專題2.21第27章圖形的相似單元測試（培優(yōu)強(qiáng)化卷）（解析版）

注意事項(xiàng)：本試卷滿分120分，試題共25題，其中選擇10道、填空8道、解答7道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1鐵西區(qū)期中）若4x＝3y（xy≠0則下列比例式成立的是()【分析】利用比例的基本性質(zhì)，把每一個(gè)選項(xiàng)中的比例式化成等積式即可解答.【解答】解：A．因?yàn)樗?x＝3y，故A符合題意；B．因?yàn)樗?x＝4y，故B不符合題意；C．因?yàn)樗?x＝4y，故C不符合題意；D．因?yàn)樗詘y＝12，故D不符合題意；故選：A.C.△ADE∽△ABCD．AD?AB＝AE?AC【分析】通過證明△ADE∽△ABC，由相似三角形的性質(zhì)可求解.【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，===,,故選：D.3寶山區(qū)期中）下列各組圖形，一定相似的是()A．兩個(gè)等腰梯形B．兩個(gè)菱形C．兩個(gè)正方形D．兩個(gè)矩形【分析】根據(jù)相似圖形的定義，四條邊對應(yīng)成比例，四個(gè)角對應(yīng)相等，對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法解答.【解答】解：A、兩個(gè)等腰梯形不一定相似，故本選項(xiàng)不合題意；B、兩個(gè)菱形，形狀不一定相同，故本選項(xiàng)不合題意；C、兩個(gè)正方形，形狀相同，大小不一定相同，符合相似性定義，故本選項(xiàng)符合題意；D、兩個(gè)矩形四個(gè)角相等，但是各邊不一定對應(yīng)成比例，所以不一定相似，故本選項(xiàng)不合題意.故選：C.4寶山區(qū)期中）已知△ABC的三邊長分別為6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一邊長為5cm，如果這兩個(gè)三角形相似，那么△DEF的另兩邊長可能是()A．2cm，3cmB．4cm，6cmC．6cm，7cmD．6cm，8cm【分析】根據(jù)三邊對應(yīng)成比例的三角形相似，即可求得．注意△DEF中為5cm邊長的對應(yīng)邊可能是6cm或7.5cm或9cm，所以有三種情況.【解答】解：設(shè)△DEF的另兩邊為xcm，ycm，若△DEF中為5cm邊長的對應(yīng)邊為6cm，則：==,解得：xy=;若△DEF中為5cm邊長的對應(yīng)邊為7.5cm，則：==,解得：x＝4，y＝6；若△DEF中為5cm邊長的對應(yīng)邊為9cm，則：==,解得：xy=;故選：B.5青島期中）如圖，已知直線a∥b∥c，若AB＝2，BC＝3，EF＝2.5，則DE=()B.D.【分析】根據(jù)三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例列出比例式解答即可.【解答】解：∵a∥b∥c，,解得DE=.故選：B.6上海期中）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD的平分線交BD于E，交DC于F，交BC的延長線于G．那么下列結(jié)論正確的是()A．AE2＝EF?FGB．AE2＝EF?AGC．AE2＝EG?FGD．AE2＝EF?EG【分析】解答此題的關(guān)鍵是利用平行四邊形證明出△ADE∽△EGB，△DEF∽△AEB，然后利用對應(yīng)邊成比例即可解答此題.【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴△AED∽△GEB，△DEF∽△BEA，∴=∴=,,=即AE2＝EF?EG．所以選項(xiàng)D正確，故選：D．7青州市期中）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的“井深”問題：“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”，它的題意是：如圖AB＝DE＝5尺，BF＝0.4尺，問井深BD是多少．如圖，設(shè)井深為x尺，所列方程正確的是B．【分析】利用相似三角形的性質(zhì)，構(gòu)建方程即可．【解答】解：設(shè)BD＝x尺．∵四邊形BCED是矩形，∴BF∥DE，∴△AFB∽△AED，故選：A．8襄汾縣期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)E4，2F22以原點(diǎn)O為位似中心，將△EFO放大為原來的2倍，則點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)E1的坐標(biāo)是C8，4）或（84）D2，1）或（21）【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵原點(diǎn)O為位似中心，將△EFO放大為原來的2倍，點(diǎn)E的坐標(biāo)為4，24故選：C.9鄞州區(qū)校級期中）如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，且DE∥AC．