分類(lèi)變量與列聯(lián)表教案

8.3分類(lèi)變量與列聯(lián)表

教材分析

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)》，第七章《隨機(jī)變量及其分布列》，

本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)分類(lèi)變量與列聯(lián)表

學(xué)生前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了基本獲取樣本數(shù)據(jù)的方法，從樣本數(shù)據(jù)中提取信息的方法，也掌握了相互

獨(dú)立事件的概率計(jì)算，獨(dú)立性檢驗(yàn)是進(jìn)一步分析兩個(gè)分類(lèi)變量之間是否有關(guān)系，是高中數(shù)學(xué)知識(shí)中

教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)思想的重要課節(jié)。學(xué)習(xí)重點(diǎn)應(yīng)放在獨(dú)立性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)學(xué)原理上，理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思

想，明確獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本步驟。課堂趣味性較強(qiáng)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，對(duì)于提

高學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)建模思想有重要意義。

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.通過(guò)對(duì)典型案例的探究,了解獨(dú)立性檢1.數(shù)學(xué)抽象：從特殊實(shí)例到一般原理

驗(yàn)（只要求2x2列聯(lián)表）的基本思想、方法2.邏輯推理：獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法

及初步應(yīng)用.3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：獨(dú)立檢驗(yàn)的運(yùn)用

B.通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的收集、整理和分析,增強(qiáng)學(xué)4.數(shù)學(xué)建模：模型化思想

生的社會(huì)實(shí)踐能力,培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、

解決問(wèn)題的能力.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：了解獨(dú)立性檢驗(yàn)（只要求2x2列聯(lián)表）的應(yīng)用.

難點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn)（只要求2x2列聯(lián)表）的基本思想、方法

課前準(zhǔn)備

多媒體

教學(xué)過(guò)程

一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

前面兩節(jié)所討論的變量,如人的身高、樹(shù)的胸徑、樹(shù)的高度、短

跑100m世界紀(jì)錄和創(chuàng)紀(jì)錄的時(shí)間等，都是數(shù)值變量，數(shù)值變量的取值

為實(shí)數(shù).其大小和運(yùn)算都有實(shí)際含義.

在現(xiàn)實(shí)生活中，人們經(jīng)常需要回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或

性質(zhì)之間是否存在關(guān)聯(lián)性或相互影響的問(wèn)題.例如，就讀不同學(xué)校是否

對(duì)學(xué)生的成績(jī)有影響，不同班級(jí)學(xué)生用于體育鍛煉的時(shí)間是否有差別，

吸煙是否會(huì)增加患肺癌的風(fēng)險(xiǎn)，等等，本節(jié)將要學(xué)習(xí)的獨(dú)立性檢驗(yàn)方法

為我們提供了解決這類(lèi)問(wèn)題的方案。

在討論上述問(wèn)題時(shí),為了表述方便，我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊

的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類(lèi)隨機(jī)變量稱為分類(lèi)變量.

分類(lèi)變量的取值可以用實(shí)數(shù)表示，例如，學(xué)生所在的班級(jí)可以用1,2,3

等表示，男性、女性可以用1,0表示，等等.在很多時(shí)候，這些數(shù)值只作為

編號(hào)使用，并沒(méi)有通常的大小和運(yùn)算意義，本節(jié)我們主要討論取值于

｛0,1｝的分類(lèi)變量的關(guān)聯(lián)性問(wèn)題.

二、探究新知

問(wèn)題1.為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性,某中學(xué)需要了

通過(guò)具體的問(wèn)題

解性別因素是否對(duì)本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響,為此對(duì)學(xué)生是

情境，引發(fā)學(xué)生思考

否經(jīng)常鍛煉的情況進(jìn)行了普查，全校學(xué)生的普查數(shù)據(jù)如下:523名女生積極參與互動(dòng)，說(shuō)出

中有331名經(jīng)常鍛煉;601名男生中有473名經(jīng)常鍛煉。你能利用這些自己見(jiàn)解。從而分類(lèi)

變量獨(dú)立性檢驗(yàn)的

數(shù)據(jù)，說(shuō)明該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異

概念，發(fā)展學(xué)生邏輯

嗎？推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)

這是一個(gè)簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，最直接的解答方法是,比較經(jīng)常鍛煉的學(xué)生學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模

