2023北師大版新教材高中數(shù)學必修第二冊同步練習-4平行關系

第六章立體幾何初步

§4平行關系

4.2平面與平面平行

基礎過關練

題組一平面與平面平行的性質

L若平面。〃平面￡,點4先a虺旌￡廁直線/C〃直線刃的充要條件是

（）

A.AB//CD

B.AD//CB

C.4B與"相交

D.4SC〃四點共面

2.（多選）已知直線a和兩個不重合的平面明。若a〃B,au%則下列四個結

論中正確的是（）

A.a與尸內的所有直線平行

B.a與尸內的無數(shù)條直線平行

C.a與6內的任何一條直線都不垂直

D.a與萬沒有公共點

3.（2022河南濮陽一中月考）如圖，平面a〃平面￡,△必夕所在的平面與。，￡分

別交于⑦和的若小2,。=3,切=1廁AB=_______.

4.如圖,四棱柱/貿》45G〃中，平面N陽4〃平面CDDC,且m〃尾，試判斷四邊

形/比下的形狀.

5.如圖所示，已知三棱柱/及三4'夕'。'中，〃是區(qū)的中點〃'是皮。'的中點設平面

A'"夕n平面4吐a,平面ADC'n平面A'"。'=自試判斷直線a,b的位置關系，并證

明.

6.（2022上海奉賢月考）如圖，平面?！ㄆ矫妗?，點f是平面明萬外一點,從點〃

引三條不共面的射線力,陽/C與平面a分別相交于點4〃C與平面尸分別相交

于點A',B'.求證:△/aS△/'B'C'.

題組二平面與平面平行的判定

7.侈選）（2022湖南長沙長郡中學期中）設a,B為兩個平面廁?！ā甑某浞謼l

件可以是（）

A.￡內的所有直線都與a平行

B.￡內有三條直線與a平行

C.a和￡平行于同一條直線

D.。和￡都平行于同一平面Y

8.（多選）（2022安徽合肥十中期中）已知弓6是不同的直線,a,B是不同的平面，則

下列命題中錯誤的是（）

A.若2,是異面直線,aua,a〃￡/u￡/〃a,則a〃￡

B.若aua力ua,a〃￡,6〃￡，則a〃尸

C.若Ma,au￡,a〃a廁a〃￡

D.若aua,a〃。廁6〃a

9.（2021寧夏銀川一中期末）在正方體跖吠/EG園中，下列四對截面彼此平行的

是（）

A.平面E、FG\與平面EGH、

B.平面碇與平面FHG

C.平面E〃月與平面FHE、

D.平面￡用與平面EHxG

10.（2021北京昌平二模）已知棱長為1的正方體4為￡〃-4比。物是煙的中點動

點〃在正方體內部或表面上運動，且，如〃平面4做,則動點〃的軌跡所形成區(qū)域的

面積是（）

A.B.V2C.1D.2

11.（2022浙江溫州期中）正方體然處44G〃的棱長為2,￡￡初分別為

〃的中點則過陽且與既平行的平面截正方體所得的截面的面積為

（）

A.V2B.2C.2V2D.4

12.（2021安徽蕪湖一中期中）如圖，在四棱錐R/四中，底面/頗為平行四邊形，

點即;0分別在陽能切上（不與端點重合），目PM\MA=BN\N2PQ：QD.求證:平面

助他〃平面PBC.

13.如圖，在正方體4況》中,S是BQ的中點,分別是比MCSC的中點

求證：

⑴直線比〃平面BDDB；

⑵平面跖G〃平面BDDB.

