專題01二次函數(shù)與平行四邊形綜合(原卷版+解析)

專題01二次函數(shù)與平行四邊形綜合（重慶專用）（3類題型訓(xùn)練）(2023重慶市中考數(shù)學(xué)A卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=12x2+bx+c與直線AB(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交AB于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求PC+PD的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）中PC+PD取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移5個(gè)單位，點(diǎn)E為點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與y軸交于點(diǎn)F，M為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)．在平移后的拋物線上確定一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況的過(guò)程．解題思路分析本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)圖象的平移，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)解析式求最大值以及利用平行四邊形的性質(zhì)列方程．（1）將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入拋物線y=12x2（2）設(shè)PD交BC于H，可得PC=PH，求出直線AB的解析式，設(shè)Pt,12t（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得平移后拋物線解析式及點(diǎn)E、F坐標(biāo)，設(shè)M?4,m，Nn,12n2解析過(guò)程詳解（1）解：將點(diǎn)A0,?4，B4,0代入y=解得：c=?4∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=（2）如圖，設(shè)PD交BC于H，∵A0,?4，B∴OA＝OB＝4，∴∠OBA∵PC∥OB，PD∥OA，∴∠BCP=∠OBA∴PC=設(shè)直線AB的解析式為y=則b=?44k∴直線AB的解析式為y=設(shè)Pt,12t∴PC+∴當(dāng)t=32時(shí)，PC+PD（3）由題意得：平移后拋物線解析式為y=12∴F0,∵拋物線y=12∴設(shè)M?4,m，分情況討論：①當(dāng)EF為對(duì)角線時(shí)，則?4+n解得：n=12∴N1②當(dāng)EM為對(duì)角線時(shí)，則?72?4=此時(shí)12∴N2③當(dāng)EN為對(duì)角線時(shí)，則?72+此時(shí)12∴N3綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：N112,45類型一動(dòng)點(diǎn)+平行四邊形1．拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A(?3,0)，B(1,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3)(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)P在線段AC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)（不與A，C重合），過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，PD交AC于點(diǎn)E．作PF⊥AC，垂足為F，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，請(qǐng)用t的式子表示PE，并求△PEF的面積的最大值；(3)如圖2，點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A，P，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)的過(guò)程寫下來(lái)．2．如圖，拋物線y=?x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)）、直線l與拋物線交于A、C(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)Р是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Р作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，求線段PE長(zhǎng)度的最大值；(3)若點(diǎn)G是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使A、C、F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=12x2+bx+ca≠0與x軸交于A、(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，在直線l:y=?12x+n經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，與y軸交于D．在直線l下方的拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，連接PA，PD，求△PAD(3)將拋物線y向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到新拋物線y1，點(diǎn)E是新拋物線y1的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是原拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，取△PAD面積最大值時(shí)的P點(diǎn)．若以點(diǎn)P、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)，并寫出求解其中一個(gè)類型二平移+平行四邊形4．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3a≠0與x軸交于點(diǎn)A?1，(1)求該拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)E，求PD+PE的最大值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，將拋物線沿射線CB的方向平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過(guò)線段CB的中點(diǎn)，且平移后拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，N，R是直線BC上任意兩點(diǎn)，Q為新拋物線上一點(diǎn)，直接寫出所有使得以點(diǎn)M，N，R，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)過(guò)程寫出來(lái)．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx?3a≠0與x軸交于A?1,0，B(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是直線BC下方拋物上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC，求△PBC面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)P(3)在（2）中△PBC的面積取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左移動(dòng)2個(gè)單位，平移后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q，M為y軸上一點(diǎn)，在平移后的拋物線上確定一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+ca≠0與x軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為?1，(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D位于拋物線在直線BC上方的部分，DE⊥BC于點(diǎn)E，EF平行于x軸且與y軸交于點(diǎn)F，求EF?5(3)如圖2，將拋物線y=ax2+bx+ca≠0向左平移，使得平移后的拋物線的對(duì)稱軸為y軸，若點(diǎn)G是平移后拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N都是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為定點(diǎn)，其坐標(biāo)為1，2，請(qǐng)直接寫出以M、N、G、7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=34x2+bx+c與直線AB(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線，垂足為點(diǎn)F，求△PEF周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）中△PEF取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移3個(gè)單位，點(diǎn)Q為點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)N為原拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)．