在女生和男生中的比率，為了方便，我們即0=經(jīng)常襄北生數(shù),的核心素養(yǎng)。

f二竺常鍛煉的男生數(shù)

,1男生總數(shù)

那么，只要求出｛和4的值，通過(guò)比較這兩個(gè)值的大小，就可以知

道女生和男生在鍛煉的經(jīng)常性方面是否有差異，由所給的數(shù)據(jù),經(jīng)計(jì)算

得至優(yōu)^會(huì)刈陋九=經(jīng)=0.787.由//?0.787-0.633=0.154可

v523160110

知，男生經(jīng)常鍛煉的比率比女生高出15.4個(gè)百分點(diǎn).

所以該校的女生和男生在體育鍛等的經(jīng)常性方面有差異，而且男生更

經(jīng)常鍛煉.

用n表示該校全體學(xué)生構(gòu)成的集合,這是我們所關(guān)心的對(duì)象的總

體,考慮以n為樣本空間的古典概型,并定義一對(duì)分類(lèi)變量X和Y如下:

對(duì)于。中的每一名學(xué)生，

八皿人v(0,該生為女生、(0,該生不經(jīng)常鍛煉、

分別令x=1<1,該生為男生1I，y=(11,該生經(jīng)常鍛煉),

“性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性沒(méi)有影響''可以描述為

P(Y=1|X=0)=P(Y=l|X=l);

“性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響”可以描述為

P(Y=1|X=O)^P(Y=1|X=1).

我們希望通過(guò)比較條件概率p(y=i|x=o)和p(y=i|x=i)回答上面

的問(wèn)題.按照條件本概率的直觀解釋，

如果從該校女生和男生中各隨機(jī)選取一名學(xué)生,那么該女生屬于經(jīng)常

鍛煉群體的概率是P(Y=l|X=0),

而該男生屬于經(jīng)常鍛煉群體的概率是P(Y=1|X=1).

為了清楚起見(jiàn)，我們用表格整理數(shù)據(jù)

鍛煉

性別合計(jì)

不經(jīng)常(y=o)經(jīng)常(y=i)

女生(X=0)192331523

男生(X=l)128473601

合計(jì)3208041124

我們用｛X=0,Y=l｝表示事件｛X=0｝和｛Y=l｝的積事件，用

｛X=1,Y=1｝表示事件(X=1｝和｛Y=1｝的積事件，根據(jù)古典概型和條件概

率的計(jì)算公式，我們有

P(Y=1|X=0)=n(X=0,/=1)=--0.633；P(y=1|X=1)=n(X"1,r=1)=--0.787

'''n(X=O)523，'I'n(X=l)601

由P(Y=1|X=1)>P(Y=1|X=0)

可以作出判斷，在該校的學(xué)生中，性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，即

該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面存在差異,而且男生更經(jīng)

常鍛煉。

在實(shí)踐中，由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高，人們經(jīng)常按研究問(wèn)題

的需要，將數(shù)據(jù)分類(lèi)統(tǒng)計(jì)，并做成表格加以保存,我們將下表這種形式

的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表稱為2x2列聯(lián)表（contingencytable）.

2x2列聯(lián)表給出了成對(duì)分類(lèi)變量數(shù)據(jù)的交叉分類(lèi)頻數(shù)，以右表為

例，它包含了X和Y的如下信息：

最后一行的前兩個(gè)數(shù)分別是事件｛Y=0｝和｛Y=l｝中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

最后一列的前兩個(gè)數(shù)分別是事件｛X=0｝和｛X=l｝中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

中間的四個(gè)格中的數(shù)是表格的核心部分，給出了事件

｛X=x,Y=y｝（x,y=0,l）中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

右下角格中的數(shù)是樣本空間中樣本點(diǎn)的總數(shù)。

鍛煉

性別合計(jì)

不經(jīng)常（y=0）經(jīng)常（y=i）通過(guò)問(wèn)題分析，

女生（X=0）192331523讓學(xué)生理解運(yùn)獨(dú)立

男生(X=l)128473601性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)學(xué)原

合計(jì)3208041124理。發(fā)展學(xué)生邏輯推

理，直觀想象、數(shù)學(xué)

抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的

三、典例解析

核心素養(yǎng)。

例1.為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方

法抽取88名學(xué)生.通過(guò)測(cè)驗(yàn)得到了如下數(shù)據(jù):甲校43名學(xué)生中有10

名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀;乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀,試分析兩校學(xué)

生中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率之間是否存在差異.

