2023-2024學年福建省莆田市城廂區(qū)礪成中學九年級（下）月考數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年福建省莆田市城廂區(qū)礪成中學九年級（下）月考數(shù)學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.?2的倒數(shù)是(

)A.2 B.?2 C.0 D.?2.據(jù)初步統(tǒng)計，2016年高青縣實現(xiàn)地區(qū)生產總值(GDP)約為205.48億元．其中205.48億元用科學記數(shù)法表示為(

)A.205.48×107元 B.20.548×109元 C.2.0548×103.下列運算正確的是(

)A.a2?a3=a6 B.4.不等式x+1≤3的解集在數(shù)軸上表示正確的是(

)A. B.

C. D.5.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，DC=13AD，BD平分∠ABC，則點D到AB的距離等于(

)A.4 B.3 C.2 D.16.若兩個相似三角形的周長比為1：3，則它們的面積比為(

)A.1：2 B.1：3 C.1：6 D.1：97.將一副直角三角尺按如圖位置擺放在同一平面內，使兩個直角三角尺的斜邊AB/?/DF，含30°角的直角三角尺的直角頂點E在含45°角的直角三角尺的斜邊AB上，且點F在CB的延長線上，已知∠A=45°，則∠1的度數(shù)是(

)A.30° B.45° C.60° D.75°8.《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，作者是我國明代數(shù)學家程大位.在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地.送行二步與人齊，五尺人高曾記.仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉.良工高士素好奇，算出索長有幾？”譯文：“有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺(水平距離)時，秋千的踏板就和人一樣高，這個人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長？”設繩索的長為x尺，下列方程正確的是(

)A.102+x2=(x+5)2 B.9.如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，且∠OAC=30°，OD繞著點O順時針旋轉，連結CD交直線AB于點E，當DE=OD時，∠OCE的大小不可能為(

)A.20°

B.40°

C.70°

D.80°10.已知拋物線y=ax2+bx+4(a,b是常數(shù)，a≠0)，過點A(?3m,0)，B(m,0)，C(n,4)，若?4<n<?2，則m的取值范圍是A.?2<m<?1 B.1<m<2 C.m<1或m>2 D.m<?2二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11.已知正比例函數(shù)y=kx(k≠0)，且y隨x的增大而增大，請寫出符合上述條件的k的一個值：______．12.正六邊形的每個內角等于______°.13.已知關于x的不等式(a+2)x<1的解集為x>1a+2，則a的取值范圍為______．14.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則方程a(x+315.如圖，在由10個完全相同的正三角形構成的網格圖中，∠α、∠β如圖所示，則sin(α+β)=______．

16.直線y=k1x(k1>0)與雙曲線y=k2x交于點A和點C，點B在x軸的正半軸上，作點B關于AC的對稱點D，現(xiàn)有結論：①BD一定垂直平分AC；②S△ABC=S△ADC=12三、計算題：本大題共1小題，共9分。17.先化簡，再求值：(1?1a?1)÷a2四、解答題：本題共8小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。18.(本小題9分)

(?1)2020+(π+119.(本小題9分)

如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、B、C、E在同一條直線上，且∠D=∠CAE．

(1)求證：△ABD∽△ECA；

(2)若AC=6，CE=4，求BD的長度．20.(本小題9分)

下面是證明等腰三角形判定定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種完成證明．等腰三角形判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么兩個角所對的邊也相等.已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，求證：AB=AC證明：如圖，作∠BAC的平分線交BC于點D

證明：如圖，作BC邊上高線交BC于點D

21.(本小題9分)

嘉嘉和琪琪周末約好參觀展覽館，如圖是該展覽館出入口示意圖.嘉嘉和琪琪分別從兩入口進入參觀．

(1)參觀結束后，嘉嘉從C出口走出的概率是______．

(2)參觀結束后，通過畫樹狀圖或列表求嘉嘉和琪琪恰好從同一出口走出的概率．22.(本小題9分)

某工廠為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，投資建設了日廢水處理為a噸的廢水處理車間，對該廠工業(yè)化廢水進行無害化處理，但隨著工廠生產規(guī)模擴大，該廠需將超出日廢水處理量的廢水交給第三方企業(yè)處理，已知該車間處理廢水，每天需固定成本20元，并且每處理一噸廢水還需要其他費用7元；將廢水交給第三方企業(yè)處理，每噸需支付11元，根據(jù)記錄，某日該工廠產生廢水30噸，共花費廢水處理費270元，求該車間的日廢水處理量．23.(本小題9分)

在學習《圓》這章時，我們學習了圓周角定理的推論：圓內接四邊形的對角互補；事實上，它的逆命題：對角互補的四邊形的四個頂點共圓，也是一個真命題.在圖形旋轉的綜合問題中經常會出現(xiàn)對角互補的四邊形，那么，我們就可以借助“對角互補的四邊形的四個頂點共圓”，然后借助圓的相關知識來解決問題，例如：

已知：如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，點D是△ABC內一點，連接BD，將線段BD繞點B順時針旋轉90°得到線段BE，連接CE，DE，AD，并延長AD交直線CE于點F.請解答下列問題：

(1)當點D在如圖所示的位置時，

①求∠DFC的度數(shù)；

②利用題干中的結論，證明：B，D，F(xiàn)，E四點共圓；

(2)連接FB，點D在△ABC內部運動的過程中，若FD=3，F(xiàn)E=1，直接寫出線段FB的長．24.(本小題11分)

