自測(cè)（2）《第9章 復(fù)數(shù)》章節(jié)測(cè)試-滬教版高一《數(shù)學(xué)》核心考點(diǎn)題型方法與技巧（解析版）

第第頁(yè)P(yáng)AGE【解析版】自測(cè)（2）《第9章復(fù)數(shù)》章節(jié)測(cè)試（60分鐘）一、填空題（共10小題，每小題4分，滿分40分）1、若z＝eq\f(i2023,1－i)，則|z＋eq\x\to(z)＝____________【答案】1【解析】z＝eq\f(i2023,1－i)＝eq\f(－i,1－i)＝eq\f(1－i,2)，z＋eq\x\to(z)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i＝1.2、已知eq\f(x,1＋i)＝1－yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則x＋yi的共軛復(fù)數(shù)為【答案】2－i【解析】由eq\f(x,1＋i)＝1－yi，得eq\f(x(1－i),(1＋i)(1－i))＝1－yi，即eq\f(x,2)－eq\f(x,2)i＝1－yi，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝1，,\f(x,2)＝y(tǒng)，))解得x＝2，y＝1，∴x＋yi＝2＋i，∴其共軛復(fù)數(shù)為2－i.3、已知z＝1－3i，則|eq\x\to(z)－i|＝________.【答案】eq\r(5)【解析】∵z＝1－3i，∴eq\x\to(z)＝1＋3i，∴eq\x\to(z)－i＝1＋3i－i＝1＋2i，∴|eq\x\to(z)－i|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).4、已知z＝2－i，則z(eq\x\to(z)＋i)等于【答案】6＋2i；【解析】因?yàn)閦＝2－i，所以z(eq\x\to(z)＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i.5、若復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為eq\x\to(z)且滿足eq\x\to(z)·(1＋2i)＝1－i，則復(fù)數(shù)z的虛部為【答案】eq\f(3,5)；【解析】eq\x\to(z)·(1＋2i)＝1－i，∴eq\x\to(z)＝eq\f(1－i,1＋2i)＝eq\f((1－i)(1－2i),(1＋2i)(1－2i))＝eq\f(－1－3i,5)＝－eq\f(1,5)－eq\f(3,5)i，∴z＝－eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)i，∴復(fù)數(shù)z的虛部為eq\f(3,5).6、若z＝(a－eq\r(2))＋ai為純虛數(shù)，其中a∈R，則eq\f(a＋i7,1＋ai)＝________.【答案】－i【解析】∵z為純虛數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－\r(2)＝0，,a≠0，))∴a＝eq\r(2)，∴eq\f(a＋i7,1＋ai)＝eq\f(\r(2)－i,1＋\r(2)i)＝eq\f(\r(2)－i1－\r(2)i,1＋\r(2)i1－\r(2)i)＝eq\f(－3i,3)＝－i.7、若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一個(gè)根，則a＝________.【答案】13【解析】設(shè)方程的另外一根為x，則x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，a＝(2－3i)(2＋3i)＝13.8、若復(fù)數(shù)z＝i＋i2022，則eq\o(z,\s\up6(－))＋eq\f(10,z)的模等于________.【答案】6eq\r(2)【解析】z＝i＋i2022＝i－1，eq\o(z,\s\up6(－))＋eq\f(10,z)＝1＋i＋eq\f(10,1－i)＝6＋6i，其模為6eq\r(2).9、設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2－3i，－3＋2i.那么向量eq\o(BA,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是________.【答案】5－5i【解析】∵向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2－3i，－3＋2i，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3，2)，∴eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(5，－5)，其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－5i.10、設(shè)z為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的序號(hào)是①|(zhì)z|2＝z·eq\o(z,\s\up6(－))②z2＝|z|2③若|z|＝1，則|z＋i|的最大值為2④若|z－1|＝1，則0≤|z|≤2【答案】①③④；【解析】對(duì)于①，設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi，∴|z|2＝a2＋b2，而z·eq\o(z,\s\up6(－))＝a2＋b2，所以|z|2＝z·eq\o(z,\s\up6(－))成立；對(duì)于②，z＝a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)ab均不為0時(shí)，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，而|z|2＝a2＋b2，所以z2＝|z|2不成立；對(duì)于③，|z|＝1可以看成以O(shè)(0，0)為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)P，|z＋i|可以看成點(diǎn)P到Q(0，－1)的距離，所以當(dāng)P(0，1)時(shí)，可取|z＋i|的最大值2；對(duì)于④，|z－1|＝1可以看成以M(1，0)為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)N，則|z|表示點(diǎn)N到原點(diǎn)的距離，故O，N重合時(shí)，|z|＝0最小，當(dāng)O，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，|z|＝2最大，故0≤|z|≤2；故填①③④二、選擇題（共4小題每小題4分，滿分16分）11、復(fù)數(shù)eq\f(2－i,1－3i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】eq\f(2－i,1－3i)＝eq\f((2－i)(1＋3i),10)＝eq\f(5＋5i,10)＝eq\f(1＋i,2)，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，該點(diǎn)在第一象限．