解:用C表示兩所學(xué)校的全體學(xué)生構(gòu)成的集合.考慮以C為樣本空間的

古典概型.對(duì)于C中每一名學(xué)生，定義分類(lèi)變量X和Y如下:X=

[0,該生來(lái)自甲校）=[0,該生數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀）

11,該生來(lái)自乙校7V二（l,該生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀r

學(xué)校數(shù)學(xué)成績(jī)合計(jì)

不優(yōu)秀（Y=0）優(yōu)秀(Y=l)

甲校(X=0)331()43

乙校（X=D38745

合計(jì)711788

我們將所給數(shù)據(jù)整理成表(單位：人)

表是關(guān)于分類(lèi)變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2X2列聯(lián)表:最后一行

的前兩個(gè)數(shù)分別是事件(Y=0)和(Y=l)的頻數(shù);最后一列的前兩個(gè)數(shù)分

別是事件(X=0)和(X=1)的頻數(shù);中間的四個(gè)格中的數(shù)是事件

(X=x,Y=y)(x,y=O,l)的頻數(shù)；

甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率分別為^70.7674

43

和卷々0.2326;

乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率分別為

45

0.8444和會(huì)0.1556

我們可以用等高堆積條形圖直觀地展示上述計(jì)算結(jié)果，如圖所示

■優(yōu)秀

O.f

■不優(yōu)秀

0.6u

0.4,J1

0.2

oo

甲校乙校

左邊的藍(lán)色和紅色條的高度分別是甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)不

優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率;右邊的藍(lán)色和紅色條的高度分別是乙校

學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率，通過(guò)比較發(fā)現(xiàn),兩個(gè)學(xué)

校學(xué)生抽樣數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率存在差異，甲校的頻率明顯高

于乙校的頻率，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理,我們可以推斷

P(Y=1|X=O)>P(Y=1|X=1).

也就是說(shuō)，如果從甲校和乙校各隨機(jī)選取一名學(xué)生，那么甲校學(xué)生數(shù)學(xué)

成績(jī)優(yōu)秀的概率大于乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率，因此，可以認(rèn)為兩

校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異，甲校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率比乙

校學(xué)生的高?

學(xué)校數(shù)學(xué)成績(jī)合計(jì)

不優(yōu)秀(Y=0)優(yōu)秀(Y=l)

甲校(X=0)331043

乙校(X=l)38745

合計(jì)711788

2.兩個(gè)分類(lèi)變量之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的定性分析的方法：

(1)頻率分析法：通過(guò)對(duì)樣本的每個(gè)分類(lèi)變量的不同類(lèi)別事件發(fā)生的

頻率大小進(jìn)行比較來(lái)分析分類(lèi)變量之間是否有關(guān)聯(lián)關(guān)系.如可以通過(guò)

列聯(lián)表中唉與七值的大小粗略地判斷分類(lèi)變量x和Y之間有無(wú)關(guān)

系.一般其值相差越大，分類(lèi)變量有關(guān)系的可能性越大.

(2)圖形分析法：與表格相比，圖形更能直觀地反映出兩個(gè)分類(lèi)變

量間是否互相影響，常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特

征.將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)用高度相同的兩個(gè)條形圖表示出來(lái)，其中兩列

的數(shù)據(jù)分別對(duì)應(yīng)不同的顏色，這就是等高堆積條形圖.

等高堆積條形圖可以展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征，能夠直觀地反映出

兩個(gè)分類(lèi)變量間是否相互影響.

問(wèn)題2.你認(rèn)為“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異”這一結(jié)論是否

有可能是錯(cuò)誤的？

有可能

“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異”這個(gè)結(jié)論是根據(jù)兩個(gè)頻率

間存在差異推斷出來(lái)的.有可能出現(xiàn)這種情況：在隨機(jī)抽取的這個(gè)樣

本中，兩個(gè)頻率間確實(shí)存在差異，但兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率實(shí)際

上是沒(méi)有差別的.對(duì)于隨機(jī)樣本而言，因?yàn)轭l率具有隨機(jī)性，頻率與

概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯(cuò)誤，而且在樣本容量較

小時(shí)，犯錯(cuò)誤的可能性會(huì)較大.因此，需要找到一種更為合理的推斷

方法，同時(shí)也希望能對(duì)出現(xiàn)錯(cuò)誤推斷的概率有一定的控制或估算.

