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第04講專題拓展:三角形中的五種常見模型解題技巧題型一、“8”字模型題型二、飛鏢模型題型三、“A”字模型題型四、“老鷹捉小雞”模型題型五、(雙)角平分線模型一、“8”字模型三角形三個內(nèi)角的和等于180°對頂角相等二、飛鏢模型三角形三個內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等子與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.三、“A”字模型三角形三個內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.四、“老鷹捉小雞”模型三角形三個內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.五、(雙)角平分線模型1.雙內(nèi)角平分線2.雙外角平分線3.內(nèi)角平分線+外角平分線三角形三個內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.題型歸納題型一、“8”字模型一.填空題(共5小題)1.(2023秋?寶山區(qū)校級月考)如圖,則的度數(shù)是.2.(2023春?武岡市期末)如圖,的度數(shù)為3.(2023秋?新?lián)釁^(qū)期中)如圖,則.4.(2023秋?豐臺區(qū)校級月考)如圖,是由線段,,,,組成的平面圖形,,則的度數(shù)為.5.(2023春?蓬萊區(qū)期中)如圖,的度數(shù)是.二.解答題(共4小題)6.(2023秋?惠州校級月考)如圖,求的度數(shù).7.(2023秋?墊江縣校級月考)如圖所示,求的度數(shù).8.(2023春?營山縣校級期末)平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系.(1)如圖1,若,點(diǎn)在、外部,則有,又因是的外角,故.得.將點(diǎn)移到、內(nèi)部,如圖2,以上結(jié)論是否成立?若成立,說明理由;若不成立,則、、之間有何數(shù)量關(guān)系?請證明你的結(jié)論;(2)在如圖2中,將直線繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線于點(diǎn),如圖3,則、、、之間有何數(shù)量關(guān)系?(不需證明);(3)根據(jù)(2)的結(jié)論求如圖4中的度數(shù).9.(2023秋?同心縣校級月考)已知:如圖1,線段、相交于點(diǎn),連接、,我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”.試解答下列問題:(1)在圖1中,請直接寫出、、、之間的數(shù)量關(guān)系:;(2)仔細(xì)觀察,在圖2中“8字形”的個數(shù):個;(3)在圖2中,若,,和的平分線和相交于點(diǎn),并且與、分別相交于、.利用(1)的結(jié)論,試求的度數(shù);(4)如果圖2中和為任意角時,其他條件不變,試問與、之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系.(直接寫出結(jié)論即可)題型二、飛鏢模型一.選擇題(共2小題)1.(2023秋?雙峰縣月考)如圖,,,,的度數(shù)是A. B. C. D.2.(2023秋?天長市期中)如圖,中,,為延長線上的一點(diǎn),于點(diǎn),,則為A. B. C. D.二.填空題(共1小題)3.(2022秋?富陽區(qū)期中)如圖,作于點(diǎn),與相交于點(diǎn),若,,則,.三.解答題(共2小題)4.(2023秋?新建區(qū)期中)一個零件的形狀如圖,按規(guī)定應(yīng)等于,、應(yīng)分別是和,現(xiàn)測量得,你認(rèn)為這個零件合格嗎?為什么?5.(2022秋?鹽湖區(qū)校級期末)探究與發(fā)現(xiàn):如圖1所示的圖形,像我們常見的學(xué)習(xí)用品圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”,(1)觀察“規(guī)形圖”,試探究與、、之間的關(guān)系,并說明理由;(2)請你直接利用以上結(jié)論,解決以下三個問題:①如圖2,把一塊三角尺放置在上,使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過點(diǎn)、,,則;②如圖3,平分,平分,若,,求的度數(shù);③如圖4,,的10等分線相交于點(diǎn)、、,若,,求的度數(shù).題型三、“A”字模型一.選擇題(共1小題)1.(2023秋?德宏州期末)如圖,將一個三角形剪去一個角后,,則等于A. B. C. D.二.填空題(共1小題)2.(2022秋?濟(jì)寧期末)如圖,中,,,將沿折疊,點(diǎn)落在形內(nèi)的,則的度數(shù)為.三.解答題(共3小題)3.(2022秋?平橋區(qū)期末)探索歸納:(1)如圖1,已知為直角三角形,,若沿圖中虛線剪去,則.(2)如圖2,已知中,,剪去后成四邊形,則.(3)如圖2,根據(jù)(1)與(2)的求解過程,你歸納猜想與的關(guān)系是.(4)如圖3,若沒有剪掉,而是把它折成如圖3形狀,試探究與的關(guān)系,并說明理由.4.(2022秋?運(yùn)城期末)一個三角形紙片沿折疊,使點(diǎn)落在點(diǎn)處.(點(diǎn)在的內(nèi)部)(1)如圖1,若,則.(2)利用圖1,探索,與之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.(3)如圖2,把折疊后,平分,平分,若,利用(2)中得出的結(jié)論求的度數(shù).5.(2023秋?章貢區(qū)校級月考)嘗試探究如圖1,在一張三角形紙片上,剪去,得到四邊形,與分別為的兩個外角(1)請你試著說明:(2)如圖2,如果沿著再剪一刀,與分別為的兩個外角,那么和的數(shù)量關(guān)系為(3)如圖3,,分別平分外角、,求與的數(shù)量關(guān)系:拓展提升如圖4,在四邊形中,、分別平分外分、,請寫出,、這三個角的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
