全國各地中考數(shù)學真題分類匯編：第13章二次函數(shù)

第13章二次函數(shù)

-、選擇題

1.（2011山東濱州，7，3分）拋物線y=（x+2）~—3可以由拋物線y^x2平移得到，則下

列平移過程正確的是（）

A.先向左平移2個單位，再向上平移3個單位

B.先向左平移2個單位，再向下平移3個單位

C.先向右平移2個單位，再向下平移3個單位

D.先向右平移2個單位，再向上平移3個單位

【答案】B

【答案】D

2.（2011廣東廣州市，5，3分）下列函數(shù)中，當x>0時y值隨x值增大而減小的是（）?

31

A-y=2B?y=x—1OyxD-y=-

【答案】D

（x-1）2-l（xW3）

3.（2011湖北鄂州，15，3分）已知函數(shù)y={,則使y=k成立的x值

（x-5）-1（^>3）

恰好有三個，則k的值為（）

A-0B-1C-2D-3

4.（2011山東德州6,3分）已知函數(shù)y=（x-a）（x-Z?）（其中。>人）的圖象

如下面右圖所示,則函數(shù)y=ax+b的圖象可能正確的是

第6題圖

【答案】D

5.（2011山東荷澤18，3分）如圖為拋物線y=ax2++c的圖像，A、B、C為拋物線

與坐標軸的交點，J.OA=OC=\'則下列關系中正確的是

A?H+力一1B?a-tr—\C?b<2aD?ac<0

【答案】B

6.（2011山東泰安，20，3分）若二次函數(shù)產w/A&x+c的x與p的部分對應值如下表：

X-7-6-5-4-3-2

y-27-13-3353

則當右1時，p的值為

A.5B.-3C.-13D.-27

【答案】D

7.（2011山東威海，7，3分）二次函數(shù)丁=7一2》一3的圖象如圖所示?當y<0時，自

變量x的取值范圍是（）?

A-—1<x<3B-x<-1C-x>3D?x<—1或x>3

8.（2011山東煙臺，10,4分）如圖，平面直角坐標系中，兩條拋物線有相同的對稱軸，則

下列關系正確的是（）

A?m=n'k>hB?m=n，k<h

9.（2011浙江溫州，9，4分）已知二次函數(shù)的圖象（0WxW3）如圖所示-關于該函數(shù)在所

給自變量取值范圍內，下列說法正確的是（）

A?有最小值0，有最大值3B?有最小值一1，有最大值0

C,有最小值一1，有最大值3D,有最小值一1，無最大值

（第9題圖）

【答案】D

10.（2011四川重慶，7，4分）已知拋物線『=2?+必+8。/0）在平面直角坐標系中的位

置如圖所示'則下列結論中正確的是（）

力<0C?c<0D-H+Z?+C>0

11.（2011臺灣臺北，6）若下列有一圖形為二次函數(shù)2/-8^+6的圖形，則此圖為何?