通過(guò)具體的問(wèn)題

“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異”這個(gè)結(jié)論是根據(jù)兩個(gè)頻率

情境中的分析，深化

間存在差異推斷出來(lái)的.有可能出現(xiàn)這種情況：在隨機(jī)抽取的這個(gè)樣對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的理

本中，兩個(gè)頻率間確實(shí)存在差異，但兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率實(shí)際解。發(fā)展學(xué)生邏輯推

理，直觀想象、數(shù)學(xué)

上是沒(méi)有差別的.對(duì)于隨機(jī)樣本而言，因?yàn)轭l率具有隨機(jī)性，頻率與

抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的

概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯(cuò)誤，而且在樣本容量較核心素養(yǎng)。

小時(shí)，犯錯(cuò)誤的可能性會(huì)較大.因此，需要找到一種更為合理的推斷

方法，同時(shí)也希望能對(duì)出現(xiàn)錯(cuò)誤推斷的概率有一定的控制或估算.

考慮以Q為樣本空間的古典概型，設(shè)X和y為定義在Q上，取值

于｛0,1｝的成對(duì)分類(lèi)變量，我們希望判斷事件｛X=l｝和｛Y=l｝之間是否

有關(guān)聯(lián)。注意到｛X=0｝和｛X=l｝,｛Y=0｝和｛Y=l｝都是互對(duì)立事件，與前

面的討論類(lèi)似，我們需要判斷下面的假定關(guān)系

“o：p(y=i|x=o)=p(y=i|x=i)是否成立,通常稱勺為零假設(shè)或原假設(shè)

(nullhypothesis).

P(Y=11X=0)表示從｛X=0｝中隨機(jī)選取一個(gè)樣本點(diǎn),該樣本點(diǎn)屬于

｛X=0,Y=l｝的概率；

P(Y=1|X=1)表示從｛X=l｝中隨機(jī)選取一個(gè)樣本點(diǎn),該樣本點(diǎn)屬于

｛X=1,Y=I｝的概率。

由條件概率的定義可知,零假設(shè)等價(jià)于端嚓上=筆寫(xiě)2

0P\X-x))1)

或P(X=0,Y=1)P(X=1)=P(X=1,Y=l)P(X=0).①

考慮以Q為樣本空間的古典概型，設(shè)X和y為定義在Q上，取值

于｛0,1｝的成對(duì)分類(lèi)變量，我們希望判斷事件｛x=1｝和｛Y=1｝之間是否

有關(guān)聯(lián)。注意到｛X=0｝和｛X=l｝,｛Y=0｝和｛Y=l｝都是互對(duì)立事件，與前

面的討論類(lèi)似，我們需要判斷下面的假定關(guān)系

“o：p(y=i|x=o)=p(y=i|x=i)是否成立,通常稱名為零假設(shè)或原假設(shè)

(nullhypothesis).P(Y=l|X=0)表示從｛X=0｝中隨機(jī)選取一個(gè)樣本點(diǎn)，該

樣本點(diǎn)屬于｛X=0,Y=l｝的概率；

P(Y=1|X=1)表示從｛X=l｝中隨機(jī)選取一個(gè)樣本點(diǎn),該樣本點(diǎn)屬于

(X=1,Y=1｝的概率。

由條件概率的定義可知,零假設(shè)H.等價(jià)于筆蹤^=端=生

0P(X=0)P(X=1)

或P(X=0.Y=1)P(X=1)=P(X=1,Y=l)P(X=0).①

注意到(X=0)和(X=l)為對(duì)立事件，于是P(X=0)=l-P(X=l).

再由概率的性質(zhì),我們有P(X=0,Y=1)=P(Y=1)-P(X=1,Y=1).

由此推得①式等價(jià)于P(x=1)P(Y=1)=P(X=1,Y=1).