12、已知i是虛數(shù)單位，則“a＝i”是“a2＝－1”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】i是虛數(shù)單位，則i2＝－1，“a＝i”是“a2＝－1”的充分條件；由a2＝－1，得a＝±i，故“a＝i”是“a2＝－1”的不必要條件；故“a＝i”是“a2＝－1”的充分不必要條件．13、設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z1＝3－i，則z1z2等于()A．－10B．10C．－8D．8【答案】A【解析】∵z1＝3－i，z1，z2在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，∴z2＝－3－i，∴z1z2＝－9－1＝－10.14、已知復(fù)數(shù)z滿足|z－1－i|≤1，則|z|的最小值為()A．1B．eq\r(2)－1C．eq\r(2)D．eq\r(2)＋1【答案】B【解析】令z＝x＋yi(x，y∈R)，則由題意有(x－1)2＋(y－1)2≤1，∴|z|的最小值即為圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離，∴|z|的最小值為eq\r(2)－1.三、解答題（共4小題，滿分44分）15、（本題8分）已知復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝3＋i.（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若復(fù)數(shù)z＋ai在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）∵(1＋i)z＝3＋i，∴z＝eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i.（2）由(1)得z＝2－i，則z＋ai＝2＋(a－1)i，因?yàn)閺?fù)數(shù)z＋ai在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以a－1<0，解得a<1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1)．16、（本題10分）已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}，且M∩N≠?，求整數(shù)a，b的值．【解析】由題意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③由①得a＝－3，b＝±2，由②得a＝±3，b＝－2，③中，a，b無(wú)整數(shù)解，不符合題意，綜上，a＝－3，b＝2或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2.17、（本題滿分12分）在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，i是虛數(shù)單位.（1），計(jì)算與；（2）設(shè)，求證：，并指出向量滿足什么條件時(shí)該不等式取等號(hào).【提示】（1）利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可得，再由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，即可計(jì)算出；（2）利用復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)律分別求出的平方，利用作差法可得，此時(shí)需滿足.【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析，【解析】（1）根據(jù)可得，；且，所以.（2）因?yàn)椋?，可得；因?yàn)?，所以，因此，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)向量滿足.18、（本題滿分14分）設(shè)M是由復(fù)數(shù)組成的集合，對(duì)M的一個(gè)子集A，若存在復(fù)平面上的一個(gè)圓，使得A的所有數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在圓內(nèi)或圓周上，且中的數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在圓外，則稱A是一個(gè)M的“可分離子集”．（1）判斷是否是的“可分離子集”，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，其中分別表示z的實(shí)部和虛部．證明：是的“可分離子集”當(dāng)且僅當(dāng)．【提示】（1）取復(fù)平面上的圓，得到復(fù)數(shù)1，2，3在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在圓內(nèi)，復(fù)數(shù)i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓外，得到結(jié)論；（2）先證明必要性，令復(fù)數(shù)，取復(fù)平面上的圓，得到是的“可分離子集”；再證明充分性，只需證當(dāng)時(shí)，不是的“可分離子集”，得到結(jié)論.【解析】（1）是，理由如下：取復(fù)平面上的圓，則復(fù)數(shù)1，2，3在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在圓內(nèi)．而，故復(fù)數(shù)i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓外．因此，是的“可分離子集”．（2）必要性：當(dāng)時(shí)，令復(fù)數(shù)，取復(fù)平面上的圓，則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓周上，又，故1在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓外．由，，知．故在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓外．因此，當(dāng)時(shí)，是的“可分離子集”．充分性：只需證當(dāng)時(shí)，不是的“可分離子集”．假設(shè)存在復(fù)平面上的一個(gè)圓，使得在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓內(nèi)或圓周上，且1，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓外．設(shè)圓心表示的復(fù)數(shù)為．再設(shè)．由知，故．由知，故．進(jìn)而，，由知，故，進(jìn)而．這與矛盾，故所假設(shè)的圓在復(fù)平面上不存在．即當(dāng)時(shí)