2025蘇科版高一數(shù)學(xué)必修一第1章 1.2 第2課時(shí)　全集、補(bǔ)集新高一暑假自學(xué)課堂第1章 1.2 第2課時(shí)　全集、補(bǔ)集含答案

2025蘇科版高一數(shù)學(xué)必修一第1章1.2第2課時(shí)全集、補(bǔ)集新高一暑假自學(xué)課堂第1章1.2第2課時(shí)全集、補(bǔ)集第2課時(shí)全集、補(bǔ)集1．了解全集的意義，理解補(bǔ)集的含義．(重點(diǎn))2．能在給定全集的基礎(chǔ)上求已知集合的補(bǔ)集．(難點(diǎn))1．通過補(bǔ)集的運(yùn)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．借助集合思想對實(shí)際生活中的對象進(jìn)行判斷歸類，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．某學(xué)習(xí)小組學(xué)生的集合為S＝{甲，乙，丙，丁}，其中在學(xué)校應(yīng)用文寫作比賽與數(shù)學(xué)建模大賽中獲得過金獎(jiǎng)的學(xué)生集合為A＝{甲，乙}，那么沒有獲獎(jiǎng)的學(xué)生有哪些？若用集合B表示沒有獲獎(jiǎng)的同學(xué)，則集合B與S，集合A、B和S之間有怎樣的關(guān)系？知識點(diǎn)1補(bǔ)集(1)定義：設(shè)A?S，由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱為S的子集A的補(bǔ)集，記為?SA(讀作“A在S中的補(bǔ)集”)．(2)符號表示?SA＝{x|x∈S，且xA}．(3)圖形表示：(4)補(bǔ)集的性質(zhì)①?S?＝S，②?SS＝?，③?S(?SA)＝A．知識點(diǎn)2全集如果一個(gè)集合包含我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，全集通常記作U．兩個(gè)不同的集合A、B在同一個(gè)全集U中的補(bǔ)集可能相等嗎？[提示]不可能相等．因?yàn)榧螦、B是兩個(gè)不同的集合，所以必定存在元素在集合A的補(bǔ)集中，但不在集合B的補(bǔ)集中．補(bǔ)集符號?SA有三層含義：(1)A是S的一個(gè)子集，即A?S；(2)?SA表示一個(gè)集合，且?SA?S；(3)?SA是S中所有不屬于A的元素構(gòu)成的集合．1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)全集一定含有任何元素． ()(2)集合?RA＝?QA． ()(3)一個(gè)集合的補(bǔ)集一定含有元素． ()(4)研究A在S中的補(bǔ)集時(shí)，A可以不是S的子集． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．已知全集U＝{－1,0,1}，且?UA＝{0}，則A＝()A．{－1,1} B．{－1,0,1}C．{0,1} D．{－1,0}A[∵U＝{－1,0,1}，?UA＝{0}，∴A＝{－1,1}．]3．若集合A＝{x|x>1}，則?RA＝________．{x|x≤1}[∵A＝{x|x>1}，∴?RA＝{x|x≤1}．]類型1全集與補(bǔ)集【例1】(1)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，則集合B＝________．(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，則?UA＝________．(1){2,3,5,7}(2){x|x<－3或x＝5}[(1)A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又?UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．(2)將集合U和集合A分別表示在數(shù)軸上，如圖所示．由補(bǔ)集定義可得?UA＝{x|x<－3或x＝5}．]常見補(bǔ)集的求解方法1列舉求解.適用于全集U和集合A可以列舉的簡單集合.2畫數(shù)軸求解.適用于全集U和集合A是不等式的解集.3利用Venn圖求解.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(1)若全集U＝{x|－2≤x≤2}，A＝{x|－2≤x≤0}，則?UA等于()A．{x|0<x<2} B．{x|0≤x<2}C．{x|0<x≤2} D．{x|0≤x≤2}(2)設(shè)全集U＝{1,2,6,8,9}，集合A＝{1，|a－6|,9}，?UA＝{6,8}，則a的值是()A．4 B．8C．－4或8 D．4或8(1)C(2)D[(1)∵U＝{x|－2≤x≤2}，A＝{x|－2≤x≤0}，∴?UA＝{x|0<x≤2}，故選C．(2)A＝?U(?UA)＝{1,2,9}＝{1，|a－6|,9}，∴|a－6|＝2，解得a＝4或8，故選D．]類型2補(bǔ)集與子集的綜合應(yīng)用【例2】已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A??UB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[思路點(diǎn)撥]首先應(yīng)對B是否為空集進(jìn)行討論，得出?UB，然后再利用A??UB得關(guān)于a的不等式求解即可．[解]若B＝?，則a＋1>2a－1，所以a<2．此時(shí)?UB＝R，所以A??UB；若B≠?，則a＋1≤2a－1，即a≥2，此時(shí)?UB＝{x|x<a＋1，或x>2a－1}，由于A??UB，如圖，則a＋1>5，所以a>4，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為a<2或a>4．