專題1.11銳角三角函數(shù)精講精練

1.銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）正弦：我們把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA.即sinA=∠A的對(duì)邊除以斜邊=（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA.即cosA=∠A的鄰邊除以斜邊=.（3）正切：銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA.即tanA=∠A的對(duì)邊除以∠A的鄰邊.（4）三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).2.特殊角的三角函數(shù)值（1）30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值（2）應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記.（3）特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，二是具有三角函數(shù)的特點(diǎn)，在解直角三角形中應(yīng)用較多.3.解直角三角形：（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形.（2）解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°;②三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c24.解直角三角形的應(yīng)用：（1）通過(guò)解直角三角形能解決實(shí)際問(wèn)題中的很多有關(guān)測(cè)量問(wèn).如：測(cè)不易直接測(cè)量的物體的高度、測(cè)河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過(guò)測(cè)量角的度數(shù)和測(cè)量邊的長(zhǎng)度，計(jì)算出所要求的物體的高度或長(zhǎng)度.（2）解直角三角形的一般過(guò)程是：①將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題）.②根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問(wèn)題的答案.5.坡度、坡角問(wèn)題（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i=1：m的形式.（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i=h/l=tanα.（3）在解決坡度的有關(guān)問(wèn)題中，一般通過(guò)作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問(wèn)題.應(yīng)用領(lǐng)域：①測(cè)量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等.6.俯角、仰角問(wèn)題：（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角.（2）解決此類問(wèn)題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒(méi)有直角三角形時(shí)，要通過(guò)作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問(wèn)題以一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的形式給出時(shí)，要善于讀懂題意，把實(shí)際問(wèn)題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問(wèn)題加以解決.【考點(diǎn)1】銳角三角函數(shù)的定義【例1】（荊州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC：BC＝1：2，連接AC，過(guò)點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長(zhǎng)線于P．若P（1，1則tan∠OAP的值是 B.【變式1.1】（岳麓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°,若AC＝3，AB＝5，則cosA的值為【變式1.3】（博興縣一模）如圖，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC則sinA的值為()B.【考點(diǎn)2】特殊角的三角函數(shù)【例2】（攸縣期末）在△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且有|tanB﹣|+（2cosA﹣1）2＝0，則△ABC是A．直角（不等腰）三角形B．等邊三角形C．等腰（不等邊）三角形D．等腰直角三角形【變式2.1】（淄川區(qū)期末）下列三角函數(shù)中，值為的是()【變式2.3】（石家莊模擬）下列說(shuō)法中正確的是()C．tan30°+tan60°=1D．tan75°=tan（45°+30°)=tan45°+tan30°=1+【考點(diǎn)3】銳角三角函數(shù)的增減性【例3】（惠山區(qū)校級(jí)期中）已知∠A為銳角，且tanA＝3，則∠A的取值范圍是()A．0°<∠A＜30°B．30°<∠A＜45°C．45°<∠A＜60°D．60°<∠A＜90°【變式3.1】（萊蕪區(qū)期中）已知sina那么銳角a的A．60°＜a＜90°B．0°＜a＜60°C．45°＜a＜90°D．0°＜a【變式3.2】（新邵縣期末）下列說(shuō)法中正確的是()A．