連續(xù)型隨機變量及其概率密度

關(guān)于連續(xù)型隨機變量及其概率密度則稱X為連續(xù)型隨機變量,稱f(x)

為X的概率密度函數(shù),簡稱為概率密度.一、連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)有,使得對任意實數(shù)

,對于隨機變量X,如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),

連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)在上連續(xù)(ContinuousRandomVariable)(ProbabilityDensityFunction)第2頁,共40頁，星期六，2024年，5月第3頁,共40頁，星期六，2024年，5月二、概率密度函數(shù)的性質(zhì)1o2of(x)xo面積為1這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù)f(x)是否為某r.vX的概率密度的充要條件對于任意實數(shù)x1,x2,(x1<x2),利用概率密度可確定隨機點落在某個范圍內(nèi)的概率

若f(x)在點x

處連續(xù),則有第4頁,共40頁，星期六，2024年，5月故X的密度f(x)

在x

這一點的值,恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長度之比的極限.這里，如果把概率理解為質(zhì)量，f(x)相當(dāng)于線密度.*若x是f(x)的連續(xù)點，則對f(x)的進一步理解:*若不計高階無窮小，有表示隨機變量X

取值于的概率近似等于.在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與在離散型r.v理論中所起的作用相類似.第5頁,共40頁，星期六，2024年，5月*注意:密度函數(shù)f(x)在某點處a的高度,并不反映X取值的概率.

但是,這個高度越大,則X取a附近的值的概率就越大.

在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度.f(x)xoa第6頁,共40頁，星期六，2024年，5月(1)連續(xù)型r.v取任一指定實數(shù)值a的概率均為0.即注意:這是因為當(dāng)時得到由P(B)=1,不能推出

B=S由P(A)=0,不能推出(2)對連續(xù)型r.vX,有第7頁,共40頁，星期六，2024年，5月第8頁,共40頁，星期六，2024年，5月第9頁,共40頁，星期六，2024年，5月第10頁,共40頁，星期六，2024年，5月第11頁,共40頁，星期六，2024年，5月第12頁,共40頁，星期六，2024年，5月第13頁,共40頁，星期六，2024年，5月1.均勻分布(TheUniformDistribution)則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，X

～U(a,b)三、三種重要的連續(xù)型隨機變量若r.vX的概率密度為：記作*均勻分布常見于下列情形：如在數(shù)值計算中，由于四舍五入，

小數(shù)點后某一位小數(shù)引入的誤差；公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，

即乘客的候車時間等。第14頁,共40頁，星期六，2024年，5月第15頁,共40頁，星期六，2024年，5月第16頁,共40頁，星期六，2024年，5月例2某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時刻有汽車到達(dá)此站,

如果乘客到達(dá)此站時間X

是7:00到7:30之間的均勻隨機變量,

試求他候車時間少于5分鐘的概率.解依題意，

X

～U(0,30)

以7:00為起點0，以分為單位第17頁,共40頁，星期六，2024年，5月為使候車時間X少于5分鐘,乘客必須在7:10到7:15之間,或在7:25到7:30之間到達(dá)車站.所求概率為：即乘客候車時間少于5分鐘的概率是1/3.從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30等時刻有汽車到達(dá)汽車站，第18頁,共40頁，星期六，2024年，5月*指數(shù)分布常用于各種“壽命”分布的近似，

例如，電子元件的壽命，輪胎的壽命，電話的通話時間等。2.指數(shù)分布(The(Negative)ExponentialDistribution)

若r.vX具有概率密度為常數(shù),則稱X

服從參數(shù)為的指數(shù)分布.第19頁,共40頁，星期六，2024年，5月若X

服從參數(shù)為

的指數(shù)分布,則其分布函數(shù)為當(dāng)時,當(dāng)時,第20頁,共40頁，星期六，2024年，5月第21頁,共40頁，星期六，2024年，5月3.正態(tài)分布(TheNormal(Gaussian)Distribution)若連續(xù)型r.vX的概率密度為記作:其中和(>0)都是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布或高斯分布.X

～N(μ,σ2)第22頁,共40頁，星期六，2024年，5月正態(tài)分布是概率論中非常重要的分布，可以用正態(tài)分布來描述的實例非常多，例如，各種測量的誤差；人的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；

農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線的抗拉強度；

熱噪聲電流強度；學(xué)生們的考試成績等。正態(tài)分布的重要性可以由以下情形加以說明：1)正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見的分布之一，大量的隨機現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的?？梢宰C明，如果一個隨機指標(biāo)受到諸多因素的影響，

但其中任何一個因素都不起決定性作用，

則該隨機指標(biāo)一定服從或近似服從正態(tài)分布。2)正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，

這些性質(zhì)是其它許多分布所不具備的。3)正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布。第23頁,共40頁，星期六，2024年，5月則有第24頁,共40頁，星期六，2024年，5月曲線關(guān)于軸對稱；函數(shù)在上單調(diào)增加,在上單調(diào)減少,在取得最大值；第25頁,共40頁，星期六，2024年，5月x=μ

σ為f(x)的兩個拐點的橫坐標(biāo)；當(dāng)x→∞時，f(x)→0.f(x)以x軸為漸近線第26頁,共40頁，星期六，2024年，5月決定了圖形的中心位置,決定了圖形中峰的陡峭程度.

正態(tài)分布

的圖形特點第27頁,共40頁，星期六，2024年，5月若固定σ的值而μ變化時,則密度曲線的形狀不變,它沿著x軸方向平行移動．若固定μ的值而σ變化時，則密度曲線的位置不變，而其形狀將改變，當(dāng)σ大時曲線平緩，當(dāng)σ小時曲線陡峭．第28頁,共40頁，星期六，2024年，5月

設(shè)X~,X的分布函數(shù)是正態(tài)分布的分布函數(shù)第29頁,共40頁，星期六，2024年，5月的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(StandardNormalDistribution)第30頁,共40頁，星期六，2024年，5月的性質(zhì):第31頁,共40頁，星期六，2024年，5月標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于,任何一個的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.定理1證:Z

的分布函數(shù)為:則有:第32頁,共40頁，星期六，2024年，5月根據(jù)定理1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.于是:第33頁,共40頁，星期六，2024年，5月書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表.正態(tài)分布表當(dāng)x<0

時,表中給的是x>0時,Φ(x)的值.第34頁,共40頁，星期六，2024年，5月若若X～N(0,1),~N(0,1)

則第35頁,共40頁，星期六，2024年，5月由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計算可以求得，這說明,X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內(nèi),

超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.當(dāng)X～N(0,1)時，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.99743準(zhǔn)則第36頁,共40頁，星期六，2024年，5月將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,可以認(rèn)為，X

的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).在統(tǒng)計學(xué)上稱作“3準(zhǔn)則”

.~N(0,1)

X

～N(μ,σ2)時，第37頁,共40頁，星期六，2024年，5月標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點設(shè)若數(shù)滿足條件則稱點為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點.第38頁,共40頁，星期六，2024年，5月看一個應(yīng)用正態(tài)分布的