能力提升練

題組一平面與平面平行的性質

1.（2020江西宜春上高二中月考）如圖所示，在三棱臺44GT和中點〃在44上，

且回〃幽點"是△4笈G內（含邊界）的一個動點，且有平面能加〃平面4c則動點

"的軌跡是（）

A.平面B.直線

C.線段,但只含1個端點D.圓

2.（2020河南開封校際聯(lián)考）如圖所示，已知正方體力式》44G〃的棱長為3,點E

在45上,且臺后1,記圖中陰影平面為平面明且平面a〃平面6G￡若平面aA

平面446廬則"的長為（）

A.1B.1.5C.2D.3

3.（2022山東荷澤東明一中月考）如圖,四棱柱4岫46G〃中,四邊形力加9為平行

四邊形,￡尸分別在線段能加上，且宗R在3上且平面力環(huán)〃平面瓦%則

C.DL

4.（2020廣東深圳實驗學校月考）如圖,多面體4?。切跖中儲如0四兩兩垂直平面

/%〃平面龐河平面龐F〃平面ADGC.AB^AD-D^.AOEF-1.

⑴證明:四邊形力的是正方形；

⑵判斷點及C￡G是否共面,并說明理由.

題組二平面與平面平行的判定

5.（2021安徽合肥第六中學診斷性測試）如圖所示，在三棱柱/〃廿44G中名廠分別

是BBM上靠近點0。的三等分點在4G上確定一點。使平面際〃平面AM,

則舒-

6.（2020江西師范大學附屬中學期末）如圖①所示，在直角梯形ABCP

中,AP〃BC/PIA5AB=B*APQ為"的中點,分別為氣切力的中點將△也?

沿⑦折起彳導到四棱錐P如圖②所示.求證:在四棱錐P/M?中,"〃平面

EFG.

7.（2022福建廈門雙十中學期中）如圖，已知正方體力吐"G〃的棱長為3,點E

在用上，點分在夕上,G在即上，目AFFCEBG3H是BC的中點.求證：

⑴四點共面；

⑵平面4陽〃平面BEDF

H

題組三面面平行中的探索性問題

8.（2020湖南衡陽二模）如圖，在四棱錐P居切中，△必打是等邊三角

骸BC，AB,BOCD=2gAFA22.若加=3龐;則在線段回上是否存在一點￡使得平

9.（2020江西臨HI第二中學模擬）如圖所示，矩形四切和矩形ABEF電好AD點M,N

分別在仍以上,4滬蹲矩形［應F可沿四任意翻折.

⑴求證:當￡4〃三點不共線時，線段腑總平行于平面FAD.

⑵“不管怎樣翻折矩形/應'6線段法V總和線段川平行.”這個結論對嗎?如果對,

請證明;如果不對，請說明能否改變個別已知條件，使上述結論成立.

答案與分層梯度式解析

第六章立體幾何初步

§4平行關系

4.2平面與平面平行

基礎過關練

1.D

2.BD若兩平面平行，則一個平面內的任意一條直線與另一個平面內的直線平行或異面，所以A、C錯

誤,B、D正確.故選BD.

3.答案|

解析根據(jù)平面與平面平行的性質及已知可得切〃明所以冷震，因為心2,俏=3,61,所以

ABPA

_CDPA1X55

力An廬----=——

PC22

4.解析因為"'〃比，所以";確定一個平面，設為明則平面。C平面5〃G=G￡平面aC平面

ABB\A\=AE,

又平面/眼4〃平面鶴G,所以AE//QF,

所以四邊形尸是平行四邊形.

5.解析直線a與方平行.證明如下：

連接如：平面4a'〃平面4'8'。',平面/6rl平面46C=a,平面4'〃'8門平面力'6'。'=4'〃'，

C.A'D'//a.

同理可證AD//b.

???〃是6c的中點〃'是6Z'的中點，頗6Z',

.?.頌8'〃’,.?.四邊形是平行四邊形，

:.DD'BBB：

又緲'回A4',回44',

四邊形AA為平行四邊形，

：.A，D，//AD,：.a//b.

6.證明由題意可知夕4￡”,6'在同一平面上，

又因為a〃￡,所以

所以△身6s△必"測卷嗡=需，

由題意可知月及。8',。'在同一平面上，

又因為。〃氏所以比〃6'。'，

所以△冏Cs△陽工「則黑=照.

