專題05 四邊形的性質(zhì)與判定（講練）（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

專題05四邊形的性質(zhì)與判定目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識(shí)建構(gòu)考點(diǎn)一平行四邊形【真題研析·規(guī)律探尋】題型01多邊形內(nèi)角和與外角和綜合問(wèn)題題型02多邊形內(nèi)角和/外角和的實(shí)際應(yīng)用題型03利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解題型04利用平行四邊形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問(wèn)題題型05構(gòu)建三角形中位線解決問(wèn)題【核心提煉·查漏補(bǔ)缺】【好題必刷·強(qiáng)化落實(shí)】考點(diǎn)二特殊四邊形【真題研析·規(guī)律探尋】題型01利用矩形的性質(zhì)與判定求解題型02與矩形（或正方形）有關(guān)的折疊問(wèn)題題型03根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問(wèn)題題型04矩形與函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題題型05根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求解題型06菱形與函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題題型07根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求解題型08根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問(wèn)題題型09正方形與函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題題型10與特殊四邊形有關(guān)的新定義問(wèn)題題型11與特殊四邊形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題題型12梯形的相關(guān)計(jì)算題型13四邊形的常見(jiàn)幾何模型【核心提煉·查漏補(bǔ)缺】【好題必刷·強(qiáng)化落實(shí)】

考點(diǎn)要求命題預(yù)測(cè)平行四邊形平行四邊形和特殊平行四邊形在中考數(shù)學(xué)中是占比比較大的一塊考點(diǎn)，考察內(nèi)容主要有各個(gè)特殊四邊形的性質(zhì)、判定、以及其應(yīng)用:考察題型上從選擇到填空再都解答題都有，題型變化也比較多樣;并且考察難度也都是中等和中等偏上，難度較大，綜合性比較強(qiáng).所以需要考生在復(fù)習(xí)這塊內(nèi)容的時(shí)候一定要準(zhǔn)確掌握其性質(zhì)與判定，并且會(huì)在不同的結(jié)合問(wèn)題上注意和其他考點(diǎn)的融合.平行四邊形與特殊平行四邊形的考察熱點(diǎn)有:多邊形內(nèi)角和定理、平行四邊形的性質(zhì)與判定定理、平行四邊形的綜合應(yīng)用;矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定定理;特殊四邊形的圖形平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等結(jié)合問(wèn)題.特殊四邊形考點(diǎn)一平行四邊形題型01多邊形內(nèi)角和與外角和綜合問(wèn)題多邊形的有關(guān)計(jì)算公式有很多，一定要牢記，代錯(cuò)公式容易導(dǎo)致錯(cuò)誤：①n邊形內(nèi)角和＝（n－2）×180°（n≥3）.②從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出（n-3）條對(duì)角線，n個(gè)頂點(diǎn)可以引出n（n-3）條對(duì)角線，但是每條對(duì)角線計(jì)算了兩次，因此n邊形共有n(n-3)③n邊形的邊數(shù)＝（內(nèi)角和÷180°）＋2.④n邊形的外角和是360°.⑤n邊形的外角和加內(nèi)角和＝n×180°.⑥在n邊形內(nèi)任取一點(diǎn)O，連接O與各個(gè)頂點(diǎn)，把n邊形分成n個(gè)三角形；在n邊形的任意一邊上任取一點(diǎn)O，連接O點(diǎn)與其不相鄰的其它各頂點(diǎn)的線段可以把n邊形分成（n－1）個(gè)三角形；連接n邊形的任一頂點(diǎn)A與其不相鄰的各個(gè)頂點(diǎn)的線段，把n邊形分成（n－2）個(gè)三角形．1）n邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的增加而增加，邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和增加180°.2）任意多邊形的內(nèi)角和均為180°的整數(shù)倍.3）利用多邊形內(nèi)角和定理可解決三類問(wèn)題：①已知多邊形的邊數(shù)求內(nèi)角和；②已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)；③已知足夠的角度條件下求某一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．4）任意多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數(shù)無(wú)關(guān).5）正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為為（n-26）正n邊形有n條對(duì)稱軸．7）對(duì)于正n邊形，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是軸對(duì)稱圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．1．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，一束太陽(yáng)光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若∠1=44°，則∠2的度數(shù)為（）

A．14° B．16° C．24° D．26°【答案】B【分析】如圖，求出正六邊形的一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角的度數(shù)，得到∠4=60°,∠2+∠5=120°，平行線的性質(zhì)，得到∠3=∠1=44°，三角形的外角的性質(zhì)，得到∠5=∠3+∠4=104°，進(jìn)而求出∠2的度數(shù)．【詳解】解：如圖：

∵正六邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為：360°6∴正六邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：180°-60°=120°，即：∠4=60°,∠2+∠5=120°，∵一束太陽(yáng)光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，∠1=44°，∴∠3=∠1=44°，∴∠5=∠3+∠4=104°，∴∠2=120°-∠5=16°；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的內(nèi)角和、外角和的綜合應(yīng)用，平行線的性質(zhì)．熟練掌握多邊形的外角和是360°，是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，它的3個(gè)外角∠EAB，∠FBC，∠GCD的度數(shù)之比為1:2:4【答案】72°/72度【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)以及外角的性質(zhì)可求出∠CDH【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)ED到H，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O∴∠ABC∴∠FBC∵∠EAB，∠FBC，∠GCD∴∠EAB，∠FBC，∠GCD，∠∵∠EAB∴∠CDH∴∠ADC故答案為：72°．【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角和是360度．3．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫(huà)弧BF，得到扇形BAF（陰影部分）．若扇形BAF正好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，則該圓錐的底面圓的半徑是．

【答案】2【分析】首先確定扇形的圓心角的度數(shù)，然后利用圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)計(jì)算即可．【詳解】解：∵正六邊形的外角和為360°，∴每一個(gè)外角的度數(shù)為360°÷6=60°，∴正六邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為180°-60°=120°，設(shè)這個(gè)圓錐底面圓的半徑是r，根據(jù)題意得，2πr解得r=故答案為：23【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓及圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是求得正六邊形的內(nèi)角的度數(shù)，并理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)．4．（2023·新疆·中考真題）一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都是144°，這個(gè)多邊形是邊形．【答案】十【分析】根據(jù)題意可得該多邊形為正多邊形，先求出一個(gè)外角的度數(shù)，即可求出邊數(shù)．【詳解】解：∵該多邊形每個(gè)內(nèi)角都是144°，∴該多邊形為正多邊形，∴該多邊形一個(gè)外角=180°-144°=36°，∴該多邊形的邊數(shù)=360°故答案為：十．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形每個(gè)外角相等．題型02多邊形內(nèi)角和/外角和的實(shí)際應(yīng)用1．（2023·山西·中考真題）蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形．如圖是部分巢房的橫截面圖，圖中7個(gè)全等的正六邊形不重疊且無(wú)縫隙，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P,Q,M均為正六邊形的頂點(diǎn)．若點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為

A．33,-2 B．33,2 C．【答案】A【分析】連接PF，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a，由正六邊形的性質(zhì)及點(diǎn)P的坐標(biāo)可求得a的值，即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．【詳解】解：連接PF，如圖，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a，∵∠ABC∴∠ABO∵∠AOB∴∠BAO∴OB=∴AC=CE=∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為-2∴3a即a=2∴OE=OC+∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為33故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·河北·中考真題）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數(shù)分別為α，β，則正確的是（

）A．α-β=0C．α-β>0 D．無(wú)法比較α【答案】A【分析】多邊形的外角和為360°，△ABC與四邊形BCDE的外角和均為360°，作出選擇即可．【詳解】解：∵多邊形的外角和為360°，∴△ABC與四邊形BCDE的外角和α與β均為360°，∴α-故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的外角和定理，注意多邊形的外角和為360°是解答本題的關(guān)鍵．3．（2020·山東德州·中考真題）如圖，小明從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)8米后向左轉(zhuǎn)45°，再沿直線前進(jìn)8米，又向左轉(zhuǎn)45°……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，共走路程為（