問題提出

(1)如圖①，在△ABC中，BC=6，D為BC上一點，AD=4，則△ABC面積的最大值是______．

問題探究

(2)如圖②，已知矩形ABCD的周長為12，求矩形ABCD面積的最大值．

問題解決

(3)如圖③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意圖，其中AB=40米，BC=30米，AC=50米，現(xiàn)在他想利用周邊地的情況，把原來的三角形地拓展成符合條件的面積盡可能大、周長盡可能長的四邊形地，用來建魚塘.已知葛叔叔欲建的魚塘是四邊形ABCD，且滿足∠ADC=60°，你認為葛叔叔的想法能否實現(xiàn)？若能，求出這個四邊形魚塘周長的最大值；若不能，請說明理由．

25.(本小題12分)

拋物線y=ax2?3ax?4ac(a<0)與x軸交于點A(?1,0)和點B，與y軸交于點C．

(1)如圖1，∠ACB=90°，求出拋物線的解析式；

(2)在(1)的條件下，點D(x1,y1)(x1<0)是拋物線上y=ax2?3ax?4ac的動點，直線DO與拋物線的另一個交點為E；

①若D、E關于點O對稱，求D點坐標；

②若點P(0,m)是y軸上一點，直線參考答案1.D

2.C

3.D

4.A

5.C

6.D

7.C

8.B

9.C

10.B

11.y=2x(答案不唯一)

12.120

13.a<?2

14.?3或?2

15.216.②③

17.解：(1?1a?1)÷a2?4a+4a2?a

=a?1?1a?1÷18.解：(?1)2020+(π+1)0?4cos30°+9

=1+1?4×19.(1)證明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠D=∠CAE．

∴△ABD∽△ECA；

(2)解：∵AB=AC，AC=6，

∴AB=AC=6，

∵△ABD∽△ECA，

∴BDCA=ABEC，

∴20.解：方法一：

證明：如圖，作∠BAC的平分線交BC于點D．

∴∠BAD=∠CAD，

在△ABD和△ACD中，

∠B=∠C∠BAD=∠CADAD=AD，

∴△ABD≌△ACD(AAS)，

∴AB=AC；

方法二：

證明：如圖，作BC邊上高線交BC于點D，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

在△ABD和△ACD中，

∠ADB=∠ADC∠B=∠CAD=AD，

∴△ABD≌△ACD(AAS)，21.(1)13．

CDEC(C,C)(C,D)(C,E)D(D,C)

(D,D)(D,E)E(E,C)(E,D)

(E,E)共有9種等可能的結果，其中嘉嘉和琪琪恰好從同一出口走出的結果有3種，

∴嘉嘉和琪琪恰好從同一出口走出的概率為39=22.解：若a≥30，則30噸廢水應全部在本廠處理，

∴總費用20+30×7=230≠270，則說明a<30，

由題意，20+7a+11(30?a)=270，

解得：a=20，

∴該車間日廢水處理量為20噸．

23.(1)①解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°

∴AB=BC，∠ABD+∠DBC=90°

∵線段BD繞點B順時針旋轉90°得到線段BE，

∴BD=BE，∠EBC+∠DBC=90°，

∴∠ABD=∠EBC

∵△ABD≌△CBE(SAS)，

∴∠BAD=∠BCE，

∵∠BAD+∠DAC+∠ACB=90°，

∴∠BCE+∠DAC+∠ACB=90°，

∴∠DFC=90°；

②證明：∵∠DFC=90°，

∴∠DFE=90°，

∴∠DFE+∠DBE=180°，

∴B，D，F(xiàn)，E四點共圓；

(2)解：如圖，連接BF，過點D作DH⊥BF于點H，

∵FD=3，F(xiàn)E=1，

∴DE=DF2+EF2=32+12=10，

∵BD=BE，∠DBE=90°，

∴∠BED=45°，BD=22DE=22×10=524.(1)12．

(2)∵矩形的周長為12，

∴鄰邊之和為6，設矩形的一邊為m，另一邊為6?m，

∴S=m(6?m)=?(m?3)2+9，

∵?1<0，

∴m=3時，S有最大值，最大值為9．

(3)葛叔叔的想法能實現(xiàn)，求解如下：

如圖③中，

∵AB=40米，BC=30米，AC=50米，

∴AC2=AB2+BC2，

∴∠ABC=90°，

作△AOC，使得∠AOC=120°，OA=OC，以O為圓心，OA長為半徑畫⊙O，

∵∠ADC=60°，

∴點D在優(yōu)弧ADC上運動，

當點D是優(yōu)弧ADC的中點時，四邊形ABCD面積取得最大值，

∵AD=CD，

∴△ADC是等邊三角形，

∴AD=CD=AC=50，

設D′是優(yōu)弧ADC上任意一點，連接AD′，CD′，延長CD′到F，使得D′F=D′A，連接AF，則∠AFC=30°=12∠ADC，

∴點F在D為圓心DA為半徑的圓上，

∴DF=DA，

∵DF+DC≥CF，

∴DA+DC≥D′A+D′C，

∴DA+DC+AC≥D′A+D′C+AC，

25.解：(1)∵拋物線y=ax2?3ax?4ac，

∴對稱軸為直線x=??3a2a=32，

∵拋物線y=ax2?3ax?4ac(a<0)與x軸交于點A(?1,0)，

∴a+3a?4ac=0，即4a=4ac，

解得：c=1；

∵拋物線y=ax2?3ax?4a與x軸交于點A(?1,0)和點B，且對稱軸為直線x=32，

∴B(4,0)，

∴OA=1，OB=4，

∴AB=5，

∵拋物線y=ax2?3ax?4a與y軸交于點