新教材2024高中數(shù)學第六章計數(shù)原理6.3二項式定理6.3.1二項式定理分層演練新人教A版選擇性必修第三冊

6.3二項式定理6.3.1二項式定理A級基礎鞏固1.在x2-1x5的綻開式中,含A.-10B.10C.-5D.5解析:x2-1x5的綻開式的通項為Tr+1=C5r(x(-1)r·C5r·x10-3r.令10-3r=4,得r=2.所以含x4的項的系數(shù)是(-1)2×C答案:B2.(x-2y)10的綻開式中x6y4的系數(shù)是()A.-840B.840C.210D.-210解析:在通項Tk+1=C10k(-2y)kx10-k中,令k=4,得(x-2y)10的綻開式中x6y4的系數(shù)為C104×(-2答案:B3.x+2xA.第7項B.第8項C.第9項D.第10項解析:二項綻開式的通項為Tk+1=C12k·x12-k2xk=C12k·2k·x12-32答案:C4.2x+1解析:由n=7,可知綻開式中共有8項,所以倒數(shù)第3項即為第6項,所以T6=C75(2x)2·1x25=C755.在x+2xn的綻開式中,若常數(shù)項為60,則解析:Tk+1=Cnk(x)n-k2xk令n-3k2依據(jù)題意,得2kC3kk=60,閱歷證知k=2,故6.已知在12(1)n的值;(2)綻開式中x5的系數(shù);(3)含x的整數(shù)次冪的項的個數(shù).解:12x2-1xn的綻開式的通項為T(-1)k12(1)因為第9項為常數(shù)項,即當k=8時,2n-52k=0,解得n=10(2)由(1)知(12x2-1x)10的綻開式的通項為Tk+1=(-1)k(12)10令20-52k=5,得k=6所以x5的系數(shù)為(-1)6×(12)4×C106(3)要使20-52k為整數(shù),即40-5由于k=0,1,2,3,…,9,10,故符合要求的有6項,分別為綻開式的第1,3,5,7,9,11項.B級拓展提高7.9192被100除所得的余數(shù)為()A.1B.81C.-81D.992解析:利用9192=(100-9)92的綻開式,或利用(90+1)92的綻開式.方法一(100-9)92=C920×10092-C921×10091×9+C922×100100×991+C9292×9綻開式中前92項均能被100整除,只需求最終一項除以100的余數(shù).而992=(10-1)92=C920×1092-C921×1091+…+C9290×102前91項均能被100整除,后兩項的和為-919.因原式為正,可從前面的數(shù)中分別出1000,結果為1000-919=81,所以9192被100除所得的余數(shù)為81.方法二(90+1)92=C920×9092+C921×9091+…+C9290×90前91項均能被100整除,后兩項的和為92×90+1=8281,明顯8281除以100所得的余數(shù)為81.答案:B8.(2024·上海卷)在(x3+1x)12的綻開式中,含1x4解析:綻開式的通項公式為Tk+1=C12k(x3)12-k(1x)k=C12kx364k=-4,解得k=10,即T11=C1210x-4=66x49.多選題設(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則滿意an2an-1an+1的正整數(shù)n的值可能為()A.1B.2C.3D.4解析:(1+2x)5的綻開式的通項為Tr+1=C5r(2x)r=C5r2rxr,r=0,1,2,3,4,5.所以a0=C5020=1,a1=C5121=10,a2=C5222=40,a3=C53a5=C5525=32.滿意an2=2an-1an+1的有a22=2a1a3,a32答案:BC10.(2024·新高考全國Ⅰ卷)(1-yx)(x+y)8的綻開式中x2y6的系數(shù)為-28(用數(shù)字作答)解析:(x+y)8的通項公式為Tr+1=C8rx8-ry當r=6時,T7=C86x2y6,當r=5時,T6=C85x3y5,所以(1-yx)(x+y)8的綻開式中x2y6的系數(shù)為C86-C85=811.利用二項式定理證明:49n+16n-1(n∈N*)能被16整除.證明:49n+16n-1=(48+1)n+16n-1=Cn0·48n+Cn1·48n-1+…+Cn=Cn0·48n+Cn1·48n-1+…+48和16n都可以被16整除,所以Cn0·48n+Cn1·48n-1+…+C所以49n+16n-1(n∈N*)能被16整除.C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新12.多空題在x2-12x9解析:Tk+1=C9k×(x2)9-k×-12xk=-12k×C9k×C93×x9=-212x9,所以第4項的二項式系數(shù)為C13.多空題已知二項綻開式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則a4=80,a1+a3+a5=122.解析:因為(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,所以a4=C54×2a1+a3+a5=C51×21+C53×23+C14.多空題若f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m,n∈N*)的綻開式中含x的項的系數(shù)是19,則f(x)的綻開式中含x2的項的系數(shù)的最小值為81;當f(x)的綻開式中含x2的項的系數(shù)取最小值時,f(x)的綻開式中含x7的項的系數(shù)為156.解析:由題意,知m+n=19,所