[母題探究](變條件)若將本例中的“A??UB”改為“B??UA”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解]?UA＝{x|x<－2或x>5}．因?yàn)锽??UA，當(dāng)a＋1>2a－1，即a<2時(shí)，B＝?，B??UA．當(dāng)a＋1≤2a－1，即a≥2時(shí)，B≠?．所以2a－1<－2或a＋1>5，即a>4，綜上，a的取值范圍為a<2或a>4．1．解決此類問題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)(1)空集作為特殊情況，不能忽略；(2)數(shù)形結(jié)合方法更加直觀易懂，盡量使用；(3)端點(diǎn)值能否取到，應(yīng)注意分析．2．U是由集合A與?UA的全體元素所構(gòu)成，對于某一個(gè)元素a，a∈A與a∈?UA中恰好只有一個(gè)成立，即集合中的元素具有確定性．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．全集U＝R，A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2<x≤7}．(1)求?UA，?UB；(2)若集合C＝{x|x>a}，A?C，求a的取值范圍．[解](1)因?yàn)锳＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2<x≤7}，所以借助于數(shù)軸知?UA＝{x|x<3，或x≥10}，?UB＝{x|x≤2，或x>7}．(2)要使A?C，只需a<3即可．所以a的取值范圍為{a|a<3}．1．設(shè)全集為U，M＝{0,2,4}，?UM＝{6}，則U等于()A．{0,2,4,6} B．{0,2,4}C．{6} D．?A[∵M(jìn)＝{0,2,4}，?UM＝{6}，∴U＝{0,2,4,6}，故選A．]2．(多選題)設(shè)集合S＝{x|x>－2}，集合A??RS，則集合A中的元素可能是()A．－2B．2C．－3D．3AC[因?yàn)镾＝{x|x>－2}，所以?RS＝{x|x≤－2}，故選AC．]3．已知全集S＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x2＋y2≠0}．用列舉法表示集合?SA＝________．{(0,0)}[?SA＝{(x，y)|x2＋y2＝0}＝{(0,0)}．]4．已知集合A＝{x|3≤x≤7，x∈N}，B＝{x|4<x≤7，x∈N}，則?AB＝________．{3,4}[由題意知A＝{3,4,5,6,7}，B＝{5,6,7}，∴?AB＝{3,4}．]5．已知U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2，m}，且?UA＝{1,3,5}，則m＝________．4[由已知m∈U，且m?UA，故m＝2或4．又A＝{2，m}，由元素的互異性知m≠2，故m＝4．]回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題．1．求集合的補(bǔ)集前提是什么？同一集合在不同全集下的補(bǔ)集相同嗎？[提示]求集合的補(bǔ)集前提是必須明確全集．同一集合在不同全集下的補(bǔ)集不同．2．本節(jié)課主要學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容？通過內(nèi)容的學(xué)習(xí)，哪些核心素養(yǎng)有所提高？[提示]補(bǔ)集和全集的概念及運(yùn)算．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算．3．本節(jié)課主要運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)方法？你認(rèn)為哪些地方易出錯(cuò)？[提示]數(shù)形結(jié)合．求補(bǔ)集時(shí)忽視全集，求參數(shù)時(shí)忽視端點(diǎn)的取舍．課時(shí)分層作業(yè)(四)全集、補(bǔ)集一、選擇題1．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|1<x<5，x∈Z}，則集合?UA＝()A．? B．{1,2,5}C．{1,5} D．{1,4,5}C[由于1<x<5，x∈Z，∴A＝{2,3,4}，∴?UA＝{1,5}．]2．設(shè)全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，a－5}，M?U，?UM＝{5,7}，則實(shí)數(shù)a＝()A．3 B．5C．7 D．8D[由題知a－5＝3，a＝8．]3．設(shè)U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，?UA＝{x|x<3或x>4}，則a＋b＝()A．5B．6C．7D．8C[∵?U(?UA)＝{x|3≤x≤4}＝A＝{x|a≤x≤b}，∴a＝3，b＝4，∴a＋b＝7．]4．設(shè)全集U＝{x|x≥0}，集合P＝{1}，則?UP等于()A．{x|0≤x<1或x>1} B．{x|x<1}C．{x|x<1或x>1} D．{x|x>1}A[因?yàn)閁＝{x|x≥0}，P＝{1}，所以?UP＝{x|x≥0且x≠1}＝{x|0≤x<1或x>1}．]5．設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對于k∈A，如果k－1A，且k＋1A，那么稱k是A的一個(gè)“孤立元”．