）A．80米 B．96米 C．64米 D．48米【答案】C【分析】根據(jù)多邊形的外角和即可求出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可知，他需要轉(zhuǎn)360÷45=8次才會(huì)回到原點(diǎn)，所以一共走了8×8=64米．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用多邊形的外角和定理求多邊形的邊數(shù)．任何一個(gè)多邊形的外角和都是360°．4．（2022·湖南常德·中考真題）剪紙片：有一張長(zhǎng)方形的紙片，用剪刀沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片；從這2張中任選一張，再用剪刀沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有3張紙片：從這3張中任選一張，再用剪刀沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有4張紙片；……；如此下去，若最后得到10張紙片，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5張四邊形紙片，則還有一張多邊形紙片的邊數(shù)為．【答案】6【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和進(jìn)行即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意用剪刀沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片，則每剪一次，所有的多邊形的內(nèi)角和增加360°，10張紙片，則剪了9次，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5張四邊形紙片，設(shè)還有一張多邊形紙片的邊數(shù)為n，∴5-2解得n=6故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式，理解題意是解題的關(guān)鍵．5．（2023·河北·中考真題）將三個(gè)相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，其俯視圖如圖1，正六邊形邊長(zhǎng)為2且各有一個(gè)頂點(diǎn)在直線l上，兩側(cè)螺母不動(dòng)，把中間螺母抽出并重新擺放后，其俯視圖如圖2，其中，中間正六邊形的一邊與直線l平行，有兩邊分別經(jīng)過(guò)兩側(cè)正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)．則圖2中（1）∠α=（2）中間正六邊形的中心到直線l的距離為（結(jié)果保留根號(hào)）．

【答案】302【分析】（1）作圖后，結(jié)合正多邊形的外角的求法即可求解；（2）表問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，首先作圖，標(biāo)出相應(yīng)的字母，把正六邊形的中心到直線l的距離轉(zhuǎn)化為求ON=OM+【詳解】解：（1）作圖如下：

根據(jù)中間正六邊形的一邊與直線l平行及多邊形外角和，得∠ABC∠A故答案為：30；（2）取中間正六邊形的中心為O，作如下圖形，

由題意得：AG∥BF，AB∥∴四邊形ABFG為矩形，∴AB∵∠BAC∵Rt∴BC在Rt△PDE中，由圖1知AG=由正六邊形的結(jié)構(gòu)特征知：OM=∵BC∴AB∴BD又∵DE∴BE∴故答案為：23【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的特征，勾股定理，含30度直角三角形的特征，全等三角形的判定性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握正六邊形的結(jié)構(gòu)特征．題型03利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解平行四邊形的性質(zhì)：1)對(duì)邊平行且相等；2)對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)；3)對(duì)角線互相平分；

4)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形，平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)是平行四邊形的對(duì)稱中心.【解題技巧】1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長(zhǎng)的一半．2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關(guān)系，所以經(jīng)常需結(jié)合三角形全等來(lái)解題．3）過(guò)平行四邊形對(duì)稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長(zhǎng)．4）如圖①，AE平分∠BAD，則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對(duì)等邊得到△ABE為等腰三角形，即AB=BE．5）如圖②，已知點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE．6）如圖③，根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD．平行四邊形的判定定理：①定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．②一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．③兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．④兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．⑤對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【解題技巧】一般地，要判定一個(gè)四邊形是平行四邊形有多種方法，主要有以下三種思路：1）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的角時(shí)，可用“兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形”來(lái)證明；2）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的邊時(shí)，可選擇“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”或“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”或“有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來(lái)證明；3）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的對(duì)角線時(shí)，可選擇“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來(lái)證明．1．（2023·浙江湖州·中考真題）如圖，已知∠AOB，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作圓弧，與角的兩邊分別交于C，D兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)C，D為圓心，大于12CD長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩條圓弧交于∠AOB內(nèi)一點(diǎn)P，連接OP，過(guò)點(diǎn)P作直線PE∥OA，交OB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作直線PF∥OB，交OA于點(diǎn)F．若

A．123cm2 B．63cm2【答案】B【分析】過(guò)P作PM⊥OB于M，再判定四邊形【詳解】解：過(guò)P作PM⊥OB于

由作圖得：OP平分∠AOB∴∠POB∴PM=∴OM=∵PE∥OA，∴四邊形PFOE為平行四邊形，∠EPO∴∠POE∴OE=設(shè)OE=在Rt△PEM中，即：x2解得：x=2∴S四邊形故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，掌握平行四邊形的判定定理，勾股定理及平行四邊形的面積公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023·西藏·中考真題）如圖，兩張寬為3的長(zhǎng)方形紙條疊放在一起，已知∠ABC=60°，則陰影部分的面積是（

A．92 B．33 C．93【答案】D【分析】首先過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，BF⊥CD于點(diǎn)F，由題意可得四邊形ABCD是平行四邊形，繼而求得【詳解】過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，BF⊥

根據(jù)題意得：AD∥BC，AB∥∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠ABC∴∠ABE∴AB=2AE，∵AB2=∴AB=2同理：BC=2∴AB=∴四邊形ABCD是菱形，∴AD=2∴S菱形故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵在于掌握菱形判定定理和作輔助線．3．（2023·江蘇徐州·中考真題）【閱讀理解】如圖1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形ABCD為平行四邊形，若AB=【拓展提升】如圖3，已知BO為△ABC的一條中線，AB=a【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，點(diǎn)P在邊AD上，則PB2+【答案】探究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論依然成立，理由見(jiàn)解析；拓展提升：證明見(jiàn)解析；嘗試應(yīng)用：200【分析】探究發(fā)現(xiàn)：作AE⊥BC于點(diǎn)E，作DF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則∠AEB拓展提升：延長(zhǎng)BO到點(diǎn)C，使OD=BO，證明四邊形ABCD是平行四邊形，由【探究發(fā)現(xiàn)】可知，AC2+嘗試應(yīng)用：由四邊形ABCD是矩形，AB=8,BC=12，得到AB=CD=8,BC=AD【詳解】探究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論依然成立，理由如下：作AE⊥BC于點(diǎn)E，作DF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

∵四邊形ABCD為平行四邊形，若AB=∴AB=∵AE⊥BC，∴AE=∴Rt△∴BE=∴A=====2=2a拓展提升：延長(zhǎng)BO到點(diǎn)C，使OD=

∵BO為△ABC∴OA=∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB=∴由【探究發(fā)現(xiàn)】可知，AC∴c2∴c2∴BO嘗試應(yīng)用：∵四邊形ABCD是矩形，AB=8,∴AB=CD=8,設(shè)AP=x，則∴P=2x∵2>0，∴拋物線開(kāi)口向上，∴當(dāng)x=6時(shí)，PB故答案為：200【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握勾股定理和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．4．（2023·貴州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，延長(zhǎng)CB至D，使得BD=CB，過(guò)點(diǎn)A，D分別作AE∥BD，

小星：由題目的已知條件，若連接BE，則可證明BE⊥小紅：由題目的已知條件，若連接CE，則可證明CE=

(1)請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的說(shuō)法，并進(jìn)行證明；(2)連接AD，若AD=52,【答案】(1)見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）選擇小星的說(shuō)法，先證四邊形AEDB是平行四邊形，推出AE=BD，再證明四邊形AEBC是矩形，即可得出BE⊥CD；選擇小紅的說(shuō)法，根據(jù)四邊形AEBC是矩形，可得CE=AB，根據(jù)四邊形（2）根據(jù)BD=CB，CBAC=2【詳解】（1）證明：①選擇小星的說(shuō)法，證明如下：如圖，連接BE，

