七年級上冊數(shù)學(xué)培優(yōu)講義（立體圖形的展開圖）第十講

立體圖形的展開圖立體圖形的展開圖內(nèi)容基本要求略高要求較高要求立體圖形的展開圖會畫基本幾何體（直棱柱.圓柱.圓錐.球）；了解直棱柱.圓錐的側(cè)面展開圖；了解基本幾何體的展開圖（球除外）；觀察與現(xiàn)實生活有關(guān)的圖片.并能對形狀.大小和相a互位置作做簡單的描述．能根據(jù)直棱柱.圓錐的展開圖判斷立體模型．正方形展開圖的知識要點：第一類：有6種.特點：是4個連成一排的正方形.其兩側(cè)各有一個正方形.簡稱“141型”第二類：有3種.特點：是有3個連成一排的正方形.其兩側(cè)分別有1個和兩個相連的正方形;簡稱“132型”第三類：僅有一種.特點：是兩個連成一排的正方形的兩側(cè)又各有兩個連成一排的正方形；簡稱“222型”第四類：僅有1種.三個連成一排的正方形的一側(cè).還有3個連成一排的正方形.可簡稱“33型”正方形展開圖的識別方法：排除法：（1）由少于或多于6個的正方形組成的圖形不是正方形的平面展開圖（2）有“凹”字型或“田”字型部分的平面圖形不是正方體的展開圖2.對比法：對照上面的四種規(guī)則進行對照；從展開圖可以看出.在正方形的展開圖中不會出現(xiàn)如下圖所示的“凹”字型和“田”字型結(jié)構(gòu).模塊一長方體的展開圖長方體展開圖下列圖形中.不能表示長方體平面展開圖的是（）．．．．【解題思路】由平面圖形的折疊及正方體的展開圖解題．選項A.B.C經(jīng)過折疊均能圍成長方體.D兩個底面在側(cè)面的同一側(cè).缺少一定底面.所以不能表示長方體平面展開圖．故選D．【題目答案】【鞏固練習(xí)】如圖是無蓋長方體盒子的表面展開圖（重疊部分不計）.則盒子的容積為（）．4．6．12．15【解題思路】由圖可知.無蓋長方體盒子的長是3.寬是2.高是1.所以盒子的容積為3×2×1=6．盒子的容積為3×2×1=6．故選B．【題目答案】【鞏固練習(xí)】下圖是一個長方體紙盒的展開圖.請把-5.3.5.-1.-3.1分別填入六個長方形.使得按虛線折成長方體后.相對面上的兩數(shù)互為相反數(shù)．【解題思路】根據(jù)題意.找到相對的面.把互為相反數(shù)的數(shù)字分別填入即可．【題目答案】如下圖：正方體展開圖下列圖形中為正方體的平面展開圖的是（）．．．．【解題思路】由四棱柱四個側(cè)面和上下兩個底面的特征可知.A.B.D上底面不可能有兩個.故不是正方體的展開圖．選項C可以拼成一個正方體．【題目答案】【鞏固練習(xí)】將一個正方體沿某些棱展開后.能夠得到的平面圖形是（）．．．．【解題思路】本題考查圖形的展開與折疊中.正方體的常見的十余種展開圖有關(guān)內(nèi)容．可將這四個圖折疊后.看能否組成正方形．A.出現(xiàn)了田字格.故不能；B.D.上底面不可能有兩個.故不是正方體的展開圖；C.可以拼成一個正方體．故選C．【題目答案】一個正方體的表面展開圖可以是下列圖形中的（）．．．．【解題思路】A.B.D折疊后有一行兩個面無法折起來.從而缺少面.不能折成正方體.只有C是一個正方體的表面展開圖．故選C．【題目答案】【鞏固練習(xí)】下列圖形中.不是正方體表面展開圖的是（）．．．．【解題思路】A.B.C經(jīng)過折疊均能圍成正方體.D.折疊后第一行兩個面無法折起來.不能折成正方體．【題目答案】【鞏固練習(xí)】將如圖所示表面帶有圖案的正方體沿某些棱展開后.得到的圖形是（）