由題意可知“4。力'/'在同一平面上，

又因為?！ā?，所以4C〃/'C',

所以△為8△必則磊=備.

所以靠盜喘;，故△布

7.AD對于A,￡內的所有直線都與a平行，可知兩個平面沒有公共點，所以。和￡平行，所以A正確;

對于B,B內有三條直線與a平行，若這3條直線是平行線，則這兩個平面可能相交，所以B不正確；

對于c,a和￡平行于同一條直線,這兩個平面可能相交，所以C不正確；

對于D,。和尸都平行于同一平面匕由平面平行的傳遞性知平面。和￡平行，所以D正確.

故選AD.

8.BCD對于A,過6作平面/與平面。交于直線G如圖，因為6〃。/uy,所以6〃c,又a,6是異面直

線所以a,c相交油&氏仁￡得c//￡,又a//B,a,c是a內的兩條相交直線，所以a//￡,A中命題正

確；

對于B,若a//8,則a與8可能相交,B中命題錯誤；

對于C,a中只能確定一條直線與￡平行,這兩個平面可能平行也可能相交,C中命題錯誤;

對于D,au〃/?，則6〃?；?。ua,D中命題錯誤.

9.A如圖,?"勿￡6,頗平面E\F￡EGu平面E\F鼠

...%〃平面E\F(h.

同理，可證/億〃平面EF&.

?："ECEG=E,H\E,Ek平面EGH\,

：.平面E\F&//平面EGH、.

10.A如圖所示，夕￡&，"分別是AM以aG,郎的中點廁歷'〃/幾的/〃初由此可知即1〃平面AB仄網〃

平面A即又EFC￡滬￡所以平面力劭〃平面甌祝故點P的軌跡為矩形旗GV及其內部.

又，媯=8得,所以加考所以點曲軌跡所形成區(qū)域的面積/1X4當故選A.

11.C取四的中點e回的中點可切的中點八；連接功切的的八%由正方體的結構特征可得，布〃，物則

四邊形.I/O邠為平面圖形.

又EP〃MG*k平面MGHN,EN平面MGHN.

...曲〃平面的砌：

,:FP〃MN,2匕平面加例硝平面MGHN,

平面斷況M

EPCF六P,：.平面價7力平面MGHN,

又EFu平面EFP,：.EF//平面MGHN,

.?.過G〃且與原平行的平面截正方體所得的截面為矩形MGHN.

"：MG=2,67^V12+12=V2,

二S矩形歌后2讓.故選C.

12.證明,?PM：MA=BN：ND=PQ:QD,

：.MQ//AD,\Q//BP.

七平面勿如網平面PBC,

〃平面PBC.

:底面4比》為平行四邊形，

：.BC//AD,：.MQ//BC.

,：BCu平面P8CJ儂平面PBC,

〃平面PBC.

又WO八3Q平面MNQ//平面PBC.

13.證明⑴如圖，連接期

；分別是8cse的中點,EG//SB.

又?加平面為網平面BD仄反,

.,?直線比〃平面BDDiBi.

⑵連接SD,

???￡G分別是用SC的中點,二FG//SD.

又?.,S9c平面BDB氏FE平面BDDB,

...川〃平面BDDB.

又￡住平面EFG.I'Ga平面EF&EGCFG^G,

平面砒7〃平面BDDyB、.

方法總結

⑴要證明兩平面平行，只需在其中一個平面內找到兩條相交且平行于另一個平面的直線即可.

⑵判定兩平面平行時,應遵循“先找后作”的原則，即先在一個平面內找到兩條與另一個平面平行的相

交直線，若無法直接找到,可作輔助線.

能力提升練

1.C因為平面應涉〃平面4a平面BDMC平面平面AiCD平面464=4G,所以〃肌〃4G,過。作

DEJ/AC&5G于點&則點M的軌跡是線段處（不包括〃點）.