∵AE∥BD，∴四邊形AEDB是平行四邊形，∴AE=∵BD=∴AE=又∵AE∥BD，點(diǎn)D在∴AE∥∴四邊形AEBC是平行四邊形，又∵∠C∴四邊形AEBC是矩形，∴BE⊥②選擇小紅的說(shuō)法，證明如下：如圖，連接CE，BE，

由①可知四邊形AEBC是矩形，∴CE=∵四邊形AEDB是平行四邊形，∴DE=∴CE=（2）解：如圖，連接AD，

∵BD=CB，∴CDAC∴CD=在Rt△ACD中，∴52解得AC即AC的長(zhǎng)為32【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形和矩形的判定方法．題型04利用平行四邊形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問(wèn)題1．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接EO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，∠ABC=60°，BC=2AB．下列結(jié)論：①AB⊥AC；②AD=4OE；③四邊形A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】通過(guò)判定ΔABE為等邊三角形求得∠BAE=60°，利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠EAC=30°，從而判斷①；利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷③，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)和含30°【詳解】解：∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BC又∵BC∴AB∵∠ABC∴Δ∴∠BAE∴∠EAC∴∠BAC即AB⊥AC，故在平行四邊形ABCD中，AD//BC，AD=∴∠CAD在ΔAOF和Δ∠CAD∴Δ∴AF∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵AB⊥AC，點(diǎn)E∴AE∴平行四邊形AECF是菱形，故③正確；∴AC在RtΔCOE中，∴OE=1在平行四邊形ABCD中，OA=又∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴SΔBOE綜上所述：正確的結(jié)論有4個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的判定是解題關(guān)鍵．2．（2021·山東泰安·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BD的中點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：①AM=CN；②若MD=AM，∠A=90°，則BM=CM；③若MD=2AM，則S△A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】依次分析各選項(xiàng)，進(jìn)行推理論證即可；其中①可通過(guò)證明△DME≌△BNEAAS，進(jìn)一步轉(zhuǎn)換后可以得到結(jié)論，②可先得到該平行四邊形是矩形，利用矩形的性質(zhì)等得到MN垂直平分BC，即可完成求證，③可以先證明兩個(gè)三角形的共線邊上的高的關(guān)系，再利用三角形面積公式即可完成證明，④可以先證明△【詳解】解：∵平行四邊形ABCD中，E是BD的中點(diǎn)，∴BE=DE，AD//∴∠MDE=∠NBE∴△DME∴DM=∴AM=故①正確；若∠A則平行四邊形ABCD是矩形，由矩形的對(duì)角線相等，而點(diǎn)E是矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)可知，E點(diǎn)到B、C兩點(diǎn)的距離相等，∴E點(diǎn)在BC的垂直平分線上，由MD=AM，可得BN=所以N點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，∴MN垂直平分BC，∴BM=故②正確；若MD=2AM，則BN=2如圖1，分別過(guò)D、E兩點(diǎn)向BC作垂線，垂足分別為Q點(diǎn)和P點(diǎn)，∵E點(diǎn)是BD中點(diǎn)，∴DQ=2EP，∵S△S∴S△故③正確；若AB=因?yàn)锳B=所以DC=分別過(guò)N、C兩點(diǎn)向AD作垂線，垂足分別為H、K，由平行線間的距離處處相等可知：NH=CK，∴Rt△∴∠NMD∴△MND∴∠MND又∵∠NFM∴△MNF故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與性質(zhì)，能熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行角或邊之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化等，本題對(duì)推理分析能力要求較高，屬于中等難度偏上的題目，對(duì)學(xué)生的綜合分析能力有一定的要求．3．（2021·四川南充·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=15，BC=20，把邊AB沿對(duì)角線BD平移，點(diǎn)A'，B'分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，B．給出下列結(jié)論：①順次連接點(diǎn)A'，B'，C，D的圖形是平行四邊形；②點(diǎn)C到它關(guān)于直線AA'的對(duì)稱點(diǎn)的距離為48；③A'C-A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)和平行四邊形的判定方法判斷①，再利用等積法得出點(diǎn)C到BD的距離，從而對(duì)②做出判斷，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷③，如圖，作D關(guān)于AA'的對(duì)稱點(diǎn)D'，DD'交AA'于M,連接BD'，過(guò)D'作D'N⊥BC于【詳解】解：由平移的性質(zhì)可得AB//A且AB=A∵四邊形ABCD為矩形∴AB//CD，AB=CD=15∴A'B'//CD且∴四邊形A'B當(dāng)點(diǎn)B'與D重合時(shí)，四邊形不存在，故①錯(cuò)誤在矩形ABCD中，BD=AB2+過(guò)A作AM⊥BD，CN⊥BD，則AM=CN∴S△ABD=12AB·CD=12BD∴AM=CN=15×2025∴點(diǎn)C到AA'∴點(diǎn)C到它關(guān)于直線AA'∴故②正確∵A∴當(dāng)A',B此時(shí)B'與D∴A'C-B∴故③正確，如圖，作D關(guān)于AA'的對(duì)稱點(diǎn)D'，DD'交AA'于M,連接BD'，過(guò)D則AB//A'B'//KH,∴D由?A'B∴B∴A'由②同理可得：DM=∵tan設(shè)HN=3x,由勾股定理可得：DD∴25整理得：25x∴(5x解得：x1∴NC∴D∴故④正確故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)以及平移的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·湖北·中考真題）如圖，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，BE>AE，連接DF交AE于點(diǎn)G,DE交AB于點(diǎn)H，連接CF【答案】①③④【分析】由題意易得AB=AC,∠ABC=45°=∠DBE，AE=【詳解】解：∵△BAC,△DEB∴AB=AC,∠ABC=45°=∠DBE，∵∠DBA=∠DBE∴∠DBA=∠EBC∴△A∴AB=DF=AC,∠∵∠ABE+∠BHE=90°,∠EFD∴∠BHE≠∠EGF，∠∴DF∥∵DF=∴四邊形ADFC是平行四邊形，∴AD=CF，故故答案為①③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．題型05構(gòu)建三角形中位線解決問(wèn)題構(gòu)造三角形中位線的常用方法：1）連接兩點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線;2)已知中點(diǎn)，取另一條線段的中點(diǎn)構(gòu)造中位線.3)利用角平分線+垂直構(gòu)造三角形的中位線.1．（2020·山東泰安·中考真題）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(2,0),B(0,2)，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=1，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則

A．2+1 B．2+12 C．【答案】B【分析】如圖所示，取AB的中點(diǎn)N，連接ON，MN，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知OM＜ON+MN，則當(dāng)ON與MN共線時(shí)，OM=ON+MN最大，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形的中位線即可解答．【詳解】解：如圖所示，取AB的中點(diǎn)N，連接ON，MN，三角形的三邊關(guān)系可知OM＜ON+MN，則當(dāng)ON與MN共線時(shí)，OM=ON+MN最大，∵A(2,0),則△ABO為等腰直角三角形，∴AB=OA2+OB∴ON=12又∵M(jìn)為AC的中點(diǎn)，∴MN為△ABC的中位線，BC=1，則MN=12∴OM=ON+MN=2+∴OM的最大值為2故答案選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定當(dāng)ON與MN共線時(shí)，OM=ON+MN最大．2．（2023·廣西·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，M，N分別是EF，AF的中點(diǎn)，則

【答案】2【分析】首先證明出MN是△AEF的中位線，得到MN=12AE，然后由正方形的性質(zhì)和勾股定理得到AE=AB2+BE2=4+【詳解】如圖所示，連接AE，

