高考數學一輪復習知識點講解+真題測試專題6.4正弦定理、余弦定理的應用(知識點講解)(原卷版+解析)

專題6.4正弦定理、余弦定理的應用（知識點講解）【知識框架】【核心素養(yǎng)】以幾何圖形為載體，通過考查正弦定理、余弦定理的（實際）應用以及與立體幾何、平面解析幾何等知識的交匯，凸顯直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理等核心數學素養(yǎng).【知識點展示】（一）正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)（二）三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)．(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內切圓半徑)．（三）測量中的幾個有關術語術語名稱術語意義圖形表示仰角與俯角在目標視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內)所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ特別提醒：涉及到角時，一定要弄清此角的始邊和終邊所在位置．如方位角135°的始邊是指北方向線，始邊順時針方向旋轉135°得到終邊；方向角南偏西30°的始邊是指南方向線，向西旋轉30°得到終邊．（四）常用結論：1．三角形內角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；變形：＝－.2．三角形中的三角函數關系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．4．三角形中的大角對大邊在△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sinB．【?？碱}型剖析】題型一：正弦定理例1.（2023·山東·高考真題）在△中，，，，等于______．例2．（2023·全國·高考真題（理））2020年12月8日，中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（

）A．346 B．373 C．446 D．473【總結提升】已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難點，應引起注意．已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，注意解的情況．如已知a，b，A，則A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的個數無解一解兩解一解一解無解題型二：余弦定理例3.（2023·全國·高考真題（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（

）A． B． C． D．例4.（2023·全國·高考真題（文））在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3【總結提升】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形．題型三：正弦定理與余弦定理的綜合運用例5.（2023·山東·高考真題）在中，內角，，的對邊分別是，，，若，且，則等于（

）A．3 B． C．3或 D．-3或例6.（2023·海南·高考真題）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內角的對邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【規(guī)律方法】題型四：應用正弦定理、余弦定理判定三角形形狀例7.【多選題】(2023·江蘇蘇州·模擬預測）在中，，，，下列命題為真命題的有（

）A．若，則B．若，則為銳角三角形C．若，則為直角三角形D．若，則為直角三角形例8．（2023·全國·高考真題（文））△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，證明：△ABC是直角三角形．【規(guī)律方法】1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關系；(2)化角為邊，通過代數變形找出邊之間的關系，正(余)弦定理是轉化的橋梁．2．無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能．注意挖掘隱含條件，重視角的范對三角函數值的限制．題型五：與三角形面積有關的問題例9.(2023·全國·高考真題（理））的內角的對邊分別為，，，若的面積為，則()A． B． C． D．例10．（2023·北京·高考真題）在中，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【總結提升】1.求三角形面積的方法(1)若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值)，結合題意求解這個角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積．(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積，總之，結合圖形恰當選擇面積公式是解題的關鍵．2．已知三角形面積求邊、角的方法(1)若求角，就尋求夾這個角的兩邊的關系，利用面積公式列方程求解．(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關聯的角，利用面積公式列方程求解．提醒：正弦定理、余弦定理與三角函數性質的綜合應用中，要注意三角函數公式的工具性作用．題型六：與三角形周長有關的問題例11.(2023·全國·高考真題（理））記的內角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．例12.(2023·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．【總結提升】應用正弦定理、余弦定理，建立邊長的方程，是解答此類問題的基本方法，解答過程中，要注意整體代換思想的應用，如果遇到確定最值問題，往往要結合均值定理求解.題型七：三角形中的最值與范圍問題例13.（2023·全國高考真題（文））的內角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．例14.(2023·全國·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【總結提升】三角形中的最值范圍問題，往往有三種情況，一是轉化成三角函數的值域問題，利用三角函數的圖象和性質；二是利用基本不等式求最值，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤；三是利用函數的單調性.題型八：解三角形中的實際問題例15.(2023·浙江·高考真題）我國南宋著名數學家秦九韶，發(fā)現了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數學的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．例16.（2023·河南·高三月考（文））據氣象部門報道今年第14號臺風“燦都”于9月12日起陸續(xù)影響我國東南沿海一帶，13日5時，測定臺風中心位于某市南偏東距離該市千米的位置，預計臺風中心以千米/小時的速度向正北方向移動，離臺風中心千米的范圍都會受到臺風影響，則該市從受到臺風影響到影響結束，持續(xù)的時間為_______________________．【總結提升】1.測量距離問題，歸納起來常見的命題角度有：（1）兩點都不可到達；（2）兩點不相通的距離；（3）兩點間可視但有一點不可到達.2.求解高度問題的三個關注點(1)在處理有關高度問題時，要理解仰角、俯角(在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是關鍵．(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉化為平面問題．3.（1）測量角度問題的基本思路測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結果轉化為實際問題的解．提醒：方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角．（2）解決角度問題的注意事項=1\*GB3①測量角度時，首先應明確方位角及方向角的含義．=2\*GB3②求角的大小時，先在三角形中求出其正弦或余弦值．=3\*GB3③在解應用題時，要根據題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實際問題轉化為可用數學方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理“聯袂”使用的優(yōu)點．題型九：平面解析幾何中的解三角形問題例17.(2023·上海普陀·二模）如圖，動點在以為直徑的半圓上（異于A，），，且，若，則的取值范圍為__________.例18.(2023·青?！ず|市第一中學模擬預測（文））已知，是雙曲線的左、右焦點，過的直線l與C的一條漸近線垂直，垂足為A，且，則雙曲線C的實軸長為______．例19．(2023·河北·滄縣中學模擬預測）已知拋物線的焦點為，點，點是拋物線上的動點，則的最小值為___________．專題6.4正弦定理、余弦定理的應用（知識點講解）【知識框架】【核心素養(yǎng)】以幾何圖形為載體，通過考查正弦定理、余弦定理的（實際）應用以及與立體幾何、平面解析幾何等知識的交匯，凸顯直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理等核心數學素養(yǎng).【知識點展示】（一）正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)（二）三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)．(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內切圓半徑)．（三）測量中的幾個有關術語術語名稱術語意義圖形表示仰角與俯角在目標視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內)所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ特別提醒：涉及到角時，一定要弄清此角的始邊和終邊所在位置．如方位角135°的始邊是指北方向線，始邊順時針方向旋轉135°得到終邊；方向角南偏西30°的始邊是指南方向線，向西旋轉30°得到終邊．（四）常用結論：1．三角形內角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；變形：＝－.2．三角形中的三角函數關系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．4．三角形中的大角對大邊在△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sinB．【常考題型剖析】題型一：正弦定理例1.（2023·山東·高考真題）在△中，，，，等于______．答案：分析：由和角正弦公式求函數值，再應用正弦定理求即可.【詳解】，由正弦定理可知，，∴.故答案為：例2．（2023·全國·高考真題（理））2020年12月8日，中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（