sin45°+cos45°=1B．若α為銳角，則sinα=cos（90°﹣α)C．對(duì)于銳角β,必有tan=D．若α為銳角，則sinα>cosα【變式3.3】（泗縣期末）如圖，半徑為13的⊙O內(nèi)有一點(diǎn)A，OA＝5，點(diǎn)P在⊙O上，當(dāng)∠OPA最大時(shí)，SA．40B．45C．30【考點(diǎn)4】同角三角函數(shù)【例4】（金安區(qū)校級(jí)期末）若∠A為銳角，且sinA則cosA等于()A．大于1B．小于1C．等于1【變式4.2】（連城縣校級(jí)自主招生）已知有公式：cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ且sinθ+cosθ=則銳角θ的值為()【變式4.3】（冷水灘區(qū)月考）關(guān)于三角函數(shù)有如下公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ,cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=（其中：1﹣tanαtanβ≠0）例如：sin90°=sin（30°+60°)=sin30℃os60°+cos30°sim60°=×+×=1．利用上述公式計(jì)算下列三角函數(shù)：①sin105°=,②sin15°=,③cos90°=0，④sin15°+tan105°=2﹣2+．其中正確的個(gè)數(shù)為()【考點(diǎn)s】銳角三角函數(shù)新定義問(wèn)題【例5】（2017?河南模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°,定義：斜邊與∠A的鄰邊的比叫做∠A的用“secA”表示，如設(shè)該直角三角形各邊為a，b，c，則secA=A．secB?sinA＝1B．secB=C．secA?cosB＝1D．sec2A?sec2B＝1【變式5.1】（2019?羅湖區(qū)一模）由三角函數(shù)定義，對(duì)于任意銳角A，有sinA＝cos（90°﹣A）及sin2A+cos2A=1成立．如圖，在△ABC中，∠A，∠B是銳角，BC＝a，AC＝b，AB＝c．CD⊥AB于D，DE∥AC交【變式5.2】（浙江自主招生）定義sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,則sin75°=.【變式5.3】（樂(lè)陵市模擬）教材中第28章通過(guò)銳角三角函數(shù)，建立直角三角形邊角之間的關(guān)系．解決與直角三角形試題有關(guān)問(wèn)題.類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（sad如圖，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對(duì)記作sadA，這時(shí)sadA容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述對(duì)角的正對(duì)定義，sinα=銳角，則sadα的值為.【考點(diǎn)6】銳角三角函數(shù)與網(wǎng)格問(wèn)題【例6】（江城區(qū)期末）如圖，在8×4的矩形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在圖中相應(yīng)的格點(diǎn)上，則tan∠ACB的值為.【變式6.1】（寬城區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)處，則tanB的值為.【變式6.2】（青浦區(qū)期末）如圖，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)相同，那么∠BAC的正弦值為.【變式6.3】（長(zhǎng)春期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則cos∠ABC的值為.【考點(diǎn)7】解直角三角形【例7】（遂川縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,CD⊥AB，垂足于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F．若AC＝6，BC＝8.（1）直接寫出CD的長(zhǎng)為；（2）求CF的長(zhǎng)和tan∠BAF的值.【變式7.1】（浦東新區(qū)期中）如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，AD＝2，BD＝6，tan∠B=,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn).（1）求邊AC的長(zhǎng)；（2）求∠EAB的正切值.【變式7.3】（寶山區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC=,BC＝2，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D.（1）求cot∠ACB的值；（2）點(diǎn)E是BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CE，當(dāng)∠E=∠A時(shí)，求線段CE的長(zhǎng).【考點(diǎn)8】銳角函數(shù)的應(yīng)用：方向角問(wèn)題【例8】（新泰市期末）如圖，輪船在A處觀測(cè)燈塔C位于北偏西70°方向上，輪船從A處以每小時(shí)20海里的速度沿南偏西50°方向勻速航行，1小時(shí)后到達(dá)碼頭B處，此時(shí)，觀測(cè)燈塔C位于北偏西25°方向上，則燈塔C與碼頭B的距離是多少海里結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：,)【變式8.1】（渠縣期末）如圖，在東西方向的海岸線l上有一碼頭PQ＝1千米，在碼頭西端P的正西方30千米處有一觀察站O．