2021屆高三高考數學復習壓軸題43-立體幾何三【含答案】

2021屆高三高考數學復習壓軸題專練43—立體幾何(3)【含

答案】

一、單選題

1.已知AABC中，AB=2BC=4,AC=26，點M在線段AC上除A,C的位置運動，

現(xiàn)沿8M進行翻折，使得線段村上存在一點N,滿足CN_L平面AW；若恒成立,

則實數2的最大值為()

n

A.1B.y/3C.2D.—

2

解：因為AB=28C=4,AC=26,

且點M在線段A3上除A、C的位置運動，

要使4?上存在一點N,滿足CN_L平面A8M,使恒成立，

則當M恰好為C點時，為臨界條件(M不可為C點，但可用來計算)，

即CNJ.A3,且A?=/1,

因為AB=4,

可得CN?=4-無，cM=(2G)2-(4-/l)2,

所以4-萬=12一(4-團2,

解得4=1,

所以2的最大值為1.

故選：A.

2.已知四面體A—BCQ,AB=O,BC=BD=2,43_L平面BCD,BE工AC于E,

8尸，4)于尸，貝lj()

E

D

A.AC可能與EF垂直，ABE尸的面積有最大值

B.AC不可能與垂直，A5E廠的面積有最大值

C.AC可能與EF垂直，的面積沒有最大值

D.AC不可能與砂垂直，的面積沒有最大值

解：不妨假設AC_LEF,BE±AC,

由EF「|BE=E,EF、BEu平面BEF,得AC_L平面5EF,

?.?8fu平面8EF,.-.AC±BF,

-.BF±AD,ACQAD=A,AC、ADu平面AC￡),

.?.8尸_L平面ACE>,:.BF±CD,

由平面88,得ABLCD,此時8_L平面AB￡>,則8_L8/),

而6c=3￡)=2,矛盾，故AC不可能與所垂直，故AC錯誤；

設CZ)=x,由題意得AAEFSAACD,EF=-x,其中xe(0,4),

3

BF-+BE2-EF'>Q,

22

:.NFBE為銳角,SsinZFB￡=-sinZFBE,

AHI3

若ABE尸的面積有最大值，即當"最大時，即C￡>.4,EF—&時，

3

取最大銳角，此時面積趨向最大，

即3,C,。三點共線出現(xiàn)矛盾，：.M￡F沒有最大面積，故5錯誤.

故選：D.

3.如圖E,F,G,，分別是菱形458的邊43，BC,CD,ZM上的點，且3E=2AE,

DH=2HA,CF=2FB,CG=2GD,現(xiàn)將AABO沿比>折起，得到空間四邊形在

折起過程中，下列說法正確的是()

B

A.直線EF,HG有可能平行

B.直線所，“G一定異面

C.直線瓦4G一定相交，且交點一定在直線AC上

D.直線所，//G一定相交，但交點不一定在直線AC上

解：?.BE=2AE,DH=2HA,

—=—=1,則EH//BD,且EH=LBD,

BEDH23

又CF=2FB,CG=2GD,

—=—=2,則FG//BQ,且FG=2B。，

BFGD3

:.EHHFG,且

四邊形EFG”為平面四邊形，故直線防，“G一定共面，故5錯誤;

若直線EF與"G平行，則四邊形瓦G”為平行四邊形，可得與EHrFG矛盾,

故A錯誤；

12

由EHV/FG,且EH片F(xiàn)G,EH=-BD,FG=-BD,可得直線HG一定相交，設

33

交點為O,

則OwEF,又EFu平面ABC,可得Oe平面ABC,同理，Oe平面ACD,

而平面ABCC平面ACD=AC,.\OeAC,即直線￡F,HG一定相交，且交點一定在直

線4c上，故C正確，。錯誤.

故選：C.

4.三棱錐D—A3C中，ZACD=2ZACB=12Q°,CD=2BC,則異面直線AC與3￡）所成的

角可能是（）

A.30°B.45°C.60°D,75°

解：設

CD=2BC=2m

___________________________3___

AC-fiD=AC-(BC+CD)=|AC|-|BC|cos60o+|AC|-|CD|cos60o=-m|AC|.

由于ZACB+ZACD=180°,將側面ACD沿AC展開到平面ABC,

則三點8、C、O共線，

又此三棱錐可看成將A4CZ）沿直線AC翻折而成的，故不難得&<|BD\<3m.

