第9章　高考研究在線9　兩種視角下探究二項分布概率的最值問題-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

在人教A版選擇性必修第三冊P81“探究與發(fā)現(xiàn)”中，同學(xué)們已研究了二項分布P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，隨k變化時，概率值的變化特點，相應(yīng)結(jié)論如文中探究問題1所示，在2023年教育部教育考試院老高考新課標(biāo)適應(yīng)性測試中，已對該性質(zhì)做了命題；若n，k為常數(shù)，p為變量，概率Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，可視為參數(shù)探究問題1探究函數(shù)f(k)＝Cnkpkqn－k(k＝0，1，2，…，n，p＋q＝1，0＜p＜1)的最值取得情況，其中k令fkfk?1＝n+1?kpk1?p＝1＋n+1p?k得出結(jié)論如下：①當(dāng)(n＋1)p為整數(shù)時，則當(dāng)k＝(n＋1)p時取得概率最大值，又PX=kPX=k?1＝1，故此時可取的k值有2個：k＝(n＋1)p或(n②當(dāng)(n＋1)p不為整數(shù)時，則當(dāng)k取(n＋1)p的整數(shù)部分時，P(X＝k)是唯一的概率最大值．[典例1]為了提高廣大青少年的法律意識，我市開展青少年“學(xué)憲法、講憲法”知識競賽活動，團(tuán)員小明每天自覺登錄“青少年普法”軟件，參加各種學(xué)習(xí)活動，同時熱衷于參與四人賽．每局四人賽是由網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)匹配四人進(jìn)行比賽，每題回答正確得20分，第1個達(dá)到100分的比賽者獲得第1名，贏得該局比賽，該局比賽結(jié)束．每天的四人賽共有20局，前2局是有效局，根據(jù)得分情況獲得相應(yīng)名次，從而得到相應(yīng)的學(xué)習(xí)積分，第1局獲得第1名的得3分，獲得第2，3名的得2分，獲得第4名的得1分；第2局獲得第1名的得2分，獲得第2，3，4名的得1分；后18局是無效局，無論獲得什么名次，均不能獲得學(xué)習(xí)積分．經(jīng)統(tǒng)計，小明每天在第1局四人賽中獲得3分、2分、1分的概率分別為14，1(1)設(shè)小明每天獲得的得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若小明每天賽完20局，設(shè)小明在每局四人賽中獲得第1名從而贏得該局比賽的概率為14[解](1)記事件Ai(i＝1，2，3)表示第一局獲得i分，事件Bi(i＝1，2)表示第二局獲得i分，這些事件相互獨立，由條件知X的可能值為5，4，3，2.P(X＝5)＝P(A3B2)＝P(A3)P(B2)＝14×1P(X＝4)＝P(A3B1)＋P(A2B2)＝14×3P(X＝3)＝P(A2B1)＋P(A1B2)＝12×3P(X＝2)＝P(A1B1)＝14×3則其分布列為X5432P1573所以E(X)＝5×116＋4×516＋3×716＋2×316＝(2)設(shè)小明每天贏得的局?jǐn)?shù)為Y，則易知Y～B20，于是P(Y＝k)＝C20假設(shè)贏得k局的概率最大，則據(jù)條件得C即20！整理得1k·14≥121?k又因為k∈N*，所以k＝5，因此在每天的20局四人賽中，小明贏得5局的比賽概率最大．本題屬于n，p固定，探究以k為自變量的離散函數(shù)(數(shù)列)f(k)＝C20k0.25k(1－0.25)20-k，k＝0，1，…[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．第十四屆全國冬季運動會(以下簡稱冬運)于2024年2月17日至2月27日舉行，為進(jìn)一步增強(qiáng)群眾的法治意識，提高群眾冬運法律知識水平和文明素質(zhì)，讓法治精神攜手冬運走進(jìn)千家萬戶，某市有關(guān)部門在該市市民中開展了“迎接冬運·法治同行”主題法治宣傳教育活動．該活動采取線上、線下相結(jié)合的方式，線上有“知識大闖關(guān)”冬運法律知識普及類趣味答題，線下有“冬運普法”知識講座，實現(xiàn)“冬運＋普法”的全新模式．其中線上“知識大闖關(guān)”答題環(huán)節(jié)共計30個題目，每個題目2分，滿分60分，現(xiàn)在從參與作答“知識大闖關(guān)”題目的市民中隨機(jī)抽取1000名，將他們的作答成績分成6組：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)請估計被抽取的1000名市民作答成績的平均數(shù)和中位數(shù)；(2)視頻率為概率，現(xiàn)從所有參與“知識大闖關(guān)”活動的市民中隨機(jī)抽取20名，調(diào)查其掌握各類冬運法律知識的情況．記k名市民的成績在[40，60]的概率為P(X＝k)，k＝0，1，2，…，20．請估計這20名市民的作答成績在[40，60]的人數(shù)為多少時P(X＝k)最大？并說明理由．[解](1)由頻率分布直方圖可知，抽取的1000名市民作答成績的平均數(shù)x＝5×0.05＋15×0.1＋25×0.2＋35×0.3＋45×0.25＋55×0.1＝34(分)．