【答案】A

12.（2011臺灣臺北，32）如圖（十四），將二次函數(shù),=31工2_999工+892的圖形畫在坐

標平面上，判斷方程

式3b?—999x+892=0的兩根，下列敘述何者正確？

A?兩根相異，且均為正根B?兩根相異，且只有一個正根

C-兩根相同，且為正根D?兩根相同，且為負根

【答案】A

13.（2011臺灣全區(qū)，28）圖（十二）為坐標平面上二次函數(shù)y=ax~+bx+c的圖形>且

此圖形通（一1,

1）、（2,-1）兩點?下列關于此二次函數(shù)的敘述，何者正確？

A?y的最大值小于0B?當x=0時，y的值大于1

C,當x=\時，y的值大于1D?當x=3時，/的值小于0

【答案】D

14.（2011甘肅蘭州，5，4分）拋物線丁=爐—2x+l的頂點坐標是

A-（1，0）B-（―1，0）C-（―2，1）D-（2，—1）

【答案】A

15.（2011甘肅蘭州，9，4分）如圖所示的二次函數(shù)丁=。必+法+。的圖象中,劉星同學

觀察得出了下面四條信息：（1）4ac>0;（2）c>l；（3）2a一伙0；（4）a+〃c<0。

你認為其中錯接的有

A?2個B?3個04個D―1個

【答案】D

16.（2011江蘇宿遷，8,3分）已知二次函數(shù)y=ax+bx+c（aWO）的圖象如圖>則下列結

論中正確的是（▲）

A?a>0B?當x>1時，y隨x的增大而增大

C?c<0D?3是方程ax2+Z?x+c=0的一個根

【答案】D

17.（2011山東濟寧，8，3分）已知二次函數(shù)丫=。/+6%+。中，其函數(shù)y與自變量x

之間的部分對應值如下表所示：

x……01234

y……41014

點H（%，%）、6（々，為）在函數(shù)的圖象上，則當1<為<2,3<々<4時，斗與當

的大小關系正確的是

A?%〉%B?%<%C?為2%D%

【答案】B

18.（2011山東聊城，9，3分）下列四個函數(shù)圖象中，當x<0時，函數(shù)值y隨自變量x的

增大而減小的是（）

【答案】D

19.（2011山東濰坊,12，3分）已知一元二次方程+6x+c=0（a〉0）的兩個實數(shù)根

%、々滿足%+0=4和xj%=3，那么二次函數(shù)y=以？+bx+c（a〉0）的圖象有

可能是（）

【答案】C

20,(2011四川廣安，10，3分)若二次函數(shù)y=(x-m)2-1?當xW1時，y隨x的增

大而減小，則心的取值范圍是()

A?m=\B?m>\C-m^\D?aW1

【答案】C

21.(2011上海，4，4分)拋物線p=—(x+2)2—3的頂點坐標是()?

(A)(2>-3)；(B)(—2,3)；(C)(2,3)；(D)(-2>-3)-

【答案】D

22.(2011四川樂山5，3分)將拋物線>向左平移2個單位后，得到的拋物線的解

析式是

A-y--(x+2)2B-y--x2+2C-y--(x-2)2D-y--x2-2

【答案】A

23.(2011四川涼山州，12，4分)二次函數(shù)y-ax1+6x+c的圖像如圖所示‘反比列函

數(shù)丫=幺與正比列函數(shù)y=法在同一坐標系內的大致圖像是()

x

【答案】B

24.(2011安徽蕪湖，10,4分)二次函數(shù)了=以2+法+。的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)

y二色與一次函數(shù)y=Zzx+c在同一坐標系中的大致圖象是().

x

25.（2011江蘇無錫，9，3分）下列二次函數(shù)中，圖象以直線萬=2為對稱軸，且經過點

（0，1）的是（）

A?y=（x-2）2+1B?y=（x+2）2+1

C?y=（x-2y-3D?y=（x+2）z-3

【答案】C

26.（2011江蘇無錫，10，3分）如圖，拋物線y=/+1與雙曲線了="的交點A的橫

X

坐標是1，則關于x的不等式5+/+1<0的解集是（）

A?x>lB-jr<-1C-0<<1D--1<jr<0

（第io題）

【答案】D

(x-1)2-l(xW3)

27.（2011湖北黃岡，15，3分）已知函數(shù)y則使y=k成立的x值

(%-5)--1(%>3)

