高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件：2 4 2 圓的一般方程(人教A版)

第二章

§2.4圓的方程2.4.2圓的一般方程1.掌握?qǐng)A的一般方程及其特點(diǎn).2.會(huì)將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能熟練地指出圓心的坐標(biāo)和

半徑的大小.3.能根據(jù)某些具體條件，運(yùn)用待定系數(shù)法確定圓的方程.學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE知識(shí)點(diǎn)圓的一般方程1.圓的一般方程當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，二元二次方程

稱為圓的一般方程.x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝02.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形條件圖形D2＋E2－4F<0不表示任何圖形D2＋E2－4F＝0表示一個(gè)點(diǎn)____________D2＋E2－4F>0表示以

為圓心，以

為半徑的圓思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一個(gè)圓.(

)2.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某個(gè)圓的方程.(

)3.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圓，則E≠0.(

)4.任何一個(gè)圓的方程都能寫成一個(gè)二元二次方程.(

)××√√2題型探究PARTTWO一、圓的一般方程的辨析例1若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；解由表示圓的條件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，一、圓的一般方程的辨析例1若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；解由表示圓的條件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，(2)寫出圓心坐標(biāo)和半徑.解將方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，反思感悟圓的一般方程的辨析(1)由圓的一般方程的定義，若D2＋E2－4F>0成立，則表示圓，否則不表示圓.(2)將方程配方后，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解.跟蹤訓(xùn)練1

(1)圓x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半徑和圓心坐標(biāo)分別為A.r＝1，(－2,1) B.r＝2，(－2,1)C.r＝2，(2，－1) D.r＝1，(2，－1)√解析x2＋y2－4x＋2y＋4＝0可化為(x－2)2＋(y＋1)2＝1，所以半徑和圓心分別為r＝1，(2，－1).(2)若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是√解析因?yàn)閤2＋y2－x＋y＋m＝0表示圓，二、求圓的一般方程例2已知圓過P(4，－2)，Q(－1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長為

，求圓的方程.二、求圓的一般方程例2已知圓過P(4，－2)，Q(－1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長為

，求圓的方程.解方法一(待定系數(shù)法)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，將P，Q的坐標(biāo)分別代入上式，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，

③∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④故圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.方法二(幾何法)由題意得線段PQ的垂直平分線方程為x－y－1＝0，∴所求圓的圓心C在直線x－y－1＝0上，設(shè)其坐標(biāo)為(a，a－1).又圓C的半徑長代入(*)式整理得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，故圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.反思感悟求圓的方程的策略(1)幾何法：由已知條件通過幾何關(guān)系求得圓心坐標(biāo)、半徑，得到圓的方程；(2)待定系數(shù)法：選擇圓的一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)條件列關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組解出系數(shù)得到方程.跟蹤訓(xùn)練2

(1)圓心在直線y＝x上，且經(jīng)過點(diǎn)A(－1,1)，B(3，－1)的圓的一般方程是____________________.x2＋y2－4x－4y－2＝0解析設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，解得D＝E＝－4，F(xiàn)＝－2，即所求圓的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0.(2)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，則△ABC的外接圓的方程是______________________.x2＋y2－8x－2y＋12＝0解析設(shè)△ABC外接圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，即△ABC的外接圓方程為x2＋y2－8x－2y＋12＝0.三、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程例3已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，點(diǎn)B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn).(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；解設(shè)線段AP的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，P的坐標(biāo)為(x0，y0)，又P(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，∴(x－1)2＋y2＝1.(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程.解設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ON⊥PQ，∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.反思感悟求與圓有關(guān)的軌跡問題的方程(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程.(3)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等.跟蹤訓(xùn)練3已知△ABC的邊AB長為4，若BC邊上的中線為定長3，求頂點(diǎn)C的軌跡方程.解以直線AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)，則A(－2,0)，B(2,0)，設(shè)C(x，y)，BC中點(diǎn)D(x0，y0).將①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵點(diǎn)C不能在x軸上，∴y≠0.綜上，點(diǎn)C的軌跡是以(－6,0)為圓心，6為半徑的圓，去掉(－12,0)和(0,0)兩點(diǎn).軌跡方程為(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).3隨堂演練PARTTHREE1.圓x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圓心和半徑分別為A.(4，－6)，16 B.(2，－3)，4C.(－2,3)，4 D.(2，－3)，16√123452.將圓x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直線是A.x＋y－1＝0 B.x＋y＋3＝0C.x－y＋1＝0 D.x－y＋3＝0√12345解析要使直線平分圓，只要直線經(jīng)過圓的圓心即可，圓心坐標(biāo)為(1,2).A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中，只有C選項(xiàng)中的直線經(jīng)過圓心，故選C.3.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的圖形為A.以(a，b)為圓心的圓

