高一寒假(清北班)材料1(函數(shù)的周期性)

...wd......wd......wd...專題一：函數(shù)的周期性〔一〕函數(shù)的周期性對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有，那么為周期函數(shù)，為這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期。假設(shè)為一個(gè)周期，那么也為周期。假設(shè)周期函數(shù)的正周期中有一個(gè)最小者，這個(gè)周期就叫最小正周期?！?〕函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，那么是的一個(gè)周期。證明：因?yàn)椋?，，所以是以為周期的周期函?shù)?！?〕函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，那么是的一個(gè)周期。證明：因?yàn)?，令，那么，于是?duì)于恒成立，所以是以為周期的周期函數(shù)?！?〕函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，那么是的一個(gè)周期。證明：由，所以是以為周期的周期函數(shù)?！?〕函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，那么是的一個(gè)周期。證明：由，于是，所以是以為周期的周期函數(shù)。如：還有“〞、“〞等也是周期函數(shù)?！捕澈瘮?shù)的對(duì)稱性與周期性及關(guān)系：〔1〕函數(shù)對(duì)于定義域上的任意，如果都有或，那么函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，反之也成立?！?〕函數(shù)對(duì)于定義域上的任意，如果都有或，那么函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，反之也成立。〔3〕一般地，函數(shù)有兩種及以上的對(duì)稱性時(shí)，那么函數(shù)是周期函數(shù)。〔詳見補(bǔ)充中的定理3〕如：函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有且，那么是的一個(gè)周期。證明：不妨設(shè)，于是，∴是的一個(gè)周期；當(dāng)時(shí)同理可得。所以，是的周期。補(bǔ)充：定理1：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的充要條件是。證明：〔必要性〕設(shè)點(diǎn)是圖象上任一點(diǎn)，∵點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在圖象上，∴，即，故，必要性得證?！渤浞中浴吃O(shè)點(diǎn)是圖象上任一點(diǎn)，那么，∵，∴，即。故點(diǎn)也在圖象上，而點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，充分性得征。推論：函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的充要條件是。定理2：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱的充要條件是，即?！沧C明留給讀者〕推論：函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱的充要條件是。定理3：①假設(shè)函數(shù)圖象同時(shí)關(guān)于點(diǎn)和點(diǎn)成中心對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，且是其一個(gè)周期。②假設(shè)函數(shù)圖象同時(shí)關(guān)于直線和直線成軸對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，且是其一個(gè)周期。③假設(shè)函數(shù)圖象既關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱又關(guān)于直線成軸對(duì)稱，那么是周期函數(shù)，且是其一個(gè)周期。①的證明留給讀者，②已證明，以下給出③的證明：∵函數(shù)圖象既關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，∴，用代得：…………〔*〕又∵函數(shù)圖象直線成軸對(duì)稱，∴代入〔*〕得：…………〔**〕，用代得代入〔**〕得：，故是周期函數(shù)，且是其一個(gè)周期。1．函數(shù)的周期性：例1．是實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且對(duì)任意恒成立?！?〕求證：是周期函數(shù)；〔2〕，求的值。變式訓(xùn)練〔1〕設(shè)偶函數(shù)對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，，那么的值是〔〕〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕〔2〕，定義，那么〔〕A．B．C．D．2．函數(shù)奇偶性、周期性、對(duì)稱性與綜合應(yīng)用：例2．〔1〕定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，且，那么的值為〔〕 A． B． C．0 D．1〔2〕是定義在上的且以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，如果直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的值是〔〕A.B.C.或D.以上答案都不對(duì)〔3〕函數(shù)是定義域?yàn)榈闹芷跒榈钠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，那么方程在區(qū)間上的解的個(gè)數(shù)是?！?〕定義在R上的偶函數(shù)滿足：①對(duì)任意都有成立；②；③當(dāng)且時(shí)，都有．那么：〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕假設(shè)方程在區(qū)間上恰有３個(gè)不同實(shí)根，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是________。例3．設(shè)函數(shù)在上滿足，且在閉區(qū)間上，只有?！?〕試判斷函數(shù)的奇偶性；〔2〕試求方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。例4．函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且它的圖象關(guān)于直線對(duì)稱?！?〕求的值；〔2〕證明函數(shù)是周期函數(shù)；〔3〕假設(shè)，求時(shí)，函數(shù)的解析式，并畫出滿足條件的函數(shù)至少一個(gè)周期的圖象。例5．函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立。當(dāng)時(shí)，。〔1〕求時(shí)，函數(shù)的表達(dá)式；〔2〕求時(shí)，函數(shù)的表達(dá)式；〔3〕假設(shè)函數(shù)的最大值為，解關(guān)于的不等式。例6．設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，假設(shè)對(duì)任何實(shí)數(shù)以及中的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)恒有那么稱為定義在上的“函數(shù)〞.〔1〕試判斷函數(shù)是否為各自定義域上的函數(shù)，并說明理由；〔2〕假設(shè)是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，且最小正周期為，試證明不是上的函數(shù).課后作業(yè)1．設(shè)是上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，那么〔〕A.B.C.D.2．函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，且，那么＝__________。3．設(shè)f〔x〕是R上的奇函數(shù)，它在[-1，0]上是增函數(shù)，且，那么〔〕A．＜f〔1〕＜B．＜f〔1〕＜C．＜＜f〔1〕D．＜＜f〔1〕4.定義在上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，是它的一個(gè)正周期。假設(shè)將方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)記為，那么可能為〔〕A.0 B.1 C.3 D.55．是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，設(shè)那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕6.〔安徽卷〕函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，假設(shè)那么_______________。7．是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，那么與的大小關(guān)系是____________________。8．是定義在R上的函數(shù)，且，假設(shè)，那么的值為__________________。9．函數(shù)是上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)∈〔0，3〕時(shí)，那么當(dāng)∈〔，〕時(shí)，=〔〕A.B.C.D.10．假設(shè)存在常數(shù)，使得函數(shù)滿足，那么的一個(gè)正周期為_____。11．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且,那么f(2006)=__________。12．〔08四川〕設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，假設(shè)，那么〔〕A．13 B．2 C． D．13.在上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且，假設(shè)在區(qū)間上是減函數(shù)，那么〔〕Ａ.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)Ｂ.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)Ｃ.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)Ｄ.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)14．定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，且，那么的值為〔〕A． B． C．0 D．115．函數(shù)〔xR〕滿足，且x[-1，1]時(shí)，,那么與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為〔〕A．2B．3C．4D．516．定義在R上的奇函數(shù)f(x)以4為周期，那么的值為____.17.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且,當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，，那么_________。18.設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(－∞,＋∞)上以2為周期的函數(shù),對(duì)k∈Z,用表示區(qū)間(2k－1,2k+1],x∈時(shí)，，求f(x)在上的解析式。課后作業(yè)答案1．2．周期為8，故。3．D4.Ｄ提示：，，故。5．D提示：是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，<0，∴，選D。6.解：由得，所以，那么。7．提示：∵在上是偶函數(shù)，且，∴，∴，∴是以2為周期的偶函數(shù)，∴,。又∵在(0.1)上是增函數(shù)，0.1與0.2且,∴，∴。8.解：，即函數(shù)的周期為8，故。9.B10．提示：令，依題意有，此式對(duì)任意都成立，而>0且為常數(shù)，因此，說明是一個(gè)周期函數(shù)，為最小正周期。11．12．C13.Ｂ 14．D15