恰好有三個，則k的值為（）

A-0B-1C-2D-3

【答案】D

28.（2011廣東肇慶，10，3分）二次函數(shù)y=/+2x—5有

A?最大值—5B,最小值—5C,最大值—6D?最小值—6

【答案】D

29.（2011湖北襄陽，12，3分）已知函數(shù)y=（"3）/+2x+l的圖象與x軸有交點，則k

的取值范圍是

A.左<4B.k<4C.左<4且左力3D.左V4且左片3

【答案】B

30.（2011湖南永州513'3分）由二次函數(shù)y=2（尤-3）2+1，可知（）

A-其圖象的開口向下B-其圖象的對稱軸為直線％=-3

C?其最小值為1D?當％<3時，y隨x的增大而增大

【答案】C-

21

31.（20011江蘇鎮(zhèn)江，8,2分）已知二次函數(shù)y=-%+九一5,當自變量x取m時，對應的函

數(shù)值大于0,當自變量x分別取m-l,m+l時對應的函數(shù)值%、為，則必值必,為滿足（）

A.%>0,y2>0B.Ji<0,y2<0C.yr<0,y2>0D.%>0,y2<0

答案[B]

32.（2011安徽蕪湖，10，4分）二次函數(shù)）=改2+以+。的圖象如圖所示，則反比例函

數(shù)y=@與一次函數(shù)y=在同一坐標系中的大致圖象是（）.

x

第10題圖

【答案】D

33.（2010湖北孝感，12，3分）如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交,

:①ac<0；②a+b=0；③4ac—b?二4a；④a+b+c<0.其中正

D.4

34.（2011湖南湘潭市，8,3分）在同一坐標系中,一次函數(shù)丁=。X+1與二次函數(shù)

y=/+。的圖像可能是

【答案】C

35.

二、填空題

1.（2011浙江省舟山，15，4分）如圖，已知二次函數(shù)y+6x+c的圖象經過點（一1，

0），（1）—2），當y隨x的增大而增大時,x的取值范圍是?

【答案】

2

2.（2011山東日照，17，4分）如圖，是二次函數(shù)y=ax+bx+c（aWO）的圖象的一部

分，給出下列命題①7tc=0；②力>2a；③af+Zw+c=O的兩根分另U為-3和1；④a-2/4c

〉0?其中正確的命題是-（只要求填寫正確命題的序號）

【答案】①③?

3.（2011浙江杭州，23，10）設函數(shù)y=A%2+（2左+l）x+l（A為實數(shù)）?

（1）寫出其中的兩個特殊函數(shù)，使它們的圖象不全是拋物線，并在同一直角坐標系中，

用描點法畫出這兩個特殊函數(shù)的圖象；

（2）根據(jù)所畫圖象，猜想出：對任意實數(shù)4,函數(shù)的圖象都具有的特征，并給予證明；

（3）對任意頁實數(shù)k，當x<m時，y隨著x的增大而增大，試求出m的一個值?

【答案】（1）當k=l時，y=x2+3x+l?當k=0時，y=x+l?圖略，

（2）對任意實數(shù)k，函數(shù)的圖象都經過點（一2，-1）和點（0，1）

證明?巴x=—2代入函數(shù)丁=內5+（2左+1）%+1，得9=一1，即函數(shù)丁=區(qū)2+（2左+1）工+1

的圖象經過點（一2，-1）；把x=0代入函數(shù)y=京2+（2左+l）x+l，得y=\?即函

數(shù)丁=京2+（2k+l）x+1的圖象經過點（0，1）?

（3）當k為任意負實數(shù)，該函數(shù)的圖象總是開口向下的拋物線，其對稱軸為

%=_22+1=_]_J_，當負數(shù)k所取的值非常小時,正數(shù)一--靠近0,所以％=-1一」-靠

2k2k2k2k

近一1，所以只要〃的值不大于一1即可?

4.（2011浙江湖州51554）如圖，已知拋物線y=x2+法+。經過點（0?—3），請你確定

一個b的值，使該拋物線與x軸的一個交點在（1，0）和（3，0）之間你所確定的b的值

是,

【答案】如-工（答案不唯一）

2

5.（2011寧波市，16，3分）將拋物線y=x的圖象向上平移1個單位，則平移后的拋物線

的解析式為

【答案】y=*+l

6.（2011浙江義烏，16，4分）如圖，一次函數(shù)萬一2x的圖象與二次函數(shù)產一4+3x圖象

的對稱軸交于點B.

