新教材2024年秋高中數(shù)學第5章三角函數(shù)5.5三角恒等變換5.5.1兩角和與差的正弦余弦和正切公式第3課時兩角和與差的正切公式教師用書含答案新人教A版必修第一冊

第3課時兩角和與差的正切公式1．能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導出兩角和與差的正切公式．(邏輯推理)2．能利用兩角和與差的正切公式進行化簡、求值、證明．(數(shù)學運算)3．熟識兩角和與差的正切公式的常見變形，并能敏捷應用．(數(shù)學運算)依據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關系tanθ＝sinθcosθ，怎樣由sin(α＋β)以及cos(α＋β)的公式將tan(α＋β)用tanα，tanβ來表示？如何將tan(α－β)用tanα學問點兩角和與差的正切公式名稱簡記符號公式運用條件兩角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝tanα，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)且tanα·tanβ兩角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝tanα，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)且tanα·tanβT(α±β)體現(xiàn)了tanαtanβ與tanα±tanβ的內在聯(lián)系．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立． ()(2)對隨意α，β∈R，tan(α＋β)＝tanα[答案](1)√(2)×2．(1)已知tanα＝2，則tanα+(2)tan56[答案](1)－3(2)3類型1公式的正用、逆用【例1】(源自人教B版教材)求下列各式的值．(1)tan75°；(2)tan17°+[解](1)tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°+(2)tan17°+(3)因為tan45°＝1，所以1-tan15公式T(α±β)的正用、逆用一方面要熟記公式的結構，另一方面要留意常值代換，如tanπ4＝1，tanπ6＝要特殊留意tanπ4+α[跟進訓練]1．(1)若tanα＝13，tan(α＋β)＝12，則tanA．17B．16C．5(2)計算：3-(1)A(2)1[(1)tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tanα(2)原式＝tan60類型2公式的變形應用【例2】求值：(1)tan67°－tan22°－tan67°tan22°；(2)(1＋tan18°)(1＋tan27°)．[解](1)∵tan67°－tan22°＝tan(67°－22°)(1＋tan67°tan22°)＝tan45°(1＋tan67°tan22°)＝1＋tan67°tan22°，∴tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1．(2)(1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2．[母題探究]1．將例2(1)中的角同時增加1°結果又如何？[解]∵tan45°＝tan(68°－23°)＝tan68∴1＋tan68°tan23°＝tan68°－tan23°，即tan68°－tan23°－tan68°tan23°＝1．2．能否為例2(1)歸納出一個一般結論？若能，試證明．[解]一般結論：若α－β＝45°(α，β≠k×180°＋90°，k∈Z)，則tanα－tanβ－tanαtanβ＝1．證明：∵tan45°＝tan(α－β)＝tanα∴1＋tanαtanβ＝tanα－tanβ，即tanα－tanβ－tanαtanβ＝1．兩角和的正切公式的常見4種變形(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．(2)1－tanαtanβ＝tanα(3)tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)．(4)tanαtanβ＝1－tanα[跟進訓練]2．若α＋β＝45°，求(1＋tanα)(1＋tanβ)的值．[解]∵α＋β＝45°，∴tan(α＋β)＝tan45°＝1．∴原式＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1＋tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ＝1＋(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ＝2．類型3公式的綜合應用【例3】(源自蘇教版教材)如圖，有三個相同的正方形相接，求證：α＋β＝π4[證明]由題圖可知tanα＝12，tanβ＝1從而得tan(α＋β)＝tanα因為α，β∈0，所以α＋β∈(0，π)．在區(qū)間(0，π)內，正切值為1的角只有1個，即tanπ4＝1．故α＋β＝π探究利用公式T(α±β)求角的步驟(1)求值：依據(jù)題設條件求角的某一三角函數(shù)值．(2)確定所求角的范圍(范圍探討的過大或過小，會使求出的角不合題意或漏解)，依據(jù)范圍找出角．[跟進訓練]3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊作兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知點A，B的橫坐標分別為210，2求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大?。甗解](1)由條件得cosα＝210，cosβ＝2∵α，β為銳角，∴sinα＝1-cos2sinβ＝1-cos2因此tanα＝sinαcosα＝7，tanβ∴tan(α＋β)＝tanα(2)∵tan2β＝tan(β＋β)＝2tanβ1∴tan(α＋2β)＝tanα∵α，β為銳角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β1．若tanα＝3，tanβ＝43，則tan(α－βA．3B．－3C．13D．－C[tan(α－β)＝tanα2．與1-A．tan66° B．tan24°C．tan42° D．tan21°B[原式＝tan453．已知sinα＝55，且α為銳角，tanβ＝－3，且β為鈍角，則角α＋βA．π4B．3π4C．πB[因為sinα＝55，且α所以cosα＝255，tanα＝所以tan(α＋β)＝tanα又α＋β∈π2，3π2，故α4．計算tan10°＋tan35°＋tan10°tan35°＝________．1[由tan(α＋β)＝tanαtanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)得：tan10°＋tan35°＝tan45°(1－tan10°tan35°)＝1－tan10°tan35°，所以tan10°＋tan35°＋tan10°tan35°＝1．]回顧本節(jié)學問，自主完成以下問題：1．你能分析一下T(α±β)公式的特征嗎？[提示]公式的右邊為分式形式，其中分子為tanα，tanβ的和或差，分母為1與tanαtanβ的差或和．公式中左邊的加減號與右邊分子上的加減號相同，與分母上的加減號相反．符號改變規(guī)律可簡記為“分子同，分母反”．2．兩角和與差的正切公式揭示了tanαtan