第1章 第2課時　常用邏輯用語-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學一輪復(fù)習（解析版）

第2課時常用邏輯用語[考試要求]1．理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)定理與必要條件、數(shù)學定義與充要條件的關(guān)系.2．理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確地對含有一個量詞的命題進行否定．1．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且qpp是q的必要不充分條件pq且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件pq且qp2．全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號“?”表示．(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號“?”表示．3．全稱量詞命題和存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對M中任意一個x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立簡記?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)否定?x∈M,?p(x)?x∈M,?p(x)提醒：含有一個量詞的命題的否定的規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”，即兩變一不變，量詞與結(jié)論變，條件不變．[常用結(jié)論]設(shè)p，q成立的對象構(gòu)成的集合分別為A，B.(1)p是q的充分不必要條件?AB；(2)p是q的必要不充分條件?AB；(3)p是q的充要條件?A＝B；(4)p是q的既不充分也不必要條件?A與B沒有包含關(guān)系．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)當p是q的充分條件時，q是p的必要條件． ()(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要條件． ()(3)“三角形的內(nèi)角和為180°”是存在量詞命題． ()(4)寫全稱量詞命題的否定時，全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~． ()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第一冊P31練習T1改編)已知命題p：?n∈N*，n2>n－1，則命題p的否定為()A．?n∈N*，n2≤n－1 B．?n∈N*，n2<n－1C．?n∈N*，n2≤n－1 D．?n∈N*，n2<n－1C[由全稱量詞命題的否定為存在量詞命題可得命題p：?n∈N*，n2>n－1的否定?p為“?n∈N*，n2≤n－1”．]2．(人教A版必修第一冊P22習題1.4T2(2)改編)“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有實數(shù)根”是“b2－4ac≥0(a≠0)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]C3．(多選)(人教A版必修第一冊P31習題1.5T1、T2改編)下列命題是全稱量詞命題且為真命題的是()A．?x∈R，x2－x＋1>0B．?x∈R，sinx＝2C．存在一個無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)D．平面內(nèi)，到A，B兩點距離相等的點都在線段AB的垂直平分線上[答案]AD4．(人教B版必修第一冊P38習題1－2BT5改編)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍為________．[答案][3，＋∞)考點一充分、必要條件充分、必要條件的判定[典例1](1)(2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件B[由a2＝b2，即(a＋b)(a－b)＝0，解得a＝－b或a＝b，由a2＋b2＝2ab，即(a－b)2＝0，解得a＝b，故“a2＝b2”不能推出“a2＋b2＝2ab”，充分性不成立，“a2＋b2＝2ab”能推出“a2＝b2”，必要性成立，故“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件．故選B.]充分、必要條件的探求[典例2](2023·天津和平區(qū)二模)若x，y∈R，則“x>y”的一個充分不必要條件可以是()A．|x|>|y| B．x2>y2C．xy>1 D．2x－yD[由|x|>|y|，x2>y2推不出x>y，排除AB；由xy>1可得x?yy>0，解得x>y>0或x<y<0，所以xy>1是x>y的既不充分也不必要條件，排除C；2x－y>2?x>充分、必要條件的應(yīng)用[典例3]請在①充分不必要；②必要不充分；③充要中任選一個，補充在橫線處，并解答．已知集合A＝xx2?x?12≤0，B＝xx2?2x+1?m2≤[解]由不等式x2－x－12＝(x－4)(x＋3)≤0，解得－3≤x≤4，可得A＝x?3由不等式x2－2x＋1－m2＝(x－m－1)(x＋m－1)≤0(m>0)，解得1－m≤x≤1＋m，所以B＝x1?m若選擇條件①，則集合A是B的真子集，得1?m≤?3，m當m＝4時，B＝x?3≤x≤5若選擇條件②，則集合B是A的真子集，得1?m≥?3，m當m＝3時，B＝x?2≤x≤4若選擇條件③，則集合A＝B，得1?m=?3，m+(1)充分條件、必要條件的判定方法：定義法、集合法．(2)充分條件、必要條件的探求要分清題干的條件和結(jié)論，如“p的充分條件是q”等價于“q?p是真命題”．