設(shè)1000名市民作答成績的中位數(shù)為x，則0.05＋0.1＋0.2＋0.03×(x－30)＝0.5，所以x＝35，所以這1000名市民作答成績的平均數(shù)為34分，中位數(shù)為35分．(2)估計這20位市民的作答成績在[40，60]的人數(shù)為7時概率最大．由已知得X～B(20，0.35)，所以P(X＝k)＝C20k0.35k(1－0.35)20-k，k＝0，1，令PX=k≥PX=k?1即C即721?k≥13k，13k+1≥7由k∈N*，所以k＝7，所以這20位市民的作答成績在[40，60]的人數(shù)為7時P(X＝k)最大．探究問題2探究函數(shù)f(p)＝Cnkpkqn－k(k＝0，1，2，…，n，n∈Z，0＜p＜1，p＋q＝1)的最值取得情況，其中p為自變量，n，k由f′(p)＝Cnk[kpk-1(1－p)n－k－pk(n－k)(1－p)n－k-1]＝Cnkpk-1(1－p)n－k-1[k(1－p)－(n－k)p]＝Cnkpk-1(1－p)n－k(1)當(dāng)k＝0時，f′(p)＜0恒成立，f(p)在(0，1)上單調(diào)遞減，f(p)無最值；(2)當(dāng)k＝n時，f′(p)＞0恒成立，f(p)在(0，1)上單調(diào)遞增，f(p)無最值；(3)當(dāng)k＝1，2，…，n－1時，由于當(dāng)p＜kn時，f′(p)＞0，f(p)單調(diào)遞增，當(dāng)p＞kn時，f′(p)＜0，f(p)單調(diào)遞減，故當(dāng)p＝kn時，f(p)取得最大值，f(p)max＝f又當(dāng)p→0，f(p)→0，當(dāng)p→1時，f(p)→0，從而f(p)無最小值．上述兩個問題的解決運用了函數(shù)與方程的思想，問題1中通過解不等式fkfk?1≥1比較f(k)與f(k－1)的大?。畣栴}2中通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性求出最值．出于實際意義，一般更關(guān)注概率的最大值點的取得情況．存在最大值點的前提下，若視k為自變量，最大值點為某個隨機(jī)變量，也可能是兩個．若視p為自變量，f(p)＝Cnkpkqn－k，n[典例2](2018·全國Ⅰ卷)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0＜p＜1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0.(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．①若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求E(X)；②以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？[解](1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)＝C202p2(1－p)1因此f′(p)＝C202[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C202p(1－p令f′(p)＝0，得p＝0.1．當(dāng)p∈(0，0.1)時，f′(p)＞0；當(dāng)p∈(0.1，1)時，f′(p)＜0．所以f(p)的最大值點為p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180，0.1)，E(Y)＝180×0.1＝18，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.②如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元．由于E(X)＞400，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗．命題者以概率p為自變量，視角新穎，求解該題除了判斷分布類型，寫分布列外，在解題過程中主要的難點來自用函數(shù)的思想來解決問題，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最大值點．并且在(2)問中要通過計算期望的數(shù)值做分析和決策．涉及求值、求值域、求參數(shù)的取值范圍等問題時，樹立函數(shù)意識，列出相應(yīng)的函數(shù)解析式，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值和函數(shù)最值的問題來研究．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．甲、乙兩人進(jìn)行下象棋比賽(沒有平局)，采用“五局三勝”制．已知在每局比賽中，甲獲勝的概率為p，0<p<1.(1)設(shè)甲以3∶1獲勝的概率為f(p)，求f(p)的最大值；(2)記(1)中，f(p)取得最大值時p的值為p0，以p0作為p的值，用X表示甲、乙兩人比賽的局?jǐn)?shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)．[解](1)甲以3∶1獲勝，則前三局中甲勝兩局?jǐn)∫痪?，第四局甲必須獲勝，所以f(p)＝C32·p2·(1－p)·p＝3p3－3p4，0<p<1，f′(p)＝9p2－12p3＝3p2(3－4令f′(p)＝