題型四、“老鷹捉小雞”模型一.選擇題(共1小題)1.(2023秋?增城區(qū)期末)如圖,把三角形紙片沿折疊,當(dāng)點(diǎn)落在四邊形外部時,則與、之間的數(shù)量關(guān)系是A. B. C. D.二.填空題(共1小題)2.(2023秋?玉林期末)紙片中,,,將紙片的一角折疊,使點(diǎn)落在內(nèi)(如圖),若,則的度數(shù)為.三.解答題(共3小題)3.(2023秋?莊浪縣期中)問題1如圖①,一張三角形紙片,點(diǎn)、分別是邊上兩點(diǎn).研究(1):如果沿直線折疊,使點(diǎn)落在上,則與的數(shù)量關(guān)系是研究(2):如果折成圖②的形狀,猜想、和的數(shù)量關(guān)系是研究(3):如果折成圖③的形狀,猜想、和的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.猜想:理由問題2研究(4):將問題1推廣,如圖④,將四邊形紙片沿折疊,使點(diǎn)、落在四邊形的內(nèi)部時,與、之間的數(shù)量關(guān)系是.4.(2023秋?嘉祥縣期中)(1)如圖①,把紙片沿折疊,當(dāng)點(diǎn)落在四邊形內(nèi)部點(diǎn)的位置時,、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由.(2)如圖②,把紙片沿折疊,當(dāng)點(diǎn)落在四邊形外部點(diǎn)的位置時,、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由.(3)如圖③,把四邊形沿折疊,當(dāng)點(diǎn)、分別落在四邊形內(nèi)部點(diǎn)、的位置時,你能求出、、與之間的數(shù)量關(guān)系嗎?并說明理由.5.(2023?鳩江區(qū)校級開學(xué))(1)如圖1,設(shè),則;(2)把三角形紙片頂角沿折疊,點(diǎn)落到點(diǎn)處,記為,為.①如圖2,,與的數(shù)量關(guān)系是;②如圖3,請你寫出,與的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.(3)如圖4,把一個三角形紙片的三個頂角分別向內(nèi)折疊之后,3個頂點(diǎn)不重合,那么圖中.題型五、(雙)角平分線模型一.選擇題(共2小題)1.(2023秋?新市區(qū)校級期中)如圖,的三邊,,的長分別為15,20,25,點(diǎn)是三條角平分線的交點(diǎn),則等于A. B. C. D.2.(2015?鄭州一模)如圖,中,,分別是,的平分線,,則等于A. B. C. D.二.填空題(共3小題)3.(2023秋?東莞市校級期中)如圖,中,,的角平分線與的角平分線交于點(diǎn).則.4.(2023秋?南寧月考)如圖,在中,,的平分線交于點(diǎn),過點(diǎn)作交,于點(diǎn),.當(dāng),時,的長為.5.(2023春?天寧區(qū)校級期中)如圖,在中,,和的平分線交于點(diǎn),得,和的平分線交于點(diǎn),得,,和的平分線交于點(diǎn),得,和的平分線交于點(diǎn),得,則度.三.解答題(共3小題)6.(2023秋?鄭州期末)綜合與實(shí)踐:如圖1,在中,,三個內(nèi)角平分線交于點(diǎn),的外角的角平分線交的延長線于點(diǎn).【問題初探】:(1)的度數(shù)為,的度數(shù)為;【問題再探】:(2)如圖2,過點(diǎn)作.(可直接使用問題(1)中的結(jié)論)①求的度數(shù);②試判斷線段和之間的位置關(guān)系,并說明理由;【拓展探究】:(3)若,將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△,當(dāng)所在直線與平行時,請直接寫出此時旋轉(zhuǎn)角度與之間的關(guān)系.7.(2022秋?新鄉(xiāng)期末)如圖1,在中,和的平分線交于點(diǎn),過點(diǎn)作,交于,交于.(1)當(dāng),,則;(2)當(dāng)時,若是的外角平分線,如圖2,它仍然和的角平分線相交于點(diǎn),過點(diǎn)作,交于,交于,試判斷,,之間的關(guān)系,并說明理由.8.(2022秋?東昌府區(qū)校級期末)如圖1,中,,、的平分線交于點(diǎn),過點(diǎn)作交、于、.(1)猜想:與、之間有怎樣的關(guān)系.(2)如圖2,若,其他條件不變,在第(1)問中與、間的關(guān)系還存在嗎?并說明理由.(3)如圖3,若中的平分線與三角形外角平分線交于,過點(diǎn)作交于,交于.這時圖中還有等腰三角形嗎?與、關(guān)系又如何?說明你的理由.
