第13講 橢圓（十大題型）（教師版）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義

第第頁第13講橢圓【題型歸納目錄】題型一：橢圓的定義題型二：求橢圓的標準方程題型三：橢圓的綜合問題題型四：軌跡方程題型五：橢圓的簡單幾何性質(zhì)題型六：求橢圓的離心率題型七：求橢圓離心率的取值范圍題型八：由橢圓離心率求參數(shù)的取值范圍題型九：橢圓中的范圍與最值問題題型十：焦點三角形【知識點梳理】知識點一：橢圓的定義平面內(nèi)一個動點SKIPIF1<0到兩個定點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的距離之和等于常數(shù)(SKIPIF1<0)，這個動點SKIPIF1<0的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.知識點詮釋：若SKIPIF1<0，則動點SKIPIF1<0的軌跡為線段SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，則動點SKIPIF1<0的軌跡無圖形.知識點二：橢圓的標準方程1、當焦點在SKIPIF1<0軸上時，橢圓的標準方程：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；2、當焦點在SKIPIF1<0軸上時，橢圓的標準方程：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；知識點詮釋：(1)這里的“標準”指的是中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程；(2)在橢圓的兩種標準方程中，都有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；(3)橢圓的焦點總在長軸上.當焦點在SKIPIF1<0軸上時，橢圓的焦點坐標為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當焦點在SKIPIF1<0軸上時，橢圓的焦點坐標為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(4)在兩種標準方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上.知識點三：求橢圓的標準方程求橢圓的標準方程主要用到以下幾種方法：(1)待定系數(shù)法：①若能夠根據(jù)題目中條件確定焦點位置，可先設(shè)出標準方程，再由題設(shè)確定方程中的參數(shù)a，b，即：“先定型，再定量”.②由題目中條件不能確定焦點位置，一般需分類討論；有時也可設(shè)其方程的一般式：SKIPIF1<0.(2)定義法：先分析題設(shè)條件，判斷出動點的軌跡，然后根據(jù)橢圓的定義確定方程，即“先定型，再定量”。利用該方法求標準方程時，要注意是否需先建立平面直角坐標系再解題.知識點四：橢圓的簡單幾何性質(zhì)我們根據(jù)橢圓SKIPIF1<0SKIPIF1<0來研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的范圍橢圓上所有的點都位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標滿足|x|≤a，|y|≤b.橢圓的對稱性對于橢圓標準方程SKIPIF1<0，把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時換成-x、-y，方程都不變，所以橢圓SKIPIF1<0是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。橢圓的頂點①橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。②橢圓SKIPIF1<0(a＞b＞0)與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)。③線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。橢圓的離心率①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作SKIPIF1<0.②因為a＞c＞0，所以e的取值范圍是0＜e＜1。e越接近1，則c就越接近a，從而SKIPIF1<0越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時橢圓就越接近于圓。當且僅當a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2。知識點五：橢圓標準方程中的三個量a、b、c的幾何意義橢圓標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2?？山柚聢D幫助記憶：a、b、c恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。和a、b、c有關(guān)的橢圓問題常與與焦點三角形SKIPIF1<0有關(guān)，這樣的問題考慮到用橢圓的定義及余弦定理(或勾股定理)、三角形面積公式SKIPIF1<0相結(jié)合的方法進行計算與解題，將有關(guān)線段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，有關(guān)角SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)結(jié)合起來，建立SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之間的關(guān)系.知識點六：橢圓兩個標準方程幾何性質(zhì)的比較標準方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0圖形性質(zhì)焦點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0焦距SKIPIF1<0SKIPIF1<0范圍SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱頂點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸長軸長=SKIPIF1<0，短軸長=SKIPIF1<0離心率SKIPIF1<0知識點詮釋：橢圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(a＞b＞0)的相同點為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有a＞b＞0和SKIPIF1<0，a2=b2+c2；不同點為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標也不相同；橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上?！镜淅}】題型一：橢圓的定義例1．設(shè)定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點P滿足條件SKIPIF1<0，則點P的軌跡是(

)A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段【答案】A【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點P的軌跡是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為焦點的橢圓.故選：A.例2．設(shè)SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左右焦點，過SKIPIF1<0的直線交橢圓于A、B兩點，則SKIPIF1<0的周長為(

