高一數(shù)學?？键c微專題提分精練(人教A版必修第一冊)微專題15指數(shù)函數(shù)及其性質(原卷版+解析)

微專題15指數(shù)函數(shù)及其性質【方法技巧與總結】知識點一、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質：時圖象時圖象圖象性質①定義域，值域②，即時，，圖象都經過點③，即時，等于底數(shù)④在定義域上是單調減函數(shù)④在定義域上是單調增函數(shù)⑤時，時，⑤時，時，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)知識點詮釋：（1）當?shù)讛?shù)大小不定時，必須分“”和“”兩種情形討論．（2）當時，，；當時，．當時，的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快．當時，的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快．（3）指數(shù)函數(shù)與的圖象關于軸對稱．知識點二、指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律（1）①，②，③，④，則：又即：時，（底大冪大）時，（2）特殊函數(shù)，，，的圖像：【題型歸納目錄】題型一：指數(shù)函數(shù)的圖象基本性質：定點、對稱性、單調性題型二：指數(shù)(型)函數(shù)的單調性應用(1):復合函數(shù)的值域問題題型三：指數(shù)(型)函數(shù)的單調性應用(2):復合函數(shù)的單調問題題型四：指數(shù)(型)函數(shù)中的奇偶性及與單調性的綜合【典型例題】題型一：指數(shù)函數(shù)的圖象基本性質：定點、對稱性、單調性例1．(2023·全國·高一課時練習）已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則a＝（

）A．1 B．2 C．0 D．-2例2．(2023·福建·莆田二中高一期中）已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例3．(2023·全國·高一課時練習）若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式1．（多選題）(2023·全國·高一單元測試）已知，則方程的根個數(shù)可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6變式2．（多選題）(2023·全國·高一期末）(多選)已知函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．a>1 B．0<a<1C．b>1 D．0<b<1變式3．（多選題）(2023·全國·高一課時練習）已知函數(shù)，實數(shù)，滿足，則（

）A． B．，，使得C． D．變式4．(2023·全國·高一單元測試）函數(shù)圖象過定點，點在直線上，則最小值為___________.變式5．(2023·江蘇·高一專題練習）函數(shù)（，且）的圖象恒過定點，在冪函數(shù)的圖象上，則=_______；變式6．(2023·全國·高一課時練習）函數(shù)的定義域為______．變式7．(2023·全國·高一單元測試）已知函數(shù)的定義域為，則_________．變式8．(2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)．(1)若f(x)的圖象如圖①所示，求a，b的取值范圍；(2)若f(x)的圖象如圖②所示，|f(x)|＝m有且僅有一個實數(shù)解，求出m的范圍．題型二：指數(shù)(型)函數(shù)的單調性應用(1):復合函數(shù)的值域問題例4．(2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的值域為____.例5．(2023·全國·高一單元測試）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．例6．(2023·黑龍江·佳木斯一中高一期末）已知（其中且為常數(shù)）有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是___________.變式9．(2023·河南·登封市第一高級中學高一階段練習）函數(shù)在上的值域為___________.變式10．(2023·陜西渭南·高一期末）方程的解在內，則的取值范圍是___________.變式11．(2023·河南·洛寧縣第一高級中學高一階段練習）函數(shù)的值域是______．變式12．(2023·全國·高一課時練習）已知函數(shù)f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），其中a，b均為實數(shù)．(1)若函數(shù)f（x）的圖象經過點A（0，2），B（1，3），求函數(shù)的值域；(2)如果函數(shù)f（x）的定義域和值域都是[﹣1，0]，求a+b的值．變式13．(2023·河南·洛寧縣第一高級中學高一階段練習）已知函數(shù).(1)當時，求的值域；(2)若有最大值16，求的值.變式14．(2023·全國·高一課時練習）已知函數(shù)（且）的圖象經過點．(1)求a，并比較與的大??；(2)求函數(shù)的值域．變式15．(2023·全國·高一專題練習）求下列函數(shù)的定義域、值域：(1)(2)變式16．(2023·山東·嘉祥縣第一中學高一期中）設函數(shù)是定義域的奇函數(shù)．(1)求值；(2)若，試判斷函數(shù)單調性并求使不等式在定義域上恒成立的的取值范圍；(3)若，且在上最小值為，求的值．題型三：指數(shù)(型)函數(shù)的單調性應用(2):復合函數(shù)的單調問題例7．(2023·全國·高一單元測試）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍為_________．例8．(2023·北京·牛欄山一中高一階段練習）寫出一個滿足函數(shù)在上單調遞增的值_____________.例9．（多選題）(2023·江蘇·無錫市市北高級中學高一期中）函數(shù)在下列哪些區(qū)間內單調遞減（