(3)應(yīng)用集合之間的關(guān)系解答充分條件、必要條件求參數(shù)問題時需注意區(qū)間端點值的檢驗．[跟進訓練]1．(1)“l(fā)n(x＋1)<0”的一個必要不充分條件是()A．－1<x<－1e B．xC．－1<x<0 D．x<0(2)(2023·山東濰坊二模)若“x＝α”是“sinx＋cosx>1”的一個充分條件，則α的一個可能值是________．(1)D(2)π4(只需滿足α∈2kπ，2kπ+π2(k∈Z)即可)[(1)ln(x＋1)<0等價于0<x＋1<1，即－1<x<0．因為－1<x<0可以推出x<0，而x<0不能推出－1<x<0，所以“x<0”是“－1<x<0”的必要不充分條件，所以“l(fā)n(x＋1)<0”(2)由sinx＋cosx>1可得2sinx+則sinx+π4所以2kπ＋π4<x＋π4<2kπ＋3π4(k解得2kπ<x<2kπ＋π2(k∈Z因為“x＝α”是“sinx＋cosx>1”的一個充分條件，故α的一個可能取值為π4.考點二全稱量詞與存在量詞含量詞命題的否定[典例4](1)命題p的否定為“?x<0，使得x＋2>2x”，則命題p為()A．?x<0，x＋2>2x B．?x≥0，使得x＋2>2xC．?x<0，x＋2≤2x D．?x≥0，使得x＋2≤2x(2)命題：“奇數(shù)的立方是奇數(shù)”的否定是________．(1)C(2)存在一個奇數(shù)，它的立方不是奇數(shù)[(1)因為命題p的否定為“?x<0，使得x＋2>2x”，所以命題p為“?x<0，x＋2≤2x”．故選C.(2)命題的否定為存在一個奇數(shù)，它的立方不是奇數(shù)．]含量詞命題的真假判斷[典例5](多選)下列四個命題中為真命題的是()A．?x∈R，2x-1＞0 B．?x∈N*，(x－1)2＞0C．?x∈R，lgx＜1 D．?x∈R，tanx＝2ACD[當x＝1時，(x－1)2＝0，故B為假命題，其余都是真命題，故選ACD.]含量詞命題的應(yīng)用[典例6]若命題p：“?x∈R，x2－mx－m≤0”為假命題，則實數(shù)m的取值范圍是________．(－4，0)[法一：若p為真命題，即?x∈R，x2－mx－m≤0，∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≥0或m≤－4，∴當p為假命題時，－4<m<0.法二：∵p為假命題，∴?p：?x∈R，x2－mx－m>0為真命題，即Δ＝m2＋4m<0，∴－4<m<0．]含量詞命題的解題策略(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個成立即可．當一個命題的真假不易判斷時，可以先判斷其否定的真假．(2)由命題真假求參數(shù)的取值范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的取值范圍；二是利用等價轉(zhuǎn)化，根據(jù)命題與命題的否定之間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍．(3)全稱量詞命題對應(yīng)恒成立，存在量詞命題對應(yīng)成立．[跟進訓練]2．(1)命題p：?a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有實根，則對命題p的真假判斷和?p正確的為()A．真命題，?p：?a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0無實根B．假命題，?p：?a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0無實根C．真命題，?p：?a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有實根D．假命題，?p：?a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有實根(2)(2024·陜西咸陽模擬)若命題“?x∈1，4，使λx2＋x－2>0成立”的否定是真命題，則實數(shù)λ(1)A(2)?∞，?18[(1)在一元二次方程x2－ax－1＝0中，Δ＝a2＋4>0恒成立，故對任意a，方程都有實根，故命題p為真命題，?p：?a∈R，一元二次方程x(2)若“?x∈1，4，使λx2＋x－2>0成立”的否定“?x∈1，4，使λx2＋x－2≤0”令f(x)＝2?xx2＝21x?142－18，由x∈1，4，得1x∈14，1，所以課時分層作業(yè)(二)常用邏輯用語一、單項選擇題1．(2024·河南周口期中)命題“?x>0，x2－1x<0”A．?x>0，x2－1x≥0 B．?x≤0，x2－1xC．?x>0，x2－1x≥0 D．?x≤0，x2－1xC[命題“?x>0，x2－1x<0”的否定為“?x>0，x2－1x≥02．(2024·廣東深圳模擬)若a>0，則“a2<b2”是“a<－b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件B[若a＝1，b＝2，滿足a2<b2，不能得到a<－b，充分性不成立，因為a>0，若0<a<－b，兩邊平方得a2<b2，必要性成立．則“a2<b2”是“a<－b”的必要不充分條件．故選B.]3．(2023·廣東東莞三模)已知全集U和它的兩個非空子集A，B的關(guān)系如圖所示，則下列命題正確的是()A．?x?A，x∈B B．?x?A，x?BC．?x∈B，x?A D．?x?B，x∈AB[由圖可知B?A，且A，B非空，則根據(jù)子集的定義可得：對于A，?x?A，x∈B錯誤；對于B，?x?A，x?B正確；對于C，?x∈B，x?A錯誤；對于D，?x?B，x∈A錯誤．]4．“復(fù)數(shù)z＝ai＋b(a，b∈R)是純虛數(shù)”的充分不必要條件是()A．a(chǎn)≠0且b＝0 B．b＝0C．a(chǎn)＝1且b＝0 D．a(chǎn)＝b＝0C[因為“復(fù)數(shù)z＝ai＋b(a，b∈R)是純虛數(shù)”的充要條件是“a≠0且b＝0”，“a＝1且b＝0”是“a≠0且b＝0”的充分不必要條件，所以“a＝1且b＝0”是“復(fù)數(shù)z＝ai＋b(a，b∈R)為純虛數(shù)”的充分不必要條件．