數(shù)學課改的十個論題市公開課一等獎百校聯(lián)賽特等獎?wù)n件

數(shù)學課改十個論題章建躍zhangjy1頁一、“新理念”是全新嗎?關(guān)鍵：以學生全方面、友好與可連續(xù)發(fā)展為本——教育中“科學發(fā)展觀”教學目標——全方面關(guān)注學生認知、能力和理性精神，以學生最近發(fā)展區(qū)為定向，促進學生全方面、友好、可連續(xù)發(fā)展——數(shù)學育人。第2頁怎樣落實？——高立意,低起點許多教師“匠氣”太濃，課堂上題型、技巧太多，彌漫著“功利”，缺乏思想、精神追求。數(shù)學“育人”功效怎樣表達？——挖掘數(shù)學知識蘊含價值觀資源，在教學中將知識教學與價值觀影響融為一體。關(guān)鍵：提升思想性?！凹夹g(shù)”：加強“先行組織者”使用。第3頁例1不等式基本性質(zhì)“立意”比較以往做法：數(shù)軸上點次序定義數(shù)大小關(guān)系，再到“基本事實”（考查兩個實數(shù)大小，只要考查它們差），再由“利用比較實數(shù)大小方法，能夠推出以下不等式性質(zhì)”。第4頁人教A版教學設(shè)計數(shù)軸上點次序定義數(shù)大小關(guān)系，再到“基本事實”（考查兩個實數(shù)大小統(tǒng)一化歸為比較它們差與0大小）；從“數(shù)及其運算”高度出發(fā)，引導學生類比等式基本性質(zhì)，在“運算中不變性、規(guī)律性就是性質(zhì)”思想指導下，猜測不等式基本性質(zhì)；第5頁回到從“基本事實”到“基本性質(zhì)”推理過程，得出性質(zhì)，給出證實；引導學生用不一樣語言表述“基本性質(zhì)”（學習心理考慮）；從實例中概括基本不等式作用——明確概括出思想方法。關(guān)鍵：將等式與不等式納入到數(shù)及其運算系統(tǒng)中，成為用運算律推導出“性質(zhì)”第6頁為何這么設(shè)計既要講邏輯，更要講思想——加緊學生領(lǐng)悟思想進程（在沒有引領(lǐng)情況下極難“悟”出思想）；要正確了解“給學生留出思維空間”——以往教學在技能方面空間太小，思想方面空間太大。第7頁教學要求——個性差異與統(tǒng)一要求辯證統(tǒng)一，但以個性差異為出發(fā)點和基礎(chǔ)教學設(shè)計——不但從內(nèi)容教學需要預(yù)設(shè)提問、講授、訓練等，而且尤其強調(diào)課堂“生成”，預(yù)設(shè)能引發(fā)學生獨立思索、自主探究“開放性問題”，乃至強調(diào)“看過問題三百個，不會解題也會問”教學方法——講授、問答、訓練綜合，不再是單一講授或活動，是教師主導取向講授式和學生自主取向活動式融合，強調(diào)“啟發(fā)式講授”主要性第8頁學習方式——接收與探究融合，強調(diào)學生學習主動性、主動性，獨立思索和合作學習結(jié)合教學過程——知識發(fā)生發(fā)展過程（自然、水到渠成）為載體學生認知過程，以學生為主體數(shù)學活動過程，強調(diào)學生數(shù)學思維展開、深度參加（教學有效性）教學評價——教師依據(jù)教學進程進行教學反饋、調(diào)整，學生經(jīng)過自我監(jiān)控調(diào)整學習進程，重視形成性評價——發(fā)展眼光教學媒體——追求“必要性”“平衡性”“廣泛性”“實踐性”“有效性”，服務(wù)于數(shù)學概念、原理實質(zhì)了解第9頁教育領(lǐng)域中，“全新理念”是不能用來指導教改實踐，因為人才成長沒有重復機會，教育要絕對防止“折騰”?！靶吕砟睢毙略趯W生全方面關(guān)注上。第10頁二、為何“內(nèi)容多課時少”但又能騰出最少一年時間高考復習內(nèi)容綱領(lǐng)課標課標－綱領(lǐng)集合64－2簡易邏輯880函數(shù)概念682指數(shù)函數(shù)76－1對數(shù)函數(shù)76－1解三角形880第11頁冪函數(shù)11函數(shù)應(yīng)用484數(shù)列1510－5三角函數(shù)2215－7三角恒等變換108－2平面向量1512－3不等式148－6直線和圓方程13185第12頁線性規(guī)劃75－2曲線和方程32－1圓錐曲線1614－2立體幾何3630－6計數(shù)原理1514－1概率42420統(tǒng)計92213數(shù)學歸納法62－4第13頁極限7－7導數(shù)16248（定積分）復數(shù)74－3算法1212推理與證實66綱領(lǐng)總課時數(shù)必修280，選修Ⅱ104，共計384（含復習時間）課標總課時數(shù)必修180，必選108，系列三36，系列四36，復習24課時，共計384第14頁立體幾何、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、極限等傳統(tǒng)內(nèi)容課時量降低；增加了新內(nèi)容，算法12課時，推理與證實6課時；概率統(tǒng)計大量增加，概率增加5倍，統(tǒng)計2.5倍，課時增加33。總課時量保持不變。第15頁騰出時間“智慧”在那里？增加課時（每七天增1課時，兩年最少能夠增72課時）；壓縮概念、原理教課時間。有些人說，這都是“高考要求與課標要求脫節(jié)”惹禍。