)A．12 B．24 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題意可得，對于橢圓SKIPIF1<0有長半軸長SKIPIF1<0，又過SKIPIF1<0的直線交橢圓于A、B兩點，故SKIPIF1<0的周長SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：D例3．已知SKIPIF1<0，動點C滿足SKIPIF1<0，則點C的軌跡是()A．橢圓 B．直線C．線段 D．點【答案】C【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，知點C的軌跡是線段AB．故選：C.例4．設(shè)SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上的動點，則SKIPIF1<0到該橢圓的兩個焦點距離之和為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】橢圓SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是橢圓上的動點，則SKIPIF1<0到該橢圓的兩個焦點距離之和為SKIPIF1<0.故選：D例5．已知點SKIPIF1<0，動點P滿足SKIPIF1<0，則點P的軌跡為(

)A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段【答案】A【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，根據(jù)橢圓的定義可知：P的軌跡為橢圓.故選：A.題型二：求橢圓的標準方程例6．方程SKIPIF1<0，化簡的結(jié)果是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0，可得點SKIPIF1<0到定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之和等于12，即SKIPIF1<0，所以動點SKIPIF1<0的軌跡是焦點在SKIPIF1<0軸上的橢圓，設(shè)其方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故方程為SKIPIF1<0.故選：B.例7．已知橢圓SKIPIF1<0的左?右焦點分別為SKIPIF1<0，過坐標原點的直線交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的標準方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如圖，連接SKIPIF1<0，由橢圓的對稱性得四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.又因為SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為矩形，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，橢圓SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0.故選:C.例8．已知橢圓SKIPIF1<0的左焦點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，求橢圓的標準方程.【解析】橢圓SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為標準方程得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則左焦點SKIPIF1<0，由點到直線的距離公式可得：SKIPIF1<0，所以橢圓的標準方程為SKIPIF1<0.例9．求滿足下列各條件的橢圓的標準方程：(1)長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點SKIPIF1<0；(2)短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到同側(cè)頂點的距離為SKIPIF1<0；(3)經(jīng)過點SKIPIF1<0兩點.【解析】(1)若焦點在x軸上，設(shè)方程為SKIPIF1<0，∵橢圓過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴方程為SKIPIF1<0，若焦點在y軸上，設(shè)方程為SKIPIF1<0∵橢圓過點SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴方程為SKIPIF1<0.綜上所述，橢圓方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；(2)由已知，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若焦點在y軸上，則SKIPIF1<0，若焦點在x軸上，則SKIPIF1<0，∴所求橢圓方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；(3)設(shè)方程為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則所求橢圓方程為SKIPIF1<0例10．根據(jù)下列條件求橢圓的標準方程：(1)焦點坐標為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0；(2)經(jīng)過兩點SKIPIF1<0．【解析】(1)設(shè)橢圓的長半軸為SKIPIF1<0，短半軸為SKIPIF1<0，因為焦點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，所以另一個焦點為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又橢圓過點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以橢圓的標準方程為SKIPIF1<0；(2)設(shè)橢圓方程為SKIPIF1<0，因為橢圓經(jīng)過兩點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓的標準方程為SKIPIF1<0.例11．求滿足下列條件的橢圓的標準方程：(1)焦點坐標分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，經(jīng)過點SKIPIF1<0；(2)焦點在SKIPIF1<0軸上的橢圓上任意一點到兩個焦點的距離的和為SKIPIF1<0.【解析】(1)設(shè)橢圓的標準方程為SKIPIF1<0，依題可得SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入到方程SKIPIF1<0中得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以橢圓的標準方程為SKIPIF1<0.(2)設(shè)橢圓的標準方程為SKIPIF1<0，依題可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以橢圓的標準方程為SKIPIF1<0題型三：橢圓的綜合問題例12．若橢圓SKIPIF1<0的兩個焦點坐標分別是SKIPIF1<0，并且經(jīng)過點SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的垂線與橢圓相交于SKIPIF1<0兩點.(1)求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；(2)求三角形SKIPIF1<0的面積.【解析】(1)由題知焦點坐標分別是SKIPIF1<0，設(shè)橢圓方程為：SKIPIF1<0將SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的垂線，其方程為SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0聯(lián)立解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0例13．已知經(jīng)過橢圓SKIPIF1<0的右焦點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，交橢圓于A、B兩點，SKIPIF1<0是橢圓的左焦點，求SKIPIF1<0的周長和面積．