2024年高二數(shù)學(xué)暑期培優(yōu)講義 第07講 雙曲線（教師版）

第第頁(yè)第7講雙曲線考試要求1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).3.了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用．知識(shí)梳理1．雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)﹣eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)焦點(diǎn)F1(﹣c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，﹣c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范圍x≤﹣a或x≥a，y∈Ry≤﹣a或y≥a，x∈R對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(﹣a，0)，A2(a，0)A1(0，﹣a)，A2(0，a)軸實(shí)軸：線段A1A2，長(zhǎng)：2a；虛軸：線段B1B2，長(zhǎng)：2b，實(shí)半軸長(zhǎng)：a，虛半軸長(zhǎng)：b離心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)xa，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)常用結(jié)論(1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.(2)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c﹣a.(3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦)，其長(zhǎng)為eq\f(2b2,a).(4)若P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則SKIPIF1<0＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ為∠F1PF2.(5)與雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)到兩定點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．(×)(2)方程eq\f(x2,m)﹣eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．(×)(3)雙曲線eq\f(x2,m2)﹣eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的漸近線方程是eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.(√)(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于eq\r(2).(√)教材改編題1．若雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(5)B．5C.eq\r(2)D．2答案A解析由題意知焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝eq\f(c2,a2)＝5，∴e＝eq\r(5).2．設(shè)P是雙曲線eq\f(x2,16)﹣eq\f(y2,20)＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|PF1|＝9，則|PF2|等于()A．1B．17C．1或17D．以上均不對(duì)答案B3．(2022·汕頭模擬)寫(xiě)一個(gè)焦點(diǎn)在y軸上且離心率為eq\r(3)的雙曲線方程________．答案y2﹣eq\f(x2,2)＝1(答案不唯一，符合要求就可以)解析取c＝eq\r(3)，則e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，可得a＝1，∴b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(2)，因此，符合條件的雙曲線方程為y2﹣eq\f(x2,2)＝1(答案不唯一，符合要求就可以).題型一雙曲線的定義及應(yīng)用例1(1)已知定點(diǎn)F1(﹣2,0)，F(xiàn)2(2,0)，N是圓O：x2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是()A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．圓答案B解析如圖，連接ON，由題意可得|ON|＝1，且N為MF1的中點(diǎn)，又O為F1F2的中點(diǎn)，所以|MF2|＝2.因?yàn)辄c(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P，由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|＝|PF1|，所以||PF2|﹣|PF1||＝||PF2|﹣|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，所以由雙曲線的定義可得，點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線．(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2﹣y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為_(kāi)_____．答案2eq\r(3)解析不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(1,2)，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴SKIPIF1<0＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin60°＝2eq\r(3).→→答案2解析不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，∴SKIPIF1<0＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝2.教師備選1．已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x﹣3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()A．x2﹣eq\f(y2,8)＝1B.eq\f(x2,8)﹣y2＝1C．x2﹣eq\f(y2,8)＝1(x≤﹣1)D．x2﹣eq\f(y2,8)＝1(x≥1)答案C解析設(shè)圓M的半徑為r，由動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1和圓C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|﹣|MC1|＝2<6，所以點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)C1(﹣3,0)和C2(3,0)為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且2a＝2，a＝1，又c＝3，則b2＝c2﹣a2＝8，所以點(diǎn)M的軌跡方程為x2﹣eq\f(y2,8)＝1(x≤﹣1)．