真是這么嗎？“夾生飯”再回鍋就做不成可口香米飯了。欲速則不達?！懊Α?“心亡”。第16頁三、怎樣才算“教完了”？讓學生經(jīng)歷概念發(fā)生發(fā)展過程——“這么能教完嗎？”給學生吃“壓縮餅干”：基礎(chǔ)知識——“一個定義，三項注意”；解題教學——“題型教學”，解題技巧大雜燴，“一步到位”。第17頁問題在那里？不“準”——或者是沒有圍繞概念關(guān)鍵，或者教錯了；不“簡”——在細枝末節(jié)上下功夫，把簡單問題復雜化了；不“精”——讓學生在知識外圍重復訓練，花費學生大量時間、精力卻達不到對知識深入了解。第18頁例2函數(shù)概念“注意事項”集合A，B都是數(shù)集；任意性；唯一性；能夠一對一、多對一，但不能一對多；y﹦f(x)是一個整體，不是f與x乘積；值域C={f(x)|x∈A}是集合B子集；函數(shù)三要素三者缺一不可，值域可由定義域和對應(yīng)法則唯一確定。第19頁在不適當時候、用不適當方法強調(diào)細節(jié)，把學生“教糊涂了”?！敖掏炅恕睉?yīng)該以學生是否了解為準，以學生是否達成教學目標為準，尤其是學生到達數(shù)學雙基了解和熟練水平為標準（注意，雙基包含由內(nèi)容反應(yīng)數(shù)學思想方法），而不是教師在課堂上有沒有把內(nèi)容“講完”。廣種薄收是懶漢做法。第20頁四、怎樣才是抓“基礎(chǔ)”我國“雙基”優(yōu)勢正在喪失；現(xiàn)象：（1）數(shù)學教學=題型教學=刺激—反應(yīng)（記憶、模范型學習）；（2）缺乏概念概括過程，以訓練代替概念教學——應(yīng)用能夠促進了解，但沒有了解應(yīng)用是盲目標；（3）過分關(guān)注“題型”——與“題型”對應(yīng)技巧是雕蟲小技，無法窮盡，結(jié)果是“講過練過不一定會，沒講沒練一定不會”；等。第21頁怎樣改變？要強調(diào)知識及其蘊含思想方法教學主要性——無知者無能；不停回到概念去，從基本概念出發(fā)思索問題、處理問題；加強概念聯(lián)絡(luò)性，從概念聯(lián)絡(luò)中尋找處理問題新思緒。應(yīng)追求處理問題“根本大法”——基本概念所蘊含思想方法，強調(diào)思想指導下操作。第22頁例3向量加法運算及其幾何意義教學設(shè)計先行組織者：類比數(shù)及其運算，引進一個量就要研究運算，引進一個運算就要研究運算律。回顧力合成、速度合成等物理原理。學生看書，匯報對定義和三角形法則、平行四邊形法則了解，其中尤其要注意對“關(guān)鍵詞”了解，要求用自己語言描述。第23頁已知向量a，b不共線，作出a+b，并說明作法。假如向量a，b共線，怎樣作a+b？與實數(shù)加法運算有什么關(guān)系？第24頁五、探究式教學天時地利人和天時：建設(shè)創(chuàng)新型社會，教育“以培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力為重點”；地利：教學內(nèi)容是否適合于“探究”——有內(nèi)容不宜，如公理、定義名稱、要求等；但更多內(nèi)容可采取探究式教學；第25頁例4直線與平面垂直定義先讓學生“直觀感受”這種位置關(guān)系，給出定義，把主要精力放在對“合理性”認識上，經(jīng)過正、反例了解定義關(guān)鍵詞。必須向?qū)W生交待清楚：用“說得清道得明”幾何關(guān)系（即“直線與直線垂直”）來定義“無法說清”幾何關(guān)系（即“直線與平面垂直”）是一個公理化思想，學生則只要采取接收式學習方式即可。第26頁例5適宜探究內(nèi)容舉例等差數(shù)列前n項和公式——從詳細數(shù)列求和中提煉概括思想方法：不相同數(shù)求和化歸為相同數(shù)求和，實現(xiàn)化歸依據(jù)是等差數(shù)列性質(zhì)；平面向量基本定理——在“用向量及其運算表示幾何元素”思想下，聯(lián)絡(luò)建立直角坐標系方法、兩條相交直線確定一個平面等經(jīng)驗，讓學生探究而取得結(jié)論；誘導公式——在“三角函數(shù)是（單位）圓幾何性質(zhì)代數(shù)表示”思想下，探究終邊關(guān)于坐標軸、原點以及直線y=x對稱兩個角關(guān)系，而得到全部公式。第27頁人和：師生共同營造“探究氣氛”，有賴于學生“探究式學習心向”，也有賴于教師“探究型教學意識”。數(shù)學思想方法在自主探究中相關(guān)鍵作用，需要教師啟發(fā)引導——注意使用“先行組織者”。探究性學習要融入日常學習，成為“長期化”學習方式。第28頁例6在“聯(lián)絡(luò)與綜合”思想指導下探究性學習直線參數(shù)方程：平面直角坐標系中，確定直線幾何要素；參數(shù)思想——點P坐標由參數(shù)t唯一確定；有向線段；方向向量；三角函數(shù)；百分比；……第29頁不一樣聯(lián)絡(luò)方式下教學設(shè)計參數(shù)方程：坐標x，y作為參數(shù)t函數(shù)——以確定曲線幾何要素為基點，考查坐標隨哪一要素改變而改變。找一座“橋”，把任意一點P(x，y)與確定直線幾何要素（傾斜角α、點P(x0，y0)）聯(lián)絡(luò)起來。第30頁與幾何、三角聯(lián)絡(luò)將P(x，y)、α、