【解析】如下圖所示：由橢圓方程SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，根據(jù)橢圓定義可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0；易知SKIPIF1<0，又直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0聯(lián)立SKIPIF1<0整理可得SKIPIF1<0，由韋達定理可知SKIPIF1<0；由圖可知SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，面積為SKIPIF1<0例14．已知橢圓SKIPIF1<0的焦點分別是SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0分別為橢圓的長軸端點，點B為橢圓的短軸端點，且SKIPIF1<0．(1)求橢圓的方程；(2)求點B與兩點SKIPIF1<0，的連線的斜率的乘積；(3)設(shè)點P在這個橢圓上，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．【解析】(1)因為橢圓的焦點分別是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓的方程為SKIPIF1<0；(2)由SKIPIF1<0分別為橢圓的長軸端點，所以不妨設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由點B為橢圓的短軸端點，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點B與兩點SKIPIF1<0的連線的斜率的乘積為SKIPIF1<0；(3)因為點P在這個橢圓上，所以SKIPIF1<0，由小問(1)知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，聯(lián)立可得SKIPIF1<0.例15．已知橢圓的方程為SKIPIF1<0，若點P在橢圓上，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．【解析】由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，①由橢圓定義得SKIPIF1<0，②由①②聯(lián)立可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.例16．已知點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0是橢圓的焦點，且SKIPIF1<0，求(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0的面積【解析】(1)因為橢圓方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)由(1)得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.例17．已知橢圓SKIPIF1<0的長軸長是短軸長的SKIPIF1<0倍，且橢圓C經(jīng)過點SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)O為坐標原點，過右焦點F的直線l與橢圓C交于A，B兩點．求使SKIPIF1<0面積最大時直線l的方程．【解析】(1)因為長軸長是短軸長的SKIPIF1<0倍，則SKIPIF1<0，所以橢圓C的方程為SKIPIF1<0，把點SKIPIF1<0的坐標代入上式，得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故橢圓C的方程為SKIPIF1<0．(2)易知右焦點F的坐標為SKIPIF1<0，若直線l的斜率為0，則O，A，B三點不能構(gòu)成三角形，所以直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，消去x，得SKIPIF1<0，判別式SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以此時直線l的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．例18．在橢圓SKIPIF1<0內(nèi)有一點SKIPIF1<0，過點A的直線l的斜率為－1，且與橢圓交于B，C兩點，線段BC的中點恰好是A，試求橢圓的方程．【解析】設(shè)過A點的直線l與橢圓交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖所示．所以SKIPIF1<0,

兩式相減得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.∵A為SKIPIF1<0的中點,∴SKIPIF1<0,，即SKIPIF1<0.由題意:SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.∴所求橢圓方程為SKIPIF1<0.例19．已知橢圓的長軸長是SKIPIF1<0，焦點坐標分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求這個橢圓的標準方程及離心率；(2)如果直線SKIPIF1<0與這個橢圓交于兩不同的點，求SKIPIF1<0的取值范圍.【解析】(1)由題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓的方程為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；(2)由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因為直線SKIPIF1<0與這個橢圓交于兩不同的點，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.例20．已知橢圓SKIPIF1<0的焦點在SKIPIF1<0軸上，長軸長為4，離心率SKIPIF1<0.(1)求橢圓的標準方程；(2)直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與橢圓有兩個交點，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【解析】(1)由題意可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故橢圓標準方程為SKIPIF1<0.(2)由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因為直線SKIPIF1<0與橢圓有兩個交點，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.例21．已知點P在橢圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0為橢圓的兩個焦點，求SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】由題可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.題型四：軌跡方程例22．點M與定點SKIPIF1<0的距離和它到定直線SKIPIF1<0的距離的比為SKIPIF1<0，則點M的軌跡方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)SKIPIF1<0，因為點M與定點SKIPIF1<0的距離和它到定直線SKIPIF1<0的距離的比為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故選:C.例23．