∵M(jìn)，N分別是EF，∴MN是△AEF∴MN=∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B∴AE=∴當(dāng)BE最大時(shí)，AE最大，此時(shí)MN最大，∵點(diǎn)E是BC上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)，BE最大，即BC的長(zhǎng)度，∴此時(shí)AE=∴MN=∴MN的最大值為2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．3．（2021·天津·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC,CD的延長(zhǎng)線上，且CE=2,DF=1，G為EF的中點(diǎn)，連接OE，交CD于點(diǎn)H【答案】13【分析】先作輔助線構(gòu)造直角三角形，求出CH和MG的長(zhǎng)，再求出MH的長(zhǎng)，最后利用勾股定理求解即可．【詳解】解:如圖,作OK⊥BC，垂足為點(diǎn)K，∵正方形邊長(zhǎng)為4，∴OK=2，KC=2，∴KC=CE，∴CH是△OKE的中位線∴CH=作GM⊥CD，垂足為點(diǎn)M，∵G點(diǎn)為EF中點(diǎn)，∴GM是△FCE的中位線，∴GM=12∴MH=在Rt△MHG中，GH=故答案為：132【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正方形的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能作出輔助線構(gòu)造直角三角形，得到三角形的中位線，利用三角形中位線定理求出相應(yīng)線段的長(zhǎng)，利用勾股定理解直角三角形等．4．（2023·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC,BC為等腰三角形的底邊，在AB的同側(cè)作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE．在線段EC

(1)如圖1，求證：DE=(2)如圖2，若AD=2，BF的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)DE的中點(diǎn)G【答案】(1)見(jiàn)解析(2)BE=2+2【分析】（1）證明CD∥BE，推出∠DCE=∠BEF（2）取CE的中點(diǎn)H，連接GH，證明GH是△FCD的中位線，設(shè)BE=a，則FH=12a【詳解】（1）證明：∵等腰△ACD和等腰△∴AD=CD，EC=∵∠A∴∠DCA∴CD∥∴∠DCE∵EF=∴EF=在△DCE和△FEB中，∴△DCE∴DE=（2）解：取CE的中點(diǎn)H，連接GH，

∵點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)，∴GH是△FCD∴GH=12設(shè)BE=a，則∵EF=∴FH=∵CD∥∴GH∥∴△FGH∴GHBE=FH整理得a2解得a=2+2經(jīng)檢驗(yàn)a=2+2∴BE=2+2【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．多邊形的定義：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線.

多邊形對(duì)角線條數(shù)：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n－3）條對(duì)角線，并且這些對(duì)角線把多邊形分成了(n–2)個(gè)三角形，n邊形的對(duì)角線條數(shù)為n(正多邊形的相關(guān)概念正多邊形概念各條邊相等，并且各個(gè)內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形.正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心.正多邊形的半徑正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.正多邊形的中心角正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角.正多邊形的邊心距中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.正多邊形的常用公式邊長(zhǎng)an=2Rn?周長(zhǎng)Pn=n?an外角/中心角度數(shù)360°面積Sn=12an?rn?對(duì)角線條數(shù)n邊心距rn=Rn?cos180內(nèi)角和（n-2）×180°.內(nèi)角度數(shù)（n邊形的邊數(shù)（內(nèi)角和÷180°）＋2aRn2=rn2+an24（an【解題思路】正多邊形與圓的計(jì)算問(wèn)題：正n邊形的外接圓半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形，而每個(gè)直角三角形都集中地反映了這個(gè)正n邊形各元素間的關(guān)系，故可以把正n邊形的計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形，再利用勾股定理即可完成計(jì)算．1．（2022·北京平谷·一模）2021年3月考古人員在山西泉陽(yáng)發(fā)現(xiàn)目前中國(guó)規(guī)模最大、保存最完好的戰(zhàn)國(guó)水井，井壁由等長(zhǎng)的柏木按原始榫卯結(jié)構(gòu)相互搭接呈閉合的正九邊形逐層壘砌，關(guān)于正九邊形下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．它是軸對(duì)稱圖形 B．它是中心對(duì)稱圖形C．它的外角和是360° D．它的每個(gè)內(nèi)角都是140°【答案】B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱與中心對(duì)稱的定義可判斷A、B的正誤；根據(jù)正多邊形的外角和為360°可判斷C的正誤；根據(jù)正n邊形的內(nèi)角為180°n-2【詳解】解：由題意知正九邊形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形∴A正確，B錯(cuò)誤；由正多邊形的外角和為360°可知正九邊形的外角和為360°∴C正確；由正n邊形的內(nèi)角為180°n-∴D正確；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的內(nèi)角、外角和，軸對(duì)稱，中心對(duì)稱．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握正多邊形的內(nèi)角、外角與對(duì)稱性．2．（2023·河北衡水·二模）圖中表示被撕掉一塊的正n邊形紙片，若a⊥b，則n的值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】延長(zhǎng)a、b交于點(diǎn)E，根據(jù)得到，于是可以得到正多邊形的一個(gè)外角為45°，進(jìn)而可得正多邊形的邊數(shù)．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)a，b交于點(diǎn)E，∵a∴∠ABC=90°∴正多邊形的一個(gè)外角為180°-90°2∴n=故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和外角和，掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023·河南南陽(yáng)·三模）如圖，?OABC的頂點(diǎn)O0,0，A4,0，點(diǎn)E5,1是邊AB的中點(diǎn)，則對(duì)角線AC，OB的交點(diǎn)D

A．3,1 B．4,1 C．1,3 D．2,1【答案】A【分析】根據(jù)題意易得OA=4，再證明DE為△OAB的中位線，結(jié)合中位線的性質(zhì)求得【詳解】解：∵O0,0，A∴OA=4∵四邊形OABC為平行四邊形，對(duì)角線AC，OB的交點(diǎn)為D，∴OD=又∵點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，∴DE∥OA，且∵點(diǎn)E5,1∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為3,1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形、平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．4．（2023·河北保定·二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，按下列條件得到的四邊形EFGH不一定是平行四邊形的是（）A．

EG，F(xiàn)H是過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的兩條線段B．

E，F(xiàn)，G，H是四邊形各邊中點(diǎn)C．

EF⊥BC，D．

AF，BH，CH，DF是角平分線【答案】C【分析】利用全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)來(lái)證明即可．【詳解】解：A、如圖，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，