因此,零假設(shè)H0等價(jià)于｛X=l｝與｛丫=1｝獨(dú)立。

根據(jù)已經(jīng)學(xué)過(guò)的概率知識(shí),下面的四條性質(zhì)彼此等價(jià)：

｛X=0｝與｛Y=0｝獨(dú)立;｛X=0｝與｛Y=l｝獨(dú)立;｛X=l｝與｛Y=0｝獨(dú)

立;｛X=l｝與｛Y=l｝獨(dú)立。

以上性質(zhì)成立，我們就稱分類(lèi)變量X和Y獨(dú)立，這相當(dāng)于下面四個(gè)等式

成立；

P(X=O,Y=O)=P(X=O)P(Y=O);P(X=O,Y=1)=P(X=O)P(Y=1);

P(X=1,Y=O)=P(X=1)P(Y=O);P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1).②

我們可以用概率語(yǔ)言，將零假設(shè)改述為H。:分類(lèi)變量X和Y獨(dú)立.

假定我們通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表,如下表

所示。

表是關(guān)于分類(lèi)變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2x2列聯(lián)表:最后一行

的前兩個(gè)數(shù)分別是事件｛Y=0｝和｛Y=l｝的頻數(shù)攝后一列的前兩個(gè)數(shù)

分別是事件｛X=0｝和｛X=l｝的頻數(shù);中間的四個(gè)數(shù)a,b,c,d是事件

｛X=x,Y=y｝(x,y=O,l)的頻數(shù);右下角格中的數(shù)n是樣本容量。

Y

X合計(jì)

r=or=i

x=oaba+b

X=1cdc+d

合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d

問(wèn)題3:如何基于②中的四個(gè)等式及列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)

量，對(duì)成對(duì)分類(lèi)變量X和Y是否相互獨(dú)立作出推斷？

在零假設(shè)”成立的條件下，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，由②

中的第一個(gè)等式，我們可以用概率P(X=O)和p(y=o)對(duì)應(yīng)的頻率的乘積

(a+?a+c)估計(jì)概率p(x=o,y=o),而把*射￡1視為事件｛X=O.y=0｝發(fā)生

的頻數(shù)的期望值(或預(yù)期值).

這樣，該頻數(shù)的觀測(cè)值a和期望值(a+b)(a+c)應(yīng)該比較接近

n

綜合②中的四個(gè)式子，如果零假設(shè)H()成立，下面四個(gè)量的取值都不應(yīng)

該太大：

?(a+b)(a+c)|,,?+b)(b+d)|,(c+d)(a+c)|,,(c+d)(b+d)|

lan1”一nk|Cn用力n1

③反之，當(dāng)這些量的取值較大時(shí)，就可以推斷H0不成立。

分別考慮③中的四個(gè)差的絕對(duì)值很困難，我們需要找到一個(gè)既合

理又能夠計(jì)算分布的統(tǒng)計(jì)量，來(lái)推斷Ho是否成立.

一般來(lái)說(shuō),若頻數(shù)的期望值較大，則③中相應(yīng)的差的絕對(duì)值也會(huì)

較大;而若頻數(shù)的期望值較小，則③中相應(yīng)的差的絕對(duì)值也會(huì)較小.

為了合理地平衡這種影響,我們將四個(gè)差的絕對(duì)值取平方后分別除以

相應(yīng)的期望值再求和，得到如下的統(tǒng)計(jì)量：

2(Q__+b)(a+c))2e_9+b)(b+d))2

X-(a+b)(a+c)1(a+b)(b+d)

nn

(C_(c+d)(a+C))2g_(。+d)(b+d),2

+(c+d)(a+c)1(c+d)(b+d)

nn

2

該表達(dá)式可化簡(jiǎn)為：Z2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

統(tǒng)計(jì)學(xué)家建議，用隨機(jī)變量力?取值的大小作為判斷零假設(shè)H°是

否成立的依據(jù)，當(dāng)它比較大時(shí)推斷H。不成立，

否則認(rèn)為H。成立.