在平移后拋物線上確定一點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)M的坐標(biāo)的其中一種情況的過(guò)程．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx?4a≠0與x軸交于A4,0，B?2,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是直線AD下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，PH交直線AD于點(diǎn)E，作PF∥BC交直線AD于點(diǎn)F，求11510PF+PH(3)在（2）的條件下，將點(diǎn)P向右平移152個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移398個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P'；將拋物線沿著射線BC方向平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到一條新拋物線，點(diǎn)M為新拋物線與y軸的交點(diǎn)，N為新拋物線上一點(diǎn)，Q為新拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，請(qǐng)寫出所有使得以點(diǎn)P'，M，Q，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，作直線AB，點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，求PE+PD的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）中PE+PD取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移2個(gè)單位，點(diǎn)P'為點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與y軸交于點(diǎn)A'，M為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn).在平移后的拋物線上確定一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P',A10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=14x2+bx+c與直線AC(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)E，交x軸于D，求PD+PE的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）中PD+PE取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向右平移3個(gè)單位，點(diǎn)M為點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與y軸交于點(diǎn)F，N為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)．在平移后的拋物線上確定一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)M，F(xiàn)，N，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)Q的坐標(biāo)的其中一種情況的過(guò)程．類型三旋轉(zhuǎn)+平行四邊形11．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+8（a≠0）與x軸交于點(diǎn)B?4,0，點(diǎn)C8,0，與y軸交于點(diǎn)A(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)．(2)如圖1，點(diǎn)E為該拋物線在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)E作FE∥y軸，交CD于點(diǎn)F，求EF+5(3)如圖2，在（2）的情況下，將原拋物線繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得到新拋物線y'，點(diǎn)N是新拋物線y'上一點(diǎn)，在新拋物線上的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得點(diǎn)D，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并寫出其中一個(gè)點(diǎn)12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于A，B?4,0兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，連接BC，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上（不與B、C重合）的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸交x軸于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，求5PD+2PF的最大值及此時(shí)點(diǎn)P(3)如圖2，將原拋物線繞線段BC的中點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°得到新拋物線y'，點(diǎn)N為新拋物線y'上一點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使得以點(diǎn)Q、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以CQ為邊的平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)13．如圖，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C（0，5），連接BC，其中OC＝5OA．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，將直線BC沿y軸向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后與拋物線交于D、E兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)G，若點(diǎn)P是拋物線上位于直線BC下方（不與A、B重合）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PE，交直線BC于點(diǎn)F，連接PD、DF、PB、PC．若S△PBC＝1021S△EDF，求點(diǎn)P（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P滿足（2）問(wèn)條件時(shí)，將△CBP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到△CB'P'，此時(shí)點(diǎn)B′恰好落到直線ED上，已知點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在直線ED上是否存在一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)C、B′、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C（0，5），連接BC，其中OC＝5OA．