（1）寫出點8的坐標▲；

（2）已知點戶是二次函數(shù)片一4+3x圖象在y軸有理部分上的一

個動點，將直線片一2x沿y軸向上平移?分別交x軸、p軸于

C、〃兩點.若以。為直角邊的△筋與△管相似，則點

戶的坐標為▲.

【答案】（1）（15-3）：（2）（2,2）、（|）1）'（Y11|）'（y）||）

7.（2011浙江省嘉興，15，5分）如圖，已知二次函數(shù)y+6x+c的圖象經過點（-1，

0）,（1，-2），該圖象與x軸的另一個交點為。則/C長為?

【答案】3

8.（2011山東濟寧，12，3分）將二次函數(shù)y=%2-4x+5化為y=（%一力/+左的形式，

則y=?

【答案】y=（x—2y+l

9.（2011山東濰坊，14，3分）一個y關于x的函數(shù)同時滿足兩個條件：①圖象過（2,1）

點；②當x>0時，/隨x的增大而減小.這個函數(shù)解析式為

（寫出一個即可）

2

【答案】如：y=-,y=—x+3,y=—f9+5等,寫出一個即可.

10?（2011重慶江津，18，4分）將拋物線y=x?—2x向上平移3個單位，再向右平移4個

單位等到的拋物線是.

【答案】y=（x-5）2+2或y=x2-10x+27

11.（2011江蘇淮安，14，3分）拋物線p4-2x-3的頂點坐標是.

【答案】（1，-4）

12.（2011貴州貴陽，14，4分）寫出一個開口向下的二次函數(shù)的表達式?

【答案】片-*+2x+l

13.（2011廣東茂名，15，3分）給出下列命題：

1,

命題1,點（1T）是雙曲線y--與拋物線y=x的一個交點,

x

2

命題2?點（1，2）是雙曲線y=—與拋物線y=2x9的一個交點?

x

3

命題3,點（1，3）是雙曲線y=—與拋物線y=3%9的一個交點，

請你觀察上面的命題,猜想出命題〃（幾是正整數(shù)）:

【答案】點（1，是雙曲線y=，■與拋物線y=的一個交點,

x

14.（2011山東棗莊，18，4分）拋物線y=ax2+b%+c上部分點的橫坐標％,縱坐標y的

對應值如下表：

X-2-1012

y04664

從上表可知，下列說法中正確的是-(填寫序號)

①拋物線與x軸的一個交點為(3,0)；②函數(shù)=ax?+6x+c的最大值為6；

③拋物線的對稱軸是x；④在對稱軸左側，y隨x增大而增大?

【答案】①③④

15.

三、解答題

1.(2011廣東東莞，15，6分)已知拋物線y=+x+c與*軸有交點?

(1)求。的取值范圍；

(2)試確定直線y=cr+l經過的象限，并說明理由?

【答案】(1)...拋物線與x軸沒有交點

二W<0，即l-2c<0

解得c〉L

2

⑵

2

...直線丫=工*+1隨x的增大而增大,

?/b=l

二直線y=-x+l經過第一、二、三象限

2

k

2.(2011重慶江津，25，10分)已知雙曲線y=—與拋物線y=zx?+bx+c交于A(2,3)、

x

B(m,2)、c(—3,n)三點.

(1)求雙曲線與拋物線的解析式；

(2)在平面直角坐標系中描出點A、點B、點C,并求出AABC的面積，

第25題圖

第25題圖

k

【答案】(1)把點M2,3)代入y=—得：k=6,

x

反比例函數(shù)的解析式為：y=

x

把點B(m,2)、C(—3,n)分別代入y=得：m=3,n=-2,

x

才巴A(2,3)、B(3,2)、C(-3,-2)分別代入y=ax2+bx+c得：

1

CL----

4〃+2/?+c=33

9〃+3b+c=2解之得<b=-

3

9〃-3b+c=—2

c=3

二.拋物線的解析式為:y3+2-

33

(2)描點畫圖

SAABC=—(1+6)x5—xlxl—x6x4=--------12=5,

22222

3.(2011江蘇泰州，27，12分)已知：二次函數(shù)片3的圖像經過點尸(一2,5)-

(1)求Z?的值，并寫出當1<后3時y的取值范圍；

(2)設點P\(/zz,yi)、A(加I,#)、用(研2,八)在這個二次函數(shù)的圖像上?