已知動圓過定點SKIPIF1<0，并且在定圓B：SKIPIF1<0的內(nèi)部與其相切，則動圓圓心的軌跡方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)動圓圓心為SKIPIF1<0，動圓SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為動圓SKIPIF1<0在定圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的內(nèi)部與其相內(nèi)切，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，由橢圓的定義可知：SKIPIF1<0的軌跡為以SKIPIF1<0為焦點，長軸長為8的橢圓，所以SKIPIF1<0，所以動圓圓心SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0.故選：A例24．在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則頂點SKIPIF1<0的軌跡方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】在SKIPIF1<0中，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為焦點的橢圓的左半部分，由SKIPIF1<0，所以頂點SKIPIF1<0的軌跡方程是SKIPIF1<0.故選：A.例25．已知動圓SKIPIF1<0過動點SKIPIF1<0，并且在定圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的內(nèi)部與其相內(nèi)切，則動圓圓心SKIPIF1<0的軌跡方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)SKIPIF1<0，動圓SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為動圓SKIPIF1<0在定圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的內(nèi)部與其相內(nèi)切，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,由橢圓的定義可知：SKIPIF1<0的軌跡為以SKIPIF1<0為焦點，長軸長為8的橢圓，所以SKIPIF1<0，所以動圓圓心SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0.故選：A例26．已知SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則頂點SKIPIF1<0的軌跡方程為(

)A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】D【解析】∵SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴頂點SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為焦點，長軸長為8的橢圓(不含SKIPIF1<0軸上的頂點)，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴頂點SKIPIF1<0的軌跡方程為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：D．例27．當點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上運動時，連接點SKIPIF1<0與定點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0的軌跡方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點軌跡方程為：SKIPIF1<0.故選：D.例28．如圖，在圓SKIPIF1<0上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故點SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0．故選：A例29.在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0(圓心為SKIPIF1<0)，點SKIPIF1<0，點Р在圓A上運動，設(shè)線段PB的垂直平分線和直線PA的交點為Q，則點Q的軌跡方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0內(nèi)，SKIPIF1<0根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0點的軌跡是橢圓，且SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的軌跡方程是SKIPIF1<0.故選：C例30．設(shè)P為橢圓SKIPIF1<0上一動點，SKIPIF1<0分別為左?右焦點，延長SKIPIF1<0至點Q，使得SKIPIF1<0，則動點Q的軌跡方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由橢圓SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0，依題意，SKIPIF1<0，所以動點Q的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓，方程為SKIPIF1<0.故選：C例31．設(shè)SKIPIF1<0為坐標原點，動點SKIPIF1<0在橢圓C：SKIPIF1<0上，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的垂線，垂足為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的軌跡方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由點SKIPIF1<0在橢圓C：SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0的軌跡方程是SKIPIF1<0.故選：C.例32．已知SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，SKIPIF1<0是橢圓E上一動點，G點是三角形SKIPIF1<0的重心，則點G的軌跡方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，G點是三角形SKIPIF1<0的重心則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是橢圓E上一動點，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又G點是三角形SKIPIF1<0的重心，SKIPIF1<0所以點G的軌跡方程為SKIPIF1<0故選：B例33．已知圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，動圓M與圓SKIPIF1<0外切，同時與圓SKIPIF1<0內(nèi)切，則動圓圓心M的軌跡方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如圖，由題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由橢圓定義可知：動圓圓心M的軌跡為以SKIPIF1<0為焦點的橢圓，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故動圓圓心M的軌跡方程為SKIPIF1<0.故選：D例34．已知動點SKIPIF1<0到兩個定點SKIPIF1<0的距離之和為6，則動點SKIPIF1<0軌跡方程為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】根據(jù)橢圓的定義知動點M軌跡為以A，B為焦點的橢圓，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即動點SKIPIF1<0軌跡方程為SKIPIF1<0.故選：D.題型五：橢圓的簡單幾何性質(zhì)例35．橢圓SKIPIF1<0的焦距為______.