∵ABCD是平行四邊形，∴AB∴∠EAC∵∠AOE∴△AOE∴OE=同理OH=∴四邊形EFGH是平行四邊形，故A不符合題意．B、如圖，連接AC，

∵E，F(xiàn)，G，H是四邊形各邊中點(diǎn)，EF=GH，且∴四邊形EFGH是平行四邊形，故B不符合題意；C、由于所給已知條件只有角的關(guān)系，三角形邊之間沒(méi)有等量關(guān)系，不能證明三角形全等或邊之間平行，也就無(wú)法證明四邊形EFGH是平行四邊形，故C符合題意；D、∵AD∥BC，∴∠AFB∴AB=同理DH=∵AD=∴AH=CF∵AFCH是平行四邊形，即AF∥同理可證AE∥∴四邊形EFGH是平行四邊形，故D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握多種證明四邊形是平行四邊形方法．5．（2023·河北衡水·二模）如圖，將一個(gè)平行四邊形分成16個(gè)一模一樣的小平行四邊形．若用顏料涂滿△ABC，至少需用完1瓶顏料，則將△DEF涂滿，至少需用完顏料的瓶數(shù)是（A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明S△【詳解】解：如圖所示，取格點(diǎn)G，連接BG，∵圖中是將一個(gè)平行四邊形分成16個(gè)一模一樣的小平行四邊形，∴S△DEF=∴S△∵用顏料涂滿△ABC，至少需用完1∴將△DEF涂滿，至少需用完顏料的瓶數(shù)是1故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形面積，熟知同底等高的三角形面積相等是解題的關(guān)鍵．6．（2022·浙江舟山·三模）如圖，△ABC、△DBE和△FGC均為正三角形，以點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G在△ABC的各邊上，DE和FG相交于點(diǎn)H，若S四邊形ADHFA．a(chǎn)+c=2b B．b2+【答案】B【分析】分別用含a，b，c的代數(shù)式表示S四邊形ADHF與【詳解】解：∵∠EDB∴DE∥AF同理：FG∥AB∴四邊形ADHF為平行四邊形，∵在△HGE中∠∴△HGE∵GE=b+c-∴SS∴32a-故選：B.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平行四邊形及等邊三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是要會(huì)用含a，7．（2023·河北石家莊·一模）如圖1，將兩條重合的線段繞一個(gè)公共端點(diǎn)沿逆時(shí)針和順時(shí)針?lè)较蚍謩e旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，所得的兩條新線段夾角為β，以α為內(nèi)角，以圖中線段為邊作兩個(gè)正多邊形，正多邊形邊數(shù)為n．如圖2，當(dāng)α=120°邊數(shù)n456…旋轉(zhuǎn)角α90°108°120°…夾角β180°m120°…（1）用含α的代數(shù)式表示β，β=；（2）邊數(shù)n，旋轉(zhuǎn)角α，夾角β的部分對(duì)應(yīng)值如表格所示，其中m=°（3）若β≤10°，則n的最小值是【答案】360°-2α【分析】（1）由周角的含義建立方程即可；（2）把α=108°代入（1（3）由β≤10°，可得360°-2α≤10°，解得：α≥175°，利用多邊形的內(nèi)角和公式可得【詳解】解：（1）由題意可得：2α∴β=360°-2故答案為：360°-2α（2）由題意可得：當(dāng)α=108°∴m=故答案為：144；（3）當(dāng)β≤10°∴360°-2α≤10°，解得：∴n-2·180∴n-解得：n≥72∴n的最小值為：72．故答案為：72．【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì)，利用正多邊形的性質(zhì)建立方程或不等式求解是解本題的關(guān)鍵．8．（2023·吉林長(zhǎng)春·三模）如圖①是15世紀(jì)藝術(shù)家阿爾布雷希特·丟勒利用正五邊形和菱形創(chuàng)作的鑲嵌圖案設(shè)計(jì)，圖②是鑲嵌圖案中的某一片段的放大圖，其中菱形的最小內(nèi)角為度．

【答案】36【分析】根據(jù)平面鑲嵌的定義，結(jié)合正五邊形的內(nèi)角，即可求解．【詳解】解：正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為5-2設(shè)菱形的最小內(nèi)角為x，根據(jù)題意得，x解得：x故答案為：36．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和公式，平面鑲嵌，熟練掌握平面鑲嵌的定義以及多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．9．（2023·江蘇南京·一模）如圖①，有一個(gè)圓柱形的玻璃杯，底面直徑AB是30cm，杯內(nèi)裝有一些溶液．如圖②，將玻璃杯繞點(diǎn)B傾斜，液面恰好到達(dá)容器頂端時(shí)，AB與水平線l的夾角為30°．則圖①中液面距離容器頂端cm【答案】5【分析】延長(zhǎng)CD交l于點(diǎn)H，DE∥l,DH∥EB，則【詳解】解：如圖②所示，延長(zhǎng)CD交l于點(diǎn)H，∵如圖②，將玻璃杯繞點(diǎn)B傾斜，液面恰好到達(dá)容器頂端時(shí)，AB與水平線l的夾角為30°．∴∠∴AH=依題意，DE∥l,∴DE=∵CE=AB，∴△CDE∴CD=過(guò)點(diǎn)DE的中點(diǎn)F作MN∥CE，則MN為原來(lái)液面，CM即為圖∴DFEF=即CM=故答案為：53【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·遼寧撫順·二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=8，BC=6，E，F(xiàn)分別是BC上的動(dòng)點(diǎn)，且EF=3，連接AE，AF，DE，DF，AE與DF相交于P，過(guò)點(diǎn)P作MN∥BC，交DE于M，交AF于N，當(dāng)E，F(xiàn)在BC上移動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論：①【答案】①②③④【分析】由AD∥BC，證明△EPF∽△APD，推出APPE=DPPF=ADEF=2，即可得到AP【詳解】解：∵平行四邊形ABCD中，AB=8∴AD=BC=6∴△EPF∵EF=3∴APPE∴AP=2PE，故∴S△PAD=4∵AD∥BC，∴AD與∴S△PAF=∵APPE=DP∵M(jìn)N∥∴△DPM∽△DFE∴APAE=PN∴PNEF∴PM=PN=2綜上，①②③④都正確，故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，證明△EPF11．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）定義：由n條線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做n邊形．相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角，一邊和它鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做它的外角．為了探究n邊形的外角和與內(nèi)角和的度數(shù)，小華做了以下實(shí)驗(yàn)：取若干張紙片，分別在紙片上畫(huà)出三角形、四邊形、五邊形等，順次延長(zhǎng)各邊得到各個(gè)外角，然后沿著多邊形的邊和延長(zhǎng)線將它剪開(kāi)，將外角拼在一起，觀察圖形，并進(jìn)行推理．（1）實(shí)驗(yàn)操作．

（2）歸納猜想．多邊形三角形四邊形五邊形…n邊形外角和_________________________________…___________內(nèi)角和_________________________________…___________（3）理解應(yīng)用．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的1008倍，它是多少邊形？【答案】（2）見(jiàn)解析；（3）這個(gè)多邊形是二零一八邊形【分析】（2）利用實(shí)驗(yàn)操作探究規(guī)律后即可解決問(wèn)題；（3）構(gòu)建方程，解方程即可解決問(wèn)題；【詳解】（2）解：由實(shí)驗(yàn)操作可知，多邊形三角形四邊形五邊形…n邊形外角和360°360°360°…360°內(nèi)角和180°360°540°…n（3）設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n．由題意（n解得n答：這個(gè)多邊形是二零一八邊形．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)從特殊到一般的探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．12．（2023·吉林松原·三模）知識(shí)呈現(xiàn)：如圖①，在?ABCD中，∠ADC的平分線與AB相交于點(diǎn)E，求證：

知識(shí)應(yīng)用：（1）如圖②，在?ABCD中，點(diǎn)E在CD上，AE、BE分別平分∠BAD、∠ABC，若BC=2.5，BE（2）如圖③，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接AE，作∠AEF=∠【答案】知識(shí)呈現(xiàn)：證明見(jiàn)解析；知識(shí)應(yīng)用：（1）4；（2）4【分析】知識(shí)呈現(xiàn)：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD,知識(shí)應(yīng)用：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB∥CD,AD∥BC，（2）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC延長(zhǎng)線于H，證得ABHF為矩形，得FH=AB=3，AF∥BH，再證明四邊形DCHF為矩形得DF=CH【詳解】知識(shí)呈現(xiàn)：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=∴∠CDE又∵DE是∠ADC∴∠ADE∴∠ADE∴AD=∵AD=∴AE=∴BE+知識(shí)應(yīng)用：（1）如圖②，

∵AE、BE分別平分∠BAD，∠∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥∴∠1=∠5,∴∠2=∠5,∴AD=∴DC=∵AD∥∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠1+2∠3=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠AEB在Rt△ABE中，故答案為：4．（2）如圖③，

過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC延長(zhǎng)線于∴∠H∵四邊形ABCD為矩形，∴∠DAB=∠B=90°，∴∠DAB∴四邊形ABHF為矩形，∴FH=∵∠ADC∴∠FDC∴四邊形DCHF為矩形，∴DF=∵AF∥∴∠1=∠AEB∵∠AEB∴∠1=∠AEH∴AF=設(shè)DF=a，則∴AF=∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE=∴EH=在Rt△EFH中，∴2+a∴a=3∴EH=1+a=4∴cos∠故答案為：45【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形．13．（2023·陜西榆林·三模）在?ABCD中，∠ABC=45°,

(1)如圖1，連接AC，求證：∠BAC(2)如圖2，連接BE，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥BE于點(diǎn)Q，連接①求∠AQB②如圖3，延長(zhǎng)AQ交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，試判斷線段BE與AF有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①45°；②BE=【分析】（1），過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，則△ABM是等腰直角三角形，得出BM=AM=22AB（2）①連接AC，根據(jù)∠BQC=∠BAC=90°，推出A，B，C，Q四點(diǎn)共圓．則∠AQB=∠ACB=45°；②連接EF，得出∠DCF=∠ABC=45°．進(jìn)而得出∠DCF=∠EQF=45°．則C，F(xiàn)，E，Q四點(diǎn)共圓，得出∠CFQ【詳解】（1）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)

