高中數(shù)學選擇性必修3課件第六章 計數(shù)原理數(shù)學探究 楊輝三角的性質(zhì)與應用(人教A版)

數(shù)學探究楊輝三角的性質(zhì)與應用相關(guān)知識閱讀楊輝三角的歷史沿革北宋人賈憲約1050年首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算．楊輝，字謙光，南宋時期杭州人．在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，記錄了如上所示的三角形數(shù)表，稱之為“開方作法本源”圖，并說明此表引自11世紀中葉(約公元1050年)賈憲的《釋鎖算術(shù)》，并繪畫了“古法七乘方圖”．故此，楊輝三角又被稱為“賈憲三角”．元朝數(shù)學家朱世杰在《四元玉鑒》(1303年)擴充了“賈憲三角”成“古法七乘方圖”．意大利人稱之為“塔塔利亞三角形”(TriangolodiTartaglia)以紀念在16世紀發(fā)現(xiàn)一元三次方程解的塔塔利亞．在歐洲直到1623年以后，法國數(shù)學家帕斯卡在31歲時發(fā)現(xiàn)了“帕斯卡三角”．布萊士·帕斯卡的著作Traitédutrianglearithmétique(1655年)介紹了這個三角形．帕斯卡搜集了幾個關(guān)于它的結(jié)果，并以此解決一些概率論上的問題，影響面廣泛，PierreRaymonddeMontmort(1708年)和亞伯拉罕·棣·美弗(1730年)都用帕斯卡來稱呼這個三角形．21世紀以來國外也逐漸承認這項成果屬于中國，所以有些書上稱這是“中國三角形”(Chinesetriangle)歷史上曾經(jīng)獨立繪制過這種圖表的數(shù)學家有：賈憲中國北宋11世紀《釋鎖算術(shù)》楊輝中國南宋1261《詳解九章算法》記載之功朱世杰中國元代1299《四元玉鑒》級數(shù)求和公式阿爾·卡西阿拉伯1427《算術(shù)的鑰匙》阿皮亞納斯德國1527米歇爾．斯蒂費爾德國1544《綜合算術(shù)》二項式展開式系數(shù)薛貝爾法國1545B·帕斯卡法國1654《論算術(shù)三角形》其實，中國古代數(shù)學家在數(shù)學的許多重要領域中處于遙遙領先的地位．中國古代數(shù)學史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁.數(shù)學之美：楊輝三角(帕斯卡三角)的奇特性質(zhì)楊輝三角(也稱帕斯卡三角)相信很多人都不陌生，它是一個無限對稱的數(shù)字金字塔，從頂部的單個1開始，下面一行中的每個數(shù)字都是上面兩個數(shù)字的和．楊輝三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)．在歐洲，帕斯卡(1623—1662)在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，所以這個表又叫做帕斯卡三角形．帕斯卡的發(fā)現(xiàn)比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年．

就是這個看上去平平無奇的數(shù)字三角形，卻有一些非常奇妙甚至是神秘的特性，本文將一一為您揭曉．1．最外層的數(shù)字始終是12．第二層是自然數(shù)列3．第三層是三角數(shù)列什么是三角數(shù)列，看一下圖就明白了，這個數(shù)列中的數(shù)字始終可以組成一個完美的等邊三角形．3．第三層是三角數(shù)列什么是三角數(shù)列，看一下圖就明白了，這個數(shù)列中的數(shù)字始終可以組成一個完美的等邊三角形．4．三角數(shù)列相鄰數(shù)字相加可得方數(shù)數(shù)列什么又是方數(shù)數(shù)列呢？雷同與三角數(shù)列，就是它的數(shù)字始終可以組成一個完美的正方形．5．每一層的數(shù)字之和是一個2倍增長的數(shù)列6.斐波那契數(shù)列沒錯，如果按照一定角度將直線上的數(shù)字相加，我們也可以從楊輝三角中找到斐波那契數(shù)列．斐波那契數(shù)列是指從0，1兩個數(shù)開始，每一位數(shù)始終是前兩位的和．這個數(shù)列有個神秘的特性，即越往后，相鄰兩數(shù)的比值越來越逼近黃金分割數(shù)0.618(或1.618，兩數(shù)互為倒數(shù))．斐波那契數(shù)列和黃金分割數(shù)不但在大自然中處處可見，在人類的藝術(shù)設計中也是應用非常廣泛．斐波那契數(shù)列是指從0，1兩個數(shù)開始，每一位數(shù)始終是前兩位的和．這個數(shù)列有個神秘的特性，即越往后，相鄰兩數(shù)的比值越來越逼近黃金分割數(shù)0.618(或1.618，兩數(shù)互為倒數(shù))．斐波那契數(shù)列和黃金分割數(shù)不但在大自然中處處可見，在人類的藝術(shù)設計中也是應用非常廣泛．7．素數(shù)素數(shù)是指只能被1和它本身整除的數(shù)字．然而在楊輝三角里，除了第二層自然數(shù)列包含了素數(shù)以外，其他部分的數(shù)字都完美避開了素數(shù)．8．可以被特定數(shù)整除的數(shù)字形成了奇妙的分形結(jié)構(gòu)如果我們把楊輝三角再放大，就會發(fā)現(xiàn)這些可以被特定數(shù)字整數(shù)的數(shù)的分布非常有規(guī)律，它們會形成類似分形的圖案．備用工具&資料斐波那契數(shù)列是指從0，1兩個數(shù)開始，每一位數(shù)始終是前兩位的和．這個數(shù)列有個神秘的特性，即越往后，相鄰兩數(shù)