）A． B． C． D．變式17．(2023·全國·高一單元測試）已知是定義域為上的減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式18．(2023·全國·高一單元測試）若，則（

）A． B．C． D．變式19．(2023·河南·登封市第一高級中學高一階段練習）函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．題型四：指數(shù)(型)函數(shù)中的奇偶性及與單調性的綜合例10．(2023·浙江溫州·高一期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)；(1)求實數(shù)的值；(2)求的值域；(3)若關于的方程無實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．例11．(2023·全國·高一課時練習）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．(1)求a的值；(2)求函數(shù)的值域；(3)當時，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．例12．(2023·貴州·黔西南州金成實驗學校高一期末）已知函數(shù)（且）為定義在上的奇函數(shù).(1)利用單調性的定義證明函數(shù)在上單調遞增；(2)求不等式的解集.(3)若函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍.變式20．(2023·全國·高一課時練習）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)與奇函數(shù)，且(1)求與的解析式；(2)若對，不等式恒成立，求實數(shù)m的最大值．變式21．(2023·遼寧·高一階段練習）設函數(shù)（，）．(1)若是偶函數(shù)，求實數(shù)的值；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．變式22．(2023·河北滄州·高一期末）已知函數(shù)為偶函數(shù).(1)判斷在上的單調性并證明；(2)求函數(shù)在上的最小值.變式23．(2023·全國·高一課時練習）已知函數(shù)．當時，的值域為______；若的最大值為16，則a的值為______．【過關測試】一、單選題1．(2023·河南南陽·高一期中）已知函數(shù)若，則實數(shù)（

）A． B．2 C．4 D．62．(2023·天津·高一期末）設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．(2023·山東·嘉祥縣第一中學高一期中）已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當時，，則的解集為（

）A． B．C． D．4．(2023·全國·高一課時練習）若存在正數(shù)x，使得關于x的不等式成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．(2023·全國·高一課時練習）若實數(shù)，滿足，則（

）A． B．C． D．6．(2023·全國·高一單元測試）在同一坐標系中，函數(shù)與函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．7．(2023·全國·高一專題練習）若，則有（

）A． B． C． D．8．(2023·云南·昆明市官渡區(qū)第一中學高一階段練習）已知函數(shù)若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．(2023·山東·青島二中高一期中）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，．已知函數(shù)，則關于函數(shù)的敘述中正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．在R上是增函數(shù) D．的值域是10．(2023·河南南陽·高一期中）不等式成立的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．11．(2023·全國·高一課時練習）（多選）定義在上的函數(shù)，則下列結論中正確的是（）A．的單調遞減區(qū)間是 B．的單調遞增區(qū)間是C．的最大值是 D．的最小值是三、填空題12．(2023·山東省青島第十九中學高一期中）若函數(shù)對于上任意兩個不相等實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為______．13．(2023·內蒙古·北方重工集團第五中學高一階段練習（文））已知函數(shù)的圖象經過點其中且則函數(shù)的值域是________．14．(2023·四川·成都鐵路中學高一階段練習）已知函數(shù)．若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是______．15．(2023·全國·高一課時練習）若函數(shù)在上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是______．16．(2023·全國·高一課時練習）若函數(shù)（，且）在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是______．四、解答題17．(2023·山東·青島二中高一期中）已知函數(shù)，且的解集為.(1)求函數(shù)的解析式；(2)解關于x的不等式（其中）；(3)設，若對任意的，，都有，求t的取值范圍.18．(2023·廣東·深圳外國語學校高一期中）已知函數(shù)對任意的實數(shù)都有，且當時，有．(1)求證：在上為增函數(shù)；(2)若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．19．(2023·福建省福州高級中學高一期末）已知函數(shù)，．(1)若對于任意的，恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；(2)若，且的最小值為，求實數(shù)k的值．20．(2023·全國·高一課時練習）已知函數(shù)（其中，為常數(shù)，且，）的圖象經過點，．(1)求的值；(2)當時，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方，求實數(shù)t的取值范圍．微專題15指數(shù)函數(shù)及其性質【方法技巧與總結】知識點一、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質：時圖象時圖象圖象性質①定義域，值域②，即時，，圖象都經過點③，即時，等于底數(shù)④在定義域上是單調減函數(shù)④在定義域上是單調增函數(shù)⑤時，時，⑤時，時，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)知識點詮釋：（1）當?shù)讛?shù)大小不定時，必須分“”和“”兩種情形討論．（2）當時，，；當時，．當時，的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快．當時，的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快．（3）指數(shù)函數(shù)與的圖象關于軸對稱．知識點二、指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律（1）①，②，③，④，則：又即：時，（底大冪大）時，（2）特殊函數(shù)，，，的圖像：【題型歸納目錄】題型一：指數(shù)函數(shù)的圖象基本性質：定點、對稱性、單調性題型二：指數(shù)(型)函數(shù)的單調性應用(1):復合函數(shù)的值域問題題型三：指數(shù)(型)函數(shù)的單調性應用(2):復合函數(shù)的單調問題題型四：指數(shù)(型)函數(shù)中的奇偶性及與單調性的綜合【典型例題】題型一：指數(shù)函數(shù)的圖象基本性質：定點、對稱性、單調性例1．(2023·全國·高一課時練習）已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則a＝（