．．．．【解題思路】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點解題．注意帶圖案的三個面相交于一點．而通過折疊后A.B都不符合.且D折疊后圖案的位置正好相反.所以能得到的圖形是C．【題目答案】C．將如圖正方體的相鄰兩面上各畫分成九個全等的小正方形.并分別標(biāo)上O.×兩符號．若下列有一圖形為此正方體的展開圖.則此圖為（）A.B.C.D.【解題思路】此題主要根據(jù)O.×兩符號的上下和左右位置判斷.可用排除法．由已知圖可得.O.×兩符號的上下位置不同.故可排除A.B；又注意到O.×兩符號之間的空行有3列．【題目答案】C．【鞏固練習(xí)】如圖.哪一個是左邊正方體的展開圖（）．．．．【解題思路】本題考查正方體的表面展開圖及空間想象能力．在驗證立方體的展開圖式.要細(xì)心觀察每一個標(biāo)志的位置是否一致.然后進行判斷．根據(jù)有圖案的表面之間的位置關(guān)系.正確的展開圖是D．【題目答案】故選D．【點評】學(xué)生對相關(guān)圖的位置想象不準(zhǔn)確.從而錯選.解決這類問題時.不妨動手實際操作一下.即可解決問題．下面哪個圖形不是正方體的展開圖（）．．．．【解題思路】選項A.B.C折疊后都可以圍成正方體.而D折疊后折疊后第一行兩個面無法折起來.而且下邊沒有面.不能折成正方體．【題目答案】D．【鞏固練習(xí)】一個無蓋的正方體盒子的平面展開圖可以是下列圖形中的（）A．只有圖①Ｂ．圖①.圖②Ｃ．圖②.圖③Ｄ．圖①.圖③【解題思路】圖②.經(jīng)過折疊后.沒有上下底面.側(cè)面是由5個正方形組成.與正方體的側(cè)面是4個正方形圍成不相符.所以不是無蓋的正方體盒子的平面展開圖．【題目答案】D．【鞏固練習(xí)】如圖.是一個正方體盒子（6個面）的側(cè)面展開圖的一部分.請將它補充完整．【解題思路】根據(jù)正方體的展開圖特點補全即可.答案不唯一．正方體的展開圖如下：（答案不唯一）.最后一個圖形不符合．【題目答案】略模塊二圓柱.圓錐的側(cè)面展開圖圓柱體圓柱的側(cè)面展開圖形是（）A．圓Ｂ．矩形Ｃ．梯形．扇形【解題思路】略【題目答案】【鞏固練習(xí)】如圖.已知MN是圓柱底面的直徑.NP是圓柱的高.在高柱的側(cè)面上.過點M.P嵌有一幅路徑最短的金屬絲.現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿NP剪開.所得的側(cè)面展開圖是（）A．Ｂ．Ｃ．．【解題思路】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點解題．因圓柱的展開面為長方形.MP展開應(yīng)該是兩直線.且有公共點M．故選A．【題目答案】如圖.MN是圓柱底面的直徑.NO是圓柱的高.在圓柱的側(cè)面上.過點M.P．有一條繞了四周的路徑最短的金屬絲.現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿NO剪開.所得的側(cè)面展開圖可以是：【解題思路】根據(jù)兩點之間線段最短.剪開后所得的側(cè)面展開圖中的金屬絲是線段.即可選擇．注意P點在展開圖中長邊的中點處.圓柱側(cè)面沿NO剪開.根據(jù)兩點之間線段最短.剪開后所得的側(cè)面是長方形.P點在展開圖中長邊的中點處.金屬絲是線段.且從P點開始到M點為止．故選②．【題目答案】②【鞏固練習(xí)】底面直徑為m的圓柱體（如圖）.沿它的一條母線AB（也就是圓柱的高.且AB=h）剪開展平.則圓柱側(cè)面展開后的面積為．【解題思路】根據(jù)圓柱側(cè)面積=底面周長×高計算即可．圓柱的側(cè)面積=．【題目答案】圓錐體下列立體圖形中.側(cè)面展開圖是扇形的是（）A．Ｂ．Ｃ．．【解題思路】根據(jù)圓錐的特征可知.側(cè)面展開圖是扇形的是圓錐．【題目答案】【鞏固練習(xí)】我國運用長征火箭發(fā)射了百余顆人造衛(wèi)星和5次神州飛船．如圖是我國航天科技人員自主研究開發(fā)的長征系列火箭的立體圖形．（火箭圓柱底面圓的周長不等于圓柱的高）