B.以(－a，－b)為圓心的圓C.點(diǎn)(a，b) D.點(diǎn)(－a，－b)√12345解析原方程可化為(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，∴方程表示點(diǎn)(－a，－b).4.已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圓，則k的取值范圍是____________.12345(－∞，－1)解析方程可化為(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1時(shí)才能表示圓.5.若點(diǎn)M(3,0)是圓x2＋y2－8x－4y＋10＝0內(nèi)一點(diǎn)，則過點(diǎn)M(3,0)的最長的弦所在的直線方程是______________.123452x－y－6＝0解析圓x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圓心坐標(biāo)為(4,2)，則過點(diǎn)M(3,0)且過圓心(4,2)的弦最長.即2x－y－6＝0.1.知識(shí)清單：(1)圓的一般方程.(2)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.2.方法歸納：待定系數(shù)法、幾何法、定義法、代入法.3.常見誤區(qū)：忽視圓的一般方程表示圓的條件.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR1.已知圓C：x2＋y2－2x－2y＝0，則點(diǎn)P(3,1)在A.圓內(nèi) B.圓上C.圓外 D.無法確定√基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415162.圓的方程為(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，則圓心坐標(biāo)為√123456789101112131415163.方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圓的條件是√12345678910111213141516解析方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0，表示圓的條件是42＋(－2)2－4×5m>0，解得m<1.4.圓x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圓心到直線x－y＝1的距離為√12345678910111213141516解析因?yàn)閳A心坐標(biāo)為(1，－2)，5.如果圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則有A.D＋E＝0 B.D＝EC.D＝F D.E＝F√12345678910111213141516解析由圓的對(duì)稱性知，圓心在直線y＝x上，6.如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圓的方程，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________.123456789101112131415167.若點(diǎn)(a＋1，a－1)在圓x2＋y2－2ay－4＝0的內(nèi)部(不包括邊界)，則a的取值范圍是__________.12345678910111213141516(－∞，1)解析點(diǎn)(a＋1，a－1)在圓x2＋y2－2ay－4＝0的內(nèi)部且不包括邊界，則(a＋1)2＋(a－1)2－2a(a－1)－4<0，解得a<1.8.已知直線與圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<5)相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,1)，則直線AB的方程為____________.12345678910111213141516x－y＋1＝0解析易知圓心P的坐標(biāo)為(－1,2).∵AB的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,1)，∴直線AB的斜率k＝1，故直線AB的方程為y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0.9.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4,1)，B(－6,3)，C(3,0)，求這個(gè)三角形外接圓的一般方程.解設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C三點(diǎn)都在圓上，∴A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足所設(shè)方程，把A(4,1)，B(－6,3)，C(3,0)的坐標(biāo)依次代入所設(shè)方程，∴所求圓的方程為x2＋y2＋x－9y－12＝0.1234567891011121314151610.如圖，已知線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,3)，端點(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的端點(diǎn)B的軌跡方程.12345678910111213141516解設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(x0，y0)，由于點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,3)且點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，于是有x0＝8－x

，y0＝6－y. ①因?yàn)辄c(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程(x＋1)2＋y2＝4，把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.所以點(diǎn)B的軌跡方程為(x－9)2＋(y－6)2＝4.1234567891011121314151611.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的圖形是半徑為r(r>0)的圓，則該圓的圓心在A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限√綜合運(yùn)用解析因?yàn)榉匠蘹2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的圖形是圓，故該圓的圓心在第四象限.1234567891011121314151612.當(dāng)點(diǎn)P在圓x2＋y2＝1上變動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)Q(3,0)的連線PQ的中點(diǎn)的軌跡方程是A.(x＋3)2＋y2＝4 B.(x－3)2＋y2＝1C.(2x－3)2＋4y2＝1 D.(2x＋3)2＋4y2＝1√解析設(shè)P(x1，y1)，PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，又點(diǎn)P在圓x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1，故選C.1234567891011121314151613.已知圓x2＋y2＋4x－6y＋a＝0關(guān)于直線y＝x＋b成軸對(duì)稱圖形，則a－b的取值范圍是__________.12345678910111213141516(－∞，8)解析由題意知，直線y＝x＋b過圓心，而圓心坐標(biāo)為(－2,3)，代入直線方程，得b＝5，所以圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－3)2＝13－a，所以a<13，由此得a－b<8.14.如果圓的方程為x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么當(dāng)圓的面積最大時(shí)，圓心坐標(biāo)為________.12345678910111213141516(0，－1)∴當(dāng)k＝0時(shí)，r最大，此時(shí)圓的面積最大，圓的方程可化為x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，圓心坐標(biāo)為(0，－1).√12345678910111213141516拓廣探究12345678910111213141516化簡得(x－3)2＋y2＝8