yP(x0，y0)在直角坐標P系中表示出來，能夠P0M看到P0P橋梁作用。Ox第31頁與向量聯(lián)絡(luò)向量代數(shù)是坐標幾何返璞歸真精益求精數(shù)軸：原點、方向、長度單位數(shù)軸上點坐標——數(shù)乘運算直角坐標系中直線——與數(shù)軸沒有本質(zhì)區(qū)分：點P(x0，y0)——原點傾斜角α——方向方向向量——長度單位直線上任意一點坐標——數(shù)乘運算第32頁純粹代數(shù)、三角變換由直線方程y－y0=tanα（x－x0）出發(fā)代數(shù)變換：這一過程無法反應(yīng)參數(shù)幾何意義第33頁“我校生源差，重復講還記不住，怎能讓學生自主探究？”——學習是知與行統(tǒng)一，只“講”必定不會；探究是深層次思維活動，是“心動”與“行動”融合。生源越差越要精心組織學生探究活動，怎樣鋪設(shè)探究臺階是對教師考驗。比如，誘導公式探究，能夠從探究詳細角（如π/3和－π/3）三角函數(shù)關(guān)系開始。第34頁六、概念教學要義是什么？概念教學關(guān)鍵——概括：將凝結(jié)在數(shù)學概念中數(shù)學家思維打開，以經(jīng)典豐富實例為載體，引導學生展開觀察、分析各事例屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學概念；先“舉三反一”，再“舉一反三”：先用經(jīng)典、豐富詳細事例，分析、綜合、比較而概括出共同本質(zhì)屬性；再把共同本質(zhì)屬性推廣到同類事物中。第35頁概念教學基本步驟經(jīng)典豐富詳細例證——屬性分析、比較、綜合；概括共同本質(zhì)特征得到概念本質(zhì)屬性；下定義（準確數(shù)學語言描述）；概念辨析——以實例（正例、反例）為載體分析關(guān)鍵詞含義；用概念作判斷詳細事例——形成用概念作判斷詳細步驟；概念“精巧”——建立與相關(guān)概念聯(lián)絡(luò)。第36頁例7函數(shù)奇偶性教學急功近利做法（1）給出函數(shù)y=x2和y=x圖像，并提出問題：假如從圖象對稱性觀察，兩個圖像各有什么特點？（2）給表格并提問：數(shù)量關(guān)系上有啥特征？（3）能否描述一下函數(shù)y=x2特征？第37頁學生回答：對于y=x2，當x取任意數(shù)時y都取正數(shù)；函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱；自變量取一對相反數(shù)時，函數(shù)值相等；……（4）對于定義域內(nèi)任意一個x，是否都有