某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線航行的輪船位于北偏西30°方向，且與O相距20千米的A處；航行40分鐘后，又測(cè)得該輪船位于O的正北方向，且與O相距20千米的B處.（1）求該輪船的速度；（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭PQ靠岸？請(qǐng)說(shuō)明理由參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【變式8.2】（錦州二模）某海港南北方向上有兩個(gè)海岸觀測(cè)站A，B，距離為10海里．從港口出發(fā)的一艘輪船正沿北偏東30°方向勻速航行，某一時(shí)刻在觀測(cè)站A，B兩處分別測(cè)得此輪船正好航行到南偏東30°和北偏東75°方向上的C處．經(jīng)過(guò)0.5時(shí)輪船航行到D處，此時(shí)在觀測(cè)站A處測(cè)得輪船在北偏東75°方向上，求輪船航行的速度（結(jié)果精確到0.1海里/時(shí)，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，=1.732）【變式8.3】（沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，海上有一座小島C，一艘漁船在海中自西向東航行，速度為60海里/小時(shí)，船在A處測(cè)得小島C在北偏東45°方向，1小時(shí)后漁船到達(dá)B處，測(cè)得小島C在北偏東30°方向參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45）（1）求BC的距離結(jié)果保留整數(shù)）（2）漁船在B處改變航行線路，沿北偏東75°方向繼續(xù)航行，此航行路線記為l，但此時(shí)發(fā)現(xiàn)剩余油量不足，于是當(dāng)漁船航行到l上與小島C最近的D處時(shí)，立即沿DC方向前往小島C加油，加油時(shí)間為18分鐘，在小島C加油后，再沿南偏東75°方向航行至l上的點(diǎn)E處．若小船在D處時(shí)恰好是上午11點(diǎn)，問(wèn)漁船能否在下午5點(diǎn)之前到達(dá)E處？請(qǐng)說(shuō)明理由.【考點(diǎn)9】銳角函數(shù)的應(yīng)用：坡度坡角問(wèn)題【例9】（皇姑區(qū)校級(jí)期中）如圖是某學(xué)校食堂的樓梯部分的示意圖，上樓樓梯是由兩段互相平行并且與地面成37°角的樓梯AD、BE和一段水平天臺(tái)DE構(gòu)成，已知樓梯頂部B到地面的垂直高度BC為9.6米，與地面垂直的平臺(tái)立柱MN的高度為6米，整個(gè)樓梯的水平跨度AC為16米.（1）求樓梯AD的長(zhǎng)度；（2）水平天臺(tái)DE的長(zhǎng)度約為m參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【變式9.1】（高新區(qū)校級(jí)期中）如圖1，居家網(wǎng)課學(xué)習(xí)時(shí)，小華先將筆記本電腦水平放置在桌上，顯示屏OB與底板OA所在水平線的夾角150°,側(cè)面示意圖如圖2；如圖3，使用時(shí)為了散熱，他在底板下墊入散熱架ACO'后，電腦轉(zhuǎn)到AO'B'位置，側(cè)面示意圖如圖4．已知OA＝OB，O'C⊥OA于點(diǎn)C，AO'：O'C=5：3，AC＝40cm.（1）求OA的長(zhǎng)；（2）墊入散熱架后，顯示屏頂部B'比原來(lái)升高了多少cm？【變式9.2】（高新區(qū)期中）如圖，水壩的橫截面是梯形ABCD（DC∥AB迎水坡BC的坡角α為30°,背水坡AD的坡度i為1：1.2，壩頂寬DC＝2.5米，壩高5米．求：（1）壩底寬AB的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)（2）在上題中，為了提高堤壩的防洪能力，市防汛指揮部決定加固堤壩，要求壩頂CD加寬0.5米，背水坡AD的坡度改為1：1.4，求橫截面增加的面積結(jié)果保留根號(hào)）【變式9.3】（長(zhǎng)春期中）如圖是某地鐵站自動(dòng)扶梯的示意圖，自動(dòng)扶梯AB的傾斜角(∠BAC）為30.5°,自動(dòng)扶梯AB的長(zhǎng)為17米.（1）求乘客從扶梯底端升到頂端上升的高度BC結(jié)果精確到0.1米）（2）如果一層樓的高度為2.8米，問(wèn)這個(gè)扶梯升高的高度BC相當(dāng)于幾層樓高？（結(jié)果保留整數(shù)）【參考數(shù)據(jù)：sin30.5°=0.51，cos30.5°=0.86，tan30.5°=0.59】【考點(diǎn)10】銳角函數(shù)的應(yīng)用：俯角仰角問(wèn)題【例10】（福山區(qū)期末）如圖，在建筑物AB左側(cè)距樓底B點(diǎn)水平距離150米的C處有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）為i＝1：2.4，坡頂D到BC的垂直距離DE＝50米（點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)在點(diǎn)D處測(cè)得建筑物頂A點(diǎn)的仰角為50°,則建筑物AB的高度約為多少米參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）【變式10.1】（大渡口區(qū)校級(jí)模擬）如圖，大渡口義渡古鎮(zhèn)某建筑物樓頂立有廣告牌DE，小玲準(zhǔn)備利用所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)估測(cè)該建筑的高度．由于場(chǎng)地有限，不便測(cè)量，所以小玲從點(diǎn)B處沿坡度為i＝1：0.75的斜坡步行25米到達(dá)點(diǎn)C處，測(cè)得廣告牌底部D的仰角為45°,廣告牌頂部E的仰角為53°（小玲的身高忽略不計(jì)已知廣告牌DE＝9米參考數(shù)據(jù)：sin5