第04講專題拓展:三角形中的五種常見模型解題技巧題型一、“8”字模型題型二、飛鏢模型題型三、“A”字模型題型四、“老鷹捉小雞”模型題型五、(雙)角平分線模型一、“8”字模型三角形三個內(nèi)角的和等于180°對頂角相等二、飛鏢模型三角形三個內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等子與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.三、“A”字模型三角形三個內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.四、“老鷹捉小雞”模型三角形三個內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.五、(雙)角平分線模型1.雙內(nèi)角平分線2.雙外角平分線3.內(nèi)角平分線+外角平分線三角形三個內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.題型歸納題型一、“8”字模型一.填空題(共5小題)1.(2023秋?寶山區(qū)校級月考)如圖,則的度數(shù)是.【分析】由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和,得,,進(jìn)而利用三角形的內(nèi)角和定理求解.【解答】解:如圖可知是三角形的外角,,同理也是三角形的外角,,在中,,.故答案為:.【點(diǎn)評】本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理,解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系.2.(2023春?武岡市期末)如圖,的度數(shù)為【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和等于可得的度數(shù).【解答】解:如圖,,,,故答案為:.【點(diǎn)評】此題考查三角形的內(nèi)角和,角的和與差,掌握三角形的內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵.3.(2023秋?新?lián)釁^(qū)期中)如圖,則.【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論.【解答】解:連接,則,,故答案為:.【點(diǎn)評】本題考查三角形外角的性質(zhì)及多邊形的內(nèi)角和定理,解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系.4.(2023秋?豐臺區(qū)校級月考)如圖,是由線段,,,,組成的平面圖形,,則的度數(shù)為.【分析】首先求出,然后證明出,最后結(jié)合題干求出的度數(shù).【解答】解:如圖可知,,又,,又,,又,.故答案為:.【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的知識,解答本題的關(guān)鍵是求出,此題難度不大.5.(2023春?蓬萊區(qū)期中)如圖,的度數(shù)是.【分析】本題運(yùn)用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和,將已知角轉(zhuǎn)化在同一個三角形中,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解.【解答】解:如圖,,,,.故答案為:.【點(diǎn)評】本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理,解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系.二.解答題(共4小題)6.(2023秋?惠州校級月考)如圖,求的度數(shù).【分析】由三角形外角性質(zhì)得,,,從而求的度數(shù)和,變?yōu)榈亩葦?shù)和,因,,,是四邊形的四個內(nèi)角,利用多邊形的內(nèi)角和定理:多邊形的內(nèi)角和即可求出它們的和.【解答】解:由三角形外角性質(zhì)得,,,.故的度數(shù)是.【點(diǎn)評】本題考查多邊形的內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì):三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.7.(2023秋?墊江縣校級月考)如圖所示,求的度數(shù).【分析】連接,將問題轉(zhuǎn)化為多邊形的內(nèi)角和問題.【解答】解:如圖,連接,則,.【點(diǎn)評】解決本題的關(guān)鍵的基本思路是把所求的幾個角轉(zhuǎn)化為一個多邊形的角的問題.8.(2023春?營山縣校級期末)平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系.(1)如圖1,若,點(diǎn)在、外部,則有,又因是的外角,故.得.將點(diǎn)移到、內(nèi)部,如圖2,以上結(jié)論是否成立?若成立,說明理由;若不成立,則、、之間有何數(shù)量關(guān)系?請證明你的結(jié)論;(2)在如圖2中,將直線繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線于點(diǎn),如圖3,則、、、之間有何數(shù)量關(guān)系?(不需證明);(3)根據(jù)(2)的結(jié)論求如圖4中的度數(shù).【分析】(1)延長交于點(diǎn),根據(jù)得出,再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論;(2)連接并延長,由三角形外角的性質(zhì)得出,,由此可得出結(jié)論;(3)由(2)的結(jié)論得:..再根據(jù)即可得出結(jié)論.【解答】解:(1)不成立,結(jié)論是.延長交于點(diǎn),,,又,;(2)結(jié)論:.