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，將直線BC沿y軸向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后與拋物線交于D、E兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)G，若點(diǎn)P是拋物線上位于直線BC下方（不與A、B重合）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM∥y軸交DE于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BC于點(diǎn)N，求PM＋NH的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P滿足（2）問(wèn)條件時(shí)，將△CBP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到△CB'P'，此時(shí)點(diǎn)B′恰好落到直線ED上，已知點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在直線ED上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)C、B′、F、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+ca>0與x軸交于點(diǎn)A?1,0和點(diǎn)B3,0，與y軸交于點(diǎn)（1）如（圖1），當(dāng)四邊形OCEB面積最大時(shí)，在線段BC上找一點(diǎn)M，使得EM+12BM最小，并求出此時(shí)點(diǎn)E（2）如（圖2），將△AOC沿x軸向右平移2單位長(zhǎng)度得到△A1O1C1，再將△A1O1C1繞點(diǎn)A1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度得到△A1O2C2，且使經(jīng)過(guò)A1、C2的直線l與直線BC平行（其中0°<α<180°），直線l專題01二次函數(shù)與平行四邊形綜合（重慶專用）（3類題型訓(xùn)練）(2023重慶市中考數(shù)學(xué)A卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=12x2+bx+c與直線AB(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交AB于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求PC+PD的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）中PC+PD取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移5個(gè)單位，點(diǎn)E為點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與y軸交于點(diǎn)F，M為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)．在平移后的拋物線上確定一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況的過(guò)程．解題思路分析本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)圖象的平移，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)解析式求最大值以及利用平行四邊形的性質(zhì)列方程．（1）將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入拋物線y=（2）設(shè)PD交BC于H，可得PC=PH，求出直線AB的解析式，設(shè)Pt,12t（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得平移后拋物線解析式及點(diǎn)E、F坐標(biāo)，設(shè)M?4,m，Nn,12n

解析過(guò)程詳解（1）解：將點(diǎn)A0,?4，B4,0代入y=解得：c=?4∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=（2）如圖，設(shè)PD交BC于H，∵A0,?4，B∴OA＝OB＝4，∴∠OBA∵PC∥OB，PD∥OA，∴∠BCP=∠OBA∴PC=設(shè)直線AB的解析式為y=則b=?44k∴直線AB的解析式為y=設(shè)Pt,12t∴PC+∴當(dāng)t=32時(shí)，PC+PD（3）由題意得：平移后拋物線解析式為y=12∴F0,∵拋物線y=12∴設(shè)M?4,m，分情況討論：①當(dāng)EF為對(duì)角線時(shí)，則?4+n解得：n=12∴N1②當(dāng)EM為對(duì)角線時(shí)，則?72?4=此時(shí)12∴N2③當(dāng)EN為對(duì)角線時(shí)，則?72+此時(shí)12∴N3綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：N112,45類型一動(dòng)點(diǎn)+平行四邊形1．拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A(?3,0)，B(1,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3)(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)P在線段AC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)（不與A，C重合），過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，PD交AC于點(diǎn)E．作PF⊥AC，垂足為F，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，請(qǐng)用t的式子表示PE，并求△PEF的面積的最大值；(3)如圖2，點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A，P，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)的過(guò)程寫下來(lái)．答案:(1)y=?(2)PE=?(t(3)P1(?2,3)，P2分析：（1）將A(?3,0)，B(1,0)，C(0,3)三點(diǎn)代入解析式求解即可得到答案；（2）設(shè)AC解析式為y=kx+b，將A(?3,0)，C(0,3)代入求出直線解析式，表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)垂直表示出E點(diǎn)坐標(biāo)，用t表示出S，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)即可得答案；（3）根據(jù)（1）求出對(duì)稱軸，設(shè)出Q點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，分類討論對(duì)角線表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線列方程求解即可得到答案；【詳解】（1）解：將A(?3,0)，B(1,0)，a+解得：a=?1，b=?2，∴y=?（2）解：設(shè)AC解析式為y=將A(?3,0)，C?3k解得：k=1b=3∴y=∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，∴P(∵PD⊥∴E(∴PE=?∵A(?3,0)，C∴∠CAB∵PD⊥AB，∴∠CAB∴△PEF是等腰直角三角形，過(guò)F作FG⊥∵FG⊥∴FG=∴S△∴當(dāng)t=?3S△（3）解：由（1）得，x對(duì)設(shè)Q(?1,∵點(diǎn)A，P，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，①當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為P(?2,3?∴3?m解得：m=0，P1②當(dāng)AQ為對(duì)角線時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為P(?4,∴m?3=?解得：m=?2P2③當(dāng)CQ為對(duì)角線時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為P(2,3+∴3+m解得：m=?8P3綜上所述：P1(?2,3)，P2【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，求解析式、動(dòng)點(diǎn)圖形最大面積及特殊圖形，解題的關(guān)鍵是分類討論代入求解．2．如圖，拋物線y=?x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)）、直線l與拋物線交于A、C(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)Р是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Р作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，求線段PE長(zhǎng)度的最大值；(3)若點(diǎn)G是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使A、C、F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案:(1)A?1,0，B3,0(2)9(3)存在，(?3,0)，(1,0)，(4+7，0)，(4?7分析：（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸相交，所以可令y=0，解出A、B的坐標(biāo)．