（1）請你畫出火箭的平面展開圖.并標(biāo)上字母．

（2）寫出平面圖形中所有相等的量．【解題思路】結(jié)合圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖的特征解題．（1）如右圖．（2）...．【題目答案】同解析．模塊三其他立體圖形的展開圖若下列只有一個圖形不是右圖的展開圖.則此圖為何？（）A．Ｂ．Ｃ．．【解題思路】選項D的四個三角形面不能折疊成原圖形的四棱錐.而是有一個三角形面與正方形面重合.故不能組合成原題目的立體圖形．【題目答案】故選D．【鞏固練習(xí)】圖1是由白色紙板拼成的立體圖形.將此立體圖形中的兩面涂上顏色.如圖2所示．下列四個圖形中哪一個是圖2的展開圖（）A.B.C.D.【解題思路】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點解題．由圖中陰影部分的位置.首先可以排除B.D.又陰影部分正方形在左.三角形在右．【題目答案】故選A．下列四個圖中.是三棱錐的表面展開圖的是（）A．Ｂ．Ｃ．．【解題思路】三棱錐的四個面都是三角形.還要能圍成一個立體圖形.可排除C.D.而A不能圍成立體圖形.故可得答案．【題目答案】B．【鞏固練習(xí)】下面四個圖形中.是三棱柱的平面展開圖的是（）A．Ｂ．Ｃ．．【解題思路】根據(jù)三棱柱的展開圖的特點作答．A.是三棱柱的平面展開圖；B.是三棱錐的展開圖.故不是；C.是四棱錐的展開圖.故不是；D.兩底在同一側(cè).也不符合題意．故選A．【題目答案】A下列圖形中.不是三棱柱的表面展開圖是（）A．Ｂ．Ｃ．．【解題思路】利用棱柱及其表面展開圖的特點解題．A.B.C中間三個長方形能圍成三棱柱的側(cè)面.上.下兩個三角形圍成三棱柱的上.下兩底面.故均能圍成三棱柱.均是三棱柱的表面展開圖．D圍成三棱柱時.兩個三角形重合為同一底面.而另一底面沒有．故D不能圍成三棱柱．【題目答案】故選D．如圖是一個正四面體.它的四個面都是正三角形.現(xiàn)沿它的三條棱AC.BC.CD剪開展成平面圖形.則所得的展開圖是（）A.B.C.D.【解題思路】親自動手具體操作.或根據(jù)三棱錐的圖形特點作答．根據(jù)三棱錐的圖形特點.可得展開圖為B．【題目答案】B．哪種幾何體的表面能展成如圖所示的平面圖形？需剪幾條棱才能得到如此形狀的平面圖？你是怎樣數(shù)出來的？請總結(jié)其規(guī)律．【解題思路】側(cè)面為五個長方形.底邊為五邊形.故原幾何體為五棱柱．五棱柱能展成如圖所示的平面圖形．由五棱柱展開成平面圖形.需要剪9條棱．因為五棱柱共有15條棱.7個面.展成平面圖形時.7個面需有6條棱相連.共需留下6條棱不剪.所以需剪15-6=9（條）棱．

總結(jié)規(guī)律：n棱柱有n+2個面.3n條棱.展成平面圖形時.n+2個面需有n+1條棱相連.故應(yīng)留下n+1條棱不剪.所以要把n棱柱展成平面圖形.共需剪3n-（n+1）=（2n-1）條棱．【題目答案】五棱柱；９；．下列圖形是某些立體圖形的平面展開圖.說出這些立體圖形的名稱．【解題思路】由平面圖形的折疊及常見立體圖形的展開圖解題．根據(jù)圖示可知：①五棱錐；②圓柱；③三棱柱．【題目答案】①五棱錐②圓柱③三棱柱【鞏固練習(xí)】圖中四個圖形是多面體的展開圖.你能說出這些多面體的名稱嗎？【解題思路】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點解題．6個正方形能圍成一個正方體.三個長方形和兩個三角形能圍成一個三棱柱.一個四邊形和四個三角形能圍成四棱錐.6個長方形可以圍成長方體．【題目答案】正方體；三棱柱；四棱錐；長方體．課后課后練習(xí)１.下列各圖形中.可以是一個正方體的平面展開圖的是（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【解題思路】選項A.C折疊后缺少一個底面.而B折疊后缺少一個側(cè)面.所以可以是一個正方體的平面展開圖的是D．【題目答案】故選D．２.把圓錐的側(cè)面展開.會得到的圖形是（）A．Ｂ．Ｃ．．【解題思路】圓錐的側(cè)面展開圖是扇形.故選C．【題目答案】C如圖.圓柱體的表面展開后得到的平面圖形是（）A.B.C.D