）A．346 B．373 C．446 D．473答案：B【解析】分析：通過做輔助線，將已知所求量轉化到一個三角形中，借助正弦定理，求得，進而得到答案．【詳解】過作，過作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以．所以．因為，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以．故選：B．【總結提升】已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難點，應引起注意．已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，注意解的情況．如已知a，b，A，則A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的個數無解一解兩解一解一解無解題型二：余弦定理例3.（2023·全國·高考真題（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：根據已知條件結合余弦定理求得，再根據，即可求得答案.【詳解】在中，，，根據余弦定理：可得，即由故.故選：A.例4.（2023·全國·高考真題（文））在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3答案：D【解析】分析：利用余弦定理得到關于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.【詳解】設，結合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【總結提升】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形．題型三：正弦定理與余弦定理的綜合運用例5.（2023·山東·高考真題）在中，內角，，的對邊分別是，，，若，且，則等于（

）A．3 B． C．3或 D．-3或答案：A【解析】分析：利用余弦定理求出，并進一步判斷，由正弦定理可得，最后利用兩角和的正切公式，即可得到答案；【詳解】，，，，，，，，故選：A.例6.（2023·海南·高考真題）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內角的對邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．答案：詳見解析【解析】分析：方法一：由題意結合所給的條件，利用正弦定理角化邊，得到a,b的比例關系，根據比例關系，設出長度長度，由余弦定理得到的長度，根據選擇的條件進行分析判斷和求解.【詳解】［方法一］【最優(yōu)解】：余弦定理由可得：，不妨設，則：，即.若選擇條件①：據此可得：，，此時.若選擇條件②：據此可得：，則：，此時：，則：.若選擇條件③：可得，，與條件矛盾，則問題中的三角形不存在.［方法二］：正弦定理由，得．由，得，即，得．由于，得．所以．若選擇條件①：由，得，得．解得．所以，選條件①時問題中的三角形存在，此時．若選擇條件②：由，得，解得，則．由，得，得．所以，選條件②時問題中的三角形存在，此時．若選擇條件③：由于與矛盾，所以，問題中的三角形不存在．【整體點評】方法一：根據正弦定理以及余弦定理可得的關系，再根據選擇的條件即可解出，是本題的通性通法,也是最優(yōu)解；方法二：利用內角和定理以及兩角差的正弦公式，消去角，可求出角，從而可得，再根據選擇條件即可解出．【規(guī)律方法】題型四：應用正弦定理、余弦定理判定三角形形狀例7.【多選題】(2023·江蘇蘇州·模擬預測）在中，，，，下列命題為真命題的有（