問(wèn)題4:那么，究竟,2大到什么程度，可以推斷H。不成立呢?或者說(shuō)，怎

樣確定判斷了2大小的標(biāo)準(zhǔn)呢？

根據(jù)小概率事件在一次試驗(yàn)中不大可能發(fā)生的規(guī)律，可以通

過(guò)確定一個(gè)與此相矛盾的小概率事件來(lái)實(shí)現(xiàn)，在假定H。的條件下，對(duì)

于有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，當(dāng)樣本容量n充分大時(shí)，統(tǒng)計(jì)學(xué)家得到了#2的

近似分布，忽略％2的實(shí)際分布與該近似分布的誤差后，對(duì)于任何小概

率值a,可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)x,

a

使得下面關(guān)系成立:P(12》)=a④

a

我們稱X為a的臨界值，這個(gè)臨界值就可作為判斷乃2大小的標(biāo)準(zhǔn)，概率

a

值a越小,臨界值x越大,當(dāng)總體很大時(shí)，抽樣有、無(wú)放回對(duì),2的分布

a

影響較小.因此，在應(yīng)用中往往不嚴(yán)格要求抽樣必須是有放回的.

由④式可知,只要把概率值a取得充分小,在假設(shè)H。成立的情

況下，事件*2不大可能發(fā)生的.根據(jù)這個(gè)規(guī)律，如果該事件發(fā)生,我們就

可以推斷H。不成立.不過(guò)這個(gè)推斷有可能犯錯(cuò)誤，但犯錯(cuò)誤的概率不

會(huì)超過(guò)a.

獨(dú)立性檢驗(yàn)公式及定義：

提出零假設(shè)(原假設(shè))H。:分類(lèi)變量X和y獨(dú)立，假定我們通過(guò)

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到了x和y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，在列聯(lián)表中，如果

零假設(shè)H成立，則應(yīng)滿足三，即”從.因此lad-AI越小，說(shuō)

0a+bc+a

明兩個(gè)分類(lèi)變量之間關(guān)系越弱;lad-加1越大，說(shuō)明兩個(gè)分類(lèi)變量之間

關(guān)系越強(qiáng).

為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，基于上述分析,我們構(gòu)

2

造一個(gè)隨機(jī)變量…號(hào)、2.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

X獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.

Y

X合計(jì)

r=oY=1

x=oaba+b

X=1cdc+d

合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d

a010.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.858

X

a

通過(guò)典型例題的

臨界值的定義：分析解決，提升學(xué)生

2

對(duì)于任何小概率值a,可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)x,使得P(f力)=a對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的理

aa

2

成立，我們稱x為a的臨界值，這個(gè)臨界值可作為判斷％大小的標(biāo)解和運(yùn)用。發(fā)展學(xué)生

a

邏輯推理，直觀想

準(zhǔn)，概率值a越小，臨界值x越大.

O.

象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)

基于小概率值a的檢驗(yàn)規(guī)則：

運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

2

當(dāng)％女時(shí)，我們就推斷H不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷

a0

犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)a；

2

當(dāng)％a時(shí)，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷H不成立，可以認(rèn)為X和丫獨(dú)

a0

立.

2

用％取值的大小作為判斷零假設(shè)H是否成立的依據(jù)，當(dāng)它比較大時(shí)

0

2

推斷H不成立，否則認(rèn)為H成立。這種利用％的取值推斷分類(lèi)變

00

2

量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為X獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢

驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn).

2

X獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值

例2：依據(jù)小概率值a=0.1的尤2獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析例1中的抽樣數(shù)據(jù),

能否據(jù)此推斷兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率有差異？

解：零假設(shè)為H：分類(lèi)變量X與Y相互獨(dú)立，即兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成

0

績(jī)優(yōu)秀率無(wú)差異.因?yàn)?/p>

學(xué)校數(shù)學(xué)成績(jī)合計(jì)

不優(yōu)秀(Y=0)優(yōu)秀(Y=l)

甲校(X=0)331043

乙校(X=D38745

合計(jì)711788

所以犬=端蔗誓。。837<2.7。6=%

根據(jù)小概率值a=O.I的f獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷H。不成立，

因此可以認(rèn)為H成立，即認(rèn)為兩校的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率沒(méi)有差異。

0

問(wèn)題5.例1和例2都是基于同一組數(shù)據(jù)的分析，但卻得出了不同的結(jié)

論，你能說(shuō)明其中的原因嗎？

例1只是根據(jù)一個(gè)樣本的兩個(gè)頻率間存在差異得出兩校學(xué)生數(shù)

學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率有差異的結(jié)論，并沒(méi)有考慮由樣本隨機(jī)性可能導(dǎo)致的錯(cuò)