連接并延長,是的外角,是的外角,,,,即;(3)由(2)的結(jié)論得:..又.(或由(2)的結(jié)論得:且,.【點(diǎn)評】本題考查的是平行線的性質(zhì),根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出三角形,利用三角形外角的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵.9.(2023秋?同心縣校級月考)已知:如圖1,線段、相交于點(diǎn),連接、,我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”.試解答下列問題:(1)在圖1中,請直接寫出、、、之間的數(shù)量關(guān)系:;(2)仔細(xì)觀察,在圖2中“8字形”的個數(shù):個;(3)在圖2中,若,,和的平分線和相交于點(diǎn),并且與、分別相交于、.利用(1)的結(jié)論,試求的度數(shù);(4)如果圖2中和為任意角時,其他條件不變,試問與、之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系.(直接寫出結(jié)論即可)【分析】(1)利用三角形的內(nèi)角和定理表示出與,再根據(jù)對頂角相等可得,然后整理即可得解;(2)根據(jù)“8字形”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),根據(jù)交點(diǎn)寫出“8字形”的三角形,然后確定即可;(3)根據(jù)(1)的關(guān)系式求出,再根據(jù)角平分線的定義求出,然后利用“8字形”的關(guān)系式列式整理即可得解;(4)根據(jù)“8字形”用、表示出,再用、表示出,然后根據(jù)角平分線的定義可得,然后整理即可得證.【解答】解:(1)在中,,在中,,(對頂角相等),,;(2)交點(diǎn)有點(diǎn)、、,以為交點(diǎn)有1個,為與,以為交點(diǎn)有4個,為與,與,與,與,以為交點(diǎn)有1個,為與,所以,“8字形”圖形共有6個;(3),,,,、分別是和的角平分線,,,又,;(4)根據(jù)“8字形”數(shù)量關(guān)系,,,所以,,,、分別是和的角平分線,,,,整理得,.【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理,角平分線的定義,多邊形的內(nèi)角和定理,對頂角相等的性質(zhì),整體思想的利用是解題的關(guān)鍵.題型二、飛鏢模型一.選擇題(共2小題)1.(2023秋?雙峰縣月考)如圖,,,,的度數(shù)是A. B. C. D.【分析】作直線,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得:,,從而推出.【解答】解:作直線,(1)(2)由(1)、(2)得:,即,,,.故選:.【點(diǎn)評】解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形,應(yīng)用三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系解答.2.(2023秋?天長市期中)如圖,中,,為延長線上的一點(diǎn),于點(diǎn),,則為A. B. C. D.【分析】由于點(diǎn),,由三角形內(nèi)角和定理可求出,再由三角形外角定理可得.【解答】解:,,,,,,.故選:.【點(diǎn)評】這道題考查的是三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角定理,一定要熟記定理.二.填空題(共1小題)3.(2022秋?富陽區(qū)期中)如圖,作于點(diǎn),與相交于點(diǎn),若,,則60,.【分析】首先利用垂直的定義和三角形的內(nèi)角和定理可以求出,然后利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系可以求出.【解答】解:,,,,又,故答案為:60;105.【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.三.解答題(共2小題)4.(2023秋?新建區(qū)期中)一個零件的形狀如圖,按規(guī)定應(yīng)等于,、應(yīng)分別是和,現(xiàn)測量得,你認(rèn)為這個零件合格嗎?為什么?【分析】直接利用圖形中的外角和等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和求解.【解答】解:延長與相交于點(diǎn).,又,實(shí)際量得的,,這個零件不合格.【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系.三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和.5.(2022秋?鹽湖區(qū)校級期末)探究與發(fā)現(xiàn):如圖1所示的圖形,像我們常見的學(xué)習(xí)用品圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”,(1)觀察“規(guī)形圖”,試探究與、、之間的關(guān)系,并說明理由;(2)請你直接利用以上結(jié)論,解決以下三個問題:①如圖2,把一塊三角尺放置在上,使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過點(diǎn)、,,則50;②如圖3,平分,平分,若,,求的度數(shù);③如圖4,,的10等分線相交于點(diǎn)、、,若,,求的度數(shù).