f(－x)＝f(x)？（5）能否描述一下偶函數(shù)定義？——“一個函數(shù)打天下”，缺乏概括基礎(chǔ)。第38頁重視概括過程做法經(jīng)典、豐富例證——不止一個：y=x2，y=|x|，

y=x2－2……；從觀察圖像、概括共同特征入手；列表，從數(shù)角度描述特征；形、數(shù)對照——從形到數(shù)——用函數(shù)符號語言描述特征；概念精巧：內(nèi)涵、外延深加工，概念要素詳細界定；組織——建立相關(guān)知識聯(lián)絡(luò)。第39頁七、怎樣了解螺旋上升、循序漸進？“模塊化”體系下，立體幾何、解析幾何、概率、統(tǒng)計等都采取“螺旋上升”式，怎么看？螺旋上升現(xiàn)有數(shù)學概念發(fā)展史依據(jù)，也有學生思維發(fā)展規(guī)律依據(jù)；螺旋上升應(yīng)該表達“必要性”，如函數(shù)概念必須螺旋式學習，但解析幾何無須搞三個螺旋；第40頁“螺旋式”可能產(chǎn)生問題是重復學習——統(tǒng)計與概率問題；主要數(shù)學思想方法必須得到“螺旋上升地重復”——“隱性知識”，“能夠意會不可言傳”，要經(jīng)歷“滲透——概括——應(yīng)用”學習階段。第41頁例8概念多元聯(lián)絡(luò)表示表達螺旋上升百分比關(guān)系：算術(shù)——比和百分比、百分數(shù)、百分比尺；平面幾何——線段比和百分比、相同形等；解析幾何——斜率、線性方程；統(tǒng)計與概率——統(tǒng)計圖表、頻率與概率。當利用基本幾何概念（如相同）和代數(shù)概念（如線性關(guān)系）引入百分比概念時，學生對百分比關(guān)系了解就會更深刻。第42頁八、怎樣了解“不是教教材，是用教材教”？現(xiàn)象：脫離教材，大量使用教輔；原因：教材內(nèi)容“簡單”，不足以應(yīng)付高考；對“不是教教材，而是用教材教”、“創(chuàng)造性使用教材”意圖有誤解；有教師不善于或不愿意花大力氣研究教材。第43頁我看法“不是教教材，而是用教材教”≠“脫離教材”，是針對“照本宣科”；教材“基礎(chǔ)性”與高考“選拔性”有目標差異，但學好教材一定是高考取得好成績前提，教師主要精力應(yīng)該放在幫助學生熟練掌握教材內(nèi)容上。第44頁了解教材是當好數(shù)學教師前提，而“了解教材”第一要義是“了解數(shù)學”：了解數(shù)學概念背景，把握概念邏輯意義，了解內(nèi)容所反應(yīng)思想方法，挖掘知識所蘊含科學方法、理性思維過程和價值觀資源，區(qū)分關(guān)鍵知識和非關(guān)鍵知識等。書本、書本，一科之本。課堂教學應(yīng)“以書本為本”。第45頁例9函數(shù)概念概括過程設(shè)計目標：反應(yīng)函數(shù)概念本質(zhì)，形成正確函數(shù)概念“對應(yīng)關(guān)系”了解，y=f(x)中，符號f、x、y含義，f表現(xiàn)形式多樣性、本質(zhì)一致性（三要素）——既是重點也是難點，尤其重視用表格、圖象表示對應(yīng)關(guān)系使用，目標是幫助學生從“多元聯(lián)絡(luò)表示”上深入思索，為突破難點奠定基礎(chǔ)；第46頁（1）從經(jīng)典實例出發(fā)引出函數(shù)概念目標：加強背景，表達“函數(shù)模型”思想；加強概念形成過程；在學生頭腦中形成豐富函數(shù)例證。抽象概念學習要從詳細例證開始了解抽象概念需要詳細例證支持用“歸納式”構(gòu)建教學過程第47頁（2）精心選擇實例