若S△BDC：S△ADC＝1：3，則S△DOE：S△AOC的值為(【分析】由面積關(guān)系可得＝，由相似三角形的性質(zhì)可求解.【解答】解：∵S△BDC：S△ACD＝1：3，∴△BDE∽△ABC，△DOE∽△COA，∴==,故選：D.10江北區(qū)期中）如圖，△ACB和△ECD是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊上，若，連接AB交CD于點(diǎn)P，則下列說法正確的個(gè)數(shù)為()①∠BAD=∠ACE＝30°;②AB＝2AE；③圖中有4對相似三角形；④AP?AC＝AE?CP.【分析】①根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)關(guān)系可得結(jié)果；②根據(jù)②中的AB＝2，AE=,可判斷；③根據(jù)相似三角形的判定可得結(jié)果；④要證AP.AC＝AE.CP，即證AP＝PB即可，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可判斷.:上ECA＝上DCB，“CE＝CD，CA＝CB，:△ECA纟△DCB（SAS:上E＝上CDB＝45。，AE＝BD=,“上ACB＝90。，:上ADB＝90。，在Rt△ADB中，AB2，:AC＝BC＝2，“AD=, :DB=,:tan上BAD=,:上BAD＝30。，“上CAD＝上E+上ACE，上CAB＝上E，:上ACE＝上BAD＝30。，故①正確；②由②知，AB＝2，AE=,:AB＝2AE，故②正確；:△ACE…△APD，同理可得，△ACE…△CPB，△APD…△CPB，△ECD…△ACB，△ACP…△DCA故③錯(cuò)誤；④由④知要證AP.AC＝AE.CP，即證AP＝PB即可，“上ACB＝90。，AC＝CB，:CP丄AB，明顯∠ACP≠∠PCB，∴④錯(cuò)誤.故選：B.二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11海曙區(qū)校級期中）若2y＝7x（y≠0則x：y＝2：7.【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行解答即可.【解答】解：∵2y＝7x（y≠0故答案為：2：7.12朝陽區(qū)校級期中）一個(gè)正方形的各邊按3：1擴(kuò)大，周長和面積也都擴(kuò)大到原來的3倍．錯(cuò)誤（判斷對錯(cuò)）【分析】依據(jù)正方形的面積公式可知，邊長擴(kuò)大3倍，則其面積應(yīng)擴(kuò)大9倍，從而能判斷正誤.【解答】解：把一個(gè)正方形按3：1的比例放大后，周長擴(kuò)大到原來的3倍．而面積要擴(kuò)大到原來的9倍.故答案為：錯(cuò)誤.【分析】由黃金分割點(diǎn)的定義，知AC是較長線段，再由黃金分割的公式計(jì)算即可.【解答】解：∵滿足，AB＝20cm﹣（）＝故答案為：30﹣10√5.14青島期中）如圖，把一張矩形紙片平均分成3個(gè)矩形，若每個(gè)小矩形都與原矩形相似，則原矩形紙片的寬與長之比為 .【分析】設(shè)原矩形ABCD的長為x，寬為y，根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊的比相等，即可求得原矩形紙片的長與寬之比.【解答】解：設(shè)原矩形ABCD的長為x，寬為y，∴小矩形的長為y，寬為x，∵小矩形與原矩形相似，15上海期中）如圖，已知AD∥BE∥CF．如果AB＝4.8，DE＝3.6，EF＝1.2，那么AC的長是6.4.【分析】根據(jù)三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例列出比例式解答即可.【解答】解：∵AD∥BE∥CF，解得BC＝1.6，故答案為：6.4.16鐵西區(qū)期中）如圖，某項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組為了測量直立在水平地面上的旗桿AB的高度，把標(biāo)桿DE直立在同一水平地面上，同一時(shí)刻測得旗桿和標(biāo)桿在太陽光下的影長分別是BC＝3.9m，EF＝0.78m，點(diǎn)B，C，E，F(xiàn)在同一直線上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝1.37m，則AB＝6.85m.【分析】根據(jù)平行投影得AC∥DF，可得∠ACB=∠DFE，證明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.【解答】解：∵同一時(shí)刻測得旗桿和標(biāo)桿在太陽光下的影長分別是BC＝3.9m，EF＝0.78m，∴AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，∵AB⊥BC，DE⊥EF，∴Rt△ABC∽△Rt△DEF，∴==17浦東新區(qū)校級期中）如圖，。