∵∠ABC∴△ABM∴BM=∵BC=∴BC=2BM，則∵AM⊥∴AM是BC的垂直平分線，∴AB=∴∠ACB∴∠BAC（2）解：①如圖2，連接AC，

由（1）得∠BAC∵CQ⊥∴∠BQC∴A，B，C，Q四點(diǎn)共圓．∴∠AQB②BE=理由：如圖3，連接EF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥∴∠DCF由①得∠AQE∴∠EQF∴∠DCF∴C，F(xiàn)，E，Q四點(diǎn)共圓．∴∠CFQ由①知A，B，C，Q四點(diǎn)共圓．∴∠CBE∴△CBE∴BEAF∵BC=2AB，由（1∴BEAF∴BE=【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，圓的內(nèi)接四邊形的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握同弧所對(duì)的圓周角相等，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例．考點(diǎn)二特殊四邊形題型01利用矩形的性質(zhì)與判定求解矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.矩形的性質(zhì)：1）矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2）矩形的四個(gè)角都是直角；3）對(duì)角線互相平分且相等；4）矩形既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形.矩形的對(duì)稱中心是矩形對(duì)角線的交點(diǎn)；矩形有兩條對(duì)稱軸，矩形的對(duì)稱軸是過(guò)矩形對(duì)邊中點(diǎn)的直線；矩形的對(duì)稱軸過(guò)矩形的對(duì)稱中心.【推論】1）在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半.2）直角三角形中，30度角所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半.矩形的判定：1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.【解題思路】要證明一個(gè)四邊形是矩形，首先要判斷四邊形是否為平行四邊形，若是，則需要再證明對(duì)角線相等或有一個(gè)角是直角；若不易判斷，則可通過(guò)證明有三個(gè)角是直角來(lái)直接證明．1.對(duì)于矩形的定義要注意兩點(diǎn):a.是平行四邊形;b.有一個(gè)角是直角.2.定義說(shuō)有一個(gè)角是直角的平行四邊形才是矩形,不要錯(cuò)誤地理解為有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形.1．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，矩形BEFG的邊EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且點(diǎn)G在邊AD上，若BG＝4，則BE的長(zhǎng)為（）A．32 B．332 C．6【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AD于點(diǎn)N，由菱形的性質(zhì)得出AB＝BC＝CD＝23，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，由直角三角形的性質(zhì)求出MG＝3，證明△GBM∽△BCE，由相似三角形的性質(zhì)得出BGBC【詳解】解：過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AD于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝BC＝CD＝23，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC∴∠MGN＝90°，∴四邊形GMCN為矩形，∴GM＝CN，在△CDN中，∠D＝60°，CD＝23∴CN＝CD?sin60°＝23∴MG＝3，∵四邊形BEFG為矩形，∴∠E＝90°，BG∥EF，∴∠BCE＝∠GBM，又∵∠E＝∠BMG，∴△GBM∽△BCE，∴BGBC∴42∴BE＝323故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江寧波·中考真題）如圖，以鈍角三角形ABC的最長(zhǎng)邊BC為邊向外作矩形BCDE，連結(jié)AE,AD，設(shè)△AED，△ABE，△ACD的面積分別為S,

A．△ABE的面積 B．△ACD的面積 C．△ABC的面積 D【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)A作FG∥BC，交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，易得：FG=BC,AF⊥【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作FG∥BC，交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，DC

∵矩形BCDE，∴BC⊥∴FG⊥∴四邊形BFGC為矩形，∴FG=∴S1∴S1又S=∴S-∴只需要知道△ABC的面積即可求出S故選C．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，求三角形的面積．解題的關(guān)鍵是得到S3．（2023·江西·中考真題）如圖，在?ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°<α<360°）得到AP，連接PC

【答案】90°或270°或180°【分析】連接AC，根據(jù)已知條件可得∠BAC【詳解】解：連接AC，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，如圖所示，

∵在?ABCD中，∠∴BE=∴△ABE∴∠BAE=∠AEB∴AE∴∠EAC∴∠∴AC⊥如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，此時(shí)∠BAP=∠BAC=90°，則旋轉(zhuǎn)角

當(dāng)點(diǎn)P在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示，則α

當(dāng)P在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為180°，如圖所示，∵PA=PB=∴四邊形PACD是平行四邊形，∵AC∴四邊形PACD是矩形，∴∠即△PDC是直角三角形，

綜上所述，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為90°或270°或180°故答案為：90°或270°或180°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·四川雅安·中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=90°,AC=BC=6．P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D

【答案】3【分析】連接CP，利用勾股定理列式求出AB，判斷出四邊形CDPE是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等可得DE=CP，再根據(jù)垂線段最短可得CP⊥【詳解】解：如圖，連接CP，

∵∠C∴AB=∵PD⊥BC于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)∴四邊形CDPE是矩形，∴DE=由垂線段最短可得CP⊥AB時(shí)，線段CP的值最小，此時(shí)線段此時(shí)，S△代入數(shù)據(jù)：12∴CP=3∴DE的最小值為32故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，勾股定理，判斷出CP⊥AB時(shí)，線段題型02與矩形（或正方形）有關(guān)的折疊問(wèn)題矩形的折疊問(wèn)題的常用解題思路：1）對(duì)折疊前后的圖形進(jìn)行細(xì)致分析，折疊后的圖形與原圖形全等，對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等，找出各相等的邊或角；2）折痕可看作角平分線（對(duì)稱線段所在的直線與折痕的夾角相等）．3)折痕可看作垂直平分線（互相重合的兩點(diǎn)之間的連線被折痕垂直平分）.4）選擇一個(gè)直角三角形(不找以折痕為邊長(zhǎng)的直角三角形)，利用未知數(shù)表示其它直角三角形三邊，通過(guò)勾股定理/相似三角形知識(shí)求解.1．（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某位同學(xué)進(jìn)行了如下操作：第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形ABEF，然后把紙片展平；第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)F處，得到折痕MN，如圖②．根據(jù)以上的操作，若AB=8，AD=12，則線段BM的長(zhǎng)是（

A．3 B．5 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得：AB=AF=BE=8，F(xiàn)D=EC=4，F(xiàn)N=CN，設(shè)【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AD，交AD于點(diǎn)

∵∠DFN+∠∴∠∵∠在△MFH和△∠∴△∴∵∴設(shè)DN=x，則∴FN2解得：x=3∴DN=3，CN∴MFFN∴MF∴MC∵AD∴BM故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查折疊問(wèn)題及矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)并能熟練運(yùn)用勾股定理方程思想是解題的關(guān)鍵．2．（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=6，BC=6．點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為邊AD上一點(diǎn)，將四邊形ABEF沿EF折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A'，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'，過(guò)點(diǎn)B'作B'H⊥