解析式、圖象、表格目標——形成正確函數(shù)概念：函數(shù)是刻畫變量間依賴關(guān)系法則；不一定都有解析式，即對應(yīng)關(guān)系f能夠是解析式，也能夠是圖，還能夠是表格；加強用集合與對應(yīng)語言描述兩個變量之間對應(yīng)關(guān)系引導；不在細節(jié)上過分糾纏。第48頁（3）讓學生結(jié)構(gòu)詳細背景解釋抽象解析式函數(shù)y=x2，x∈R對應(yīng)關(guān)系是什么？請結(jié)構(gòu)一個詳細背景，解釋這個對應(yīng)關(guān)系。結(jié)構(gòu)一個實際背景，解釋函數(shù)y=對應(yīng)關(guān)系。第49頁九、重結(jié)果輕過程危害是什么？數(shù)學是思維科學。數(shù)學思想方法孕育于知識發(fā)生發(fā)展過程中。“思想”是概念靈魂，是“數(shù)學素養(yǎng)”源泉，是從技能到能力橋梁；“過程”是“思想”載體，是領(lǐng)悟概念本質(zhì)平臺，是思維訓練通道，是培養(yǎng)數(shù)學能力土壤。第50頁沒有過程=沒有思想；沒有思想就難以了解概念實質(zhì)；缺乏數(shù)學思想方法紐帶，概念間關(guān)系無法認識、聯(lián)絡(luò)也難以建立，造成學生數(shù)學認知結(jié)構(gòu)缺乏整體性，其可利用性、可區(qū)分性和穩(wěn)定性等“功效指標”都會大打折扣。沒有“過程”教學把“思維體操”降格為“刺激—反應(yīng)”訓練，是教育功利化在數(shù)學教學中集中表現(xiàn)。第51頁例10“遞推數(shù)列”教學常見做法——歸納題型，總結(jié)技巧：1．利用a1=S1，an=Sn－Sn-12．a(chǎn)n+1=kan+b型，分k=1和k≠1討論，

k≠1時，設(shè)an+1+m=k（an

+m），……3．a(chǎn)n+1=kan

+f(n)型，分k=1、f(n)是否可求和，k≠1、f(n)=an+b，

f(n)=qn(q≠0，1)，等；4．a(chǎn)n+1=f(n)an型；5.

an+2=pan+1+qan(p、q為常數(shù))型；……題型套題型，題型何其多，沒有思想方法作為根本，雜亂無章。第52頁an+1=pan

+q型通項公式教學設(shè)計求an+1=pan

+q型數(shù)列通項公式問題，普通地，抽象問題詳細化、普通問題特殊化是研究問題基本策略。問題1已知a1=1，an+1=2an+1（n＞1），求通項公式。問題2已知a1=1，an+1=2an+3（n＞1），求通項公式。問題3已知a1=1，an+1=3an+1（n＞1），求通項公式。第53頁問題1、2能夠“湊”，但問題3不能，怎么辦？注意觀察前兩個問題處理過程，轉(zhuǎn)化得到結(jié)構(gòu)有什么共性？對處理問題3有什么啟發(fā)？結(jié)論：都轉(zhuǎn)化為an+1+t=k(an+t)形式。問題4普通地，對于a1=a，an+1=pan+1+q，怎樣求通項公式？——因為推廣到了“同類事物”，所以要注意“完備性”，細節(jié)、特例追究。第54頁十、什么才是“數(shù)學思維教學”比較流行教學有兩種：一是數(shù)學教學=解題教學；二是辛勤挖掘“細枝末節(jié)”，并在細枝末節(jié)上對學生進行強化訓練，認為這是對思維嚴謹性訓練，比如，對零向量“辛勤耕耘”：怎樣表示0向量？0向量長度為何為0，方向任意？a∥b，b∥c，那么a∥c嗎？零向量與零向量相等嗎？a=b

則a∥b，對嗎？a∥b，則a與b方向相同或相反，對嗎？第55頁例11“柯西不等式”教學設(shè)計引入：均值不等式推廣方法為引子，指出探究方向能夠是“指數(shù)推廣”、“元數(shù)推廣”等。這些做完了，還能不能有其它方向探究。問題1：比較(a2

+b2)(c2

+d2)與(ac

+bd)2大小關(guān)系。追問：還有別方法嗎？(a2

+b2)(c2

+d2)

≥(ac

+bd)2結(jié)構(gòu)能給我們什么聯(lián)想和啟發(fā)？——結(jié)構(gòu)函數(shù)y=(a2

+b2)x2

+2(ac

+bd)x

+(c2

+d2)。第56頁問題2：你能對這一不等式作出幾何解釋嗎？問題3：將這一不等式作出推廣，給出證實和對應(yīng)幾何解釋，并說明你在推廣不等式時思緒。問題4：你認為柯西不等式有怎樣結(jié)構(gòu)特征？第