1

設異面直線AC與9所成的角為。，則cos0=?竺絲=*=e（L立），

\AC\\BD\2\BD\22

即(30°,60°),

故選：B.

5.在三棱錐A—88中，AB=2,ZABC=ZACD=60°,E、尸分別為BC、4）的中點,

且歷J_BC,EFLAD,BCYAD,則異面直線3尸與DE所成角的余弦值為（）

A-IB-1cT

解：連結AE,DE,BF,CF,如圖所示,

因為BC_LEF,BCYAD,XEFQA￡>=F,EF,ADu平面AED,

所以3CJL平面4⑦，又AE,OEu平面型），

所以BC_LAE,BCVDE,

又因為E為8c的中點，

所以4?=AC,DB=DC,

同理可得，AB=BD,AC=CD,

又因為NABC=NACO=60。，

所以AABC和A4DC都是等邊三角形，

故AB=3￡)=AC=a)=3C=A￡>,

則三棱錐A-3CD是正四面體，

取C戶的中點G,連結召G,則EG//3/,

所以NGED為直線M與DE所成的角（或其補角），

因為他=2,所以EG=，BF=",￡￡）=73,DG=-JFG2+FD2=—

222

在AEGD中，由余弦定理可得，cosAGED=E2+DEdg21

0~~=——=

2EGDE2至百3

2

所以異面直線所與班所成角的余弦值為2.

3

6.棱長為1的正方體ABCD-ASG。中，點P在線段4）上，（點。異于A、。兩點），

線段。。的中點為。，若平面8PQ截該正方體所得的截面為四邊形，則線段針長度的取

值范圍為（）

A.（0,1]B.（J,1]C.[1,1）D.（0,

解：如圖，設平面BPQ與直線Cq交于點E,

因為A88—A4CQ是正方體，所以平面4904//平面8CCI81,

而平面BPQC平面ADD^=PQ,平面BPQC平面BCQB、=BE，

PDRC

所以PQ//BE,則APOQsABCE,所以53=工百

所以9=生。。=」一

CE2CE

要使平面8尸。截該正方體所得的截面為四邊形，則需要點E在線段CG上,

當點P在點A處時，E恰好在線段CG的中點處，

因為點P在線段4）上，所以,<CE,,1,所以1<2CE,2,

2

則L」一<1，即L,尸。<1，所以0<AP?!，即AP的范圍為（0,

22CE22

7.如圖1,直線EF將矩形A8CD分為兩個直角梯形ABFE和CDEF,將梯形CDEF沿邊EF

翻折，如圖2,在翻折過程中（平面45莊和平面CDEF不重合），下列說法正確的是（

A.在翻折過程中，恒有直線AD||平面8c/

B.存在某一位置，使得||平面43莊

C.存在某一位置，使得8尸||CO

D.存在某一位置，使得。平面

解：對于A,由題意得：DEHCF,AE//BF,

AE^\DE=E,BF^CF=F,

平面49E//平面8CF,

??,ADu平面4）E,.?.在翻折過程中，恒有直線A31|平面3CF,故A正確;

對于B,-.?直線￡F將矩形ABCD分為兩個直角梯形和CDEF,

與砂相交，

二.不存在某一位置，使得C0|平面43FE,故3錯誤；

對于C,?.?8C平面班C=尸，B尸u平面8FC,

，不存在某一位置，使得BFIICD,故C錯誤;

對于。，?.?四邊形DEFC是梯形，DEA.CD,

，￡織與所不垂直，

，不存在某一位置，使得平面A8左，故。錯誤.

故選：A.

8.四棱錐產一ABCD中，PD=DA=AB=-CD,AB//CD,ZADC=9Q°,POJL平面ABC￡）,

2

M為PC中點，平面4W交P8于Q,則C。與以所成角的余弦值為（）

AV3口幣「6D保

372142

解：延長CB,相交于點N,連結MN與PB交于點。，

在APNC中，8為CV的中點，M為PC的中點，故Q為A/WC的重心，

所以PQ=2QB,

在他上取S,使得AS=2S3,則QS//PA,

所以NSQC即為CQ與所成的角（或補角），

作S"_LOC于點”，不妨設A8=l,

74

則HC=2=—,

33

在RIAHSC中，SC=g,SQ=gpA=#

連結3￡>,可得又CD=2,

所以NCSD=90。,

又CBLPD,且PD,BDu平面PBD,

所以CB_L平面P8。，

又BPu平面PBD,

所以C8_LP8,故NP8C=90。，

則有CQ2=QB2+CB2=（停尸+（夜『=|.