①當方4時，口、/、/能否作為同一個三角形的三邊的長？請說明理由；

②當勿取不小于5的任意實數(shù)時，P、/、/一定能作為同一個三角形三邊的長，請說明理

由?

【答案】解：(1)把點P代入二次函數(shù)解析式得5=(一2)2—2b—3，解得b=—2.

當l〈xW3時y的取值范圍為一4<yW0.

(2)①in=4時，yi、y2、y3的值分別為5、12、21，由于5+12<21，不能成為三角形的三邊

長,

②當m取不小于5的任意實數(shù)時，yi、y2、y3的值分別為m2—2m—3、m2—4、m2+2m—3，由

于，m2—2m—3+m2—4>m2+2m—3，(m—2)2—8>0?

當m不小于5時成立，即yi+y2〉y3成立?

所以當m取不小于5的任意實數(shù)時，yi、y2、y3一定能作為同一個三角形三邊的長，

4.(2011廣東汕頭，15，6分)已知拋物線y+%+。與%軸有交點?

(1)求c的取值范圍；

(2)試確定直線y=cx+l經過的象限，并說明理由-

【答案】(1)...拋物線與x軸沒有交點

，即1—2c<0

1

解得c〉一

2

(2)：C〉L

2

直線y=1x+1隨x的增大而增大,

2

*/b=l

??.直線y=1x+l經過第一、二、三象限

2

5.(2011湖南懷化，22，10分)已知：關于x的方程a——(1—3a)x+2tz—1=0

(1)當a取何值時，二次函數(shù)y=以2-(1一3〃)元+2〃-1的對稱軸是*=-2；

(2)求證：a取任何實數(shù)時，方程ax?—(1—3〃)X+2Q—1=0總有實數(shù)根.

【答案】

(1)解：二?二次函數(shù)y=ax2一(1-3。)元+2〃-1的對稱軸是x=-2

.-(1-36Z)

..-------=—29

2a

解得a二-1

經檢驗a=-1是原分式方程的解.

所以a=T時，二次函數(shù)丁=。九2一(1-3〃)%+2。-1的對稱軸是*=-2；

(2)1)當a=0時，原方程變?yōu)?x-1=0，方程的解為x=-1；

2)當a￥0時，原方程為一元二次方程,ax2-(1-3a)x+2tz-1=0,

當b2-4〃cN0時，方程總有實數(shù)根，

,\[-(l-3a)]2-M26z-l)>0

整理得，a2-2a+l=0

(tz-l)2>0

.「aHO時(〃—1尸20總成立

所以a取任何實數(shù)時5方程cix2—(1—3ci)x+2d—1=0總有實數(shù)根.

6.(2011江蘇南京，24，7分)(7分)已知函數(shù)y=mx2—6x+l(m是常數(shù))?

⑴求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象都經過y軸上的一個定點；

⑵若該函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，求m的值?

【答案】解：⑴當x=0時,y=l?

所以不論用為何值，函數(shù)y=祖/一6%+1的圖象經過y軸上的一個定點(0，1)?

⑵①當相=0時，函數(shù)y=-6x+l的圖象與x軸只有一個交點；

②當加wO時,若函數(shù)y=mx2-6%+1的圖象與x軸只有一個交點，貝”方程

nvc2-6X+1=0有兩個相等的實數(shù)根，所以(一6『-4m=0?m-9-

綜上,若函數(shù)y="優(yōu)2-6%+1的圖象與x軸只有一個交點，則加的值為。或9?