2．雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(2\r(3),3)x，一個(gè)焦點(diǎn)為F(0，﹣eq\r(7))，點(diǎn)A(eq\r(2)，0)，點(diǎn)P為雙曲線第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P的位置變化時(shí)，△PAF周長(zhǎng)的最小值為()A．8B．10C．4＋3eq\r(7)D．3＋3eq\r(17)答案B解析由已知得雙曲線方程為eq\f(y2,4)﹣eq\f(x2,3)＝1，設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為F′，則|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周長(zhǎng)為|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，當(dāng)F′，P，A三點(diǎn)共線時(shí)，|PF′|＋|PA|有最小值，為|AF′|＝3，故△PAF的周長(zhǎng)的最小值為10.思維升華在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|﹣|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知雙曲線C的離心率為eq\r(3)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面積為eq\r(2)，則雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為()A．1B．2C．3D．6答案B解析由題意知，|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以|PF2|＝a，|PF1|＝3a，又離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，|F1F2|＝2c＝2eq\r(3)a，所以cos∠F1PF2＝eq\f(9a2＋a2－12a2,2·3a·a)＝eq\f(－2a2,6a2)＝﹣eq\f(1,3)，sin∠F1PF2＝eq\f(2\r(2),3)，所以SKIPIF1<0＝eq\f(1,2)·a·3a·eq\f(2\r(2),3)＝eq\r(2)a2＝eq\r(2)，所以a＝1，實(shí)軸長(zhǎng)2a＝2.(2)已知F是雙曲線eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,12)＝1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為_(kāi)_______．答案9解析設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F1，則由雙曲線的定義，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以當(dāng)|PF1|＋|PA|最小時(shí)滿足|PF|＋|PA|最小．由雙曲線的圖象，可知當(dāng)點(diǎn)A，P，F(xiàn)1共線時(shí)，滿足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|＋4即|PF|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值為9.題型二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2(1)雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1過(guò)點(diǎn)(eq\r(2)，eq\r(3))，且離心率為2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x2﹣eq\f(y2,3)＝1B.eq\f(x2,3)﹣y2＝1C．x2﹣eq\f(\r(3)y2,3)＝1D.eq\f(\r(3)x2,3)﹣y2＝1答案A解析∵e＝eq\f(c,a)＝2，則c＝2a，b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(3)a，則雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,3a2)＝1，將點(diǎn)(eq\r(2)，eq\r(3))的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得eq\f(2,a2)﹣eq\f(3,3a2)＝eq\f(1,a2)＝1，解得a＝1，故b＝eq\r(3)，因此，雙曲線的方程為x2﹣eq\f(y2,3)＝1.(2)若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，eq\r(2))，且漸近線方程是y＝±eq\f(1,3)x，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．答案y2﹣eq\f(x2,9)＝1解析設(shè)雙曲線的方程是y2﹣eq\f(x2,9)＝λ(λ≠0)．因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)(3，eq\r(2))，所以λ＝2﹣eq\f(9,9)＝1，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2﹣eq\f(x2,9)＝1.教師備選1．過(guò)雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A.若以C的右焦點(diǎn)F為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過(guò)A，O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,12)＝1B.eq\f(x2,7)﹣eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,8)﹣eq\f(y2,8)＝1D.eq\f(x2,12)﹣eq\f(y2,4)＝1答案A解析因?yàn)闈u近線y＝eq\f(b,a)x與直線x＝a交于點(diǎn)A(a，b)，c＝4且eq\r(4－a2＋b2)＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,12)＝1.2．經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2eq\r(7))，Q(﹣6eq\r(2)，7)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______．答案eq\f(y2,25)﹣eq\f(x2,75)＝1解析設(shè)雙曲線方程為mx2﹣ny2＝1(mn>0)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9m－28n＝1，,72m－49n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,75)，,n＝－\f(1,25).))∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,25)﹣eq\f(x2,75)＝1.思維升華求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，確定2a，2b或2c，從而求出a2，b2.(2)待定系數(shù)法：“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為eq\f(x2,m2)﹣eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根據(jù)條件求λ的值．A.eq\f(7x2,16)﹣eq\f(y2,12)＝1B.eq\f(y2,3)﹣eq\f(x2,2)＝1C．x2﹣eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(3y2,23)﹣eq\f(x2,23)＝1答案C解析因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，所以可設(shè)雙曲線的方程為x2﹣eq\f(y2,3)＝λ(λ≠0)，將點(diǎn)(2,3)代入其中，得λ＝1，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2﹣eq\f(y2,3)＝1.(2)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，PF2與x軸垂直，∠PF1F2＝30°，且虛軸長(zhǎng)為2eq\r(2)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(x2,3)﹣eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,8)＝1D．x2﹣eq\f(y2,2)＝1答案D解析由題意可知|PF1|＝eq\f(4\r(3)c,3)，|PF2|＝eq\f(2\r(3)c,3)，2b＝2eq\r(2)，由雙曲線的定義可得eq\f(4\r(3)c,3)﹣eq\f(2\r(3)c,3)＝2a，即c＝eq\r(3)a.又b＝eq\r(2)，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2﹣eq\f(y2,2)＝1.題型三雙曲線的幾何性質(zhì)命題點(diǎn)1漸近線例3(1)由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線eq\f(y2,a2)﹣eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)下支的一部分，且此雙曲線的下焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為()A.eq\f(y2,12)﹣eq\f(x2,4)＝1B.eq\f(3y2,4)﹣eq\f(x2,4)＝1C.eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,4)＝1D.eq\f(y2,16)﹣eq\f(x2,4)＝1答案B解析由題意知，b＝2，又因?yàn)閑＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝2，解得a2＝eq\f(4,3)，所以雙曲線的方程為eq\f(3y2,4)﹣eq\f(x2,4)＝1.(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝a與雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點(diǎn)，若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為()A．4B．8C．16D．32答案B解析由題意知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x.因?yàn)镈，E分別為直線x＝a與雙曲線C的兩條漸近線的交點(diǎn)，所以不妨設(shè)D(a，b)，E(a，﹣b)，所以S△ODE＝eq\f(1,2)×a×|DE|＝eq\f(1,2)×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立)，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值為8.思維升華(1)漸近線的求法：求雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線的方法是令eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝0，即得兩漸近線方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＝±\f(b,a)x)).(2)在雙曲線的幾何性質(zhì)中重點(diǎn)是漸近線方程和離心率，在雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±eq\f(b,a)，滿足關(guān)系式e2＝1＋k2.命題點(diǎn)2離心率例4(1)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為()A.eq\f(\r(7),2)B.eq\f(\r(13),2)C.eq\r(7)D.eq\r(13)答案A解析設(shè)|PF2|＝m，則|PF1|＝3m，在△F1PF2中，|F1F2|＝eq\r(m2＋9m2－2×3m×m×cos60°)＝eq\r(7)m，所以C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|－|PF2|)＝eq\f(\r(7)m,2m)＝eq\f(\r(7),2).高考改編已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在雙曲線E的左支上，且∠F1AF2＝120°，|AF2|＝2|AF1|，則雙曲線E的離心率為()A.eq\r(3)B.eq\r(5)C.eq\r(7)D．7答案C解析點(diǎn)A在雙曲線E的左支上，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)|AF1|＝m，由|AF2|＝2|AF1|知|AF2|＝2m，由雙曲線定義得|AF2|﹣|AF1|＝2m﹣m＝m＝2a，在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，由余弦定理知，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2﹣2|AF1||AF2|cos120°＝4a2＋16a2＋8a2＝28a2，∴|F1F2|＝2eq\r(7)a，又|F1F2|＝2c，∴2eq\r(7)a＝2c，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(7).(2)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，則雙曲線C的離心率的取值范圍為()A．(1,2)B．(1,3)C．(3，＋∞)D．