【答案】3+3或【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，設(shè)B'E交AD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AD于點(diǎn)M，則四邊形ABEM為矩形AB=ME=6，AM=BE=3，由折疊可知BE=B'E=3，∠BEF=∠B'EF，由平行線的性質(zhì)可得∠GFE=∠BEF，于是∠GFE=∠B'EF，F(xiàn)G=EG，利用勾股定理求得EH=1，證明△EMG∽△B'HE，利用相似三角形的性質(zhì)求得EG=332【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，如圖，設(shè)B'E交AD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥則∠AME∵點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，∴BE∵四邊形ABCD為矩形，BC=6∴AD=BC=6，∴∠AME∴四邊形ABEM為矩形，∴AB=ME由折疊可知，BE=B'∵AD∴∠GFE∴∠GFE=∠B∴FG∵B∴∠B在Rt△B'∵M(jìn)E⊥BC∴∠EMG∵AD∴∠EGM∴△EMG∴EMB'H∴EG=3∴FM∴AF∴FD當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E右側(cè)時(shí)，如圖，設(shè)B'F交BC于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F作FK⊥同理可得：B'E=3，F(xiàn)P=EP，四邊形KCDF在Rt△B'∵△B∴B'EFP∴FP=3∴EK∴DF綜上，F(xiàn)D的長(zhǎng)是3+3或3-故答案為：3+3或3-【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．3．（2022·河南·中考真題）綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)操作判斷操作一：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，寫出圖1中一個(gè)30°的角：______．(2)遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過(guò)程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長(zhǎng)PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改變點(diǎn)P在AD上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)拓展應(yīng)用在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8cm，當(dāng)FQ＝1cm時(shí)，直接寫出AP的長(zhǎng)．【答案】(1)∠BME或∠ABP或∠(2)①15，15；②∠MBQ(3)AP=4011【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，得BE=12BM，結(jié)合矩形的性質(zhì)得（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)，可證RtΔ（3）由（2）可得QM=QC，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的下方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的上方時(shí)，設(shè)AP=PM=x，【詳解】（1）解：∵∴∵∠BEM=90°，sin∠BME∴∠∴∠∵∠∴∠（2）∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°由折疊性質(zhì)得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°∴BM=BC①∵∴Rt∴∠∵∠∴∠②∵∴∴∠（3）當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的下方時(shí)，如圖，∵∴QC=CD-DF-FQ由（2）可知，QM設(shè)AP∴P即8-解得：x∴AP=當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的上方時(shí)，如圖，∵∴QC=5cm，DQ由（2）可知，QM設(shè)AP∴P即8-解得：x∴AP=【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形與折疊，正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的全等，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇·中考真題）綜合與實(shí)踐定義：將寬與長(zhǎng)的比值為22n+1-1（1）概念理解：當(dāng)n=1時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過(guò)的黃金矩形，它的寬（AD）與長(zhǎng)CD的比值是_________（2）操作驗(yàn)證：用正方形紙片ABCD進(jìn)行如下操作（如圖（2））：第一步：對(duì)折正方形紙片，展開(kāi)，折痕為EF，連接CE；第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，展開(kāi)，折痕為CG；第三步：過(guò)點(diǎn)G折疊紙片，使得點(diǎn)A、B分別落在邊AD、試說(shuō)明：矩形GDCK是1階奇妙矩形．

（3）方法遷移：用正方形紙片ABCD折疊出一個(gè)2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫(huà)出折疊示意圖并作簡(jiǎn)要標(biāo)注．（4）探究發(fā)現(xiàn)：小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)n階奇妙矩形都可以通過(guò)折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點(diǎn)E為正方形ABCD邊AB上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接CE，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形AGHE的周長(zhǎng)與矩形GDCK的周長(zhǎng)比值總是定值．請(qǐng)寫出這個(gè)定值，并說(shuō)明理由．【答案】（1）5-12；（2）見(jiàn)解析；（3【分析】（1）將n=1代入2（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得AE=EB=1，設(shè)DG=x（3）仿照（2）的方法得出2階奇妙矩形．（4）根據(jù)（2）的方法，分別求得四邊形AGHE的周長(zhǎng)與矩形GDCK的周長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，2故答案為：5-（2）如圖（2），連接EG，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得AE設(shè)DG=x根據(jù)折疊，可得GH=GD=在Rt△BEC中，∴EH=在Rt△A∴2-解得：x∴GD∴矩形GDCK是1階奇妙矩形．（3）用正方形紙片ABCD進(jìn)行如下操作（如圖）：第一步：對(duì)折正方形紙片，展開(kāi)，折痕為MN，再對(duì)折，折痕為EF，連接CE；第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，展開(kāi)，折痕為CG；第三步：過(guò)點(diǎn)G折疊紙片，使得點(diǎn)A、B分別落在邊AD、矩形GDCK是2階奇妙矩形，

理由如下，連接GE，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4，根據(jù)折疊可得EB=1，則AE=4-1=3

設(shè)DG=x根據(jù)折疊，可得GH=GD=在Rt△BEC中，∴EH=在Rt△A∴4-解得：x∴GD當(dāng)n=2時(shí)，∴矩形GDCK是2階奇妙矩形．（4）如圖（4），連接誒GE，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，設(shè)EB=m，則AE

設(shè)DG=x根據(jù)折疊，可得GH=GD=在Rt△BEC中，∴EH=在Rt△A∴1-整理得，x∴四邊形AGHE的邊長(zhǎng)為1-x+矩形GDCK的周長(zhǎng)為2GD∴四邊形AGHE的周長(zhǎng)與矩形GDCK的周長(zhǎng)比值總是定值1【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的折疊問(wèn)題，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型03根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問(wèn)題1．（2021·山東泰安·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BD的中點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：①AM=CN；②若MD=AM，∠A=90°，則BM=CM；③若MD=2AM，則S△A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】依次分析各選項(xiàng)，進(jìn)行推理論證即可；其中①可通過(guò)證明△DME≌△BNEAAS，進(jìn)一步轉(zhuǎn)換后可以得到結(jié)論，②可先得到該平行四邊形是矩形，利用矩形的性質(zhì)等得到MN垂直平分BC，即可完成求證，③可以先證明兩個(gè)三角形的共線邊上的高的關(guān)系，再利用三角形面積公式即可完成證明，④可以先證明【詳解】解：∵平行四邊形ABCD中，E是BD的中點(diǎn)，∴BE=DE，AD//∴∠MDE=∠NBE∴△DME∴DM=∴AM=故①正確；若∠A則平行四邊形ABCD是矩形，由矩形的對(duì)角線相等，而點(diǎn)E是矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)可知，E點(diǎn)到B、C兩點(diǎn)的距離相等，∴E點(diǎn)在BC的垂直平分線上，由MD=AM，可得BN=所以N點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，∴MN垂直平分BC，∴BM=故②正確；若MD=2AM，則BN=2如圖1，分別過(guò)D、E兩點(diǎn)向BC作垂線，垂足分別為Q點(diǎn)和P點(diǎn)，∵E點(diǎn)是BD中點(diǎn)，∴DQ=2EP，∵S△S∴S△故③正確；若AB=因?yàn)锳B=所以DC=分別過(guò)N、C兩點(diǎn)向AD作垂線，垂足分別為H、K，由平行線間的距離處處相等可知：NH=CK，∴Rt△∴∠NMD∴△MND∴∠MND又∵∠NFM∴△MNF故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與性質(zhì)，能熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行角或邊之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化等，本題對(duì)推理分析能力要求較高，屬于中等難度偏上的題目，對(duì)學(xué)生的綜合分析能力有一定的要求．2．（2023·北京·中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C在同一條線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間，點(diǎn)D，E在直線AC同側(cè)，AB<BC，∠A=∠C=90°，△EAB≌△BCD，連接DE，設(shè)AB=a，BC

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】如圖，過(guò)D作DF⊥AE于F，則四邊形ACDF是矩形，則DF=AC=a+b，由DF<DE，可得a+b<c，進(jìn)而可判斷①的正誤；由△EAB≌△BCD，可得BE=BD，CD=AB=a，【詳解】解：如圖，過(guò)D作DF⊥AE于F，則四邊形ACDF