所以CQ=粵，

221_25

由余弦定理可得，cosZSQC=SO+CQ2-SC2=9+j2=—叵,

2SQCQ'近屈42

2-------------

33

所以CQ與Q4所成角的余弦值為叵.

42

故選：D.

二、多選題

9.已知正方體ABCO-ABCID的棱長為2，M為A4,的中點，平面a過點A且與CM垂

A.CM，BD

B.B￡>//平面a

C.平面G8￡>//平面a

D.平面a截正方體所得的截面面積為2

2

解：以A為原點，福、AD.麗為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，如圖所示:

x

因為正方體A3C￡>-A8CQ的棱長為2,M為伍的中點,

所以M(0,0,1),8(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),

所以方方=(一2,2,0),CM=(-2,-2,1),

所以加?CA/=4-4+0=0,BD1.CM,即8D_LC/0,選項A正確；

因為B/5CM_L平面a,

所以或BZJucr,

若BDua,則a為平面BDR,

因為西=(0,0,2),且西?西=2工0,所以5E)Ua,

所以8￡>//口，選項8正確；

因為0(2,2,2),甲=(0,-2,-2),

所以翦兩'=0+4-2=2*0,

又GB在平面G8D上，所以平面C83與平面a不平行，選項C錯誤；

取/R、4)的中點分別為P、Q,連接用P、PQ、QQ、BR,過。作QN_L用口于點N,

因為尸Q//BD,BD”B\D\,所以尸Q//8Q,

又在RtABB、P、RlAQDD］中，用尸=QQ=x/FIF=百，所以四邊形PQ。聲是等腰梯形,

又Q￡>；=(0,1,2),BR=(-2,2,0),且QD；CM=B4CM=0,

所以平面a即為平面PQD^,所求截面面積即為等腰梯形尸?！ㄊ拿娣e；

又D\N=B\D\；PQ=與,在?△"NQ中，NQ=《_；=當,

所以“師明‘產經也，乎=?所以選項。正確?

故選：ABD.

10.如圖，已知a,匕是相互垂直的兩條異面直線，直線4?與a,人均相互垂直，且A3=2,

動點P,。分別位于直線“，b±,若直線PQ與43所成的角。=工，線段PQ的中點為M,

A.P。的長度為20B.PQ的長度不是定值

C.點M的軌跡是圓D.三棱錐A-8PQ的體積為定值

解：過點P作于點方,

連接B'Q,

如圖所示：

則NQP3'=-,

4

故PQ=—2—=2正，故A正確；5不正確；

71

COS

4

設￡Q的中點為N,易得BB，1BQ,且Q。=2,則有RV=1,

設他的中點為O,連接O,M,N,B,易得四邊形。為平行四邊形，

故QW=BN=1,MN=1PB',

2

即點M到平面a的距離為定值，

可得點M的軌跡為圓，故C正確；

當點。與3點重合時，三棱錐體A-3PQ轉換為三角形，

其體積為0,而當點。與點5不重合時，且點P與點A不重合時，其體積顯然不為0,

故。錯誤，

故選：AC.

11.如圖所示，在矩形438中，AB=2,BC=\,E為CD上一動點,現(xiàn)將ABEC沿比

折起至AfiEF,在平面FR4內作尸G_LAB,G為垂足.設CE=s,BG=t,則下列說法正

確的是（）

3

A.若即，平面AEV,貝「=二

2

B.若AF_L平面班/，則5=,

2

C.若平面5M_L平面43ED,且s=l,貝

2

3?