(2,3)答案A解析在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理得，|PF1|＝3|PF2|，又點(diǎn)P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，所以|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，得3a＋a>2c，即2a>c，所以e＝eq\f(c,a)<2，又e>1，所以1<e<2.教師備選1．已知雙曲線eq\f(x2,m＋1)﹣eq\f(y2,m)＝1(m>0)的漸近線方程為x±eq\r(3)y＝0，則m等于()A.eq\f(1,2)B.eq\r(3)﹣1C.eq\f(\r(3)＋1,2) D．2答案A解析由漸近線方程y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(3),3)x，所以eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，則eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,3)，即eq\f(m,m＋1)＝eq\f(1,3)，m＝eq\f(1,2).2．設(shè)F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點(diǎn)．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)答案A解析令雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c，0)，則c＝eq\r(a2＋b2).如圖所示，由圓的對(duì)稱(chēng)性及條件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑，且PQ⊥OF.設(shè)垂足為M，連接OP，則|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝eq\f(c,2)，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))2＝a2，∴eq\f(c,a)＝eq\r(2)，即離心率e＝eq\r(2).思維升華求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq\f(c,a)轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(或不等式)，通過(guò)解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍)．跟蹤訓(xùn)練3(1)(多選)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率e＝2，C上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的最短距離為1，則()A．雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±2)B．雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\r(3)xC．點(diǎn)(2,3)在雙曲線C上D．直線mx﹣y﹣m＝0(m∈R)與雙曲線C恒有兩個(gè)交點(diǎn)答案BC解析雙曲線C上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的最短距離為c﹣a＝1，離心率e＝eq\f(c,a)＝2，所以a＝1，c＝2，所以b2＝3，所以雙曲線C的方程為x2﹣eq\f(y2,3)＝1，所以C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2,0)，A錯(cuò)誤；雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x，B正確；因?yàn)?2﹣eq\f(32,3)＝1，所以點(diǎn)(2,3)在雙曲線C上，C正確；直線mx﹣y﹣m＝0即y＝m(x﹣1)，恒過(guò)點(diǎn)(1,0)，當(dāng)m＝±eq\r(3)時(shí)，直線與雙曲線C的一條漸近線平行，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，D錯(cuò)誤．(2)若雙曲線C1：eq\f(y2,4)﹣eq\f(x2,9)＝1與雙曲線C2：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共點(diǎn)，則雙曲線C2的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(13),2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(13),3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),2)，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),3)，＋∞))答案D解析因?yàn)殡p曲線C1：eq\f(y2,4)﹣eq\f(x2,9)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(2,3)x，雙曲線C2：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，為使雙曲線C1：eq\f(y2,4)﹣eq\f(x2,9)＝1與雙曲線C2：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共點(diǎn)，只需eq\f(b,a)>eq\f(2,3)，則離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)>eq\r(1＋\f(4,9))＝eq\f(\r(13),3).課時(shí)精練1．雙曲線9x2﹣16y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(5,12)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(5,12)))C．(±5,0)D．(0，±5)答案A解析將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為eq\f(x2,\f(1,9))﹣eq\f(y2,\f(1,16))＝1，所以c2＝eq\f(1,9)＋eq\f(1,16)＝eq\f(25,144)，所以c＝eq\f(5,12)，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(5,12)，0)).2．已知雙曲線eq\f(x2,m)﹣eq\f(y2,m＋6)＝1(m>0)的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,2)﹣eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,8)＝1C．x2﹣eq\f(y2,8)＝1D.eq\f(x2,2)﹣eq\f(y2,8)＝1答案D解析由題意，得2eq\r(m)＝eq\r(m＋6)，解得m＝2，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,2)﹣eq\f(y2,8)＝1.3．若雙曲線E：eq\f(x2,9)﹣eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于()A．11B．9C．5D．