10?(2011四川綿陽24，12)已知拋物線:廣f-2A+mT與x軸只有一個交點，且與p軸交

于A點，

如圖，設它的頂點為B

(1)求力的值；

(2)過/作x軸的平行線，交拋物線于點C，求證是△/況是等腰直角三角形；

(3)將此拋物線向下平移4個單位后，得到拋物線。，且與x軸的左半軸交于，點，與y

軸交于F點，如圖.請在拋物線。上求點P使得△掰0是以即為直角邊的直角三角形.

Ay

【答案】(1)拋物線與X軸只有一個交點，說明△=()，「.in二2

(2)..?拋物線的解析式是y=x2-2x+l,是.A(0，1)，B(1，0)「.△AOB是等腰直角

三角形，又八(：||(?,???/8人?=/0人8=450人，€；是對稱點，?.?48=80??./\人8(：是

等腰直角三角形。

(3)平移后解析式為y=x2-2x-3,可知E(_l,0),F(0,-3).'.EF的解析式為：y=-3x-3,平面內

互相垂直的兩條直線的k值相乘二T，所以過E點或F點的直線為y=|x+b把E點和F點分別

f11

111.1vx+^-10

代人可得或-3，「?丫/+可或yfx-3列方程得J33解方程xi=T,X2%~,xi是E

2

、y=x-2x-30

,10131013、:尸3-3易得x「o舍去，X?

點坐標舍去，把X2=y代入得y=-g-,.*.Pi(y，勺)同理

,y=x2-2x-3

20720

^y=-~Q,.'.PzCg,-g-)

11.(2011貴州貴陽，21，10分)

如圖所示，二次函數(shù)片-V+2x+勿的圖象與x軸的一個交點為/（3，0），另一個交點為

B，且與y軸交于點C-

（1）求勿的值；（3分）

（2）求點8的坐標；（3分）

（3）該二次函數(shù)圖象上有一點〃（x，p）（其中x>0，p>0），使區(qū)仍尸叢■，求點〃

的坐標?（4分）

（第21題圖）

【答案】解：（1）將（3，0）代入二次函數(shù)解析式，得

-3”2x3+片0,

解得，/3?

（2）二次函數(shù)解析式為片-f+2x+3，令片0，得

-f+2?3=0?

解得右3或x=-l-

..?點6的坐標為（-1?0）?

（3）..?8/此叢疵，點〃在第一象限5

???點C、〃關于二次函數(shù)對稱軸對稱-

.?.由二次函數(shù)解析式可得其對稱軸為"1，點。的坐標為（0，3），

???點〃的坐標為（2，3）?

12.（2011廣東省，15,6分）已知拋物線y=（f+x+c與％軸有交點.

（1）求c的取值范圍；

（2）試確定直線p=cx+l經過的象限5并說明理由?

【答案】（1）...拋物線與x軸沒有交點

，/<0，即1—2c<0

1

解得c>一

2

⑵,「c〉L

2

直線y='x+1隨x的增大而增大，

2

'/b=l

，直線y=1x+l經過第一、二、三象限

2

3

13.（2011廣東肇慶，25,10分）已知拋物線y—x1+mx——m2（m>0）與x軸交于A、

B兩點、，

（1）求證：拋物線的對稱軸在y軸的左側；

112

（2）若---------=—（。是坐標原點），求拋物線的解析式；

OBOA3

（3）設拋物線與y軸交于點C,若AABC是直角三角形，求AABC的面積?