再根據(jù)C點(diǎn)在拋物線上，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，代入拋物線中即可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)．再根據(jù)兩點(diǎn)式方程即可解出AC的函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)P點(diǎn)在AC上可設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)．E點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)已知的拋物線求得．因?yàn)镻E都在垂直于x軸的直線上，所以兩點(diǎn)之間的距離為yE（3）分兩種情況：①以AC為邊，②以AC為對(duì)角線．確定平行四邊形后，可直接利用平行四邊形的性質(zhì)求出F點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：令y=0，解得x1=?1或∴A?1,0，將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2代入y=?x∴C設(shè)直線AC的解析式為y=則3=2k+b∴直線AC的函數(shù)解析式是y=（2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x(?1≤則P、E的坐標(biāo)分別為：P(x,∵P點(diǎn)在E點(diǎn)的下方，PE∴當(dāng)x=12時(shí)，PE的最大值（3）存在這樣的點(diǎn)F，①如圖，連接點(diǎn)C與拋物線和y軸的交點(diǎn)，那么CG∥x軸，此時(shí)∴F點(diǎn)的坐標(biāo)是(?3,0)；②如圖，則AF=∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為(?1,0)，∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)；③如圖，此時(shí)C，G兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為?3，代入拋物線中即可得：G點(diǎn)的坐標(biāo)為(7+1，設(shè)直線GF的解析式為y=將G點(diǎn)代入后可得出直線GF的解析式為y=x?4?7令y=0，則x因此直線GF與x軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4+7，0)④如圖，同③可求出F的坐標(biāo)為(4?7，0)綜上：存在這樣的點(diǎn)F，坐標(biāo)為(?3,0)，(1,0)，(4+7，0)，(4?7，【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及到了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、平行四邊形的判定、二次函數(shù)的性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，解答本題的關(guān)鍵是要求學(xué)生掌握分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，此題有一定的難度．3．在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=12x2+bx+ca≠0與x軸交于A、(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，在直線l:y=?12x+n經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，與y軸交于D．在直線l下方的拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，連接PA，PD，求△PAD(3)將拋物線y向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到新拋物線y1，點(diǎn)E是新拋物線y1的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是原拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，取△PAD面積最大值時(shí)的P點(diǎn)．若以點(diǎn)P、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)，并寫出求解其中一個(gè)答案:(1)y=(2)△PAD面積最大值為258，此時(shí)，P(3)F32,?35分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A?2,0，點(diǎn)B（2）先求得D0,?1，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸交l于點(diǎn)E，設(shè)Pt,?12（3）根據(jù)平移得出平移后新拋物線y1的對(duì)稱軸為直線x=2，設(shè)E2,m，F(xiàn)t,12t2【詳解】（1）∵拋物線y=12x2+bx+ca≠0與x軸交于A∴y（2）將A?2,0代入l:解得：n∴y令x=0，解得：y∴D0,?1如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸交l于點(diǎn)E，設(shè)Pt,?1∴PE=?12∴S=?=?1∴對(duì)稱軸為t=12∴△PAD面積最大值為258此時(shí)，P1（3）∵點(diǎn)A?2,0，點(diǎn)B4,0關(guān)于則拋物線y=12x∵將拋物線y向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到新拋物線y1∴則平移后新拋物線y1的對(duì)稱軸為直線x=2設(shè)E2,m，①若以PF為對(duì)角線時(shí)，12解得：t=3∴F3②PE為對(duì)角線時(shí)，2+1解得：t=52，當(dāng)t∴F5③若以PD為對(duì)角線時(shí)，12解得：t=?32，當(dāng)t∴F?綜上所述，F(xiàn)32,?358【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題，面積問(wèn)題，特殊四邊形問(wèn)題，掌握二次函數(shù)圖形的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型二平移+平行四邊形4．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3a≠0與x軸交于點(diǎn)A?1，(1)求該拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)E，求PD+PE的最大值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，將拋物線沿射線CB的方向平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過(guò)線段CB的中點(diǎn)，且平移后拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，N，R是直線BC上任意兩點(diǎn)，Q為新拋物線上一點(diǎn)，直接寫出所有使得以點(diǎn)M，N，R，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)過(guò)程寫出來(lái)．答案:(1)y=?(2)9+334(3)6+112，6?112分析：（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）先求∠CBO=30°，由平行的性質(zhì)可得∠PDE=∠CBO=30°，根據(jù)題意可知△PDE是直角三角形，∠DPE=90°，解直角三角形得PD=PEtan30°=3PE，故PD（3）根據(jù)題意確定中點(diǎn)坐標(biāo)即可得出平移方式，確定平移后的拋物線解析式為y=?33x?522+536，確定【詳解】（1）解：將A?1，?0，點(diǎn)得a?解得a=?3∴該拋物線的解析式為y=?3（2）解：∵tan∠CBO∴∠CBO∵DP∴∠PDE又由題知△PDE是直角三角形，∠∴PD=∴PD+當(dāng)PE最大時(shí)，PD+設(shè)直線BC的解析式為：y=∵直線BC經(jīng)過(guò)點(diǎn)B3，0代入y=kx+解得k=?3∴y設(shè)Pm，?∴PE=?3∵?3∴當(dāng)m=32時(shí)，PE∴PD+PE（3）解：由（2）得B3，0∴BC中點(diǎn)的坐標(biāo)為32∴可以看作點(diǎn)C向右移動(dòng)32個(gè)單位長(zhǎng)度，向下移動(dòng)3∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，平移后的拋物線經(jīng)過(guò)中點(diǎn)，∵y=?