3答案B解析方法一依題意知，點(diǎn)P在雙曲線的左支上，根據(jù)雙曲線的定義，得|PF2|﹣|PF1|＝2×3＝6，所以|PF2|＝6＋3＝9.方法二根據(jù)雙曲線的定義，得||PF2|﹣|PF1||＝2×3＝6，所以||PF2|﹣3|＝6，所以|PF2|＝9或|PF2|＝﹣3(舍去)．4．若雙曲線C：eq\f(x2,9)﹣eq\f(y2,b2)＝1的右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離是3eq\r(3)，則C的離心率為()A．2B.eq\r(3)C.eq\f(4,3)D.eq\f(2\r(3),3)答案A解析雙曲線C：eq\f(x2,9)﹣eq\f(y2,b2)＝1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\r(9＋b2)，0)，漸近線方程為y＝±eq\f(b,3)x，即bx±3y＝0，∵雙曲線C：eq\f(x2,9)﹣eq\f(y2,b2)＝1的右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離是3eq\r(3)，∴eq\f(b\r(9＋b2),\r(b2＋9))＝3eq\r(3)，解得b＝3eq\r(3)，∴c＝eq\r(9＋b2)＝eq\r(9＋3\r(3)2)＝6，∴離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(6,3)＝2.5．(多選)已知雙曲線C的方程為eq\f(x2,16)﹣eq\f(y2,9)＝1，則下列說(shuō)法正確的是()A．雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為8B．雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(3,4)xC．雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3D．雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為eq\f(9,4)答案ABC解析因?yàn)閍2＝16，所以a＝4,2a＝8，故A正確；因?yàn)閍＝4，b＝3，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(3,4)x，故B正確；因?yàn)閏＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(16＋9)＝5，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣5,0)，(5,0)，焦點(diǎn)(5,0)到漸近線3x﹣4y＝0的距離為eq\f(|15|,\r(32＋－42))＝3，故C正確；雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為c﹣a＝1，故D錯(cuò)誤．6．(多選)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,9)＝1(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，一條漸近線方程為y＝eq\f(3,4)x，P為C上一點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的是()A．C的實(shí)軸長(zhǎng)為8 B．C的離心率為eq\f(5,3)C．|PF1|﹣|PF2|＝8 D．C的焦距為10答案AD解析由雙曲線方程知，漸近線方程為y＝±eq\f(3,a)x，而一條漸近線方程為y＝eq\f(3,4)x，∴a＝4，故C：eq\f(x2,16)﹣eq\f(y2,9)＝1，∴雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為2a＝8，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(16＋9),4)＝eq\f(5,4)，由于P可能在C不同分支上，則有||PF1|﹣|PF2||＝8，焦距為2c＝2eq\r(a2＋b2)＝10.∴A，D正確，B，C錯(cuò)誤．7．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率e＝2，則該雙曲線C的漸近線方程為_(kāi)_______．答案y＝±eq\r(3)x解析因?yàn)殡p曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，所以e＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝2，所以eq\f(b2,a2)＝3，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x.8．設(shè)雙曲線eq\f(x2,9)﹣eq\f(y2,16)＝1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F.過(guò)點(diǎn)F且平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為_(kāi)_______．答案eq\f(32,15)解析因?yàn)閍2＝9，b2＝16，所以c＝5.所以A(3,0)，F(xiàn)(5,0)，不妨設(shè)直線BF的方程為y＝eq\f(4,3)(x﹣5)，代入雙曲線方程解得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,5)，－\f(32,15))).所以S△AFB＝eq\f(1,2)|AF|·|yB|＝eq\f(1,2)×2×eq\f(32,15)＝eq\f(32,15).9．已知雙曲線eq\f(x2,16)﹣eq\f(y2,4)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.(1)若點(diǎn)M在雙曲線上，且eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，求M點(diǎn)到x軸的距離；(2)若雙曲線C與已知雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3eq\r(2)，2)，求雙曲線C的方程．解(1)不妨設(shè)M在雙曲線的右支上，M點(diǎn)到x軸的距離為h，∵eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，∴MF1⊥MF2.設(shè)|MF1|＝m，|MF2|＝n，由雙曲線的定義知m﹣n＝2a＝8.①在Rt△F1MF2中，由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，②由①②得m·n＝8.∵SKIPIF1<0＝eq\f(1,2)mn＝4＝eq\f(1,2)×2ch，∴h＝eq\f(2\r(5),5).即M點(diǎn)到x軸的距離為eq\f(2\r(5),5).(2)設(shè)雙曲線C的方程為eq\f(x2,16－λ)﹣eq\f(y2,4＋λ)＝1(﹣4<λ<16)．∵雙曲線C過(guò)點(diǎn)(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(18,16－λ)﹣eq\f(4,4＋λ)＝1，解得λ＝4或λ＝﹣14(舍去)，∴雙曲線C的方程為eq\f(x2,12)﹣eq\f(y2,8)＝1.x，點(diǎn)A(0，b)，且△AF1F2的面積為6.