∴DF=∵DF<∴a+b<∵△EAB∴BE=BD，CD=AB=∵∠CBD∴∠CBD+∠ABE∴△BDE由勾股定理得，BE=∵AB+∴a+b>由勾股定理得DE2=∴c=2×故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．3．（2022·貴州黔西·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A在第一象限，B，D分別在y軸上，AB交x軸于點(diǎn)E，AF⊥x軸，垂足為F．若OE=3，EF①OA=3AF；②AE平分∠OAF；③點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-4,-2)；④BD=63A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定得出△EOB∽△EFA，利用相似三角形的性質(zhì)及已知OE，EF的值即可判斷結(jié)論①；由①分析得出的條件，結(jié)合相似三角形、矩形的性質(zhì)（對(duì)角線）即可判斷結(jié)論②；根據(jù)直角坐標(biāo)系上點(diǎn)的表示及結(jié)論①OA=3AF，利用勾股定理建立等式求解可得點(diǎn)A坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)得出點(diǎn)D坐標(biāo)，即可判斷結(jié)論③；由③可知AF=2，進(jìn)而得出OA的值，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可判斷結(jié)論④【詳解】解：∵矩形ABCD的頂點(diǎn)A在第一象限，AF⊥x軸，垂足為∴∠EOB=∠EFA=90°,∵∠AEF∴△EOB∵OE=3，∴EFEO=AFOB∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA∴∠OAB∴AE平分∠OAF．（②∵OF∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4．∵OA∴9AF2∴AF=2，點(diǎn)A∴A∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴C(-4,-2∵OA∴BD=OD∵S∴S矩形ABCD∴結(jié)論正確的共有4個(gè)符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查矩形與坐標(biāo)的綜合應(yīng)用．涉及矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角坐標(biāo)系上點(diǎn)的表示，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，三角形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)．矩形的對(duì)角線相等且互相平分；兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似；相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)P(x,y4．（2021·四川雅安·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BF交AC于點(diǎn)N．交AB于點(diǎn)E，連接FN，EM．有下列結(jié)論：①四邊形NEMF為平行四邊形，②DN2=MC?NC；③△DNF【答案】①②④．【分析】通過(guò)全等三角形的判定和性質(zhì)，證明EN=FM，EN∥FM，判斷結(jié)論①；通過(guò)證明△AMB∽△BMC，然后利用全等三角形和相似三角形的性質(zhì)判斷結(jié)論②；假設(shè)結(jié)論成立，找出與題意的矛盾之處，判斷結(jié)論③，結(jié)合等腰三角形的判定和性質(zhì)求得DE=BE，可得結(jié)論④【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，CD∥AB∴∠DAN=∠BCM，∵BF⊥AC，DE∥BF，∴DE⊥AC，∴∠DNA=∠BMC=90°，在△ADN和△CBM中，∠∴△ADN≌△CBM，∴DN=BM，又∵DF∥BE，DE∥BF，∴四邊形DFBE是平行四邊形，∴DE=BF，∴DE-DN=BF-BM，即EN=FM，∵NE∥FM，∴四邊形NEMF是平行四邊形，故①正確，∵△ADN≌△CBM，∴AN=CM，∴CN=AM，∵∠AMB=∠BMC=∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBM=90°，∠CBM+∠BCM=90°，∴∠ABM=∠BCM，∴△AMB∽△BMC，∴ABBM∵DN=BM，AM=CN，∴DN2=CM?CN，故②正確，若△DNF是等邊三角形，則∠CDN=60°，即∠ACD=30°，不符合題意，故③錯(cuò)誤，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OD，∵AO=AD，∴AO=AD=OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠ADO=∠DAN=60°，∴∠ABD=90°-∠ADO=30°，∵DE⊥AC，∴∠ADN=ODN=30°，∴∠ODN=∠ABD，∴DE=BE，∵四邊形DEBF是平行四邊形，∴四邊形DEBF是菱形；故④正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．題型04矩形與函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題1．（2023·浙江紹興·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一個(gè)圖形上的點(diǎn)都在一邊平行于x軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)y=(x-2)20≤x≤3的圖象（拋物線中的實(shí)線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形

【答案】712或【分析】根據(jù)題意求得點(diǎn)A3,0，B3,4，【詳解】由y=(x-2)∴C0,4∵A3,0，四邊形ABCO∴B3,4①當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)O，B時(shí)，將點(diǎn)0,0，B3,4∴c解得：b②當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,C時(shí)，將點(diǎn)A3,0,C∴c解得：b綜上所述，b=712故答案為：712或-【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，理解新定義，最小矩形的限制條件是解題的關(guān)鍵．2．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形AOCB的邊OC在x軸上，∠AOC=60°，OC的長(zhǎng)是一元二次方程x2-4x-12=0的根，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，交對(duì)角線OB于點(diǎn)D，直線AD分別交x軸和y軸于點(diǎn)F和點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)F以每秒

(1)求直線AD的解析式．(2)連接MN，求△MDN的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(3)點(diǎn)N在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q．使得以A，C，N，Q為項(xiàng)點(diǎn)的四邊形是矩形．若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)y=-(2)S=(3)存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是32,3【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OC于H，解方程可得OC=6，然后解直角三角形求出CD、OH和AH的長(zhǎng)，得到點(diǎn)（2）首先證明△EOD是等邊三角形，求出DO=DF=43，然后分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)N在DF上，即0≤t≤23時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作NP⊥OB于P，②當(dāng)點(diǎn)N在DE上，即23（3）分情況討論：①當(dāng)AN是直角邊時(shí)，則CN⊥EF，過(guò)點(diǎn)N作NK⊥CF于K，首先求出CN，然后解直角三角形求出CK和NK，再利用平移的性質(zhì)得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②當(dāng)AN是對(duì)角線時(shí)，則∠ACN=90°，過(guò)點(diǎn)N作NL⊥CF于L，證明【詳解】（1）解：解方程x2-4x-∴OC=6∵四邊形AOCB是菱形，∠AOC∴OA=OC=6∴CD=∴D6,2過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OC于∵∠AOH∴OH=12∴A3,3設(shè)直線AD的解析式為y=代入A3,33，D6,2解得：k=-∴直線AD的解析式為y=-

（2）解：由（1）知在Rt△COD中，CD=2∴OD=2CD=4∵直線y=-33x+4∴OE=4∴OE=∴△EOD∴∠OED=∠EDO∴∠OFE∴DO=①當(dāng)點(diǎn)N在DF上，即0≤t由題意得：DM=OD-過(guò)點(diǎn)N作NP⊥OB于則NP=∴S=

②當(dāng)點(diǎn)N在DE上，即23由題意得：DM=OD-過(guò)點(diǎn)N作NT⊥OB于則NT=∴S=綜上，S=

（3）解：存在，分情況討論：①如圖，當(dāng)AN是直角邊時(shí)，則CN⊥EF，過(guò)點(diǎn)N作NK⊥∵∠NFC=30°，∴∠NCK=60°，∴CF=12-6=6∴CN=∴CK=CN?∴將點(diǎn)N向左平移32個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移332∴將點(diǎn)A向左平移32個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移332∵A3,3∴Q3

②如圖，當(dāng)AN是對(duì)角線時(shí)，則∠ACN=90°，過(guò)點(diǎn)N作NL⊥∵OA=OC，∴△AOC∴∠ACO∴∠NCF∴CL=∴NL=∴將點(diǎn)C向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)N，∴將點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)Q，∵A3,3∴Q6,4∴存在一點(diǎn)Q，使得以A，C，N，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是32,3

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，待定系數(shù)法的應(yīng)用，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)以及平移的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用各知識(shí)點(diǎn)，作出合適的輔助線，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．3．（2023·貴州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象分別與AB,BC交于點(diǎn)D

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)若一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象相交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M【答案】(1)反比例函數(shù)解析式為y=4(2)-【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC∥OA，AB⊥OA，再由D4,1是AB的中點(diǎn)得到B（2）求出直線y=x+m恰好經(jīng)過(guò)D和恰好經(jīng)過(guò)【詳解】（1）解：∵四邊形OABC是矩形，∴BC∥∵D4,1是AB∴B4∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為2，∵反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象分別與AB∴1=k∴k=4∴反比例函數(shù)解析式為y=在y=4x中，當(dāng)y∴E2（2）解：當(dāng)直線y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)E2當(dāng)直線y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)D4∵一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象相交于點(diǎn)M∴-3≤【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，矩形的