（2019河北，第24題，10分）長為300m的春游隊(duì)伍，以v（m/s）的速度向東行進(jìn)，如圖1和圖2,

當(dāng)隊(duì)伍排尾行進(jìn)到位置。時(shí)，在排尾處的甲有一物品要送到排頭，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均

為2V（m/5）,當(dāng)甲返回排尾后，他及隊(duì)伍均停止行進(jìn).設(shè)排尾從位置。開始行進(jìn)的時(shí)間為t（5）,排頭與

O的距離為S頭（m）.

（X尾）頭一>東o尾莢東

??-----------?--------------?--

甲一》甲

圖1圖2

（1）當(dāng)v=2時(shí)，解答：①求S頭與t的函數(shù)關(guān)系式（不寫t的取值范圍）；

②當(dāng)中趕到排頭位置時(shí)，求5頭的值；在甲從排頭返回到排尾過程中，設(shè)甲與位置。的距離為5甲（m）,

求5甲與t的函數(shù)關(guān)系式（不寫t的取值范圍）

（2）設(shè)甲這次往返隊(duì)伍的總時(shí)間為T（s）,求7■與v的函數(shù)關(guān)系式（不寫v的取值范圍），并寫出隊(duì)伍在

此過程中行進(jìn)的路程.

★★★真題達(dá)標(biāo)演練★★★

1.（2019?湖北天門?3分）反比例函數(shù)y=-3,下列說法不正確的是（）

x

A.圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,-3）B.圖象位于第二、四象限

C.圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱D.y隨x的增大而增大

2.（2019,山東棗莊，3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A.B分別在x軸、y

k

軸的正半軸上，ZABC=90°,CAJ_x軸，點(diǎn)C在函數(shù)y=-（x>0）的圖象上，若AB=1,則k的值為（）

x

3.（2019?淄博）如圖,^OAiBi,“1482,，…是分別以4,4,4,…為直角頂點(diǎn),一條直

角邊在x軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點(diǎn)G（尺，％）,◎（女,"）,0（與，〃），...

均在反比例函數(shù)y=-（x>0）的圖象上.則a+"+...+次的值為（）

D.2有

3

4.（2019浙江省臺(tái)州市，第9題，4分）已知某函數(shù)的圖象C與函數(shù)y=—的圖象關(guān)于直線y=2對(duì)稱.下

X

33-1

列命題：①圖象C與函數(shù)y=1的圖象交于點(diǎn)（士，2）：②點(diǎn)（一，-2）在圖象C上；③圖象C上的點(diǎn)

x22

的縱坐標(biāo)都小于4；@A（xi，力），8（x2,y2）是圖象C上任意兩點(diǎn)，若4>、2,則為>丫2.其中真命題是

()

A.①②B.①③④C.②③④D.①②③④

5.（2019重慶A,第9題，4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形A8CD的頂點(diǎn)A,D分別在x軸、y軸

上，對(duì)角線8D〃x軸，反比例函數(shù)y=±（k>0,x>0）的圖象經(jīng)過矩形對(duì)角線的交點(diǎn)￡.若點(diǎn)A（2,0）,

D（0,4）,則k的值為（

A.16B.20C.32D.40

6.（2019湖北省荊門市，第15題，3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)（k>0,x>0）的圖象

與等邊三角形OA8的邊A8分別交于點(diǎn)M,N,且OM=2MA,若AB=3,那么點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為.

7.（2019浙江省寧波市，第18題，4分）如圖，過原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)y=&（k>0）的圖象交于A,

B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限.點(diǎn)C在x軸正半軸上，連結(jié)AC交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)。.AE為NBAC的平分

線，過點(diǎn)8作AE的垂線，垂足為￡,連結(jié)DE.若AC=3DC,ZVIDE的面積為8,則A的值