）A．1 B．2 C．0 D．-2答案：B【解析】函數(shù)的圖象關于y軸對稱，將函數(shù)的圖象向右平移2個單位長度可得函數(shù)的圖象，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，故．故選：B例2．(2023·福建·莆田二中高一期中）已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖，當時，，由圖可知，，即得，則，由，即，得，求得，∴，故選：D例3．(2023·全國·高一課時練習）若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)，，的圖象如下圖所示，數(shù)形結合可知：當時，，的取值范圍為.故選：D.變式1．（多選題）(2023·全國·高一單元測試）已知，則方程的根個數(shù)可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6答案：ABD【解析】令，在同一坐標系中作出函數(shù)和直線的圖象，分析的根：①當時，方程有一個根，且，方程，對應2個，故方程有2個根；②當a＝1時，方程有兩個根，，方程，對應1個，方程對應2個，故方程有3個根.③當0＜a＜1時，方程有三個根，，，方程，對應2個，方程對應2個，方程對應2個，故方程有6個根.④當a＝0時，方程有兩個根，，方程，對應2個，方程對應2個，故方程有4個根.故選：ABD.變式2．（多選題）(2023·全國·高一期末）(多選)已知函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．a>1 B．0<a<1C．b>1 D．0<b<1答案：BD【解析】觀察圖象得，函數(shù)是單調遞減的，因此，，圖象與y軸交點縱坐標有：，而時，，于是得，解得，所以，.故選：BD變式3．（多選題）(2023·全國·高一課時練習）已知函數(shù)，實數(shù)，滿足，則（

