新教材2024年秋高中數(shù)學(xué)第5章三角函數(shù)5.5三角恒等變換5.5.1兩角和與差的正弦余弦和正切公式第3課時(shí)兩角和與差的正切公式教師用書(shū)含答案新人教A版必修第一冊(cè)

第3課時(shí)兩角和與差的正切公式1．能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式．(邏輯推理)2．能利用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．熟識(shí)兩角和與差的正切公式的常見(jiàn)變形，并能敏捷應(yīng)用．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)依據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系tanθ＝sinθcosθ，怎樣由sin(α＋β)以及cos(α＋β)的公式將tan(α＋β)用tanα，tanβ來(lái)表示？如何將tan(α－β)用tanα學(xué)問(wèn)點(diǎn)兩角和與差的正切公式名稱(chēng)簡(jiǎn)記符號(hào)公式運(yùn)用條件兩角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝tanα，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)且tanα·tanβ兩角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝tanα，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)且tanα·tanβT(α±β)體現(xiàn)了tanαtanβ與tanα±tanβ的內(nèi)在聯(lián)系．1．思索辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立． ()(2)對(duì)隨意α，β∈R，tan(α＋β)＝tanα[答案](1)√(2)×2．(1)已知tanα＝2，則tanα+(2)tan56[答案](1)－3(2)3類(lèi)型1公式的正用、逆用【例1】(源自人教B版教材)求下列各式的值．(1)tan75°；(2)tan17°+[解](1)tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°+(2)tan17°+(3)因?yàn)閠an45°＝1，所以1-tan15公式T(α±β)的正用、逆用一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu)，另一方面要留意常值代換，如tanπ4＝1，tanπ6＝要特殊留意tanπ4+α[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)若tanα＝13，tan(α＋β)＝12，則tanA．17B．16C．5(2)計(jì)算：3-(1)A(2)1[(1)tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tanα(2)原式＝tan60類(lèi)型2公式的變形應(yīng)用【例2】求值：(1)tan67°－tan22°－tan67°tan22°；(2)(1＋tan18°)(1＋tan27°)．[解](1)∵tan67°－tan22°＝tan(67°－22°)(1＋tan67°tan22°)＝tan45°(1＋tan67°tan22°)＝1＋tan67°tan22°，∴tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1．(2)(1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2．[母題探究]1．將例2(1)中的角同時(shí)增加1°結(jié)果又如何？[解]∵tan45°＝tan(68°－23°)＝tan68∴1＋tan68°tan23°＝tan68°－tan23°，即tan68°－tan23°－tan68°tan23°＝1．2．能否為例2(1)歸納出一個(gè)一般結(jié)論？若能，試證明．[解]一般結(jié)論：若α－β＝45°(α，β≠k×180°＋90°，k∈Z)，則tanα－tanβ－tanαtanβ＝1．證明：∵tan45°＝tan(α－β)＝tanα∴1＋tanαtanβ＝tanα－tanβ，即tanα－tanβ－tanαtanβ＝1．兩角和的正切公式的常見(jiàn)4種變形(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．(2)1－tanαtanβ＝tanα(3)tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)．(4)tanαtanβ＝1－tanα[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．若α＋β＝45°，求(1＋tanα)(1＋tanβ)的值．[解]∵α＋β＝45°，∴tan(α＋β)＝tan45°＝1．∴原式＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1＋tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ＝1＋(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ＝2．類(lèi)型3公式的綜合應(yīng)用【例3】(源自蘇教版教材)如圖，有三個(gè)相同的正方形相接，求證：α＋β＝π4[證明]由題圖可知tanα＝12，tanβ＝1從而得tan(α＋β)＝tanα因?yàn)棣粒隆?，所以α＋β∈(0，π)．在區(qū)間(0，π)內(nèi)，正切值為1的角只有1個(gè)，即tanπ4＝1．故α＋β＝π探究利用公式T(α±β)求角的步驟(1)求值：依據(jù)題設(shè)條件求角的某一三角函數(shù)值．(2)確定所求角的范圍(范圍探討的過(guò)大或過(guò)小，會(huì)使求出的角不合題意或漏解)，依據(jù)范圍找出角．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個(gè)銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為210，2求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大?。甗解](1)由條件得cosα＝210，cosβ＝2∵α，β為銳角，∴sinα＝1-cos2sinβ＝1-cos2因此tanα＝sinαcosα＝7，tanβ∴tan(α＋β)＝tanα(2)∵tan2β＝tan(β＋β)＝2tanβ1∴tan(α＋2β)＝tanα∵α，β為銳角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β1．若tanα＝3，tanβ＝43，則tan(α－βA．3B．－3C．13D．－C[tan(α－β)＝tanα2．與1-A．tan66° B．tan24°C．tan42° D．tan21°B[原式＝tan453．已知sinα＝55，且α為銳角，tanβ＝－3，且β為鈍角，則角α＋βA．π4B．3π4C．πB[因?yàn)閟inα＝55，且α所以cosα＝255，tanα＝所以tan(α＋β)＝tanα又α＋β∈π2，3π2，故α4．計(jì)算tan10°＋tan35°＋tan10°tan35°＝________．1[由tan(α＋β)＝tanαtanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)得：tan10°＋tan35°＝tan45°(1－tan10°tan35°)＝1－tan10°tan35°，所以tan10°＋tan35°＋tan10°tan35°＝1．]回顧本節(jié)學(xué)問(wèn)，自主完成以下問(wèn)題：1．你能分析一下T(α±β)公式的特征嗎？[提示]公式的右邊為分式形式，其中分子為tanα，tanβ的和或差，分母為1與tanαtanβ的差或和．公式中左邊的加減號(hào)與右邊分子上的加減號(hào)相同，與分母上的加減號(hào)相反．符號(hào)改變規(guī)律可簡(jiǎn)記為“分子同，分母反”．2．兩角和與差的正切公式揭示了tanαtan