ABCD中，已知BE：EC＝1：3，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，則=【分析】過點(diǎn)F作FK∥BC，交AE于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)K，可得△GHF∽△GEB，根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)，進(jìn)而可得GE與AG的比值.【解答】解：如下圖：過點(diǎn)F作FK∥BC，交AE于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)K，∵四邊形ABCD是平行四邊形，KF∥BC，設(shè)BE＝a，∴BC＝KF＝4a，∴KH是△ABE的中位線，∴KH＝BE＝a，AH＝HE＝AE，∴HF＝KF﹣KH＝4a﹣a＝a，∵KF∥BC，∴△GHF∽△GEB，∴===設(shè)GE＝2m，GH＝7m，∵AH＝HE＝GE+GH＝2m+7m＝9m，GH＝7m，∴AG＝GH+AH＝7m+9m＝16m，∴==.故答案為：.18錦江區(qū)校級期中）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，連接BE，以BE為對角線作正方形BGEF，邊EF與正方形ABCD的對角線BD相交于點(diǎn)H，連接AF，有以下五個(gè)結(jié)論：①∠DEF=∠BMG；②△ABF∽△DBE；③AF⊥BD；④2BF2＝BH?BD；⑤若CE：DE＝1：3，則BH：DH＝17：16，你認(rèn)為其中正確的是①②③④（填寫序號）.【分析】①由正方形的性質(zhì)和余角的性質(zhì)可知∠ABF=∠DBE；②根據(jù)△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，可得，從而得到△ABF∽△DBE；③由②相似知：∠FAB=∠EDB＝45°,可得AF⊥BD；④由∠BEH=∠EDB，∠EBH=∠DBE可證△BEH∽△BDE，根據(jù)對應(yīng)邊成比例即可；⑤若CE：DE＝1：3，設(shè)CE＝x，DE＝3x，則BC＝4x，由勾股定理知BE=√開X，借助④的證明即可解答.【解答】解：①∵正方形ABCD和正方形BGEF，∴∠DEF+∠CEG=∠CEG+∠CME＝90°,∴∠DEF=∠CME，∵∠CME=∠BMG，∴∠DEF=∠BMG，∴①正確，符合題意；②∵△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，,又∵∠ABF=∠DBE，∴△ABF∽△DBE，∴②正確，符合題意；③∵△ABF∽△DBE，∴AF⊥BD；∴③正確，符合題意；∠EBH=∠DBE，∴△BEH∽△BDE，,∴2BG2＝BD?BH，∵四邊形BGEF是正方形，∴BF＝BG，∴④正確，符合題意；⑤∵CE：DE＝1：3，∴BC＝4x，在Rt△BCE中，由勾股定理知：BE=√開X，∵BE2＝BD?BH，∴DH＝x，∴BH：DH＝17：15，∴⑤錯(cuò)誤，不符合題意；綜上所述，符合題意的結(jié)論有①②③④.故答案為：①②③④.三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19嘉定區(qū)期中）已知線段x，y.（1）當(dāng)＝時(shí)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的值.【分析】（1）由比例的性質(zhì)對比例式進(jìn)行變形，然后去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)可得到x＝9y；（2）由比例的性質(zhì)對比例式進(jìn)行變形從而得到3y2+2xy﹣x2＝0，然后分解得（3y﹣xy+x0.【解答】解1）由=得：2（x+3y3（x﹣y去括號得：2x+6y＝3x﹣3y，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：9y＝x，（2）由得：xy+3y2＝x2﹣xy，∴3y﹣x＝0或y+x＝0.∴=3.20郾城區(qū)期末）如圖，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（31）、（2，1）.（1）以O(shè)點(diǎn)為位似中心在y軸的左側(cè)將△OBC放大到兩倍（即新圖與原圖的相似比為2畫出圖形；（2）B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是(﹣6，2C點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)是(﹣（3）在BC上有一點(diǎn)P（x，y按（1）的方式得到的對應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)是(﹣2x2y）.【分析】（12）把B、C點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都乘以﹣2得到B′、C′點(diǎn)的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；（3）把P點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都乘以﹣2得到P′點(diǎn)的坐標(biāo).