）A． B．，，使得C． D．答案：CD【解析】畫出函數(shù)的圖象，如圖所示．由圖知，則，故A錯，C對．由基本不等式可得，所以，則，故B錯，D對．故選：CD．變式4．(2023·全國·高一單元測試）函數(shù)圖象過定點，點在直線上，則最小值為___________.答案：【解析】當時，，過定點，又點在直線上，，即，，，，（當且僅當，即，時取等號），的最小值為.故答案為：.變式5．(2023·江蘇·高一專題練習）函數(shù)（，且）的圖象恒過定點，在冪函數(shù)的圖象上，則=_______；答案：27【解析】因為函數(shù)（，且）的圖象恒過定點，所以由指數(shù)型函數(shù)性質得，因為在冪函數(shù)的圖象上所以，解得，所以，.故答案為：變式6．(2023·全國·高一課時練習）函數(shù)的定義域為______．答案：【解析】因為，所以，則，即，解得，故函數(shù)的定義域為．故答案為：.變式7．(2023·全國·高一單元測試）已知函數(shù)的定義域為，則_________．答案：【解析】由題意可知，不等式的解集為，則，解得，當時，由，可得，解得，合乎題意.故答案為：.變式8．(2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)．(1)若f(x)的圖象如圖①所示，求a，b的取值范圍；(2)若f(x)的圖象如圖②所示，|f(x)|＝m有且僅有一個實數(shù)解，求出m的范圍．【解析】（1）由f(x)為減函數(shù)可知a的取值范圍為(0，1)，又f(0)＝1＋b<0，所以b的取值范圍為(－∞，－1)；（2）的圖象過點，，所以，解得，所以，在同一個坐標系中，畫出函數(shù)和的圖象，觀察圖象可知，當或時，兩圖象有一個交點，若有且僅有一個實數(shù)解，的范圍是：或.題型二：指數(shù)(型)函數(shù)的單調性應用(1):復合函數(shù)的值域問題例4．(2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的值域為____.答案：【解析】令，函數(shù)化為，即函數(shù)的值域為．故答案為：例5．(2023·全國·高一單元測試）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】函數(shù)定義域為R，，又函數(shù)在R上單調遞減，則，所以函數(shù)的值域為.故選：A例6．(2023·黑龍江·佳木斯一中高一期末）已知（其中且為常數(shù)）有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是___________.答案：【解析】設，由有兩個零點，即方程有兩個正解，所以，解得，即，故答案為：.變式9．(2023·河南·登封市第一高級中學高一階段練習）函數(shù)在上的值域為___________.答案：【解析】∵則令在遞增∴故答案為：．變式10．(2023·陜西渭南·高一期末）方程的解在內，則的取值范圍是___________.答案：【解析】令，顯然該函數(shù)為增函數(shù)，，值域為，故.故答案為：.變式11．(2023·河南·洛寧縣第一高級中學高一階段練習）函數(shù)的值域是______．答案：【解析】令，則，因為函數(shù)在上單調遞增，所以，故的值域為．故答案為：.變式12．(2023·全國·高一課時練習）已知函數(shù)f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），其中a，b均為實數(shù)．(1)若函數(shù)f（x）的圖象經過點A（0，2），B（1，3），求函數(shù)的值域；(2)如果函數(shù)f（x）的定義域和值域都是[﹣1，0]，求a+b的值．【解析】（1）函數(shù)f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），其中a，b均為實數(shù)，函數(shù)f（x）的圖象經過點A（0，2），B（1，3），∴，∴，∴函數(shù)f（x）＝2x+1＞1，函數(shù)1．又0，故函數(shù)的值域為（0，1）．（2）如果函數(shù)f（x）的定義域和值域都是[﹣1，0]，若a＞1，函數(shù)f（x）＝ax+b為增函數(shù)，∴，求得a、b無解．若0＜a＜1，函數(shù)f（x）＝ax+b為減函數(shù)，∴，求得，∴a+b．變式13．(2023·河南·洛寧縣第一高級中學高一階段練習）已知函數(shù).(1)當時，求的值域；(2)若有最大值16，求的值.【解析】(1)當時，.因為在R上單調遞增，且，可得，所以，故的值域為.(2)令，因為函數(shù)在其定義域內單調遞增，所以要使函數(shù)有最大值16，則的最大值為4，故解得.故的值為.變式14．(2023·全國·高一課時練習）已知函數(shù)（且）的圖象經過點．(1)求a，并比較與的大??；(2)求函數(shù)的值域．【解析】（1）由已知得：，解得，所以，因為在R上單調遞減，，所以；（2）因為，所以，故的值域是；變式15．(2023·全國·高一專題練習）求下列函數(shù)的定義域、值域：(1)(2)【解析】(1)由函數(shù)解析式可知：，所以函數(shù)的定義域為：；因為，所以，因此函數(shù)的值域為：；(2)由函數(shù)的解析式可知：函數(shù)的定義域為R，，因為，所以，因此函數(shù)的值域為：（0，16].變式16．(2023·山東·嘉祥縣第一中學高一期中）設函數(shù)是定義域的奇函數(shù)．(1)求值；(2)若，試判斷函數(shù)單調性并求使不等式在定義域上恒成立的的取值范圍；(3)若，且在上最小值為，求的值．【解析】（1）是定義域為的奇函數(shù)，，即，解得；經檢驗成立（2）因為函數(shù)（且），又，，又，，由于單調遞增，單調遞減，故在上單調遞增，不等式化為．，即恒成立，，解得；（3）由已知，得，即，解得，或（舍去），，令，是增函數(shù)，，，則，若，當時，，解得,不成立；若，當時，，解得，成立；所以．題型三：指數(shù)(型)函數(shù)的單調性應用(2):復合函數(shù)的單調問題例7．(2023·全國·高一單元測試）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍為_________．答案：【解析】因為函數(shù)是實數(shù)集上的減函數(shù)，所以由復合函數(shù)的單調性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，函數(shù)的對稱軸為，且開口向下，所以有，解得的取值范圍為，故答案為：．例8．(2023·北京·牛欄山一中高一階段練習）寫出一個滿足函數(shù)在上單調遞增的值_____________.答案：（答案不唯一）【解析】因為，當時在定義域上單調遞增，當時，畫出，的圖象如下所示：要使函數(shù)在上單調遞增，由圖可知當時均可滿足函數(shù)在上單調遞增；故答案為：（答案不唯一）例9．（多選題）(2023·江蘇·無錫市市北高級中學高一期中）函數(shù)在下列哪些區(qū)間內單調遞減（

