高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量、復(fù)數(shù)第2課時(shí)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)案

第2課時(shí)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示[考試要求]1．了解平面向量基本定理及其意義．2．掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．3．會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算．4．理解用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件．考點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．2．基底：若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．3．平面向量的正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．[典例1](1)在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且BE＝2EC，CF＝3FD，記AB＝a，AD＝b，則A．－34a＋13b B．34aC．34a－13b D．－14a(2)在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB的延長(zhǎng)線上，AB＝2BD，CB＝mCA＋nCD，則()A．m＝23，n＝12 B．m＝13，C．m＝23，n＝13 D．m＝－13，(1)A(2)B[因?yàn)锽E＝2EC，CF＝3FD，所以EC＝13BC，因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BCD中，AB＝a，AD＝b，所以EF＝EC+CF＝13BC＋34CD＝13AD－(2)因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB的延長(zhǎng)線上，AB＝2BD，所以AB＝2BD，即CB-CA＝2(CD所以CB＝13CA＋又CB＝mCA＋nCD，由平面向量基本定理可得m＝13，n＝2應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系．跟進(jìn)訓(xùn)練1(1)(2024·福州檢測(cè))如圖，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，則AD＝________．(2)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E為線段AO的中點(diǎn)．若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝________．(1)14a＋34b(2)34[(1)AD＝AB+BD＝AB＋34BC＝AB＋34(AC-(2)由題意可得BE＝12BA＋12BO＝12BA＋14BD，由平面向量基本定理可得λ＝12，μ【教師備用】如圖，已知平面內(nèi)有三個(gè)向量OA，OB，OC，其中OA與OB的夾角為120°，OA與OC的夾角為30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，則6[法一：以λOA和μOB為鄰邊作平行四邊形OB1CA1，如圖，則OC＝OB因?yàn)镺A與OB的夾角為120°，OA與OC的夾角為30°，所以∠B1OC＝90°，在Rt△OB1C中，|OC|＝23，所以|OB1|＝2，|所以|OA1|＝|所以O(shè)C＝4OA＋2OB，即λ＋μ＝6．法二：以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(1，0)，C(23cos30°，23sin30°)，B(cos120°，sin120°)．即A(1，0)，C(3，3)，B-1由OC＝λOA＋μOB＝λ(1，0)＋μ-12，即λ-12μ得λ-12μ=3，32μ=考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1．向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x12．向量坐標(biāo)的求法(1)若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝x23．重要坐標(biāo)公式已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C([典例2](1)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中，如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則λμA．1B．2C．3D．4(2)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b．①求3a＋b－3c；②求M，N的坐標(biāo)及向量MN的坐標(biāo)．(1)D[如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1，可得a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，∴-1=-λ+6μ，-3=λ+2μ，解得λ＝－2，μ∴λμ＝4．故選D．(2)[解]由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．②設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵CM＝OM-OC＝3∴OM＝3c＋OC＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．∴M(0，20)．又∵CN＝ON-OC＝－2∴ON＝－2b＋OC＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，∴N(9，2)，∴MN＝(9，－18)．平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算常建立在向量的線性運(yùn)算的基礎(chǔ)之上，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)考慮坐標(biāo)運(yùn)算；(2)解題過(guò)程中，常利用“向量相等，則其坐標(biāo)相同”這一原則，通過(guò)列方程(組)進(jìn)行求解．跟進(jìn)訓(xùn)練2如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點(diǎn)，若CA＝λCE＋μDB(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為()A．65 B．C．2 D．8B[建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則D(0，0)．