【分析】(1)首先連接并延長至點(diǎn),然后根據(jù)外角的性質(zhì),即可判斷出.(2)①由(1)可得,然后根據(jù),,求出的值是多少即可.②由(1)可得,再根據(jù),,求出的值是多少;然后根據(jù),求出的度數(shù)是多少即可.③根據(jù),,設(shè)為,可得,解方程,求出的值,即可判斷出的度數(shù)是多少.【解答】解:(1)如圖(1),連接并延長至點(diǎn),,根據(jù)外角的性質(zhì),可得,,又,,;(2)①由(1),可得,,,,故答案為:50.②由(1),可得,,,;③,,設(shè)為,,,解得,即的度數(shù)為.【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理,利用三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.題型三、“A”字模型一.選擇題(共1小題)1.(2023秋?德宏州期末)如圖,將一個三角形剪去一個角后,,則等于A. B. C. D.【分析】先根據(jù)平角定理,求出,再根據(jù)三角形內(nèi)角和求出即可.【解答】解:如圖所示:,,,,,,,故選:.【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和,解題關(guān)鍵是正確識別圖形,理解相關(guān)角與角之間的數(shù)量關(guān)系.二.填空題(共1小題)2.(2022秋?濟(jì)寧期末)如圖,中,,,將沿折疊,點(diǎn)落在形內(nèi)的,則的度數(shù)為.【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù),進(jìn)而可得出的度數(shù),根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出的度數(shù),再由四邊形的內(nèi)角和為即可得出結(jié)論.【解答】解:中,,,,,,由△翻折而成,,.故答案為:.【點(diǎn)評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理,熟知三角形內(nèi)角和是是解答此題的關(guān)鍵.三.解答題(共3小題)3.(2022秋?平橋區(qū)期末)探索歸納:(1)如圖1,已知為直角三角形,,若沿圖中虛線剪去,則.(2)如圖2,已知中,,剪去后成四邊形,則.(3)如圖2,根據(jù)(1)與(2)的求解過程,你歸納猜想與的關(guān)系是.(4)如圖3,若沒有剪掉,而是把它折成如圖3形狀,試探究與的關(guān)系,并說明理由.【分析】(1)利用了四邊形內(nèi)角和為和直角三角形的性質(zhì)求解;(2)根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和求解;(3)根據(jù)(1)(2)可以直接寫出結(jié)果;(4)根據(jù)折疊的性質(zhì),對應(yīng)角相等,以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求解.【解答】解:(1):四邊形的內(nèi)角和為,直角三角形中兩個銳角和為.等于.故答案為:;(2),故答案為:;(3)與的關(guān)系是:;故答案為:;(4)是由折疊得到的,,,又,.【點(diǎn)評】主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系.(1)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和.(2)三角形的內(nèi)角和是180度.求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是”這一隱含的條件.4.(2022秋?運(yùn)城期末)一個三角形紙片沿折疊,使點(diǎn)落在點(diǎn)處.(點(diǎn)在的內(nèi)部)(1)如圖1,若,則90.(2)利用圖1,探索,與之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.(3)如圖2,把折疊后,平分,平分,若,利用(2)中得出的結(jié)論求的度數(shù).【分析】(1)根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用、表示出和,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解;根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用、表示出和,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解;(2)由、是的兩個外角知、,據(jù)此得,繼而可得答案;(3)由(1)知,根據(jù)平分,平分知.利用可得答案.【解答】解:(1)點(diǎn)沿折疊落在點(diǎn)的位置,,,,,在中,,,整理得;故答案為:90;(2),理由:、是的兩個外角,,,,,即;(3)由(1),得,,平分,平分,.,.【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換的性質(zhì),三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和,三角形的內(nèi)角和等于,綜合題,但難度不大,熟記性質(zhì)準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.5.(2023秋?