）A． B． C． D．答案：ACD【解析】由題意，函數(shù)在上單調遞減，又由函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，由復合函數(shù)的單調性可知，函數(shù)在上單調遞減，結合選項，可得選項符合題意.故選：ACD.變式17．(2023·全國·高一單元測試）已知是定義域為上的減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由題意，，故，解得故選：B變式18．(2023·全國·高一單元測試）若，則（

）A． B．C． D．答案：A【解析】設函數(shù)，因為函數(shù)都是實數(shù)集上的增函數(shù)，所以函數(shù)也是實數(shù)集上的增函數(shù)，由，故選：A變式19．(2023·河南·登封市第一高級中學高一階段練習）函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】設，在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，根據“同增異減”可得，函數(shù)的單調遞減區(qū)間是.故選：A.題型四：指數(shù)(型)函數(shù)中的奇偶性及與單調性的綜合例10．(2023·浙江溫州·高一期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)；(1)求實數(shù)的值；(2)求的值域；(3)若關于的方程無實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，則，即，即，所以，即在上恒成立，解得；（2）由（1）得，則，又函數(shù)單調遞增，且，所以，，所以，即函數(shù)的值域為；（3）由無實數(shù)解，即無實數(shù)解，又，所以或，即（不成立），或，又，所以，即.例11．(2023·全國·高一課時練習）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．(1)求a的值；(2)求函數(shù)的值域；(3)當時，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得，當時，，此時，所以時，是奇函數(shù).所以；（2）由（1）可得，因為，可得，所以，所以，所以，所以函數(shù)的值域為；（3）由可得，即，可得對于恒成立，令，則，函數(shù)在區(qū)間單調遞增，所以，所以，所以實數(shù)m的取值范圍為．例12．(2023·貴州·黔西南州金成實驗學校高一期末）已知函數(shù)（且）為定義在上的奇函數(shù).(1)利用單調性的定義證明函數(shù)在上單調遞增；(2)求不等式的解集.(3)若函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題意得：，解得：，，任取，且，則因為，且，所以，，所以，故所以函數(shù)在上單調遞增；（2），即，因為為定義在上的奇函數(shù)，所以，因為為定義在上單調遞增，所以，解得：或，所以解集為：；（3）有零點，當時，，沒有零點，不合題意，舍去；當時，即有根，其中當時，，，，故，又因為在R上為奇函數(shù)，所以當時，，且，所以在R上的值域為，故，解得：，所以實數(shù)的取值范圍為.變式20．(2023·全國·高一課時練習）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)與奇函數(shù)，且(1)求與的解析式；(2)若對，不等式恒成立，求實數(shù)m的最大值．【解析】（1）由題意

①，所以

，函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)與奇函數(shù)，所以所以

②，由①②解得，；（2）對，不等式恒成立，即，令，，則，不等式等價于在上恒成立，所以，因為，所以，當且僅當即時取等號，所以，即m的最大值為變式21．(2023·遼寧·高一階段練習）設函數(shù)（，）．(1)若是偶函數(shù)，求實數(shù)的值；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】(1)（1）若是偶函數(shù)，則，即，即，則，即．(2)（2）存在，使得成立，即，則，設，因為，所以，所以，令，因為，所以當時，函數(shù)取得最大值，則，所以實數(shù)的取值范圍為．變式22．(2023·河北滄州·高一期末）已知函數(shù)為偶函數(shù).(1)判斷在上的單調性并證明；(2)求函數(shù)在上的最小值.【解析】(1)為偶函數(shù)，，即，，則.所以.在為增函數(shù),證明如下：任取，，且，，，，，.即，在上單調遞增.(2)，令，結合題意及（1）的結論可知.，.①當時，；②當時，；③當時，.綜上，.變式23．(2023·全國·高一課時練習）已知函數(shù)．當時，的值域為______；若的最大值為16，則a的值為______．答案：

