北師大版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(一)用勾股定理解決最短路徑問題課件

用勾股定理解決最短路徑問題專項(xiàng)素養(yǎng)綜合全練(一)類型一平面上的最短路徑問題1.如圖,在△ABC中,有一點(diǎn)P在線段AC上移動(dòng),若AB=AC=10,

BC=12,則BP的最小值為

(

)

A.10

B.12

C.9.6

D.8

C解析如圖,作AD⊥BC,垂足為D,∵AB=AC,BC=12,∴BD=CD=6.在Rt△ABD中,AD2=AB2-BD2=102-62=64,∴AD=8.當(dāng)BP⊥AC時(shí),BP最短,由S△ABC=

BC·AD=

AC·BP,得BP=

=9.6.故選C.2.如圖,要在河邊l上修建一個(gè)水泵站,分別向A村和B村送水,

已知A村、B村到河邊的距離分別為1km和3km,且C、D相

距3km,則鋪水管的最短長(zhǎng)度是

(

)

A.5kmB.4kmC.3kmD.6kmA解析如圖,作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A',連接BA'與直線l交

于點(diǎn)P,連接AP,此時(shí)PA+PB的值最小.作A'E∥l,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則BE⊥A'E,

在Rt△A'BE中,∵A'E=3km,BE=1+3=4(km),∴A'B2=A'E2+BE2=32+42=25,∴A'B=5km,∵PA+PB=PA'+PB=A'B=5km,∴PA+PB的最小值為5km,即鋪水管的最短長(zhǎng)度是5km.3.如圖,在正方形ABCD中,AB邊上有一點(diǎn)E,AE=3,EB=1,在AC

上有一點(diǎn)P,使EP+BP的值最小,求EP+BP的最小值.

解析如圖,連接BD交AC于點(diǎn)O,連接ED與AC交于點(diǎn)P,連接

BP,此時(shí)EP+BP的值最小.易知B、D關(guān)于直線AC對(duì)稱,∴BP=PD,∴EP+BP=EP+PD=ED.在Rt△ADE中,AE=3,AD=AB=1+3=4,由勾股定理得ED2=32+42=25=52,∴ED=5,∴EP+BP的最小值為5.類型二幾何體上的最短路徑問題4.(2022河南鄭州四中第一次月考)如圖,透明的圓柱形玻璃

容器(容器厚度忽略不計(jì))的高為16cm,在容器內(nèi)壁離容器底

部4cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜,此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁,

位于離容器上沿4cm的點(diǎn)A處,若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最

短路程為20cm,則該圓柱的底面周長(zhǎng)為(

)

A.12cmB.14cmC.20cmD.24cmD解析如圖,將容器側(cè)面展開,則EG為上底面圓周長(zhǎng)的一半,

作A關(guān)于直線EG的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'B交EG于F,連接AF,則螞

蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路程為AF+BF的長(zhǎng),即A'F+BF=A'B

=20cm,

過A'作A'D⊥BG交BG的延長(zhǎng)線于D,∵AE=A'E=DG=4cm,BG=16-4=12cm,∴BD=16cm,在Rt△A'DB中,由勾股定理得A'D2=A'B2-BD2=202-162=144,∴A'D=12cm,∴該圓柱的底面周長(zhǎng)為24cm.5.如圖,圓柱高為7cm,底面周長(zhǎng)為48cm,在圓柱的側(cè)面上,過

點(diǎn)A和點(diǎn)C嵌有一圈金屬絲,則這圈金屬絲的長(zhǎng)最小為

(

)

A.25cmB.48cmC.50cmD.56cmC解析如圖,把圓柱的側(cè)面展開,得到矩形,則這圈金屬絲的

長(zhǎng)最小為2AC的長(zhǎng)度.∵圓柱底面的周長(zhǎng)為48cm,圓柱高為7cm,∴AB=7cm,BC=BC'=24cm,∴AC2=AB2+BC2=72+242=625=252,∴AC=25cm,∴這圈金屬絲的長(zhǎng)最小為2AC=50cm.故選C.6.如圖所示的是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階,它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分

別是50cm、30cm、10cm,A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的

頂點(diǎn),A點(diǎn)有一只壁虎,它想到B點(diǎn)去吃可口的食物,則這只壁

虎從A點(diǎn)出發(fā),沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn),至少需爬

(

)

A.13cmB.40cmC.130cmD.169cmC解析將臺(tái)階面展開,連接AB,如圖,線段AB即為這只壁虎所

爬的最短路線.由題意知BC=30×3+10×3=120(cm),AC=50cm,在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理,得AB2=AC2+BC2=16900,所以

AB=130cm.所以這只壁虎至少需爬130cm.7.如圖,長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為1cm的正方形,長(zhǎng)方體的高為

3cm.如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)