章貢區(qū)校級月考)嘗試探究如圖1,在一張三角形紙片上,剪去,得到四邊形,與分別為的兩個外角(1)請你試著說明:(2)如圖2,如果沿著再剪一刀,與分別為的兩個外角,那么和的數(shù)量關(guān)系為(3)如圖3,,分別平分外角、,求與的數(shù)量關(guān)系:拓展提升如圖4,在四邊形中,、分別平分外分、,請寫出,、這三個角的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【分析】(1)根據(jù)外角的性質(zhì)得到,,求得,根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論;(2)由(1)得,,同理得到,于是得到結(jié)論;(3)由(1)得,,根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論;(4)由(3)得到,由(1)得到,于是得到結(jié)論.【解答】解:(1)與分別為的兩個外角,,,,三角形的內(nèi)角和為,,;(2)由(1)得,,同理,,,故答案為:;(3)由(1)得,,,分別平分外角、,,,,;(4)解:數(shù)量關(guān)系:,理由:如圖,由(3)可知,,由(1)可知,,.【點(diǎn)評】本題考查的是角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理,掌握三角形內(nèi)角和等于是解題的關(guān)鍵.題型四、“老鷹捉小雞”模型一.選擇題(共1小題)1.(2023秋?增城區(qū)期末)如圖,把三角形紙片沿折疊,當(dāng)點(diǎn)落在四邊形外部時,則與、之間的數(shù)量關(guān)系是A. B. C. D.【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得,根據(jù)平角等于用表示出,根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和,用與表示出,然后利用三角形的內(nèi)角和等于列式整理即可得解.【解答】解:△是沿折疊得到,,又,,,即,整理得,.,即.故選:.【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理以及折疊的性質(zhì),根據(jù)折疊的性質(zhì),平角的定義以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì),把、、轉(zhuǎn)化到同一個三角形中是解題的關(guān)鍵.二.填空題(共1小題)2.(2023秋?玉林期末)紙片中,,,將紙片的一角折疊,使點(diǎn)落在內(nèi)(如圖),若,則的度數(shù)為.【分析】先根據(jù),,求出的度數(shù).再由可求出的度數(shù),由三角形內(nèi)角和定理及平角的性質(zhì)即可求解.【解答】解:中,,,,,,在中,,,故答案為.【點(diǎn)評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及平角的性質(zhì),解答此題的關(guān)鍵是熟知三角形的內(nèi)角和是.三.解答題(共3小題)3.(2023秋?莊浪縣期中)問題1如圖①,一張三角形紙片,點(diǎn)、分別是邊上兩點(diǎn).研究(1):如果沿直線折疊,使點(diǎn)落在上,則與的數(shù)量關(guān)系是研究(2):如果折成圖②的形狀,猜想、和的數(shù)量關(guān)系是研究(3):如果折成圖③的形狀,猜想、和的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.猜想:理由問題2研究(4):將問題1推廣,如圖④,將四邊形紙片沿折疊,使點(diǎn)、落在四邊形的內(nèi)部時,與、之間的數(shù)量關(guān)系是.【分析】(1)根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)以及折疊的特點(diǎn)即可得到結(jié)論;(2)連接,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論;(3)連接構(gòu)造等腰三角形,然后結(jié)合三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行探討證明;(4)根據(jù)平角的定義以及四邊形的內(nèi)角和定理進(jìn)行探討.【解答】解:(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)可知,,故;(2)由圖形折疊的性質(zhì)可知,①,②,①②得,即,故;(3).證明如下:連接構(gòu)造等腰三角形,,,得,(4)如圖④,由圖形折疊的性質(zhì)可知,,兩式相加得,即,所以,.【點(diǎn)評】注意此類一題多變的題型,基本思路是相同的,主要運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及其推論進(jìn)行證明.4.(2023秋?嘉祥縣期中)(1)如圖①,把紙片沿折疊,當(dāng)點(diǎn)落在四邊形內(nèi)部點(diǎn)的位置時,、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由.(2)如圖②,把紙片沿折疊,當(dāng)點(diǎn)落在四邊形外部點(diǎn)的位置時,、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由.(3)如圖③,把四邊形沿折疊,當(dāng)點(diǎn)、分別落在四邊形內(nèi)部點(diǎn)、的位置時,你能求出、、與之間的數(shù)量關(guān)系嗎?并說明理由.