∴平移后的拋物線的解析式為：y=對(duì)稱軸為x=5∴與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為M5設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：m當(dāng)MQ為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，如圖所示：對(duì)角線的交點(diǎn)仍在直線BC上，∴MQ的中點(diǎn)為52?3解得：m1=6+當(dāng)MQ為平行四邊形的邊時(shí)，MQ∥設(shè)直線MQ的解析式為y=cx+將點(diǎn)M52，解得：d=5∴直線MQ的解析式為y=?3將點(diǎn)Q代入得：?3解得：m3=綜上可得：點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為：6+112或6?112或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，用待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征，平行四邊形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx?3a≠0與x軸交于A?1,0，B(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是直線BC下方拋物上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC，求△PBC面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)P(3)在（2）中△PBC的面積取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左移動(dòng)2個(gè)單位，平移后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q，M為y軸上一點(diǎn)，在平移后的拋物線上確定一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N答案:(1)y(2)P(3)N(12,?分析：（1）設(shè)出交點(diǎn)式直接求解；（2）作出輔助線將三角形面積用二次函數(shù)表示出來(lái)，然后求二次函數(shù)的最大值即可；（3）將已知的PQ邊分類討論，因?yàn)镸點(diǎn)橫坐標(biāo)已知，因此直接利用平移規(guī)律得出N的橫坐標(biāo)，代入二次函數(shù)直接求解即可．【詳解】（1）拋物線y=ax2+bx?3可得y∴?3a=?3∴y（2）設(shè)P(x,x2?2x?3)，過(guò)P作由（1）可知，y=令x=0,y=?3設(shè)BC解析式為：y=代入B3,0，C0=3k+b∴BC解析式為：y=∴M(∴PM=(∴S△∴當(dāng)x=32此時(shí)P(（3）拋物線沿水平方向向左移動(dòng)2個(gè)單位，可得y=∴頂點(diǎn)Q∵P(3①當(dāng)PQ是平行四邊形的一條邊時(shí)，根據(jù)平移規(guī)律可得xN=當(dāng)xN=當(dāng)xN=?∴N(5②當(dāng)PQ是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，可知PQ中點(diǎn)(∵M(jìn)N中點(diǎn)也為(∴x∴y∴N綜上所述：N(12,?【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的綜合題，解題關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合將三角形的面積最大值轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最大值，解題技巧是將平行四邊形的已知邊進(jìn)行分類討論，通過(guò)平移規(guī)律直接求出橫坐標(biāo)即可．6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+ca≠0與x軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為?1，(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D位于拋物線在直線BC上方的部分，DE⊥BC于點(diǎn)E，EF平行于x軸且與y軸交于點(diǎn)F，求EF?5(3)如圖2，將拋物線y=ax2+bx+ca≠0向左平移，使得平移后的拋物線的對(duì)稱軸為y軸，若點(diǎn)G是平移后拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N都是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為定點(diǎn)，其坐標(biāo)為1，2，請(qǐng)直接寫出以M、N、G、答案:(1)y=?(2)?(3)?6+932或?6?932分析：（1）先利用一次函數(shù)解析式求出B、C的坐標(biāo)，再把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式中求出拋物線解析式即可；（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DT⊥x軸于T，交直線BC于G，延長(zhǎng)FE交DT于H，設(shè)Dm，12m2+52m+3，則Gm，?12m+3，得到DG=?12m2+3m，再由DT∥OC，得到∠OCB（3）先求出平移后的拋物線解析式為y=?12x2+498，再求出直線AC的解析式為y=3x+3；設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為s，?12s2+498，然后分當(dāng)QA為對(duì)角線時(shí)，則QG和AC為平行四邊形的邊，則可設(shè)直線QG的解析式為y=k【詳解】（1）解：在y=?12x+3中，令x=0，則∴B6把A?1，0，B6，0，a?∴a=?∴拋物線解析式為y=?1（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DT⊥x軸于T，交直線BC于G，延長(zhǎng)FE交DT于H，設(shè)Dm，1∴DG=?∵DT⊥x軸，∴DT∥∴∠OCB∵B6∴OC=3，∴BC=∴cos∠OCB=cos∠DGE=在Rt△DEG中，∴EG=在Rt△EGH中，∴EF=∵∠HEG∴∠HED∴cos∠HED∴在Rt△DEH中，∴EF?==2∵25∴當(dāng)m=74時(shí)，EF?5（3）解：∵平移前的拋物線解析式為y=?1∴平移后的拋物線解析式為y=?1設(shè)直線AC的解析式為y=∴?k∴k=3b∴直線AC的解析式為y=3設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為s，當(dāng)QA為對(duì)角線時(shí)，則QG和AC為平行四邊形的邊，∴QG∥∴可設(shè)直線QG的解析式為y=k同理可求出直線QG的解析式為y=3x?1，聯(lián)立y=3x?1解得x=?6+93∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為?6+932或當(dāng)QG為對(duì)角線時(shí)，由平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可知，此時(shí)QG的中點(diǎn)一定在直線AC上，∴?1∴?1∴4s解得s=?6+29∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為?6+292或綜上所述，點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為?6+932或?6?932或【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，解直角三角形，一次函數(shù)與幾何綜合，平行四邊形的性質(zhì)，正確作出輔助線和利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=34x2+bx+c與直線AB(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線，垂足為點(diǎn)F，求△PEF周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）中△PEF取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移3個(gè)單位，點(diǎn)Q為點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)N為原拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)．在平移后拋物線上確定一點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)M的坐標(biāo)的其中一種情況的過(guò)程．答案:(1)y=(2)365，(3)M132,69316分析：（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求得直線AB的解析式為：y=34x?3，設(shè)Pm,34m2?94m?3，Em,34m?3，可得（3）先求出平移后的拋物線解析式為y=34x2+94x?3，Q?1,?92，設(shè)M【詳解】（1）解：分別把點(diǎn)A0,?3，B代入y=34x所以拋物線的解析式為y=3（2）∵A0,?3，∴OA=3，OB=4，直線AB的解析式為：y=設(shè)：Pm,3∴PE=?∴當(dāng)m=2時(shí)，PE最大為3，∵PE∥y軸，∴∠PEF=∠OAB∴△PEF∴C△∴C△所以當(dāng)PE最大為3時(shí)，△PEF的周長(zhǎng)最大為365此時(shí)P2,?