【解答】解1）如圖，△OB′C′為所作；（2）B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是(﹣6，2C點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)是(﹣（3）在BC上有一點(diǎn)P（x，y按（1）的方式得到的對應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(﹣2x2y）.21臨湘市期末）如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.（1）求證：△ADE∽△EFC；（2）若AD＝4，DE＝62，求EF和FC的值.【分析】（1）由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，由EF∥AB可得出△EFC∽△ABC，再利用相似于同一三角形的兩三角形相似可證出△ADE∽△EFC；（2）由△ADE∽△EFC，利用相似三角形的性質(zhì)可求出EF和FC的值.∴△ADE∽△ABC；∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴△ADE∽△EFC.（2）解：∵△ADE∽△EFC，∴====22欽北區(qū)校級月考）根據(jù)如圖中所注的條件，判斷圖中兩個(gè)三角形是否相似，并求出x和y的值.【分析】（1）由∠G=∠I＝90°,直接利用勾股定理即可求得x與y的值，然后利用三組對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似證得結(jié)論.（2）先證出,再求出∠FHG=∠JHK，即可得出△FGH∽△JKH，（2）先證出出x和y的值.【解答】解1）相似.∵∠G=∠I＝90°,∴x＝GH=∴==,=4，y＝HJ===10，∴△FGH∽△JIH.（2）相似.∵=,=∴∠FHG=∠JHK，∴△FGH∽△JKH，即x°=124°=,,23襄汾縣期中）如圖，。ABCD中，AE：EB＝2：3，DE交AC于F，（1）求△AEF與△CDF周長之比；（2）如果△CDF的面積為25cm2，求四邊形ABCD的面積.【分析】（1）根據(jù)兩對應(yīng)角相等，兩三角形是相似三角形，可判斷△AEF與△CDF是相似三角形，根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比即可求解；（2）根據(jù)△AEF∽△CDF，于是得到求得S△ACD＝35cm2，于是得到S四邊形ABCD＝2S△ACD＝70cm2.【解答】解1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠EAF=∠DCF，∠AEF=∠CDF，∴△AEF∽△CDF，=,=,=;（2）∵△AEF∽△CDF，∴==,∴=,∵△CDF的面積為25cm2，∴S△ADF＝10cm2，∴S四邊形ABCD＝2S△ACD＝70cm2.24南海區(qū)月考）如圖，△ABC為正三角形，D、E分別是AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠BDE＝60°時(shí)，（1）證明：△DEC∽△BDA；（2）設(shè)△ABC的邊長為6，DC＝x．BE＝y(tǒng)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)D點(diǎn)在何處時(shí)，BE最短，此時(shí)△BDE的面積是多少？【分析】（1）由△ABC為正三角形，推出∠A=∠C，∠3+∠1＝120°,再由∠BDE＝60°,推出∠3+∠2＝120°,求得∠1=∠2，即可推出△DEC∽△BDA；（2）由相似三角形的性質(zhì)推出比例式然后根據(jù)圖形推出AD＝AC﹣CD，EC＝BC﹣BE，根據(jù)正三角形的邊長為6，并設(shè)DC＝x，BE＝y(tǒng)，即可推出通過整理得x與y的函數(shù)關(guān)系式：y=x2﹣x+6；（3）利用（2）中的函數(shù)關(guān)系式求得當(dāng)BE最短時(shí)（即y取最小值時(shí)）所對應(yīng)的x的值，由此可以確定點(diǎn)D的位置，然后由三角形的面積公式和相似三角形的面積比等于相似比的平方求得△ABD和△CDE的面積，結(jié)合圖形易得△BDE的面積.∴∠A=∠C=∠ABC＝60°,∴△DEC∽△BDA，（2）解：∵正△ABC的邊長為6，∵△DEC∽△BDA，∴=∴=,整理得：y＝x2﹣x+6.（3）∵由（2）知，y＝x2﹣x+6，則y＝x2﹣x+6x﹣3）2+，∴當(dāng)x＝3即D為AC中點(diǎn)時(shí)，BE最短為，此時(shí)∠3＝90°,∴S△ABD＝S△ABC，又由（1）知，△DEC∽△BDA，∴相似三角形△DEC與△BDA的相似比為：∴S△DEC＝S△BDA＝S△ABC，∴S△BDE＝S△ABC=××6×6×=25臨汾期中）如圖為幸福小區(qū)入口處安裝的汽車出入道閘示意圖．如圖1，道閘關(guān)閉時(shí)，四邊形ABCD是矩形．如圖2，在道閘打開的過程中，邊AD固定，AD⊥直線l，連桿AB、