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若|AP|＝|AQ|，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解(1)由題意得eq\f(b,a)＝eq\f(2\r(5),5)，①SKIPIF1<0＝eq\f(1,2)×2c·b＝6，②a2＋b2＝c2，③由①②③可得a2＝5，b2＝4，∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,5)﹣eq\f(y2,4)＝1.(2)由題意知直線l不過(guò)點(diǎn)A.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，線段PQ的中點(diǎn)為D(x0，y0)，連接AD(圖略)．將y＝kx＋m與eq\f(x2,5)﹣eq\f(y2,4)＝1聯(lián)立，消去y，整理得(4﹣5k2)x2﹣10kmx﹣5m2﹣20＝0，由4﹣5k2≠0且Δ>0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－5k2≠0，,80m2－5k2＋4>0，))④∴x1＋x2＝eq\f(10km,4－5k2)，x1x2＝﹣eq\f(5m2＋20,4－5k2)，∴x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(5km,4－5k2)，y0＝kx0＋m＝eq\f(4m,4－5k2).由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ，又A(0,2)，∴kAD＝eq\f(y0－2,x0)＝eq\f(\f(4m,4－5k2)－2,\f(5km,4－5k2))＝﹣eq\f(1,k)，化簡(jiǎn)得10k2＝8﹣9m，⑤由④⑤，得m<﹣eq\f(9,2)或m>0.由10k2＝8﹣9m>0，得m<eq\f(8,9).綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m<﹣eq\f(9,2)或0<m<eq\f(8,9).11．(多選)雙曲線C：eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,2)＝1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在雙曲線C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()A．雙曲線C的離心率為eq\f(\r(6),2)B．雙曲線eq\f(y2,4)﹣eq\f(x2,8)＝1與雙曲線C的漸近線相同C．若PO⊥PF，則△PFO的面積為eq\r(2)D．|PF|的最小值為2答案ABC解析因?yàn)閍＝2，b＝eq\r(2)，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(6)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),2)，故A正確；雙曲線eq\f(y2,4)﹣eq\f(x2,8)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x，雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x，故B正確；因?yàn)镻O⊥PF，點(diǎn)F(eq\r(6)，0)到漸近線eq\r(2)x﹣2y＝0的距離d＝eq\f(|\r(2)×\r(6)|,\r(6))＝eq\r(2)，所以|PF|＝eq\r(2)，所以|PO|＝eq\r(\r(6)2－\r(2)2)＝2，所以△PFO的面積為eq\f(1,2)×eq\r(2)×2＝eq\r(2)，故C正確；|PF|的最小值即為點(diǎn)F到漸近線的距離，即|PF|＝eq\r(2)，故D不正確．12．已知雙曲線C:eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，以C的焦點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓與C的漸近線相交，則雙曲線C的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(13),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(13),2)))D．(1，eq\r(13))答案B解析由題意可知雙曲線的其中一條漸近線為y＝eq\f(b,2)x，即bx﹣2y＝0，又該圓的圓心為(c，0)，故圓心到漸近線的距離為eq\f(bc,\r(b2＋4))，則由題意可得eq\f(bc,\r(b2＋4))<3，即b2c2<9(b2＋4)，又b2＝c2﹣a2＝c2﹣4，則(c2﹣4)c2<9c2，解得c2<13，即c<eq\r(13)，則e＝eq\f(c,a)＝eq\f(c,2)<eq\f(\r(13),2)，又e>1，故離心率的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(13),2))).13．已知雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為x﹣2y＝0，雙曲線的左焦點(diǎn)在直線x＋y＋eq\r(5)＝0上，A，B分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，則k1＋k2的取值范圍為()A．(1，＋∞)B．(eq\r(2)，＋∞)C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)答案A解析由雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為x﹣2y＝0，可得a＝2b，由雙曲線的左焦點(diǎn)在直線x＋y＋eq\r(5)＝0上，可得c＝eq\r(5)，則由a2＋b2＝c2，得a＝2，b＝1，雙曲線的方程為eq\f(x2,4)﹣y2＝1，由題意可得A(﹣2,0)，B(2,0)，設(shè)P(m，n)(m>2，n>0)，則eq\f(m2,4)﹣n2＝1，即eq\f(n2,m2－4)＝eq\f(1,4)，k1k2＝eq\f(n,m＋2)·eq\f(n,m－2)＝eq\f(n2,m2－4)＝eq\f(1,4)，易知k1，k2>0，則k1＋k2≥2eq\r(k1k2)＝1，由A，B分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，可得k1≠k2，則k1＋k2>1.14．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為原點(diǎn)，若以F1F2為直徑的圓與C的漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為P，且|F1P|＝eq\r(3)|OP|，則C的漸近線方程為_(kāi)_______．答案y＝±eq\r(3)x解析根據(jù)雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，O為原點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓與C的漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為P，如圖所示，則|F1O|＝|OP|＝c，|F1P|＝eq\r(3)|OP|＝eq\r(3)c，所以在△POF1中，由余弦定理可得cos∠POF1＝eq\f(|OP|