故選C.]5．下列命題既是存在量詞命題又是真命題的是()A．銳角三角形有一個內(nèi)角是鈍角B．至少有一個實數(shù)x，使x2≤0C．兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)D．存在一個負數(shù)x，使1xB[A中，銳角三角形的內(nèi)角都是銳角，所以A是假命題；B中，當x＝0時，x2＝0，滿足x2≤0，所以B既是存在量詞命題又是真命題；C中，因為2＋(－2)＝0不是無理數(shù)，所以C是假命題；D中，對于任意一個負數(shù)x，都有1x<0，不滿足16．(2024·湖南長沙模擬)命題p：“?x∈R，ax2＋2ax－4≥0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－4，0] B．[－4，0)C．(－4，0) D．[－4，0]A[命題p：?x∈R，ax2＋2ax－4≥0為假命題，即命題瘙綈p：?x∈R，ax2＋2ax－4<0為真命題．當a＝0時，－4<0恒成立，符合題意；當a≠0時，則a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4<a<0，綜上可知，－4<a≤0.故選A.]7．已知條件p：x2－3x＋2≤0，條件q：x2－4x＋4－m2≤0．若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，0] B．[1，＋∞)C．{0} D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D[由x2－3x＋2≤0，得1≤x≤2，由x2－4x＋4－m2≤0，得2－|m|≤x≤2＋|m|，若p是q的充分不必要條件，則2?m≤1，2+m>2或2?m<1，28．(2024·廣東深圳開學考試)“a≥5”是“圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：(x＋a)2＋(y－2a)2＝36存在公切線”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[當兩圓無公切線時，兩圓內(nèi)含，圓C1的圓心為(0，0)，半徑r1＝1，圓C2的圓心為(－a，2a)，半徑為r2＝6，所以兩圓的圓心距為d＝|C1C2|＝a2+4即5a2＜|6－1|，解得－5＜a＜所以當兩圓有公切線時a≥5或a≤－5，所以a≥5能推出圓C1和C2有公切線，而圓C1和C2有公切線不能推出a≥5，所以“a≥5”是“圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：(x＋a)2＋(y－2a)2＝36存在公切線”的充分不必要條件．故選A.]二、多項選擇題9．命題“?x∈R，2kx2＋kx－38<0”A．k∈(－3，0) B．k∈(－3，0]C．k∈(－3，－1) D．k∈(－3，＋∞)AC[因為?x∈R，2kx2＋kx－38所以k＝0或k<0，k2+所以k∈(－3，0)是命題“?x∈R，2kx2＋kx－38<0”所以k∈(－3，0]是命題“?x∈R，2kx2＋kx－38<0”所以k∈(－3，－1)是命題“?x∈R，2kx2＋kx－38<0”所以k∈(－3，＋∞)是命題“?x∈R，2kx2＋kx－38<0”10．(2024·廣東東莞模擬)下列哪些選項是m≤2的充分不必要條件()A．y＝x2－mx＋1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增B．?x∈R，x2－mx＋1>0恒成立C．?x∈[2，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立D．y＝x2－mx＋1只有一個零點BD[對于A，y＝x2－mx＋1的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝m2，因為y＝x2－mx＋1在[1，＋∞所以m2≤1，即m≤2，所以y＝x2－mx＋1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增是m≤對于B，?x∈R，x2－mx＋1>0，即m2－4<0，即－2<m<2，所以?x∈R，x2－mx＋1>0恒成立是m≤2的充分不必要條件，故B正確；對于C，?x∈2，+∞，x2－mx＋1>0，即m<x＋1x在2，+∞上恒成立，所以m<x+1xmin，令g(x)＝x＋1x，則g′(x)＝1－1x2，當x∈2，+∞時，g′(x)>0，所以g(x)在2所以?x∈2，+∞，x2－mx＋1>0恒成立是對于D，y＝x2－mx＋1只有一個零點，即m2－4＝0，即m＝2或m＝－2，所以y＝x2－mx＋1只有一個零點是m≤2的充分不必要條件，故D正確．故選BD.]三、填空題11．設(shè)p，r都是q的充分條件，s是q的充要條件，t是s的必要條件，t是r的充分條件，那么p是t的________條件，r是t的________條件．(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)充分不必要充要[由題意知p?q，q?s，s?t，又t?r，r?q，故p是t的充分不必要條件，r是t的充要條件．]12．若命題“?a＜0，a＋1a＞b”是假命題，則實數(shù)b[－2，＋∞)[因為命題“?a＜0，a＋1a＞b”所以命題“?a＜0，a＋1a≤b”又當a＜0時，a＋1a＝－?a+1?a當且僅當－a＝1?a，即a所以a+所以b≥－2，所以實數(shù)b的取值范圍為[－2，∞)．]13．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則“a>b”是“A＋cosA>B＋cosB”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件C[在△ABC中，若a>b，則根據(jù)大邊對大角可得A>B.設(shè)f(x)＝x＋cosx，x∈(0，π)，則f′(x)＝1－sinx，x∈(0，π)時，sinx∈(0，1]，∴