D.若平面AfB_L平面ABED,且s=3,則"*

23

解：如圖，對于A,若班'_L平面A￡F,則有跳

在RtAAFB中，AB=2,BF=BC=1,

則AF=JAB2-BF2=6所以FG=AFxBF=2,

AB2

在RtABGF中，BG=yjBF2-FG2=-,B|Jr=1,故A錯誤；

22

對于3,若AF_L平面BEF,則有AF_LBF,AF^FE,

在RtAAFB中，AF=y/3,

在RtAAEF中，AF2+EF2=AE2,SR(^3)2+r=(2-s)2+12,解得s=1,故8正確；

2

對于C,若平面班F_L平面ABED,過點/作FH_LBE,垂足為H,連接HG,

因為平面身方C平面4如=5E,所以EH_L平面43ED,所以PH_LAB,

又A3_LRG,所以他_1_平面/7/6,所以他_L〃G,

因為s=l,所以在等腰RtAFEB中，BH=—,

2

所以在等腰RlABGH中，BG=t=-,故C正確；

2

對于3,若平面4話_L平面/WED,因為平面"BC平面FGA.AB,所以

FG_L平面A3ED,

所以FG_L3E,過點尸作m_LE3,垂足為H,連接G4,

因為FG「］FH=F,所以BE,平面FGH,又HGu平面FGH,所以BE_L〃G,

所以在矩形ABCD中，連接C”,則有C,H,G三點共線，

貝ljNCGB+NGCB=90。，又NGCB+ZEBC=90°,

所以ZCGB=NEBC,又ZGBC=NBCE=90°,

由RtACBGsRtAECB知，—=—,

CBEC

因為CB=19EC=s=—，所以BG=t=—f故O正確.

23

故選：BCD.

12.正方體ABCD-ABCO的棱長為2，E,F,G分別為8C,CC,,8始的中點.則（

A.直線R。與直線AF垂直

B.直線AQ與平面AEf平行

C.平面的截正方體所得的截面面積為2

2

D.點4和點。到平面心的距離相等

解：以。為原點，D4為x軸，￡>C為y軸，OQ為z軸，建立空間直角坐標系

則A(2,0,0),￡(1,2,0),尸(0,2,1),￡)(0,0,0),0,(0.0,2),/\(2,0,2),

G(2,2,1),

對于A,DQ=(0,0,-2),AF=(-2,2,I),

?.?西?通=-2*0,二直線與直線"不垂直，故A錯誤；

對于8,4^=(0，2,-1),AE=(-1,2,0),AF=(-2,2,1),

設平面/1EF的法向量萬=(x,y,z),

則《一，取y=l,得萬=(2,1,2),

n?AF=-2x+2y+z=0

?.?而?萬=0,AGU平面AEV,

直線AG與平面A即平行，故5正確;

對于C,連接A",FDt,-.E,F分別是BC,的中點，

.?.面4￡F截正方體所得的截面為梯形AEFD,,

.?.面A砂截正方體所得的截面面積為：

AD+EF〃+4+/4+4I￡9

S=AU'bxAB=--------Z-----x(4+1)-(*f=2,故c正確;

22V22

對于。，由5知平面AEF的法向量仃=(2,1,2),

.?.點A到平面AM的距離為=四*=[=9，

四百3

點。到平面A即的距離4=巫應=二=±,

I萬I囪3

點A和點D到平面AEF的距離相等，故。正確.

故選：BCD.

三、填空題

13.在四面體A88中，AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7,則AB、8所成的

角的余弦值為—.

解：作出四面體ABCD的外接長方體A57X7-DC4'8,如圖所示，

設長￡>'C=a,寬C4'=6,高A'O=c,

a2+b2=l2

則由勾股定理可得，/+。2=62,解得d=6,

b1+C1=52

連結AE交C。于點E,則異面直線AB、C/)所成的角為Z4'￡D(或補角),

A'J71D五2_A，）：

在△AE。中，由余弦定理可得，cosN4ED=.——

2ArEDE

所以4?、C。所成的角的余弦值為

25

故答案為：—.

25

14.在三棱錐尸-ABC中，AB=AC=BC=4,PB=PC=3,平面P3C_L平面ABC,D為

線段以上一動點，當8/7+8取最小值時，—=.

PA----

解：取8c的中點O,因為依=PC,所以PO_L3C,

又因為平面PBC_L平面ABC,平面P3CC平面他C=3C,

所以POJL平面ABC,

建立空間直角坐標系如圖所示，

則P(0,0,75),A(2V3,0,0),B(0,-2,0),C(0,2,0),

所以而=(26,0,-石)，

T^.PD=APA,因為B戶=(0,2,后),。戶=(0,-2,不),

故B6=BP+Pb=(2&2非-入后)，

CD=CP+PD=(2百;I,-2,>/5-V52),

所以B￡>+CD=|8￡i|+|CZ5|

=1】2萬+4+5+5儲-102x2

=2>/1722-102+9

=2J17(A-—)2+—

V1717

..2、償,

V17

當且僅當2=9