hm

【答案】（1）證明：??/>0...%=——=一一<0

2a2

拋物線的對稱軸在y軸的左側

（2）解：設拋物線與1軸交點坐標為/（陽，0），

32

m

則%+尤2=~m<0，項?%2=_4<0，玉與42異號

112

又“op~3A——>0OA>OB由（1）知：拋物線的對稱軸在y軸的左側

%1<0,x2>0/.==—修，OB=x2

11211112

代入---------=一得：=--1--二—

OBOA3x2-玉x2%3

即,2+也2—m2

，從而-------=—解得:m=2

3323

—m

4

拋物線的解析式是y=x2+2%-3

33

（3）［解法一］:當％=0時，y=--m2...拋物線與y軸交點坐標為C（0，-—m2）

.「AABC是直角三角形，且只能有/CL歐，又OC1AB，

：.ACAB=90°-/ABC，4BCO=90°-/ABC，；CAB=/BCO

:.RtXAOCsRtXCOB、

---=----，即OC?=OA?OB/.—m

OBOC4

932/—

即一m4=-m2解得：m=—V3

1643

2

此時一,機2=——V3)=—1，...點C的坐標為(0，-1).\OC=1

443

3

2222

又(％2_/)2=(%1+x2)-4%1-x2=(-m)-4-(-—m)=4m

]]2

.加>0，民—%，=2和即46=27/「.△ABC的面積=548a7=5x2相xl=§

33

[解法二]:略解：當X=O時，y=-一m2.-.AC(0'--m2)

一44

,「△ABC是直甭三角形：.AB2=AC2+BC2

22222

二(XJ-x2)=x：+(-^m)+x；+(--|m)

?09.%32、94

..-2x-=—m4..-2(——m)--m

12848

解得：m=—V3

3

22A

SMBC=|x|AB|-|OC|=||x1-x2|--|m=|x2mx|m=|/3

13

14.(2011江蘇鹽城?23510分)已知二次函數(shù)p=--^x-

(1)在給定的直角坐標系中，畫出這個函數(shù)的圖象；

(2)根據(jù)圖象，寫出當0時，x的取值范圍；

(3)若將此圖象沿x軸向右平移3個單位，請寫出平移后圖象所對應的函數(shù)關系式-

—+—+-+-4—+-

【答案】(1)畫圖(如圖)；

(2)當0時，x的取值范圍是x<-3或x>l；

(3)平移后圖象所對應的函數(shù)關系式為片(x-2)2+2(或寫成片-%+2x).

15.(20011江蘇鎮(zhèn)江,24,7分)如圖，在AABO中，已知點A(百，3),B(T,-1),0(0,0),正比

例y=-x的圖象是直線1,直線AC||x軸交直線1于點C.

(DC點坐標為;

(2)以點0為旋轉中心,將AABO順時針旋轉角a(0°<a<180°),使得點B落在直線1上的對應

點為B，，點A的對應點為4,得到△A'OB'.

①Na=;

②畫出△A'OB'；

(3)寫出所有滿足△DOCS^AOB的點D的坐標.

【答案】解：（1）C點坐標為（-3，3）；（2）①Na=90°②略（3），（9,-36），3（36，-9）.

16.（2011廣東中山，15,6分）已知拋物線y=+%+。與x軸有兩個不同的交點?

（1）求c的取值范圍；

（2）拋物線,=與x軸兩交點的距離為2，求c的值?

【解】（1）二?拋物線與x軸有兩個不同的交點

「./>0，即1—2c>0

1

解得c<一

2

5

（2）設拋物線y=3x2+x+c與x軸的兩交點的橫坐標為xvx2

;兩交點間的距離為2，

xr-x2=2，

由題意，得石+%2=-2

解得石=0,%2=-2

..C二%,—0

即c的值為0?

17.（2011貴州安順，27，12分）如圖，拋物線戶工號云一2與x軸交于/、6兩點，與

2

y軸交于。點，且/（一1，0）?

⑴求拋物線的解析式及頂點〃的坐標；

⑵判斷△/a的形狀，證明你的結論；

⑶點水/，0）是x軸上的一個動點，當Qfr/W的值最小時‘求力的值?