（3）y=3則平移后的解析式為y=34x設(shè)Mm,y，N當(dāng)MQ為對(duì)角線時(shí)，由平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得：m?1=4+32y?92當(dāng)MB為對(duì)角線時(shí)，由平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得：m+4=?1+32y=n?當(dāng)MN為對(duì)角線時(shí)，由平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得：m+32=?1+4y+n綜上，符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M132,693【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，二次函數(shù)圖象的平移，平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx?4a≠0與x軸交于A4,0，B?2,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是直線AD下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，PH交直線AD于點(diǎn)E，作PF∥BC交直線AD于點(diǎn)F，求11510PF+PH(3)在（2）的條件下，將點(diǎn)P向右平移152個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移398個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P'；將拋物線沿著射線BC方向平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到一條新拋物線，點(diǎn)M為新拋物線與y軸的交點(diǎn)，N為新拋物線上一點(diǎn)，Q為新拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，請(qǐng)寫出所有使得以點(diǎn)P'，M，Q，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)答案:(1)y=(2)11510PF+PH最大值為758(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為2,39或2,29或2,?10分析：（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（2）設(shè)直線BC與直線AD交于點(diǎn)J，過(guò)點(diǎn)J作JK∥y軸交x軸于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥PH于點(diǎn)G，則∠OCB=∠BJK，根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可得∠BCO=∠FPE，從而得到tan∠EPF=FGPG=12，進(jìn)而得到FG=55PF（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得P'的坐標(biāo)為9,12，將拋物線向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到一條新拋物線，從而得到新拋物線的解析式為y=12x?22?132=12【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx?4∴16a+4b∴拋物線的解析式為y=1（2）解：如圖，設(shè)直線BC與直線AD交于點(diǎn)J，過(guò)點(diǎn)J作JK∥y軸交x軸于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥PH于點(diǎn)∵PH⊥∴PH∥∴PH∥∴∠AJK∵PF∥∴∠AJB∵∠AJB∴∠BJK∴∠BCO對(duì)于y=當(dāng)x=0時(shí)，y∵A4,0，B?2,0，∴OB=2,∴tan∠OCB=OB∴tan∠EPF=FG∵PF∴FG=∵FG⊥∴FG∥∴∠EFG∴tan∠EFG∴EG=∴PE=∴2PE∴115設(shè)直線AD的解析式為y=把點(diǎn)A4,0，D0=4k1+∴直線AD的解析式為y=設(shè)點(diǎn)Pm,12m∴PE=∴2PE∴當(dāng)m=32時(shí)，11510PF+PH值最大，最大值為75（3）解：∵將點(diǎn)P向右平移152個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移398個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)∴P'的坐標(biāo)為9,∵tan∠OCB=OBOC=1∴將拋物線向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到一條新拋物線，∵y=∴新拋物線的解析式為y=1當(dāng)x=0時(shí)，y∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為0,?9設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為2,s，點(diǎn)N的坐標(biāo)為t,1當(dāng)以MQ為對(duì)角線時(shí)，9+t2=此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為2,39；當(dāng)以P'Q或9+22=t+0解得：t=11s=29此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為2,29或2,?10；綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為2,39或2,29或2,?10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，平行四邊形的性質(zhì)，第（2）問(wèn)得到2PE=119．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，作直線AB，點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，求PE+PD的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）中PE+PD取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移2個(gè)單位，點(diǎn)P'為點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與y軸交于點(diǎn)A'，M為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn).在平移后的拋物線上確定一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P',A答案:(1)y(2)4+22，(3)12，394分析：（1）用待定系數(shù)法求出解析式即可；（2）先判斷△PDE是等腰三角形，可知當(dāng)PE最大時(shí)，PE+PD最大，然后求出線AB的解析式，設(shè)點(diǎn)Px，x（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得平移后拋物線解析式及點(diǎn)P'、A'坐標(biāo)，分情況討論：①當(dāng)P'【詳解】（1）解：設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax+4將0，?4代入解析式，可得：解得：a=1，∴二次函數(shù)解析式為y=（2）由題可知OA=∴∠OAB∵過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，∴∠PEA=∠OAB∴△PDE是等腰三角形，∴PD=即當(dāng)PE最大時(shí)，PE+設(shè)直線AB的解析式為：y=代入得：?4m解得：m=?1∴y=?設(shè)Px，x∴PE=即當(dāng)x=?2時(shí)，PE最大=4，PE（3）解：平移后的拋物線為y=∴點(diǎn)P'?4,6，點(diǎn)A'當(dāng)P'A'解得xN這時(shí)N的坐標(biāo)為12，39當(dāng)P'A'解得：xN這時(shí)N的坐標(biāo)為?1綜上所述：N的坐標(biāo)為12，394或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)圖象的平移，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)解析式求最大值以及利用平行四邊形的性質(zhì)列方程．