不妨設(shè)AB＝1，則CD＝AD＝2，∴C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴CA＝(－2，2)，CE＝(－2，1)，DB＝(1，2)，∵CA＝λCE＋μDB，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，∴-2λ+μ=-2，λ+2μ=2，解得λ=65，μ=考點(diǎn)三向量共線的坐標(biāo)表示1．平面向量共線的坐標(biāo)表示：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0．2．若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0．利用向量共線求坐標(biāo)[典例3]已知A(2，3)，B(4，－3)，點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，且|AP|＝32|BP|，則點(diǎn)P(8，－15)[設(shè)P(x，y)，由點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，則AP＝32BP，得(x－2，y－3)＝32(x即x-2=32x-4，y-3=利用向量共線求參數(shù)[典例4]已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．(1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka－b與a＋2b共線？(2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb，且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值．[解](1)∵a＝(1，0)，b＝(2，1)，∴ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)，∵ka－b與a＋2b共線，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－12(2)AB＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，BC＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴AB∥BC，∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝32兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，則a＝λb．跟進(jìn)訓(xùn)練3設(shè)O(0，0)，A(0，3)，B(6，0)，BP＝－2AP，則|OP|＝()A．5 B．22C．25 D．17(2)已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝________．(1)B(2)(－4，－8)[(1)設(shè)P(x，y)，則BP＝(x－6，y)，AP＝(x，y－3)，因?yàn)锽P＝－2AP，所以(x－6，y)＝－2(x，y－3)，所以x-6=-2x，y=-2y+6即P(2，2)，則OP＝(2，2)，|OP|＝22+2(2)由a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m－2×(－2)＝0，即m＝－4．從而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．]課后習(xí)題(二十八)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1．(人教A版必修第二冊(cè)P31例6改編)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，則12a－32A．(－2，－1) B．(－2，1)C．(－1，0) D．(－1，2)D[∵a＝(1，1)，b＝(1，－1)，∴12a＝12，12，∴12a－32b＝2．(湘教版必修第二冊(cè)P28例7改編)若P1(1，3)，P2(4，0)且P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(2，2) B．(3，－1)C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1)D[由題意可知P1若P1P＝13P若P1P＝23P故選D．]3．(人教A版必修第二冊(cè)P30例5改編)已知?ABCD的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______．(1，5)[設(shè)D(x，y)，則由AB＝DC，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即4=5-x，1=6-y，4．(人教A版必修第二冊(cè)P33練習(xí)T5改編)設(shè)點(diǎn)A(2，0)，B(4，2)，若點(diǎn)P在直線AB上，且|AB|＝2|AP|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．(3，1)或(1，－1)[∵A(2，0)，B(4，2)，∴AB＝(2，2)，∵點(diǎn)P在直線AB上，且|AB|＝2|AP|，∴AB＝2AP或AB＝－2AP，故AP＝(1，1)或AP＝(－1，－1)，故點(diǎn)P坐標(biāo)為(3，1)或(1，－1)．]5．設(shè)平面向量a＝(－1，0)，b＝(0，2)，則2a－3b＝()A．(6，3) B．(－2，－6)C．(2，1) D．(7，2)B[2a－3b＝(－2，0)－(0，6)＝(－2，－6)．]6．(2024·開(kāi)封模擬)下列向量組中，能表示它們所在平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底的是()A．a(chǎn)＝(1，2)，b＝(0，0)B．a(chǎn)＝(1，－2)，b＝(3，5)C．a(chǎn)＝(3，2)，b＝(9，6)D．a(chǎn)＝-34，[答案]B7．已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC＝2AD，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A．2，72C．(3，2) D．(1，3)A[設(shè)D(x，y)，AD＝(x，y－2)，BC＝(4，3)，又BC＝2AD，∴4=2x∴x=2，y=72，8．已知向量a＝(3，－2)，b＝(1，x)，且a－b與2a＋b共線，則x＝()A．23 B．－C．32 D．－B[∵a－b＝(2，－2－x)，2a＋b＝(7，－4＋x)，a－b與2a＋b共線，∴2×(－4＋x)－7×(－2－x)＝0，解得x＝－239．(多選)(2024·聊城模擬)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)M，設(shè)AB＝a，AD＝b，則下列結(jié)論正確的是()A．AC＝12a＋B．BC＝－12a＋C．BM＝－13a＋2D．EF＝－14a＋ABD[AC＝AD+DC＝AD＋12AB＝1BC＝BA+AD+DC＝－12a＋b∵△ABM∽△CDM且AB＝2CD，∴AM＝2MC，∴AM＝23∴BM＝BA+AM＝－AB＋23AC＝－23EF＝EA+AD+DF＝－12AB+AD10．在?ABCD中，AC為一條對(duì)角線，AB＝(2，4)，AC＝(1，3)，則向量BD的坐標(biāo)為_(kāi)_______．(－3，－5)[∵AB+BC＝∴BC＝AC-∴BD＝A