【解析】當時，，設，則，因為在R上是增函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)的值域是；要使函數(shù)的最大值為16，則的最大值為4，故，解得．故答案為：；【過關測試】一、單選題1．(2023·河南南陽·高一期中）已知函數(shù)若，則實數(shù)（

）A． B．2 C．4 D．6答案：B【解析】由題知，所以，因為時，，所以，，所以，解得.故選：B2．(2023·天津·高一期末）設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：A【解析】由可知，，即，根據指數(shù)函數(shù)性質，是上遞增的指數(shù)函數(shù)，即，故，顯然可推出，但反之不成立，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A3．(2023·山東·嘉祥縣第一中學高一期中）已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當時，，則的解集為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】因為函數(shù)為R上的奇函數(shù)，所以，又當時，，當時，，則，所以時，，則由可得，或或，解得或或，綜上可得，不等式的解集為．故選：C．4．(2023·全國·高一課時練習）若存在正數(shù)x，使得關于x的不等式成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意知成立，即成立．令，顯然在上單調遞增，所以，，所以實數(shù)a的取值范圍是．故選：C5．(2023·全國·高一課時練習）若實數(shù)，滿足，則（

）A． B．C． D．答案：C【解析】令，由于，均為上的增函數(shù)，所以是上的增函數(shù)．因為，所以，即，所以，所以．故選：C．6．(2023·全國·高一單元測試）在同一坐標系中，函數(shù)與函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．答案：B【解析】函數(shù)的是指數(shù)函數(shù)，且，排除選項C，如果，二次函數(shù)的開口方向向上，二次函數(shù)的圖象經過原點，并且有另一個零點：，所以B正確；對稱軸在x軸左側，C不正確；如果，二次函數(shù)有一個零點，所以D不正確．故選：B．7．(2023·全國·高一專題練習）若，則有（

）A． B． C． D．答案：B【解析】構造函數(shù)，易得函數(shù)單調遞增，由，可得，，故選：B.8．(2023·云南·昆明市官渡區(qū)第一中學高一階段練習）已知函數(shù)若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因為，當時單調遞減，且，當時，單調遞減，且，所以函數(shù)在定義域上單調遞減，因為，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為：.故選：A.二、多選題9．(2023·山東·青島二中高一期中）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，．已知函數(shù)，則關于函數(shù)的敘述中正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．在R上是增函數(shù) D．的值域是答案：ACD【解析】A選項：，，∴，∴為奇函數(shù)，故A正確；B選項：∵∴，，∵為奇函數(shù)，∴，∴，∴，故B錯誤；C選項：，∵，∴為增函數(shù)，∴為減函數(shù)，∴為增函數(shù)，故C正確；D選項：∵，∴，∴，∴．又∵，∴的值域為，故D正確．故選：ACD．10．(2023·河南南陽·高一期中）不等式成立的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．答案：AB【解析】令，所以，不等式，解得或所以，或，解得或，所以，不等式的解集為，因為所求的是不等式成立的一個充分不必要條件，故只需滿足是真子集即可，所以，只有AB選項滿足，CD選項不滿足.故選：AB11．(2023·全國·高一課時練習）（多選）定義在上的函數(shù)，則下列結論中正確的是（）A．的單調遞減區(qū)間是 B．的單調遞增區(qū)間是C．的最大值是 D．的最小值是答案：ACD【解析】設，，則是增函數(shù)，且，又函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，因此在上單調遞增，在上單調遞減，故A正確，B錯誤；，故C正確；，，因此的最小值是，故D正確．故選:ACD．三、填空題12．(2023·山東省青島第十九中學高一期中）若函數(shù)對于上任意兩個不相等實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為______．答案：【解析】若函數(shù)對于上任意兩個不相等實數(shù)，不等式恒成立，則函數(shù)在上單調遞增，則，解得：，故實數(shù)a的取值范圍為,故答案為：．13．(2023·內蒙古·北方重工集團第五中學高一階段練習（文））已知函數(shù)的圖象經過點其中且則函數(shù)的值域是________．答案：【解析】因為的圖象經過點所以，解得，則，因為，所以，所以，即函數(shù)的值域是，故答案為：14．(2023·四川·成都