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=14x2+bx+c與直線AC(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)E，交x軸于D，求PD+PE的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）中PD+PE取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向右平移3個(gè)單位，點(diǎn)M為點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與y軸交于點(diǎn)F，N為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)．在平移后的拋物線上確定一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)M，F(xiàn)，N，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)Q的坐標(biāo)的其中一種情況的過(guò)程．答案:(1)y=(2)PD+PE的最大值為8，點(diǎn)P的坐標(biāo)為2(3)Q1，?4或分析：（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出直線AC的解析式為y=x?6，設(shè)Pm，14（3）先求出平移后的拋物線解析式為y=14x?42?254，M5，?6，再求出F0，?94【詳解】（1）解：把A6，0，C9+6b∴b=?∴拋物線解析式為y=1（2）解：設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b∴6k∴k=1b∴直線AC的解析式為y=設(shè)Pm，1∴PD=?∴PD+=?=?1∵?1∴當(dāng)m=2時(shí)，PD+PE的值最大，最大為8，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為2，（3）解：∵拋物線解析式為y=14x∴平移后的拋物線解析式為y=14x?1?3令x=0，則y∴F0設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為4，n，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為當(dāng)FM為對(duì)角線時(shí)，由平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得：5+02∴s=1∴t=?4∴Q1當(dāng)FQ為對(duì)角線時(shí)，由平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得：5+42∴s=9∴t=0∴Q9當(dāng)FN為對(duì)角線時(shí)，由平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得：0+42∴s=?1∴t=0∴Q?1綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q1，?4或Q【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，二次函數(shù)圖象的平移，平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．類型三旋轉(zhuǎn)+平行四邊形11．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+8（a≠0）與x軸交于點(diǎn)B?4,0，點(diǎn)C8,0，與y軸交于點(diǎn)A(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)．(2)如圖1，點(diǎn)E為該拋物線在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)E作FE∥y軸，交CD于點(diǎn)F，求EF+5(3)如圖2，在（2）的情況下，將原拋物線繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得到新拋物線y'，點(diǎn)N是新拋物線y'上一點(diǎn)，在新拋物線上的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得點(diǎn)D，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并寫出其中一個(gè)點(diǎn)答案:(1)y=?1(2)8，E(3)存在，M?2,?1或M?2,7或分析：(1)運(yùn)用待定系數(shù)法計(jì)算求解即可．(2)過(guò)點(diǎn)F作FG⊥y軸于點(diǎn)G，利用正弦函數(shù)，把55DF轉(zhuǎn)化為DG，設(shè)Em,?14m2+m+8，根據(jù)(3)分DE為平行四邊形的一邊和一條對(duì)角線兩種情況求解．【詳解】（1）∵拋物線y=ax2+bx+8（a∴16a解得a=?1故二次函數(shù)的解析式為y=?1當(dāng)x=0,故點(diǎn)A0,8（2）如圖，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥y軸于點(diǎn)G，∵點(diǎn)C8,0，點(diǎn)D的坐標(biāo)為D∴CD=82∴∠DFG∴sin∠DFG∴DG=∴EF+設(shè)CD的解析式為y=∵點(diǎn)C8,0，點(diǎn)D的坐標(biāo)為D∴8k解得k=?1∴CD的解析式為y=?設(shè)Em∴Fm∴EF=DG=4?∴EF+故當(dāng)m=4時(shí)，EF+55DF（3）∵y=?∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,9，∵A0,8，D0,4，原拋物線繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得到新拋物線∴A'0,0，新頂點(diǎn)坐標(biāo)為?2,?1，對(duì)稱軸為直線設(shè)拋物線y'的解析式為y∴0=a解得a=1∴y'=設(shè)點(diǎn)M?2,當(dāng)DE為平行四邊形的一邊時(shí)，∵E4,8，D當(dāng)沿著DE平移時(shí)，得到平移規(guī)律為向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)，向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)，∴將M?2,n向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)，向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)得到N∵點(diǎn)N在拋物線y'∴n+4=解得n=?1故M?2,?1當(dāng)沿著ED平移時(shí)，得到平移規(guī)律為向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)，向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)，∴將M?2,n向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)，向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)得到N∵點(diǎn)N在拋物線y'∴n?4=解得n=7故M?2,7當(dāng)DE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，∵E4,8，D∴DE的中點(diǎn)坐標(biāo)為2,6，∵點(diǎn)M∴點(diǎn)N6,12?∵點(diǎn)N在拋物線y'∴12?n解得n=?3故M?2,?3綜上所述，存在這樣的點(diǎn)M，且坐標(biāo)分別為M?2,?1或M?2,7或【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法確定拋物線的解析式，利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)移線段構(gòu)造二次函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)和最值，中心對(duì)稱的性質(zhì)，平行四邊形的判定，平移思想，熟練掌握待定系數(shù)法，平移思想，三角函數(shù)，中心對(duì)稱，二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于A，B?4,0兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，連接BC，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上（不與B、C重合）的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸交x軸于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，求5PD+2PF的最大值及此時(shí)點(diǎn)P(3)如圖2，將原拋物線繞線段BC的中點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°得到新拋物線y'，點(diǎn)N為新拋物線y'上一點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使得以點(diǎn)Q、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以CQ為邊的平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)答案:(1)y=?