2.A因為平面a//平面6G月平面aC平面44片戶4月平面B&EC平面44笈戶龐;所以4尸〃BE.又

4?〃身訴斤以四邊形4￡即是平行四邊形，所以上4代2,所以4戶1.

3.答案!

解析連接笈Z外：

,平面4⑦〃平面做&且平面/切丫）平面BRD序EF,平面9GC平面BB\D\D=BK,

：.EF//

'FDiEB2

易得平面ADD\A\//平向BCC\B\,

又BGc平面BCCB,."G〃平面ADDyAx.

?平面4/〃平面B仄G,Bg平面做G

."G〃平面,4跖

平面AEFH平面ADDJrAF,：.BG//AF,

.?.6C4/7可確定平面ABGF.

又平面力眼4〃平面CBflQ平面力%FA平面力仍4=仍平面48研-1平面CDDxOFG,

：.AB//FG,：.CD//FG,

CC-LDDX3

4.解析⑴證明:因為平面ABC//平面龐河平面ABEDC平面4除仍平面ABEDC平面龐小?！晁?/p>

AB//DE.

同理/〃〃能所以四邊形/版為平行四邊形.

又ABLAD,AB=AD,

所以平行四邊形，仿功是正方形.

⑵點附共面.理由如下：

如圖，取〃。的中點。連接PA.PF.

因為平面龐尸〃平面42GC平面EFGDC平面龐e四平面仔&〃n平面ADGC=DG,

所以EF〃DG.

同理4C〃〃G.

因為P為%的中點，好2,小1,

所以斯〃也般心則四邊形￡7刃9為平行四邊形，所以DE//PF^陽PF.

又AB〃DE.DE,所以ABUPF且"=例所以四邊形4函為平行四邊形，

所以在〃質

因為P為的的中點，

所以PG=^DG=\=AC,

又因為力勿偌所以四邊形/屐次為平行四邊形，所以AP//8所以BF//CG.

故RC￡G四點共面.

5.答案!

解析如圖，過尸作FP//4c交4c于點。連接EP.

V〃分別是BB“CC\上靠近點作的三等分點，

二EF//BC,又EFCFkF,BCCAiOC,

平面陽'〃平面46c故點P為滿足題意的點，此時罄=去弓.

PC】FJ2

6.證明在四棱錐上ABCD中,￡尸分別為PC.PD的中點,二EF//◎同理EG//PB.

由題意知40比；；.四邊形48口是平行四邊形，,AB//CD,：.EF//AB.,：￡閃平面PAB,AI^平面PAB,：.EF//

平面PAB.同理,比〃平面PAB.又EFCEG=E,：.平面EFG//平面PAB.Y"t平面PAB,：.AP//平面EFG.

7.證明⑴在加上取一點A,使得用J連接CN,EN；：CB淤1,：.C六N22.

又阻V.四邊形。加V是平行四邊形，

F〃。'且gCN.

同理,且EMAD.

又BC//4〃且BOAD,：.EN//6c且EN=BC,

.??四邊形。旗是平行四邊形，

：.CN//BE^CN=BE,

:.隊F〃BEmIXP-BE,

.??四邊形〃砸■為平行四邊形，

四點共面.

⑵易知A、E〃BG且小&BG,

四邊形G6圓為平行四邊形,4G〃BE,

又4爾平面BEDxF.BE^平面BERF,

.?.4G〃平面BE1XF.

取法的中點/連接G/,則G是A/的中點，

又〃是BC的中點,二GI//HG.

,:BI〃C\F,BI=C\F,

.??四邊形6/G廠是平行四邊形，

：.CJ//BF.^BF//HG.

'：BFu平面BED、F,HO呼面BED、F,

...雨〃平面BEDF

：HGCAG=G,HGAfc平面4GH,

，平面平面BEDxF.

8.解析如圖，過點￡作EF//用交比于點C連接AF.AC.

因為儂3國所以E是"上