人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)51課時(shí)練習(xí)含答案

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(五十一)1．“k＜9”是“方程x225-k＋y2A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A解析：若方程x225-k＋則(25－k)(k－9)＜0，所以k＜9或k＞25，所以“k＜9”是“方程x225-k＋y22．雙曲線(xiàn)x22－y24＝λA．62 B．C．3或62 D．B解析：因?yàn)棣耍?，所以x22λ－y24λ＝1，所以雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，所以a2＝2λ，b2＝4λ，c2＝a2＋b2＝6λ，所以離心率為e＝ca＝c3．已知雙曲線(xiàn)C：x2a2－y216＝1(a＞0)的一條漸近線(xiàn)方程為4x＋3y＝0，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線(xiàn)C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C上，且|PFA．1 B．13C．17 D．1或13B解析：由題意知雙曲線(xiàn)x2a2－y216＝1(a＞0)的一條漸近線(xiàn)方程為4x＋3y＝0，可得4a＝43，解得a＝3，所以c＝a2+b2＝5.又F1，F(xiàn)2分別是雙曲線(xiàn)C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，所以||PF1|－|PF2||＝2a＝6.又|PF1|＝7，解得|PF2|＝13或1.當(dāng)|PF2|＝1時(shí)，|4．(2024·朝陽(yáng)模擬)過(guò)雙曲線(xiàn)x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)F作一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為A.若∠AFOA．52 B．C．2 D．23B解析：在Rt△AFO中，因?yàn)椤螦FO＝2∠AOF，所以∠AOF＝30°，則tan30°＝ba＝33，所以e＝ca＝1+ba5．(多選題)(2024·聊城模擬)已知雙曲線(xiàn)C：x29-k＋y2A．雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)在x軸上B．雙曲線(xiàn)C的焦距等于42C．雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離等于1-kD．雙曲線(xiàn)C的離心率的取值范圍為1ACD解析：對(duì)于A，因?yàn)?＜k＜1，所以9－k＞0，k－1＜0，所以雙曲線(xiàn)C：x29-k－y21-k＝1(0＜k對(duì)于B，由A知a2＝9－k，b2＝1－k，所以c2＝a2＋b2＝10－2k，所以c＝10-2k，所以雙曲線(xiàn)C的焦距等于2c＝210-2k(0＜k＜1)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)的方程為x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±c，0)，則漸近線(xiàn)方程為y＝±bax，即bx±ay＝0，所以焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離d＝bca2+b2＝b，所以雙曲線(xiàn)對(duì)于D，雙曲線(xiàn)C的離心率e＝1+b2a2＝1+1-k9-k＝2-89-k，因?yàn)?＜k＜1，所以1＜2－6．(2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷)已知雙曲線(xiàn)C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的離心率y＝±3x解析：因?yàn)殡p曲線(xiàn)x2a2－y2b2＝1(所以e＝c2a2＝a所以b2所以該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y＝±bax＝±3x7．(2023·新高考全國(guó)Ⅰ卷)已知雙曲線(xiàn)C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，F(xiàn)1A⊥F1B，F(xiàn)2A＝－23F355解析：(方法一)如圖，設(shè)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，B(0，n)，A(x，y)，則F2A＝(x－c，y)，F(xiàn)2B＝(－c，又F2A＝－23F2B，則可得A53又F1A⊥F1B，且F1A＝83c，-23n，F(xiàn)1B＝(c，n)，則F1A·F1B＝83c2－23又點(diǎn)A在C上，則259c2a2－4將n2＝4c2代入，可得25c2a2－16c2解得e2＝95或e2＝15(舍去)，故e＝(方法二)由F2A＝－23F2B，得F2A設(shè)|F2A|＝2t，|F2B|＝3t，由對(duì)稱(chēng)性可得|F1B|＝3t，則|AF1|＝2t＋2a，|AB|＝5t.設(shè)∠F1AF2＝θ，則sinθ＝3t5t＝35，所以cosθ＝45＝2t+2a5t，解得所以|AF1|＝2t＋2a＝4a，|AF2|＝2a.在△AF1F2中，由余弦定理可得cosθ＝16a2+4a2-4c216a2＝48．已知雙曲線(xiàn)C：x2－y2b2＝1((1)若雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)方程為y＝2x，求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)雙曲線(xiàn)C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C上，若PF1⊥PF2，且△PF1F2的面積為9，求b的值．解：(1)因?yàn)殡p曲線(xiàn)C：x2－y2b2＝1(b＞0)的漸近線(xiàn)方程為y＝±bx，而它的一條漸近線(xiàn)方程為y所以b＝2，所以雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－y2(2)因?yàn)镻F1⊥PF2，所以S△PF1F2＝12|PF1因?yàn)椤鱌F1F2的面積為9，所以|PF1|·|PF2|＝18.又因?yàn)閨|PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4，所以|PF1|2＋|PF2|2＝40.又因?yàn)閨PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10.由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10，所以b＝3.9．已知雙曲線(xiàn)C1：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，圓C2：x2＋y2－2ax＋34a2＝0，若雙曲線(xiàn)C1A．1，23C．(1，2) D．(2，＋∞)A解析：由雙曲線(xiàn)C1的方程可得其漸近線(xiàn)方程為y＝±bax，即bx±ay圓C2：x2＋y2－2ax＋34a2＝0可化為(x－a)2＋y2＝14a故圓心C2的坐標(biāo)為(a，0)，半徑r＝12a由雙曲線(xiàn)C1的一條漸近線(xiàn)與圓C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，得aba2+b2＜12a，即c＞2b又b2＝c2－a2，所以c2＞4(c2－a2)，即c2＜43a2所以e＝ca又e＞1，所以雙曲線(xiàn)C1的離心率的取值范圍為1，10．