誤，所以那里的推斷依據(jù)不太充分，在本例中，我們用％2獨(dú)立性檢驗(yàn)對(duì)

零假設(shè)H。進(jìn)行了檢驗(yàn)，通過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)％2巾.837小于a=0.1所對(duì)應(yīng)的臨

界值2.706,因此認(rèn)為沒(méi)有充分證據(jù)推斷H。不成立，所以接受H。,推斷

出兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)優(yōu)秀率沒(méi)有顯著差異的結(jié)論，

這個(gè)檢驗(yàn)結(jié)果意味著，抽樣數(shù)據(jù)中兩個(gè)頻率的差異很有可能是由

樣本隨機(jī)性導(dǎo)致的，因此，只根據(jù)頻率的差異得出兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)

優(yōu)秀率有差異的結(jié)論是不可靠的.

由此可見(jiàn)，相對(duì)于簡(jiǎn)單比較兩個(gè)頻率的推斷，用％2獨(dú)立性檢驗(yàn)得

到的結(jié)果更理性、更全面，理論依據(jù)也更充分。

當(dāng)我們接受零假設(shè)H0時(shí)，也可能犯錯(cuò)誤。我們不知道犯這類(lèi)錯(cuò)誤

的概率p的大小，但是知道，若a越大，則p越小

例3.某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良.采用有放回簡(jiǎn)

單隨機(jī)抽樣的方法對(duì)治療情況進(jìn)行檢查，得到了如下數(shù)據(jù)：抽到接受

甲種療法的患兒67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙

種療法的患兒69名，其中未治愈6名，治愈63名.試根據(jù)小概率值

a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好.

解：零假設(shè)為H：療法與療效獨(dú)立，即兩種療法效果沒(méi)有差異.

0

將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表，

療效

療法合計(jì)

未治愈治愈

甲155267

乙66369

合計(jì)21115136

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到/=136：T；63-52：6/?

67X69X2IX115

4.881<7,879=%QQQG

根據(jù)小概率值a=0.005的產(chǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷H。

不成立，因此可以認(rèn)為H成立，即認(rèn)為兩種療法效果沒(méi)有差異.

0

療效

療法合計(jì)

未治愈治愈

甲155267

乙66369

合計(jì)21115136

2

136x615x63-52x6；

y29=-----------------------------------------x4.881

"67x69x21x115

療效

療法合計(jì)

未治愈治愈

乙66369

甲155267

合計(jì)21115136

136x652x6-15x63；

Y92=-----------------------------------------?4.881

"69x67x21x115

療效

療法合計(jì)

治愈未治愈

甲521567

乙63669

合計(jì)11521136

,136x<52x6-15x63；

r2=-----------------------------------------?4.881

z67x69x21x115

不影響

問(wèn)題6.若對(duì)調(diào)兩種療法的位置或?qū)φ{(diào)兩種療效的位置，這樣做會(huì)影響

/取值的計(jì)算結(jié)果嗎？

例4.為了調(diào)查吸煙是否對(duì)肺癌有影響，某腫瘤研究所采取有放回簡(jiǎn)單

隨機(jī)抽樣，調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果(單位：人)依據(jù)小概率

值a=O.O()l的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析吸煙是否會(huì)增加患肺癌的風(fēng)險(xiǎn)。

肺癌

吸煙合計(jì)

非肺癌患者肺癌患者

非吸煙

7775427817

者

吸煙者2099492148

合計(jì)9874919965

解：零假設(shè)為H。：吸煙和患肺癌之間沒(méi)有關(guān)系根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),

經(jīng)計(jì)算的根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H。不成立，即

認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001,即我

們有99.9%的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”.

,9965x67775x49-42x2099；

y2=------------------------------------------------------*56.632>10,858

'7817x2148x9874x91

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算不吸煙者中不患肺癌和患肺癌的頻率分別為

吸煙者中不患肺癌和患肺癌的評(píng)率分別為

77764?

--x0.9946,x0.0054,

78177817

209949

—^^0.9772,0.0228

21482148

,0.0228,3

由-------?4.2

0.0054

可見(jiàn)，在被調(diào)查者中，吸煙者患肺癌的頻率是不吸煙者患肺癌頻率

的4倍以上。于是，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以認(rèn)為吸煙

者患肺癌的概率明顯大于不吸煙者患肺癌概率，即吸煙更容易引發(fā)肺

癌。

應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題大致應(yīng)包括以下幾個(gè)主要環(huán)節(jié)：

（1）提出零假設(shè)H：X和Y相互獨(dú)立，并給出在問(wèn)題中的解釋.

o

（2）根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2x2列聯(lián)表，計(jì)算/2的值，并與臨界值X。

比較.