【分析】(1)根據(jù)翻折的性質(zhì)表示出、,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解;(2)先根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平角的定義表示出、,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解;(3)先根據(jù)翻折的性質(zhì)表示出、,再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解.【解答】解:(1)如圖,根據(jù)翻折的性質(zhì),,,,,整理得,;(2)根據(jù)翻折的性質(zhì),,,,,整理得,;(3)根據(jù)翻折的性質(zhì),,,,,整理得,.【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理,多邊形的內(nèi)角與外角,翻折的性質(zhì),整體思想的利用是解題的關(guān)鍵.5.(2023?鳩江區(qū)校級開學(xué))(1)如圖1,設(shè),則;(2)把三角形紙片頂角沿折疊,點(diǎn)落到點(diǎn)處,記為,為.①如圖2,,與的數(shù)量關(guān)系是;②如圖3,請你寫出,與的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.(3)如圖4,把一個三角形紙片的三個頂角分別向內(nèi)折疊之后,3個頂點(diǎn)不重合,那么圖中.【分析】(1)利用三角形外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可求解;(2)①先根據(jù)折疊得:,,由兩個平角和得:等于與四個折疊角的差,化簡得結(jié)果;②利用兩次外角定理得出結(jié)論;(3)由折疊可知等于六邊形的內(nèi)角和減去以及和,再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解.【解答】解:(1);故答案為:;(2)①如圖2,猜想:,理由是:由折疊得:,,,,;故答案為:;②如圖3,,理由是:,,,,,;(3)如圖4,由題意知,又,,,,.故答案為:.【點(diǎn)評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理,熟知圖形翻折變換的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.題型五、(雙)角平分線模型一.選擇題(共2小題)1.(2023秋?新市區(qū)校級期中)如圖,的三邊,,的長分別為15,20,25,點(diǎn)是三條角平分線的交點(diǎn),則等于A. B. C. D.【分析】過點(diǎn)作于,于,于,如圖,利用角平分線的性質(zhì)得到,然后根據(jù)三角形面積公式得到.【解答】解:過點(diǎn)作于,于,于,如圖,點(diǎn)是三條角平分線的交點(diǎn),,.故選:.【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì):角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.也考查了三角形的面積公式.2.(2015?鄭州一模)如圖,中,,分別是,的平分線,,則等于A. B. C. D.【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義求出的度數(shù),再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于即可求出的度數(shù).【解答】解:,,,分別是,的平分線,,,,.故選:.【點(diǎn)評】本題主要利用三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義,熟練掌握定理和概念是解題的關(guān)鍵.二.填空題(共3小題)3.(2023秋?東莞市校級期中)如圖,中,,的角平分線與的角平分線交于點(diǎn).則.【分析】利用三角形內(nèi)角和定理先求出的度數(shù),再利用角平分線的定義即可求解.【解答】解:,,的角平分線與的角平分線交于點(diǎn),,,,,故答案為:.【點(diǎn)評】本題考查三角形內(nèi)角和定理,角平分線的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是利用角平分線的定義求出的度數(shù).4.(2023秋?南寧月考)如圖,在中,,的平分線交于點(diǎn),過點(diǎn)作交,于點(diǎn),.當(dāng),時,的長為2.【分析】利用平行和角平分線得到,,可得出結(jié)論,由此即可求得的長.【解答】解:如圖,平分,;,,,;同理可證,,,,,,故答案為2.【點(diǎn)評】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì),結(jié)合平行得到,是解題的關(guān)鍵.5.(2023春?天寧區(qū)校級期中)如圖,在中,,和的平分線交于點(diǎn),得,和的平分線交于點(diǎn),得,,和的平分線交于點(diǎn),得,和的平分線交于點(diǎn),得,則度.【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得,,再根據(jù)外角的性質(zhì)可得,找出規(guī)律即可求出.【解答】解:平分,平分,,,,同理可得,,,,故答案為:.【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì)
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