【答案】SKIPIF1<0【解析】因為橢圓SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以焦距為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0例36．已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若橢圓上頂點為點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為等腰直角三角形，則SKIPIF1<0______.【答案】8【解析】橢圓SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等腰直角三角形，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0例37．橢圓SKIPIF1<0的一個焦點是SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的值為________.【答案】2【解析】SKIPIF1<0變形得到SKIPIF1<0，因為橢圓SKIPIF1<0的一個焦點是SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0軸上，故SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故答案為：2例38．若橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的長軸長為___________.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】因為橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，橢圓焦點在SKIPIF1<0軸上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以橢圓的長軸長為SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，橢圓焦點在SKIPIF1<0軸上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，滿足題意，此時SKIPIF1<0，所以橢圓的長軸長為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.例39．橢圓SKIPIF1<0的內(nèi)接正方形的周長為__________．【答案】SKIPIF1<0/19.2.【解析】根據(jù)橢圓和正方形的對稱性，不妨設(shè)橢圓的內(nèi)接正方形在第一象限的一個頂點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以周長為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0例40．一橢圓的短半軸長是SKIPIF1<0，離心率是SKIPIF1<0，焦點為SKIPIF1<0，弦AB過SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的周長為__________．【答案】12【解析】因為橢圓的短半軸長是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.離心率是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.根據(jù)橢圓的定義SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0.故答案為：12.例41．已知點(m,n)在橢圓8x2＋3y2＝24上，則m的取值范圍是________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因為點(m,n)在橢圓8x2＋3y2＝24上，即在橢圓SKIPIF1<0上，所以點(m,n)滿足橢圓的范圍SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.題型六：求橢圓的離心率例42．橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左焦點為SKIPIF1<0，右焦點為SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的離心率為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因為以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由定義可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故選：B．例43．橢圓SKIPIF1<0的半焦距為c，若直線y=2x與橢圓的一個交點的橫坐標恰為c，則橢圓的離心率為()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0-1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題意，直線y=2x與橢圓的一個交點的橫坐標恰為c，則其縱坐標為2c，將其代入SKIPIF1<0=1，得SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，又橢圓的離心率SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D.例44．直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0的兩個交點在x軸上的射影恰為橢圓的兩個焦點，則橢圓的離心率e等于()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如圖所示，連接SKIPIF1<0，由題意得：SKIPIF1<0，由勾股定理得：SKIPIF1<0，由橢圓定義可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B例45.記橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左頂點為SKIPIF1<0，右焦點為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0且傾斜角為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于另一點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因為橢圓SKIPIF1<0的左頂點為SKIPIF1<0，右焦點為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上方，又SKIPIF1<0，所以將SKIPIF1<0代入橢圓SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，化簡SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0.故選：A.例46．已知點SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的上、下頂點，點SKIPIF1<0為橢圓的右頂點，若SKIPIF1<0為正三角形，則該橢圓的離心率為()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題意知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0為正三角形，則：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選:A例47．已知橢圓SKIPIF1<0的右頂點為SKIPIF1<0，下頂點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標原點，且點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0