（3）根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論.

（4）在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過(guò)比較相應(yīng)的頻率，

分析X和y間的影響規(guī)律.

注意：上述幾個(gè)環(huán)節(jié)的內(nèi)容可以根據(jù)不同情況進(jìn)行調(diào)整，

例如，在有些時(shí)候，分類(lèi)變量的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表是問(wèn)題中給定的.

0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

P（Z汽）

0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82

X

08

歸納總結(jié)

跟蹤訓(xùn)練1.某校對(duì)學(xué)生的課外活動(dòng)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果整理成下表:

體育文娛總計(jì)

男生212344

女生62935

3卜275279

試用你所學(xué)過(guò)的知識(shí)分析：能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提

下，認(rèn)為“喜歡體育還是文娛與性別有關(guān)系”?

解：'：a=2\,b=23,c=6,d=29,n=79,

（）2

.najc2_79x21x29-23x6

'x一（a+b）（c+d）（a+c）”+d）,—44x35x27x52~6-1U0

且^2>7.879）~0.005,

0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

P（左X。）

0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82

X

08

即我們得到的*2的觀測(cè)值x=8.106超過(guò)7.879這就意味著:"喜歡體育

還是文娛與性別沒(méi)有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可能性小于0.005,即在犯

錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為“喜歡體育還是喜歡文娛與性

別有關(guān).”

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.給出下列實(shí)際問(wèn)題：通過(guò)練習(xí)鞏固

①一種藥物對(duì)某種病的治愈率;②兩種藥物治療同一種病是否有區(qū)本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)

別；學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展

③吸煙者得肺病的概率;④吸煙是否與性別有關(guān)系；學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏

⑤網(wǎng)吧與青少年的犯罪是否有關(guān)系.其中用獨(dú)立性檢驗(yàn)可以解決的問(wèn)輯推理、直觀想象、

題有（）數(shù)學(xué)建模的核心素

A.①②③B.②④⑤C.②③④⑤D.①②③④⑤養(yǎng)。

解析:獨(dú)立性檢驗(yàn)是判斷兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)系的方法，而①③都是

概率問(wèn)題,不能用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決.

答案:B

2.某班主任對(duì)全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量多少的調(diào)查,數(shù)據(jù)如下表：

下列敘述中，正確的是（）

認(rèn)為作業(yè)多認(rèn)為作業(yè)不多總數(shù)

喜歡玩電腦游戲18927

不喜歡玩電腦游戲81523

總數(shù)262450

A.有99%的把握認(rèn)為“喜歡玩電腦游戲與認(rèn)為作業(yè)量的多少有關(guān)系”

B.有95%的把握認(rèn)為“喜歡玩電腦游戲與認(rèn)為作業(yè)量的多少無(wú)關(guān)系”

C.有99%的把握認(rèn)為“喜歡玩電腦游戲與認(rèn)為作業(yè)量的多少無(wú)關(guān)系”

D.有95%的把握認(rèn)為“喜歡玩電腦游戲與認(rèn)為作業(yè)量的多少有關(guān)系”

50X(18X15-8X9)2

計(jì)算得Z2-5.059>3.841.

27X23X26X24

答案:D

3.某高校《統(tǒng)計(jì)》課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課的一些學(xué)生情況，具體

數(shù)據(jù)如下表：

為了判斷主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到

專業(yè)

非統(tǒng)計(jì)專業(yè)統(tǒng)計(jì)專業(yè)

性別

男1310

女720

因?yàn)?.844>3.841,所以有的把握判定主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性

別有關(guān)系.

y=50X(13X20-10X7j4844

人~23x27x20x30~'

答案：95%

4.在500人身上試驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒作用，把他們一年中的感冒記

錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如表所示。問(wèn):

該種血清能否起到預(yù)防感冒的作用？

未感冒感冒合計(jì)

使用血清258242500

未使用血清216284500

合計(jì)4745261000

解：設(shè)H。：感冒與是