）A．若，則B．若，則為銳角三角形C．若，則為直角三角形D．若，則為直角三角形答案：ACD【解析】分析：利用正弦定理判斷選項A，利用數量積的性質判斷選項B和C，利用數量積的性質和余弦定理判斷選項D．【詳解】解：A：若，由正弦定理得，，則A正確；B：若，則，，即為鈍角，為鈍角三角形，故B錯誤；C：若，則，為直角三角形，故C正確；D：若，則，，，由余弦定理知，，則，，，為直角三角形，故D正確．故選：ACD．例8．（2023·全國·高考真題（文））△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，證明：△ABC是直角三角形．答案：（1）；（2）證明見解析【解析】分析：（1）根據誘導公式和同角三角函數平方關系，可化為，即可解出；（2）根據余弦定理可得，將代入可找到關系，再根據勾股定理或正弦定理即可證出．【詳解】（1）因為，所以，即，解得，又，所以；（2）因為，所以，即①，又②，將②代入①得，，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形．【規(guī)律方法】1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關系；(2)化角為邊，通過代數變形找出邊之間的關系，正(余)弦定理是轉化的橋梁．2．無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能．注意挖掘隱含條件，重視角的范對三角函數值的限制．題型五：與三角形面積有關的問題例9.(2023·全國·高考真題（理））的內角的對邊分別為，，，若的面積為，則()A． B． C． D．答案：C【解析】【詳解】分析：利用面積公式和余弦定理進行計算可得．詳解：由題可知所以由余弦定理所以故選C.例10．（2023·北京·高考真題）在中，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．答案：選擇條件①（Ⅰ）8（Ⅱ）,；選擇條件②（Ⅰ）6（Ⅱ）,.【解析】分析：選擇條件①（Ⅰ）根據余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根據三角函數同角關系求得,再根據正弦定理求,最后根據三角形面積公式求結果；選擇條件②（Ⅰ）先根據三角函數同角關系求得，再根據正弦定理求結果，（Ⅱ）根據兩角和正弦公式求，再根據三角形面積公式求結果.【詳解】選擇條件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：選擇條件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）【總結提升】1.求三角形面積的方法(1)若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值)，結合題意求解這個角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積．(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積，總之，結合圖形恰當選擇面積公式是解題的關鍵．2．已知三角形面積求邊、角的方法(1)若求角，就尋求夾這個角的兩邊的關系，利用面積公式列方程求解．(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關聯的角，利用面積公式列方程求解．提醒：正弦定理、余弦定理與三角函數性質的綜合應用中，要注意三角函數公式的工具性作用．題型六：與三角形周長有關的問題例11.(2023·全國·高考真題（理））記的內角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．答案：(1)見解析(2)14【解析】分析：（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；（2）根據（1）的結論結合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.(1)證明：因為，所以，所以，即，所以；(2)解：因為，由（1）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長為.例12.(2023·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．答案：(1)(2)【解析】分析：（1）利用二倍角的正弦公式化簡可得的值，結合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長.(1)解：因為，則，由已知可得，可得，因此，.(2)解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長為.【總結提升】應用正弦定理、余弦定理，建立邊長的方程，是解答此類問題的基本方法，解答過程中，要注意整體代換思想的應用，如果遇到確定最值問題，往往要結合均值定理求解.題型七：三角形中的最值與范圍問題例13.（2023·全國高考真題（文））的內角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．答案：(1);(2).【解析】(1)根據題意，由正弦定理得，因為，故，消去得.，因為故或者，而根據題意，故不成立，所以，又因為，代入得，所以.(2)因為是銳角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又應用正弦定理，，由三角形面積公式有：.又因,故，故.故的取值范圍是例14.(2023·全國·高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．答案：(1)；(2)．【解析】分析：（1）根據二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．(1)因為，即，而，所以；(2)由（1）知，，所以，而，所以，即有．所以．當且僅當時取等號，所以的最小值為．【總結提升】三角形中的最值范圍問題，往往有三種情況，一是轉化成三角函數的值域問題，利用三角函數的圖象和性質；二是利用基本不等式求最值，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤；三是利用函數的單調性.題型八：解三角形中的實際問題例15.(2023·浙江·高考真題）我國南宋著名數學家秦九韶，發(fā)現了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數學的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．答案：.【解析】分析：根據題中所給的公式代值解出．【詳解】因為，所以．故答案為：.例16.（2023·河南·高三月考（文））據氣象部門報道今年第14號臺風“燦都”于9月12日起陸續(xù)影響我國東南沿海一帶，13日5時，測定臺風中心位于某市南偏東距離該市千米的位置，預計臺風中心以千米/小時的速度向正北方向移動，離臺風中心千米的范圍都會受到臺風影響，則該市從受到臺風影響到影響結束，持續(xù)的時間為_______________________．答案：小時小時分析：根據給定信息畫出圖形，再借助余弦定理結合已知列出不等式求解即得.【詳解】如圖，A為某市的位置，是臺風中心在13日5時的位置，設臺風運動小時后的位置為，則，又，在中，由余弦定理得：，由，解得，于是得(小