(多選題)(新背景)2022年卡塔爾世界杯的會(huì)徽(如圖)正視圖近似伯努利雙紐線(xiàn)．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)F1(－a，0)，F(xiàn)2(a，0)的距離之積等于a2(a＞0)的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為雙紐線(xiàn)C.已知P(x0，y0)是雙紐線(xiàn)C上的一點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是()A．雙紐線(xiàn)C關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)B．－a2≤y0≤C．雙紐線(xiàn)C上滿(mǎn)足|PF1|＝|PF2|的點(diǎn)P有兩個(gè)D．|OP|的最大值為2aABD解析：對(duì)于A，因?yàn)槎x：在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)F1(－a，0)，F(xiàn)2(a，0)的距離之積等于a2(a＞0)的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為雙紐線(xiàn)C，設(shè)M(x，y)是雙紐線(xiàn)C上任意一點(diǎn)，所以x+a2+y2用M′(－x，－y)替換方程中的M(x，y)，原方程不變，所以雙紐線(xiàn)C關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)，所以A正確；對(duì)于B，根據(jù)三角形的等面積法可知12×|PF1|×|PF2|sin∠F1PF2＝12×2a×|y即|y0|＝a2sin∠F1PF2≤a2，所以－a2≤y0對(duì)于C，若雙紐線(xiàn)C上的點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF1|＝|PF2|，則點(diǎn)P在y軸上，即x0＝0，所以a2+y02×a2+對(duì)于D，因?yàn)镻O＝12(PF1＋PF2所以|PO|2＝14(|PF1|2＋2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＋|PF2|2由余弦定理得4a2＝|PF1|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＋|PF2|2，所以|PO|2＝a2＋|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝a2＋a2cos∠F1PF2≤2a2，所以|PO|的最大值為2a，所以D正確．11．(2024·內(nèi)江模擬)已知雙曲線(xiàn)x2－y2a2A．213，+∞C．(1，2) D．以上選項(xiàng)均不正確D解析：設(shè)切線(xiàn)方程為y－2＝k(x－2)，由y-2=k得(a2－k2)x2＋4k(k－1)x－4(k－1)2－a2＝0，顯然當(dāng)a2－k2＝0時(shí)，所得直線(xiàn)不是雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)，所以k≠±a.由Δ＝0，得16k2(k－1)2＋4(a2－k2)[4(k－1)2＋a2]＝0，整理得3k2－8k＋4＋a2＝0.由題意可知此方程有兩個(gè)不等實(shí)根，所以Δ1＝64－12(4＋a2)＞0，a2＜43則c2＝1＋a2＜73(c為雙曲線(xiàn)的半焦距)，e＝c1＝c＜213，即1＜e將k＝±a代入方程3k2－8k＋4＋a2＝0，得a＝±1，此時(shí)e＝2.綜上，e的取值范圍是(1，2)∪2，12．已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)x28-m＋y2(0，2)解析：對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，它的焦點(diǎn)(c，0)到漸近線(xiàn)bx－ay＝0的距離為bcb2+a2＝b.雙曲線(xiàn)x28-m＋y24-m＝1，即x213．已知雙曲線(xiàn)C：x2a2－y2b2＝1(a＞(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；(2)若直線(xiàn)l：y＝kx＋2與雙曲線(xiàn)C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值．解：(1)由題意可知雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)為(－2，0)和(2，0)，根據(jù)定義有2a＝|-3+22解得a＝1.又c2＝a2＋b2，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3，故所求雙曲線(xiàn)C的方程為x2－y2(2)因?yàn)殡p曲線(xiàn)C的方程為x2－y2所以漸近線(xiàn)方程為y＝±3x.由y=kx+2消去y，整理得(3－k2)x2－4kx－7＝0.①當(dāng)3－k2＝0即k＝±3時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)平行，直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C相交于一點(diǎn)，符合題意；②當(dāng)3－k2≠0即k≠±3時(shí)，由Δ＝(－4k)2＋4×7×(3－k2)＝0，解得k＝±7，此時(shí)直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C相切于一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意．綜上所述，符合題意的k的所有取值為±3，±7.14．如圖，已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，焦距是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(4，－10)．(1)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線(xiàn)上，求證：點(diǎn)M在以F1F2為直徑的圓上；(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)M在第一象限，且直線(xiàn)MF2交雙曲線(xiàn)于另一點(diǎn)N，求△F1MN的面積．(1)解：設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2－y2b2＝1(雙曲線(xiàn)的焦距為2c，實(shí)軸長(zhǎng)為2a，則2c＝22a，即c＝2a，所以b2＝c2－a2＝a2，所以雙曲線(xiàn)的方程為x2－y2＝a2，將(4，－10)代入，得a2＝16－10＝6，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x26－(2)證明：由(1)知，F(xiàn)1(－23，0)，F(xiàn)2(23，0)，因?yàn)辄c(diǎn)M(3，m)在雙曲線(xiàn)上，所以9－m2＝6，即m2＝3.又以F1F2為直徑的圓為x2＋y2＝12，將M(3，m)代入得9＋3＝12，