給定S＝{1,2,3,4,5}，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，含“孤立元”的集合的個(gè)數(shù)是()A．4 B．5C．6 D．7D[依題可知，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”，這三個(gè)元素一定是相連的三個(gè)數(shù)．故這樣的集合共有3個(gè)．而S＝{1,2,3,4,5}的三個(gè)元素的子集有10個(gè)，所以含“孤立元”的集合共有7個(gè)．故選D．]二、填空題6．設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}．則?UA與?UB的包含關(guān)系是________．?UA?UB[由題意?UA＝{x|x<0}，?UB＝{y|y<1}＝{x|x<1}，故?UA?UB．]7．已知全集A＝{－2，－1,0,1,2}，集合B＝{a|a<0，a∈A}．則集合B＝________，?AB＝________．{－2，－1}{0,1,2}[全集A＝{－2，－1,0,1,2}，集合B＝{a|a<0，a∈A}＝{－2，－1}．∴?AB＝{0,1,2}．]8．已知全集U＝{2,0,3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}，?UP＝{－1}，則實(shí)數(shù)a的值為________．2[由已知，得－1∈U，且－1P，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－a2＝－1，,a2－a－2＝0，))解得a＝2．當(dāng)a＝2時(shí)，U＝{2,0，－1}，P＝{2,0}，?UP＝{－1}，滿足題意．因此實(shí)數(shù)a的值為2．]三、解答題9．已知全集U＝{|a－1|，(a－2)(a－1)，4,6}，且集合A、B均是U的子集．(1)若?U(?UB)＝{0,1}，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若?UA＝{3,4}，求實(shí)數(shù)a的值．[解](1)∵?U(?UB)＝{0,1}，∴B＝{0,1}，且B?U，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a－1|＝0，,a－2a－1＝1，))得a無解；或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a－1|＝1，,a－2a－1＝0，))得a＝2．∴a＝2．(2)∵?UA＝{3,4}，又?UA?U，∴|a－1|＝3或(a－2)(a－1)＝3，∴a＝4或a＝－2或a＝eq\f(3±\r(13),2)．經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a＝4時(shí)，不合題意，舍去．∴所求實(shí)數(shù)a的值為－2或eq\f(3±\r(13),2)．10．設(shè)全集U＝R，A＝{x|3m－1<x<2m}，B＝{x|－1<x<3}，若A?UB，求實(shí)數(shù)m的范圍．[解]由題意知，?UB＝{x|x≥3或x≤－1}．(1)若A?UB，且A≠?時(shí)，則3m－1≥3或2m≤－1，∴m≥eq\f(4,3)或m≤－eq\f(1,2)．又A≠?，∴3m－1<2m，∴m<1，即m≤－eq\f(1,2)．(2)若A＝?，則3m－1≥2m，得m≥1．綜上所述，m≤－eq\f(1,2)或m≥1．11．(多選題)已知集合A＝{x|x<－1或x>5}，C＝{x|x>a}，若?RA?C，則a的可能取值為()A．－2 B．2C．－3 D．3AC[由題知?RA＝{x|－1≤x≤5}，要使?RA?C，則a<－1，故選AC．]12．設(shè)全集U和集合A，B，P，滿足A＝?UB，B＝?UP，則A與P的關(guān)系是()A．A＝P B．A?PC．P?A D．A≠PA[由A＝?UB，得?UA＝B．又∵B＝?UP，∴?UP＝?UA，即A＝P．]13．設(shè)全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，則?UA＝________．{2}[若x＝2，則x2－2＝2與集合中元素的互異性矛盾，故x≠2，從而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍)，故U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}，則?UA＝{2}．]14．已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x|x≥2}，則圖中陰影部分所表示的集合為________．{1}[陰影部分可以看作A與B的公共部分在集合A中的補(bǔ)集．由題知A與B的公共部分為{2,3,4,5}，設(shè)C＝{2,3,4,5}．∴?AC＝{1}．]15．對于集合A，B，我們把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}記作A×B．例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，則有A×B＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，B×A＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，A×A＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，B×B＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}，據(jù)此，試回答下列問題．(1)已知C＝{a}，D＝{