第27題圖

【答案】(1);點A(-1,0)在拋物線廣！/+bx-2上,/.-X(-1)2+bx(-1)-2

22

3

=0，解得b=—

2

1Q1311325

拋物線的解析式為小一^--x-2.y^—x~—x-2=—(/-3x-4)=—(x-—)2-一，

22222228

325

???頂點D的坐標為(一，-一).

28

(2)當x=0時y=-2,."(0，一2)，勺二2。

]3

當p=0時，—X--x-2=0，,\x\=-1,X2=4,(4,0)

22

：,OA=1,OB=限AB=5.

4二25,AC=0八OG=5,BC=OG+0a=20,

+"二/皮???△/歐是直角三角形.

(3)作出點。關于x軸的對稱點廣，則廣(0,2)，/=2，連接。？交

x軸于點〃，根據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短可知5MC+血9的值最小。

解法一：設拋物線的對稱軸交x軸于點￡

???劭||y軸，：./OC徒/EDM/C'0g/DEM

:、△C'OMsXDEM.

,OMOC

'~EM~~ED

m224

--------'：?出=——,

32541

---m一

28

解法二：設直線CZ的解析式為y=kxin,

n=2

則,3725，解得〃二2,41

—k+n=-----12

[28

?“一生工+2.

12

-3+2=0

??.當y二。時，

12

24.24

x=一..m=——.

4141

18.（2010湖北孝感，25,2分）如圖（1），矩形ABCD的一邊BC在直角坐標系中x軸上，

折疊邊AD,使點D落在x軸上點F處浙痕為AE，已知AB=8，AD=10，并設點B坐標為（m,0），

其中m〉0.

（1）求點E、F的坐標（用含m的式子表示）；（5分）

（2）連接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（4分）

（3）如圖（2），設拋物線y=a（x—m—6）2+h經過A、E兩點，其頂點為M，連接AM，若N

OAM=90°?求a、h、m的值.（5分）

【答案】解：（1）?.?四邊形ABCD是矩形，

.\AD=BC=10?AB=CD=8，ZD=ZDCB=ZABC=90°.

由折疊對稱性:AF=AD=10，F(xiàn)E=DE.

在RtAABF中,BF=VAF2-AB2=A/102-82=6.

/.FC=4.

在RtAECF中，42+(8-x)2=x2，解得x=5.

.*.CE=8-x=3.

.「B(m?0),.*.E(m+10,3),F(m+6,0).

(2)分三種情形討論：

若AO=AF，,/AB±OF，/.0B=BF=6..-.01=6.

若OF=AF,則m+6=10?解得m=4.

若AO=OF，在RtAAOB中，AO2=OB2+AB2=m2+64>

7

(m+6)之=m2+64，解得m二一.

3

7

綜合得m=6或4或一.

3

(3)由(1)知A(m,8)，E(m+10,3).

—m—+/z=8

依題意，得〈.，

a(m+10—m—6)2+h=3

1

ci——,

解得j4

h=-1.

/.M(m+6，-1).

設對稱軸交AD于G.

/.G(m+6,8)?/.AG=6，GM=8—(-1)=9.

???NOAB+NBAM=90°，NBAM+NMAG=90°，

/.Z0AB=ZMAG.

又〈NABO/MGA=90°，

/.△AOB^AAMG.

OBABm8

---------,艮口———

,MGAG96,

19.(2011湖南湘潭市，25，10分)(本題滿分10分)

如圖，直線y=3x+3交x軸于A點，交y軸于B點，過A、B兩點的拋物線交工軸于另

一點C(3,0).

⑴求拋物線的解析式;

⑵在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使4ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件

的Q點坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】解：（1）設拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c°

...直線y=3x+3交x軸于A點，交y軸于B點，

「.A點坐標為（-1,0）、B點坐標為（0,3）.

又...拋物線經過A、B、C三點，

a-b-\-c-0[a=-l

<9〃+3/?+c=0，解得-<b=2，

c=3