(2)818，(3)存在，M?8,0或M?1,0分析：（1）把B?4,0，點(diǎn)C（2）連接AC，確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，判定△ABC是直角三角形，結(jié)合cos∠DPE=PDPE=BCBA=255=25，得到5PD=2（3）確定變化后的拋物線解析式，利用平移思想計(jì)算即可．【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€y=?12x2所以?8?4b解得b=?3所以拋物線的解析式為y=?1（2）連接AC，因?yàn)閥=?12x2?所以點(diǎn)A1,0，所以△ABC是直角三角形，因?yàn)镻D⊥BC，∠PED所以∠DPE所以cos∠DPE所以PDPE所以5PD所以5PD設(shè)直線BC的解析式為y=所以0=?4解得k=1所以直線BC的解析式為y=因?yàn)辄c(diǎn)P為直線BC上方拋物線y=?1設(shè)Pm,?12m所以PE=?12所以5=?2m+所以當(dāng)m=?74時(shí)，5PD+2所以P?（3）因?yàn)閷⒃瓛佄锞€繞線段BC的中點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°得到新拋物線y'所以點(diǎn)B，點(diǎn)C仍在拋物線y'因?yàn)锽?4,0所以Q?2,1因?yàn)锳1,0所以其對(duì)稱點(diǎn)G?5,2設(shè)y'所以25a解得a=1所以拋物線y'因?yàn)镼?2,1,C0,2當(dāng)CQ從點(diǎn)C0,2平移到Q因?yàn)辄c(diǎn)M在x軸上，且Mn,0根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到CQ∥所以點(diǎn)Mn,0向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)所以Nn因?yàn)镹n?2,?1在拋物線所以12解得n=0,所以M0,0或M當(dāng)CQ從點(diǎn)Q?2,1平移到C因?yàn)辄c(diǎn)M在x軸上，且Mn,0根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到CQ∥所以點(diǎn)Mn,0向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)所以Nn因?yàn)镹n+2,1在拋物線所以12解得n=?8,所以M?8,0或M綜上所述點(diǎn)M的坐標(biāo)為M?8,0或M?1,0或【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線解析式的求法，銳角三角函數(shù)，構(gòu)造二次函數(shù)求面積的最值，平移思想確定平行四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握解析式的確定方法，準(zhǔn)確構(gòu)造二次函數(shù)，活用平移思想是解題的關(guān)鍵．13．如圖，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C（0，5），連接BC，其中OC＝5OA．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，將直線BC沿y軸向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后與拋物線交于D、E兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)G，若點(diǎn)P是拋物線上位于直線BC下方（不與A、B重合）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PE，交直線BC于點(diǎn)F，連接PD、DF、PB、PC．若S△PBC＝1021S△EDF，求點(diǎn)P（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P滿足（2）問(wèn)條件時(shí)，將△CBP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到△CB'P'，此時(shí)點(diǎn)B′恰好落到直線ED上，已知點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在直線ED上是否存在一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)C、B′、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案:（1）y＝x2－6x＋5；（2）P（4，－3）；（3）存在，（2，9）或（12，－1）或(?9+732分析：（1）先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后代入y＝x2＋bx＋c，即可求拋物線的解析式；（2）先求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而得到直線BC的解析式，然后BC向上平移6個(gè)單位為DE，得到直線DE的解析式，根據(jù)直線DE和拋物線的交點(diǎn)，可求出點(diǎn)D和點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而得到DE和BC的長(zhǎng)，連接BD，CD，則S△EDFS△BCD=DEBC，繼而得到S△PBC=2（3）根據(jù)BC可求出CB'=52，設(shè)B'(a,?a+11)，則CB'2【詳解】解：（1）∵C（0，5），OC＝5OA，∴OC＝5，OA＝1，A（1，0）將C（0，5），A（1，0）代入y＝x2＋bx＋c中，得{解得：{∴拋物線的解析式為：y＝x2－6x＋5；（2）令y＝0，則有x2－6x＋5＝0，解得：x1＝5，x2＝1∴B（5，0）設(shè)直線BC為：y＝kx＋b，則有{解得：{b∴直線BC：y＝－x＋5，∵BC向上平移6個(gè)單位為DE∴直線DE為：y＝－x＋11，聯(lián)立{y得x2－5x－6＝0∴x1＝6，x2＝－1，∴D（6，5），E（－1，12），∴DE＝72，∴BC＝OB∵BC//DE，∴如圖，連接BD，CD，∴S△∵S△∴S△過(guò)C作CR⊥DE于R,過(guò)P作PQ//BC交y軸于Q,過(guò)則S∵OB∴∠BCO由平移的性質(zhì)及PQ//∴∠OQP∵DE:y=?x∴CG∴CR∴Q同理可得：CQ=4,∴Q∴PQ∴聯(lián)立{解得：x1∴P（4，－3）或（1，0），∵當(dāng)P為（1，0）時(shí)與點(diǎn)A重合，故舍去，∴P（4，－3）；（3）∵BC＝52，∴CB'＝5設(shè)B'(a解得：a1∵0°∴B'設(shè)M（m，m2－6m＋5），N（n，－n＋11），①當(dāng)B'∴{m解得：{m=0n∴N（2，9）；②當(dāng)B'∴{7+解得：{m=0n∴N（12，－1）；③當(dāng)MC為對(duì)角線時(shí)，∴{7+解得：{m=∴N(?9+73綜上可知，N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9）或（12，－1）或(?9+732【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖像的平移、兩點(diǎn)間的距離等，解題的關(guān)鍵是綜合利用相關(guān)知識(shí)．14．如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C（0，5），連接BC，其中OC＝5OA．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，將直線BC沿y軸向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后與拋物線交于D、E兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)G，若點(diǎn)P是拋物線上位于直線BC下方（不與A、B重合）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM∥y軸交DE于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BC于點(diǎn)N，求PM＋NH的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P滿足（2）問(wèn)條件時(shí)，將△CBP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到△CB'P'，此時(shí)點(diǎn)B′恰好落到直線ED上，已知點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在直線ED上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)C、B′、F、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案:（1）y＝x2﹣6x＋5；（2）PM＋NH最大值為494＋32，P（52，﹣154）；（3）存在，Q（2，9）或（73?92，31?分析：（1）求出A坐標(biāo)，代入可得答案；（2）MH是定值，PM＋NH取最大值即是P